导数的概念及计算
一、知识概述
导数的概念及其基本运算是本周学习的重点内容，导数有着丰富的实际背景和广泛应用，通过对平均变化率的分析入手，层层深入，展现了从平均变化率到瞬时变化率的过程，指明了瞬时变化率就是导数，介绍了导数的一般定义．并借助函数图象，运用观察与直观分析阐明了曲线的切线斜率和导数间的关系．导数的计算主要包括两个方面，首先是几个常见函数的导数，然后是基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，关键在于使用这些公式与法则求简单函数的导数． 二、重难点知识归纳 1．变化率与导数 (1)平均变化率
通常把式子 令
，
称为函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率．
，
则平均变化率可表示为 (2)导数的概念
一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 则称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数(derivative)，记作
当x 变化时，
或
，即
便是x 的一个函数，则称它为f(x)的导函数(derivative funtion)
（简称导数），记作或，则．
(3)注意事项：
弄清“函数f(x)在点x 0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系，可以从以下几个方面来认识．
①函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数．
②导函数（导数）是一个特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想，对于每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数就构成了一个新函数，即导数．
，根据函数的定义，在某一区间内
③函数y=f(x)在点x 0处的导数
＝
就是导函数
在x=x0
处的函数值，即
．这也是求函数在x=x0处的导数的方法之一．
(4)导数的几何意义 函数y=f(x)在点x 0处的导数率k ，即
．
就是曲线y=f(x)在点
处的切线的斜
2．导数的计算
(1)基本初等函数的导数公式 ①若f(x)=c，则②若
③若f(x)sinx
，则④若f(x)=cosx，则⑤若f(x)⑥若f(x)
，则，则
； ，则
； ； （a>0）; ；
；
⑦若f(x)，则（a>0，且a 1）；
⑧若f(x)，则.
(2)导数运算法则 ①②
；
；
③
(3)复合函数的求导法则(难点) 设函数数
在点x 处有导数或写作
，函数y=f(u)在点x 的对应点u 处有导．
复合函数求导法则：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，即
．
三、典型例题剖析
例1．利用导数的定义，求出函数y=x＋的导数，并据此求函数在x=1处的导数．
解析：利用导数的定义，结合求函数的导数的方法步骤进行计算．
，
从而．
总结：求函数y=f(x)的导数可分如下三步： (1)求函数的增量
；
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值;
(3)求极限，得函数．
例2．求等边双曲线在点处的切线斜率，并写出切线方程.
处的导数
解：函数f(x)图象上点P 处的切线方程的求解步骤：先求出函数在点
（即过点P 的切线的斜率），再用点斜式写出切线方程.
切线的斜率
，
，
切线方程为y －2=－4(x－) ，即4x ＋y －4=0.
注：求导数也可以直接用公式，这里只是说明公式的推导过程. 例3．设f(x)是定义在R 上的函数，且对任何x 1，x 2R 都有f(x1＋x 2)=f(x1)·f(x2). 若f(0)0
，
.
(1)求f(0)的值；
(2)证明：对任何x R
，都有
.
解析：本题主要考查用导数的定义求函数的导数的方法，以及函数极限的运算. (1)
令
2
对任意
，得f(0)=f(0)．
．
都成立，
(2)，
对任何x R
，都有
．
例4．求下列函数的导数：
(1)(2)
； ；
(3)；
(4)．
解析：这些函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用四则运算法则和基本初等函数的导数公式求导．
(1)
(2)解法一：
解法二：
．
(3)
．
(4)，
例5．求下列函数的导数： (1)(2)
;
；
．
(3)(4)
; .
解析：应用指数、对数函数的求导公式，结合函数四则运算的求导法则及复合函数的求导法则进行求导. (1)
(2) 设
，
则．
(3) (4)方法一：
方法二：
．
导数的概念及计算
一、知识概述
导数的概念及其基本运算是本周学习的重点内容，导数有着丰富的实际背景和广泛应用，通过对平均变化率的分析入手，层层深入，展现了从平均变化率到瞬时变化率的过程，指明了瞬时变化率就是导数，介绍了导数的一般定义．并借助函数图象，运用观察与直观分析阐明了曲线的切线斜率和导数间的关系．导数的计算主要包括两个方面，首先是几个常见函数的导数，然后是基本初等函数的导数公式和导数的运算法则，关键在于使用这些公式与法则求简单函数的导数． 二、重难点知识归纳 1．变化率与导数 (1)平均变化率
通常把式子 令
，
称为函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率．
，
则平均变化率可表示为 (2)导数的概念
一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 则称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数(derivative)，记作
当x 变化时，
或
，即
便是x 的一个函数，则称它为f(x)的导函数(derivative funtion)
（简称导数），记作或，则．
(3)注意事项：
弄清“函数f(x)在点x 0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系，可以从以下几个方面来认识．
①函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数．
②导函数（导数）是一个特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想，对于每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数就构成了一个新函数，即导数．
，根据函数的定义，在某一区间内
③函数y=f(x)在点x 0处的导数
＝
就是导函数
在x=x0
处的函数值，即
．这也是求函数在x=x0处的导数的方法之一．
(4)导数的几何意义 函数y=f(x)在点x 0处的导数率k ，即
．
就是曲线y=f(x)在点
处的切线的斜
2．导数的计算
(1)基本初等函数的导数公式 ①若f(x)=c，则②若
③若f(x)sinx
，则④若f(x)=cosx，则⑤若f(x)⑥若f(x)
，则，则
； ，则
； ； （a>0）; ；
；
⑦若f(x)，则（a>0，且a 1）；
⑧若f(x)，则.
(2)导数运算法则 ①②
；
；
③
(3)复合函数的求导法则(难点) 设函数数
在点x 处有导数或写作
，函数y=f(u)在点x 的对应点u 处有导．
复合函数求导法则：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，即
．
三、典型例题剖析
例1．利用导数的定义，求出函数y=x＋的导数，并据此求函数在x=1处的导数．
解析：利用导数的定义，结合求函数的导数的方法步骤进行计算．
，
从而．
总结：求函数y=f(x)的导数可分如下三步： (1)求函数的增量
；
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值;
(3)求极限，得函数．
例2．求等边双曲线在点处的切线斜率，并写出切线方程.
处的导数
解：函数f(x)图象上点P 处的切线方程的求解步骤：先求出函数在点
（即过点P 的切线的斜率），再用点斜式写出切线方程.
切线的斜率
，
，
切线方程为y －2=－4(x－) ，即4x ＋y －4=0.
注：求导数也可以直接用公式，这里只是说明公式的推导过程. 例3．设f(x)是定义在R 上的函数，且对任何x 1，x 2R 都有f(x1＋x 2)=f(x1)·f(x2). 若f(0)0
，
.
(1)求f(0)的值；
(2)证明：对任何x R
，都有
.
解析：本题主要考查用导数的定义求函数的导数的方法，以及函数极限的运算. (1)
令
2
对任意
，得f(0)=f(0)．
．
都成立，
(2)，
对任何x R
，都有
．
例4．求下列函数的导数：
(1)(2)
； ；
(3)；
(4)．
解析：这些函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用四则运算法则和基本初等函数的导数公式求导．
(1)
(2)解法一：
解法二：
．
(3)
．
(4)，
例5．求下列函数的导数： (1)(2)
;
；
．
(3)(4)
; .
解析：应用指数、对数函数的求导公式，结合函数四则运算的求导法则及复合函数的求导法则进行求导. (1)
(2) 设
，
则．
(3) (4)方法一：
方法二：
．