第10章 导体和电介质中的静电场（习题选解）
10-1 如图所示，在一不带电的金属球旁有一点电荷+q ，金属球半径为R ，已知+q 与金属球心间距离为r 。试求：（1）金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度E 及此时球心处的电势V ；（2）若将金属球接地，球上的净电荷为多少？
解：（1）由于导体内部的电场强度为零，金属球上感应的电荷在球心处产生的电场强度E 与点电荷+q 在球心处产生的电场强度E '大小相等，方向相反。
E =E '=
q 4πε0r
2
题10-1图
E 的方向由O 指向+q
点电荷+q 在球心处的电势为
V q =
q 4πε0r
金属球表面感应电荷在球心的电势为V R ，由于球表面感应电荷量总和为零，
V R =dq 4πε0R
=
14πε0
dq =0 R
s
s
故球心电势为V q 和V R 的代数和
V =V q +V R =
q 4πε0r
（2）若将金属球接地，金属球是一个等势体，球心的电势V =0。设球上净电荷为q '。球面上的电荷在球心处的电势为
V R =dq 4πε0R
=
14πε0R q 4πε0r
s
dq =
s
q '4πε0R
点电荷+q 在球心的电势为 V q =
由电势叠加原理 V =V R +V q =0
V R =-V q
q '4πε0R
=-
q 4πε0r
q '=-
R q r
10-2 如图所示，把一块原来不带电的金属板
B 移近一块已带有正电荷+Q 的金属板A ，平行放置。
σ12σ34
设两板面积都是S ，板间距是d ，忽略边缘效应。求：
Q
（1）B 板不接地时，两板间的电势差； （2）B 板接地时，两板间电势差。
题10-2图
解：（1）如图，设A 、B 两金属板各表面的面电荷密度分别为σ1、σ2、σ3、σ4。由静电平衡条件可知
⎧σ1σ2σ3σ4
⎪2ε-2ε-2ε-2ε=0⎪0000
⎨
σσσσ⎪1+2+3-4=0
⎪⎩2ε02ε02ε02ε0
⎧σ1=σ4
解得 ⎨
σ=-σ3⎩2
又 σ4+σ3=0 σ1S +σ2S =Q 故 σ1=σ2=σ4=
Q
2S
σ3=-
两板间为匀强电场，电场强度
E =
Q 2S
σ1σ2σ3σ4Q +--= 2ε02ε02ε02ε02ε0S
Qd
2ε0S
两板间的电势差 U =Ed =
⎧σ1=σ4=0⎪
Q （2）若B 板接地，则有 ⎨
σ=-σ=23⎪S ⎩
两板间的电场强度 E =
σ2σ3Q
-=
2ε02ε0εS 0
Qd
ε0S
两板间的电势差 U =Ed =
10-3 A 、B 为靠得很近的两块平行的大金属平板，板的面积为S ，板间距离为
d ，使A 、B 板带电分别为q A 、q B ，且q A >q B 。求：
（1）A 板内侧的带电量； （2）两板间的电势差。
解：（1）如图，设A 、B 两板各表面的 电荷面密度分别为σ1、σ2、σ3、σ4。
⎧σS +σ2S =q A
由题意 ⎨1 ①
⎩σ3S +σ4S =q B 又由静电平衡条件（参考题10-2）得
⎧σ1=σ4
②
⎨
⎩σ2=-σ3
题10-3图
q A +q B ⎧
σ=σ=4⎪⎪12S
由①、②解得 ⎨
q -q ⎪σ=-σ=A B
23⎪2S ⎩
故Ａ板内侧的带电量 q 2=σ2S =
（2）两板间为匀强电场，电场强度
E =
q A -q B
2
σ1σ2σ3σ4q A -q B
+--= 2ε02ε02ε02ε02ε0S
两板间电势差 U =Ed =
q A -q B
d 2ε0S
10-4 如图所示，半径为R 1的导体球带有电荷q ，球外有一个内半径为R 2的同心导体球壳，壳上有电荷Q 。（1）求球与壳的电势差U 12；（2）用导线把球和壳连接在一起后，其电势为多少？
解：（1）导体球与球壳之间的电场强度为
E =
q 4πε0r
2
题10-4图
球与壳的电势差
U 12=⎰Edr =⎰
R 1R 2
dr
R 14πε
r 2
R 2
q
=
q 4πε0
(
11-) R 1R 2
（2）用导线把球与球壳连接在一起后，导体球和导体球壳的电荷重新分布。静电平衡时，球与球壳为等势体，V 1=V 2=V 12。所有电荷（q +Q ）均匀分布在球壳外表面。球壳外电场强度为
E '=
∞
∞
Q +q
4πε0r 2
球与球壳的电势 V '=⎰Edr =⎰
R 2
Q +q dr Q +q
=2R 24πε4πε0R 20r
10-6 如图所示，同轴传输线由圆柱形长直导体和套在它外面的同轴导体管构成。设圆柱体的电势为V 1，半径为R 1，圆管的电势为V 2，内半径为R 2，求它们之间离轴线为r 处(R 1
解：设圆柱体表面沿轴线单位长度所带电量为λ，在距轴线为r 的任意一点
P 的场强为
E =
λ
R 1
R 2 2πε0r
题10-6图
P 点与圆柱体的电势差
V 1-V P =⎰Edr =⎰
R 1
r r
R 1
λdr λr
=ln ①
2πε0r 2πε0R 1
圆管与圆柱体的电势差
V 1-V 2=⎰Edr =⎰
R 1
R 2R 2
R 1
R λdr λ
=ln 2 ②
2πε0r 2πε0R 1
由①、②两式消去λ，得P 点电势
r
) R 1
V P =V 1-(V 1-V 2)
R 2) R 1
10-7 实验表明：在靠近地面处有相当强的电场，E 垂直于地面向下，大小约
V ⋅m -1。试求：为100（1）地面的面电荷密度；（2）地面的每平方米所受的库仑力。
解：设地球带电荷q 。由高斯定理，地球表面电场
E =
q 4πε0R
2
e
q =4πε0R e 2E
电荷q 均匀分布于地球表面，则地面面电荷密度
q 4πε0R e 2E -10-2
σ===εE =8. 85⨯10C ⋅m 02
S 4πR e
地面每平方米受库仑力 F =σE =8. 85⨯10-8N
10-补充 如图所示，平行板电容器两极板相距为d ，接到电压为U 伏的电源上，在其间插入厚为x 、相对电容率为εr 的玻璃平板。略去边缘效应，求空隙中和玻璃中的电场强
题10-补充图
度。
解：设电容器极板上电荷面密度为σ0，则两极板间空气间隙中的场强为
E 0=
σ0
ε0
玻璃平板中的场强为 E '=
σ0σ=0 εε0εr
E 0=εr E ' ①
两极板间的电位差 U =E 0(d -x ) +E 'x ② 由①、②两式可得 E 0=
εr U εr (d -x ) +x
E '=
U
εr (d -x ) +x
10-8 在相对电容率为εr 1、半径为R 的均匀电介质球的中心有一点电荷q ，介质球外的空间充满相对电容率为εr 2的均匀电介质。求距q 为r (r
解：介质球中心的点电荷q 产生的电场具有球对称性。由高斯定理，介质球内外的场强分别为
E 1=
q 4πε0εr 1r
q 4πε0εr 2r 2
2
（r
E 2=
（r >R ）
选无穷远处为电势零点，距q 为r （r
V =⎰E 1dr +⎰E 2dr =
r
R
R
∞
11q (-) +
4πε0εr 1r R 4πε0εr 2R
q
10-9 如图所示，一平行板电容器两极板间充 满了电容率为ε的均匀介质，已知极板上的面电荷 密度分别为σ0和-σ0。略去边缘效应。求电介质中的电场强度E 、极化强度P 、电位移D ，介质表面的
极化电荷面密度σ'。
解：对于平行板电容器，两板间的电场强度为
E =
题10-9图
σ00
n ε
其中n 0为沿极板法线方向的单位矢量，方向从σ0极板指向-σ0极板。两极板电介质中的电位移为
D =εE =σ0n 0
极化强度 P =D -ε0E =σ0n 0-
ε0ε
σ0n 0=(1-0) σ0n 0εε
由于极化电荷都在介质的上下两表面，故极化电荷体密度ρ'=0。两极板间介质中的电场E 为板上自由电荷产生的电场E 0和介质表面束缚电荷产生的电场E '的叠加。设介质表面极化电荷面密度为σ'。
E 0=
σ0σ' E '=
ε0ε0
σ0
=E 0-E ' ε
E =
σ01
=(σ0-σ') εε0
σ'=(1-
ε0
) σ0 ε
对于靠近带正电荷极板的介质表面，极化电荷面密度为-σ'。靠近带负电荷极板的介质表面，极化电荷面密度为σ'。
10-10 有一面积为S 、间距为d 的平行板电容器。 （1）在板间平行于极板面插入厚度为
d
，面积3
V A
也为S 的相对电容率为εr 的均匀电介质板，计算其电容；（2）若插入的是同样尺寸的导体板，求其电容；（3）上下平移介质板或导体板对电容有无影响？
解：设电容器极板所带电荷面密度为σ （1）两极间电势差
题10-9图
V B
V A -V B =E 1d 1+E 2d 2+E 3d 3
=
σσσ
d 1d 2d 3
ε0ε0εε0r σσ
(d 1+d 3) +d 2 ε0ε0εr
=
由d 1+d 3=d -
d d
， d 2= 33
得 V A -V B =
2σd σd
+
3ε03ε0εr
电容 C =
3ε0εr S Q σS
== σd 2r +1(2εr +1) d V A -V B
() 3ε0εr
（2）若插入导体板，则E 2=0
V A -V B =E 1d 1+E 3d 3=
σσ
d 1+d 3 ε0ε0
=
σσd 2σd
(d 1+d 3) =(d -) =
ε0ε033ε0
3εS Q σS
==0
V A -V B 2d 2d
3ε0
电容 C =
（3）上下移动介质板或导体板对电容无影响。
10-补充 如图所示，一无限大平行板电容器，设A 、B 两板相距5. 0cm ，板上各带电荷σ=3. 3⨯10-6C ⋅m -2，A 板带正电，B 板带负电并接地（地的电势为零），求： （1）在两板之间距A 板1. 0cm 处P 点的电势； （2）A 板的电势。
解：（1）平板电容器两板间场强
A
σ
E =ε0
P 点电势
V P =E (d -r ) +V B =
σ
(d -r ) =1. 49⨯104V ε0
题10-补充图
（2）A 板的电势
V A =Ed +V B =
σ
d =1. 86⨯104V ε0
10-补充 面积是2.0m 2的两平行导体板放在空气中相距5.0mm ，两板电势差为
1000V ，略去边缘效应。试求：
（1）电容C ；
（2）各板上的电量Q 、电荷的面密度σ和板间电场强度E 的值。
解：（1）平板电容器电容
C =
ε0S
d
=3. 54⨯10-9F =3. 54⨯10-3μF
（2）各板上的电量 Q =CU AB =3. 54⨯10-6C 板上电荷的面密度 σ=板间电场强度E 的值 E =
Q
=1. 77⨯10-6C ⋅m -2 S
σ
=2. 0⨯105N ⋅C -1ε0
10-13 一电容率ε为的无限大均匀介质中，有一个半径为R 的导体球，带电荷
Q 。求电场的能量。
解：导体球的电荷均匀分布在外表面，球内不存在电场，电场只存在于球体外，其空间分布为 E 1=0 （0
E 2=
Q
（r >R ） 2
4πεr
此时，电场的能量为
W =⎰
∞
∞112Q 2Q 2∞dr Q 22
εE 2dV =⎰ε() 4πr dr ==22⎰R R 224πεr 8πεr 8πεR
R
第10章 导体和电介质中的静电场（习题选解）
10-1 如图所示，在一不带电的金属球旁有一点电荷+q ，金属球半径为R ，已知+q 与金属球心间距离为r 。试求：（1）金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度E 及此时球心处的电势V ；（2）若将金属球接地，球上的净电荷为多少？
解：（1）由于导体内部的电场强度为零，金属球上感应的电荷在球心处产生的电场强度E 与点电荷+q 在球心处产生的电场强度E '大小相等，方向相反。
E =E '=
q 4πε0r
2
题10-1图
E 的方向由O 指向+q
点电荷+q 在球心处的电势为
V q =
q 4πε0r
金属球表面感应电荷在球心的电势为V R ，由于球表面感应电荷量总和为零，
V R =dq 4πε0R
=
14πε0
dq =0 R
s
s
故球心电势为V q 和V R 的代数和
V =V q +V R =
q 4πε0r
（2）若将金属球接地，金属球是一个等势体，球心的电势V =0。设球上净电荷为q '。球面上的电荷在球心处的电势为
V R =dq 4πε0R
=
14πε0R q 4πε0r
s
dq =
s
q '4πε0R
点电荷+q 在球心的电势为 V q =
由电势叠加原理 V =V R +V q =0
V R =-V q
q '4πε0R
=-
q 4πε0r
q '=-
R q r
10-2 如图所示，把一块原来不带电的金属板
B 移近一块已带有正电荷+Q 的金属板A ，平行放置。
σ12σ34
设两板面积都是S ，板间距是d ，忽略边缘效应。求：
Q
（1）B 板不接地时，两板间的电势差； （2）B 板接地时，两板间电势差。
题10-2图
解：（1）如图，设A 、B 两金属板各表面的面电荷密度分别为σ1、σ2、σ3、σ4。由静电平衡条件可知
⎧σ1σ2σ3σ4
⎪2ε-2ε-2ε-2ε=0⎪0000
⎨
σσσσ⎪1+2+3-4=0
⎪⎩2ε02ε02ε02ε0
⎧σ1=σ4
解得 ⎨
σ=-σ3⎩2
又 σ4+σ3=0 σ1S +σ2S =Q 故 σ1=σ2=σ4=
Q
2S
σ3=-
两板间为匀强电场，电场强度
E =
Q 2S
σ1σ2σ3σ4Q +--= 2ε02ε02ε02ε02ε0S
Qd
2ε0S
两板间的电势差 U =Ed =
⎧σ1=σ4=0⎪
Q （2）若B 板接地，则有 ⎨
σ=-σ=23⎪S ⎩
两板间的电场强度 E =
σ2σ3Q
-=
2ε02ε0εS 0
Qd
ε0S
两板间的电势差 U =Ed =
10-3 A 、B 为靠得很近的两块平行的大金属平板，板的面积为S ，板间距离为
d ，使A 、B 板带电分别为q A 、q B ，且q A >q B 。求：
（1）A 板内侧的带电量； （2）两板间的电势差。
解：（1）如图，设A 、B 两板各表面的 电荷面密度分别为σ1、σ2、σ3、σ4。
⎧σS +σ2S =q A
由题意 ⎨1 ①
⎩σ3S +σ4S =q B 又由静电平衡条件（参考题10-2）得
⎧σ1=σ4
②
⎨
⎩σ2=-σ3
题10-3图
q A +q B ⎧
σ=σ=4⎪⎪12S
由①、②解得 ⎨
q -q ⎪σ=-σ=A B
23⎪2S ⎩
故Ａ板内侧的带电量 q 2=σ2S =
（2）两板间为匀强电场，电场强度
E =
q A -q B
2
σ1σ2σ3σ4q A -q B
+--= 2ε02ε02ε02ε02ε0S
两板间电势差 U =Ed =
q A -q B
d 2ε0S
10-4 如图所示，半径为R 1的导体球带有电荷q ，球外有一个内半径为R 2的同心导体球壳，壳上有电荷Q 。（1）求球与壳的电势差U 12；（2）用导线把球和壳连接在一起后，其电势为多少？
解：（1）导体球与球壳之间的电场强度为
E =
q 4πε0r
2
题10-4图
球与壳的电势差
U 12=⎰Edr =⎰
R 1R 2
dr
R 14πε
r 2
R 2
q
=
q 4πε0
(
11-) R 1R 2
（2）用导线把球与球壳连接在一起后，导体球和导体球壳的电荷重新分布。静电平衡时，球与球壳为等势体，V 1=V 2=V 12。所有电荷（q +Q ）均匀分布在球壳外表面。球壳外电场强度为
E '=
∞
∞
Q +q
4πε0r 2
球与球壳的电势 V '=⎰Edr =⎰
R 2
Q +q dr Q +q
=2R 24πε4πε0R 20r
10-6 如图所示，同轴传输线由圆柱形长直导体和套在它外面的同轴导体管构成。设圆柱体的电势为V 1，半径为R 1，圆管的电势为V 2，内半径为R 2，求它们之间离轴线为r 处(R 1
解：设圆柱体表面沿轴线单位长度所带电量为λ，在距轴线为r 的任意一点
P 的场强为
E =
λ
R 1
R 2 2πε0r
题10-6图
P 点与圆柱体的电势差
V 1-V P =⎰Edr =⎰
R 1
r r
R 1
λdr λr
=ln ①
2πε0r 2πε0R 1
圆管与圆柱体的电势差
V 1-V 2=⎰Edr =⎰
R 1
R 2R 2
R 1
R λdr λ
=ln 2 ②
2πε0r 2πε0R 1
由①、②两式消去λ，得P 点电势
r
) R 1
V P =V 1-(V 1-V 2)
R 2) R 1
10-7 实验表明：在靠近地面处有相当强的电场，E 垂直于地面向下，大小约
V ⋅m -1。试求：为100（1）地面的面电荷密度；（2）地面的每平方米所受的库仑力。
解：设地球带电荷q 。由高斯定理，地球表面电场
E =
q 4πε0R
2
e
q =4πε0R e 2E
电荷q 均匀分布于地球表面，则地面面电荷密度
q 4πε0R e 2E -10-2
σ===εE =8. 85⨯10C ⋅m 02
S 4πR e
地面每平方米受库仑力 F =σE =8. 85⨯10-8N
10-补充 如图所示，平行板电容器两极板相距为d ，接到电压为U 伏的电源上，在其间插入厚为x 、相对电容率为εr 的玻璃平板。略去边缘效应，求空隙中和玻璃中的电场强
题10-补充图
度。
解：设电容器极板上电荷面密度为σ0，则两极板间空气间隙中的场强为
E 0=
σ0
ε0
玻璃平板中的场强为 E '=
σ0σ=0 εε0εr
E 0=εr E ' ①
两极板间的电位差 U =E 0(d -x ) +E 'x ② 由①、②两式可得 E 0=
εr U εr (d -x ) +x
E '=
U
εr (d -x ) +x
10-8 在相对电容率为εr 1、半径为R 的均匀电介质球的中心有一点电荷q ，介质球外的空间充满相对电容率为εr 2的均匀电介质。求距q 为r (r
解：介质球中心的点电荷q 产生的电场具有球对称性。由高斯定理，介质球内外的场强分别为
E 1=
q 4πε0εr 1r
q 4πε0εr 2r 2
2
（r
E 2=
（r >R ）
选无穷远处为电势零点，距q 为r （r
V =⎰E 1dr +⎰E 2dr =
r
R
R
∞
11q (-) +
4πε0εr 1r R 4πε0εr 2R
q
10-9 如图所示，一平行板电容器两极板间充 满了电容率为ε的均匀介质，已知极板上的面电荷 密度分别为σ0和-σ0。略去边缘效应。求电介质中的电场强度E 、极化强度P 、电位移D ，介质表面的
极化电荷面密度σ'。
解：对于平行板电容器，两板间的电场强度为
E =
题10-9图
σ00
n ε
其中n 0为沿极板法线方向的单位矢量，方向从σ0极板指向-σ0极板。两极板电介质中的电位移为
D =εE =σ0n 0
极化强度 P =D -ε0E =σ0n 0-
ε0ε
σ0n 0=(1-0) σ0n 0εε
由于极化电荷都在介质的上下两表面，故极化电荷体密度ρ'=0。两极板间介质中的电场E 为板上自由电荷产生的电场E 0和介质表面束缚电荷产生的电场E '的叠加。设介质表面极化电荷面密度为σ'。
E 0=
σ0σ' E '=
ε0ε0
σ0
=E 0-E ' ε
E =
σ01
=(σ0-σ') εε0
σ'=(1-
ε0
) σ0 ε
对于靠近带正电荷极板的介质表面，极化电荷面密度为-σ'。靠近带负电荷极板的介质表面，极化电荷面密度为σ'。
10-10 有一面积为S 、间距为d 的平行板电容器。 （1）在板间平行于极板面插入厚度为
d
，面积3
V A
也为S 的相对电容率为εr 的均匀电介质板，计算其电容；（2）若插入的是同样尺寸的导体板，求其电容；（3）上下平移介质板或导体板对电容有无影响？
解：设电容器极板所带电荷面密度为σ （1）两极间电势差
题10-9图
V B
V A -V B =E 1d 1+E 2d 2+E 3d 3
=
σσσ
d 1d 2d 3
ε0ε0εε0r σσ
(d 1+d 3) +d 2 ε0ε0εr
=
由d 1+d 3=d -
d d
， d 2= 33
得 V A -V B =
2σd σd
+
3ε03ε0εr
电容 C =
3ε0εr S Q σS
== σd 2r +1(2εr +1) d V A -V B
() 3ε0εr
（2）若插入导体板，则E 2=0
V A -V B =E 1d 1+E 3d 3=
σσ
d 1+d 3 ε0ε0
=
σσd 2σd
(d 1+d 3) =(d -) =
ε0ε033ε0
3εS Q σS
==0
V A -V B 2d 2d
3ε0
电容 C =
（3）上下移动介质板或导体板对电容无影响。
10-补充 如图所示，一无限大平行板电容器，设A 、B 两板相距5. 0cm ，板上各带电荷σ=3. 3⨯10-6C ⋅m -2，A 板带正电，B 板带负电并接地（地的电势为零），求： （1）在两板之间距A 板1. 0cm 处P 点的电势； （2）A 板的电势。
解：（1）平板电容器两板间场强
A
σ
E =ε0
P 点电势
V P =E (d -r ) +V B =
σ
(d -r ) =1. 49⨯104V ε0
题10-补充图
（2）A 板的电势
V A =Ed +V B =
σ
d =1. 86⨯104V ε0
10-补充 面积是2.0m 2的两平行导体板放在空气中相距5.0mm ，两板电势差为
1000V ，略去边缘效应。试求：
（1）电容C ；
（2）各板上的电量Q 、电荷的面密度σ和板间电场强度E 的值。
解：（1）平板电容器电容
C =
ε0S
d
=3. 54⨯10-9F =3. 54⨯10-3μF
（2）各板上的电量 Q =CU AB =3. 54⨯10-6C 板上电荷的面密度 σ=板间电场强度E 的值 E =
Q
=1. 77⨯10-6C ⋅m -2 S
σ
=2. 0⨯105N ⋅C -1ε0
10-13 一电容率ε为的无限大均匀介质中，有一个半径为R 的导体球，带电荷
Q 。求电场的能量。
解：导体球的电荷均匀分布在外表面，球内不存在电场，电场只存在于球体外，其空间分布为 E 1=0 （0
E 2=
Q
（r >R ） 2
4πεr
此时，电场的能量为
W =⎰
∞
∞112Q 2Q 2∞dr Q 22
εE 2dV =⎰ε() 4πr dr ==22⎰R R 224πεr 8πεr 8πεR
R