垂径定理在实际问题中的应用
垂径定理是《圆》中的一个重要的定理,由垂径定理可解决一些实际问题.现举例说明.
一、实际计算问题
例1 如图1,在直径为130mm 的圆铁片上切去一块高为32mm 的弓形铁片.求这个弓形铁片弦AB 的长.
解:将实物图转化为几何图形,如图2,则有CD =32mm,OA =1⨯130mm =65mm ,2
OC ⊥AB 于D ,
因为OC ⊥AB ,根据垂径定理,得AB =2AD .
在Rt △ADO 中,∠ADO =90°,OA =OC =65mm,OD =OC -CD =65-32=33(mm),
所以AD =56(mm) (mm),
所以弦AB 的长为56×2=112(mm).
例2 今有一圆木砌入壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何? 分析:如图4,将实物图(图3)转化为几何图形,则BE 表示锯道,CD 表示锯深,求⊙O 的直径是多少?
解:如图4,设圆木的半径OB =x 寸,
则OC =(x -1)寸,BC =
1BE =5寸, 2在Rt △OCB 中,由勾股定理得x 2=(x -1)2+52, 解得x =13. 所以圆木半径是13寸,直径为26寸. 二、弧形物体平分问题 例3 如图5,是一自行车内胎的一部分,如何将它平均分给两个小朋友做玩具? 分析:根据实物画出几何图形,利用垂径定理解决问题.
作法:如图6,用表示自行车内胎的一部分.
(1)连接AB .
(2)作AB 的垂直平分线CD ,交于点E ,则点E 为的中点.从点E 处将内胎剪开后,即可分给两个小朋友.
三、判断问题
例4 某地方有一座弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现由一艘宽3米,船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱形桥吗?
分析:判断货船能否通过这座拱桥,关键是看船舱顶部两角是
否会被拱桥顶部挡住.用表示拱桥,画出如图7几何图形,实际问
题就转化为求FN 的长度.
解: 设圆心为O ,连接OA 、0B ,作OD ⊥AB 于D ,交圆于点
C ,交MN 于点H ,由垂径定理可知,D 为AB 的中点.
设OA =r ,则OD =OC -DC =r -2.4,AD =
在Rt △AOD 中,OA 2=AD 2+OD 2,
即r 2=3.62+(r -2.4)2,解得r =3.9,
在Rt △OHN
中,OH ==3.6.
所以FN =DH =OH -OD =3.6-(3.9-2.4)=2.1,
因为2.1米>2米.所以货船可以通过这座拱桥.
1AB =3.6, 2
垂径定理在实际问题中的应用
垂径定理是《圆》中的一个重要的定理,由垂径定理可解决一些实际问题.现举例说明.
一、实际计算问题
例1 如图1,在直径为130mm 的圆铁片上切去一块高为32mm 的弓形铁片.求这个弓形铁片弦AB 的长.
解:将实物图转化为几何图形,如图2,则有CD =32mm,OA =1⨯130mm =65mm ,2
OC ⊥AB 于D ,
因为OC ⊥AB ,根据垂径定理,得AB =2AD .
在Rt △ADO 中,∠ADO =90°,OA =OC =65mm,OD =OC -CD =65-32=33(mm),
所以AD =56(mm) (mm),
所以弦AB 的长为56×2=112(mm).
例2 今有一圆木砌入壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何? 分析:如图4,将实物图(图3)转化为几何图形,则BE 表示锯道,CD 表示锯深,求⊙O 的直径是多少?
解:如图4,设圆木的半径OB =x 寸,
则OC =(x -1)寸,BC =
1BE =5寸, 2在Rt △OCB 中,由勾股定理得x 2=(x -1)2+52, 解得x =13. 所以圆木半径是13寸,直径为26寸. 二、弧形物体平分问题 例3 如图5,是一自行车内胎的一部分,如何将它平均分给两个小朋友做玩具? 分析:根据实物画出几何图形,利用垂径定理解决问题.
作法:如图6,用表示自行车内胎的一部分.
(1)连接AB .
(2)作AB 的垂直平分线CD ,交于点E ,则点E 为的中点.从点E 处将内胎剪开后,即可分给两个小朋友.
三、判断问题
例4 某地方有一座弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现由一艘宽3米,船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱形桥吗?
分析:判断货船能否通过这座拱桥,关键是看船舱顶部两角是
否会被拱桥顶部挡住.用表示拱桥,画出如图7几何图形,实际问
题就转化为求FN 的长度.
解: 设圆心为O ,连接OA 、0B ,作OD ⊥AB 于D ,交圆于点
C ,交MN 于点H ,由垂径定理可知,D 为AB 的中点.
设OA =r ,则OD =OC -DC =r -2.4,AD =
在Rt △AOD 中,OA 2=AD 2+OD 2,
即r 2=3.62+(r -2.4)2,解得r =3.9,
在Rt △OHN
中,OH ==3.6.
所以FN =DH =OH -OD =3.6-(3.9-2.4)=2.1,
因为2.1米>2米.所以货船可以通过这座拱桥.
1AB =3.6, 2