带 余 除 法
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，
5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。 解：因为被除数=除数×商+余数=除数×33+52，被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数，所以 除数×33+52=2058-除数，所以 除数=（2058-52）÷34=59，被除数=2058-59=1999。
例3甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
解：因为 甲=乙×11+32，所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
所以 乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。
例4有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。 分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
例5求478×296×351除以17的余数。
分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
所求余数是1。
例6甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，
共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。（11×25）÷36=7……23，
即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
例7 9437569与8057127的乘积被9除，余数是__。
讲析：一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。
9437569各位数字之和除以9余7；8057127各位数字之和除以9余3。
7×3=21，21÷9=2„„3。
所以，9437569与8057127的乘积被9除，余数是3。
例8 在1、2、3、4、„„、1993、1994这1994个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么这样的数最多能选出_______个。
讲析：可将1、2、3、„„、1994这1994个数，分别除以26。然后，按所得的余数分类。 要使两个数的和是26的倍数，则必须使这两个数分别除以26以后，所得的余数之和等于26。
但本题要求的是任意两个数的和都是26的倍数，故26的倍数符合要求。这样的数有1994÷26=76（个）„„余18（个）。但被26除余13的数，每两个数的和也能被26整除，而余数为13的数共有77个。
所以，最多能选出77个。
例9 一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（余数不为0）。这个整数是_____。 讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。因此，问题可转化为求（300—262）和（262—205）的最大公约数。
不难求出它们的最大公约数为19，即这个整数是19。
例10 小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？
讲析：被除数增加了131-113=18，余数相同，但结果的商是3，所以，除数应该是18÷3=6。又因为113÷6的余数是5，所以该题的余数也是5。
例11 五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都这样做。问：最初至少有______个桃子。
讲析：因为第一只猴子把桃5等分后，还余1个桃；以后每只猴子来时，都是把前一只猴子剩下的4等份再分成5等份，且每次余1个桃子。于是，我们可设想，如果另加进4个桃子，则连续五次可以分成5等份了。
加进4个桃之后，这五只猴每次分桃时，不再吃掉一个，只需5等份后，拿走一份。 因为4与5互质，每次的4份能分成5等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，也能分
成5等份。这样，这堆桃子就能连续五次被5整除了。所以，这堆桃子至少有5×5×5×5×5-4=3121（个）。
例12 在1、2、3、„„、30这30个自然数中，最多能取出______个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数。
讲析：我们可将1到30这30个自然数分别除以7，然后按余数分类。
余数是0：7、14、21、28
余数是1：1、8、15、22、29
余数是2：2、9、16、23、30
余数是3：3、10、17、24
余数是4：4、11、18、25
余数是5：5、12、19、26
余数是6：6、13、20、27
要使两数之和不是7的倍数，必须使这两个数分别除以7所得的余数之和不等于7。
所以，可以取余数是1、2、3的数，不取余数是4、5、6的数。而余数为0的数只取一个。 故最多可以取15个数。
例13一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求满足条件的最小自然数。
分析与解：这道例题就是《孙子算经》中的问题。这个问题有三个条件，一下子不好解答。那么，我们能不能通过先求出满足其中一个条件的数，然后再逐步增加条件，达到最终解决问题的目的呢？我们试试看。
满足“除以3余2”的数，有2，5，8，11，14，17，…
在上面的数中再找满足“除以5余3”的数，可以找到8，8是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”两个条件的数，容易知道，8再加上3与5的公倍数，仍然满足这两个条件，所以满足这两个条件的数有
8，23，38，53，68，…
在上面的数中再找满足“除以7余2”的数，可以找到23，23是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”、“除以7余2”三个条件的数。23再加上或减去3，5，7的公倍数，仍然满足这三个条件，[3，5，7]=105，因为23＜105，所以满足这三个条件的最小自然数是23。
在例1中，若找到的数大于[3，5，7]，则应当用找到的数减去[3，5，7]的倍数，使得差小于[3，5，7]，这个差即为所求的最小自然数。
例14 求满足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小的自然数。
分析与解：与例1类似，先求出满足“除以5余1”的数，有6，11，16，21，26，31，36，… 在上面的数中，再找满足“除以7余3”的数，可以找到31。同时满足“除以5余1”、“除以7余3”的数，彼此之间相差5×7=35的倍数，有31，66，101，136，171，206，…
在上面的数中，再找满足“除以8余5”的数，可以找到101。因为101＜[5，7，8]=280，所以所求的最小自然数是101。
在例1、例2中，各有三个约束条件，我们先解除两个约束条件，求只满足一个约束条件的数，然后再逐步加上第二个、第三个约束条件，最终求出了满足全部三个约束条件的数。这种先放宽条件，再逐步增加条件的解题方法，叫做逐步约束法。
例15 在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有几个？
解：满足“除以3余2”的数有5，8，11，14，17，20，23，…
再满足“除以7余3”的数有17，38，59，80，101，…
再满足“除以11余4”的数有59。
因为阳[3，7，11]=231，所以符合题意的数是以59为首项，公差是231的等差数列。（10000-59）÷231=43……8，所以在10000以内符合题意的数共有44个。
例16 求满足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然数。
分析与解：如果给所求的自然数加3，所得数能同时被6，8，9整除，所以这个自然数是
[6，8，9]-3=72-3=69。
1、一列数，1，2，4，7，11，16，22，29，„„这列数的组成规律是：第二个数比第一个数多1，第三个数比第二个数多2，第四个数比第三个数多3，依次类推，那么，这列数左起第1994个数除以5的余数是几？
2、31546与27的积除以7，余数是（ ）。
3、327除以一个数，商是26，余数是15，这个数是（ ）。
4、34312＋612×17除以11的余数是（ ）。
5、数列3、6、9、„„3n 、„„中，第1994个数除以29的余数是（ ）。
19646、1973除以10的余数是（ ）。
7、一个正整数共有1993位，每位上的数字都是这个数除以7的余数, 这个余数是（ ）。 ８、有一个整数，它除２１０余５６，它除５１８余５６，它除以６７２还余５６，这个数是（ ）。
9、今天是星期日，若今天算第一天，第72„„72（73个72）天是星期（ ）。
10、有一个大于1的整数，它除367，452，316所得的余数都相同，这个数为（ ）。
11、甲、乙、丙、丁四人分扑克牌，先给甲4张，再给乙3张，再给丙2张，最后给丁1张，然后依照这个顺序发下去，第54张牌发给了（ ）。
12、有一个数恰好被3整除，它除以13余9，它除以7余6，这个数最小为（ ）。
13、桌子上有一堆花朵，若每3朵扎成一束，则扎完后还剩2朵；若每5朵扎成一束，那么，扎完后，还剩1朵，若每7朵扎成一束，那么扎完后也剩一朵，已知这堆花朵的数目在170和200之间，请你算一算，这堆花朵共有（ ）朵。
14、用3除余2，用5除余4，用7除仍余4的最小自然数为（ ）。
15、被2除余1，被3除余2，被7除余5的最小整数为（ ）。
16、被4除余3，被11除余3，被6除余5的最小整数为（ ）。
17、有一堆苹果，5个5个地数还剩2个，6个6个地数剩3个，7个7个地数剩4个。这堆苹果最少有（ ）个。
18、有一个整数被6除余2，被15除余2，被9除余5，这个数最小为（ ）。
19、学生在操场上排队，只知人数在80至90之间，若排成3列还差1人，若排成4列还差2人，若排成5列还差4人，操场上共有学生（ ）人。
20、有一个自然数在4000至5000之间，它满足被135除余10，被121除余30，被473除余140，这个数为（ ）。
21、有一个在1000和1200之间的自然数，用7除它余4。用9除它余5，用11除它余6，这个数为（ ）。
22、有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1，这个数除以12余数是几？
23、237除以一个两位数的余数是6，则适合这个条件的所有两位数是多少？
24、两个整数相除商是12，余数是6，且被除数与除数的差是94，求这两个整数。
25、73、216、227被某个数N 除余数相同，那么，105被这个数N 去除余数应该是多少？
26、一个数被3除余2，被5除余3，被7除余4，求此最小的数是几？
27、有一列数，3，7，10，17，27，44，„„从第3个数起，每个数等于它前面两个数的和，那么第1994个数被5除余数是多少？
28、有一串数，1，4，7，10，„„，94的规律是：第1个数是1，以后每一个数都比它前面的数大3，将这些数相加，其和被7除的余数是多少？
29、200个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的两倍恰好等于它前后两个数的和，这一行最左边的几个数是：1，5，9，13，„„问最右边的一个数被6除的余数是多少？
30、有5个不同的自然数，它们当中的任意3个的和是3的倍数，任意4个的和是4的倍数，为了使这5个数的和尽可能地小，这5个数分别是什么？
31、伸出你的左手，从大拇指开始如图所示的那样数数字，1，2，3，4，„„问：数到1991时，你数在哪个手指上？
32、一个两位数去除251，得到的余数是41，求这个两位数。
33、用一个自然数去除以另一个整数，商40，余数是16，被除数，除数，商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？
34、某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？
35、3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数[即3月16日（第二天），3月15日（第三天）„„]的第1993天是星期几？
36、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
37、一个数除5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。
38、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。
39、一个布袋中装有小球若干个，如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个，布袋中至少有小球多少个？
40、69、90和125被某个正整数N 除时，余数相同，试求N 的最大值。
41、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，求除数。
42、某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？
43、某数除以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以内这样的数有哪几个？
44、用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋，这批货至少有多少袋？ 45、57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为0，求284被这个自然数除的余数。
46、求乘积419×273×518除以19所得的余数。
47、在1～1000之间同时被2、3、5除都余1的数有多少个？
48、四盏灯如下图所示组成舞台彩灯，且每30秒灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，„„这样一直进行下去，那开灯90分钟时四盏灯的颜色如何排列？
„„
49、如果
5－3能被7
整除，n 可以取哪些自然数？ n
50、一布袋中装有一些小球，如果每次取
3个，最后剩2个；如果每次取5个，最后剩下3个，如每次取7个，最后剩下2个，则布袋中最少有小球多少个？
51、如果1993年的儿童节是星期二，那么1994年的儿童节是星期几？
52、2002年5月5日是星期日，如果5月4日作为第一天往回数，那么第1999天是星期几？
53、A 除以13余7，B 除以13余8，那么A ×B ÷13余数是几？
54、180与143对于19是否同余，270和213呢？
55、272、215、310除以同一个数的余数相同，这个整数是多少？
56、求288×226×423除以13所得的余数。
57、在1～10000之间同时被3、5、7除都余1的数有多少个？
58、有一堆苹果，每3个一份剩2个，每5个一份剩3个，每7个一份也剩3个，那么一共至少有多少个苹果？
59、一个数被7除余2，被8除余3，能被5整除，这个数最小是几？
60、所有自然数如下图排列，问400位于哪个字母下面？ A B C D E F G
1 2 3 4
7 6 5
8 9 10 11
14 13 12
15 16 „„„
[1**********]261、求自然数2＋3＋4的个位数字。
62、数111„„1（1999个1） 被13除余多少？
63、19991999的个位数字是几？
64、两个数相除，商是499，余数是7，被除数最小是多少？
65、有78个桃子，平均分给一些猴子之后，还剩18个，不够每只猴子再分一个了，那么这些猴子都有可能是多少只？
66、1+2+3+„+99+100除以4的余数是
多少？ 222223除余1，被5除余2，被7除余3。求这个自然数。
67、节日里街道上挂彩灯，彩灯是按“五
红、四黄、三绿”的规律排列成一串的，那么
第2003个彩灯是什么颜色的？ 73、有一个数除以3余2，除以4余1，问：此数除以12余几？
68、有一个质数，它除300、262、205
得到的余数相同，那么这个质数是多少？ 74、号码分别为37、57、77、和97的四名运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和除以3的余数，那么打球盘数最多的运动员是几号？他打了多少盘？
69、70个数排成一行，除了两头的两个
数以外，每个数的3倍恰好等于它两边两个数
的和，这一行最左边的几个数是这样的“0，1，
3，8，21，55„„。问：最右边的数（第70
个数）被6除的余数是几？ 75、小明在计算有余数除法时，把被除数115当成了151，结果商比正确结果大了3，但余数相同，求这道除法算式的除数。 76、365、450、314除以一个大于1的整
数所得的余数都相同，求这个数。
70、一个数除以3余2，除以5余3，除
以7余4，那么符合条件的最小数是几？
71、113除以一个两位数，余数是23，求
这个两位数。 77、有一串数：1、3、8、22、60、164、448„„从第三个数起，每个数恰好是前两个数之和的2倍，那么，在这串数中，第2000个数除以9的余数是几？
72、一个自然数在1000到1200之间，且被
78、157、234和324除以同一个整数，得到的三个余数之和是100，求这个整数。
79、求这样的三位数，它除以9得的余数等于组成它的三个数字的平方和。
80、在一个圆圈上有几十个孔（见右图），小明像玩跳棋那样，
从A 孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回
A 孔，他先试着每隔2个孔跳一步，结果只能跳到B 孔，他又试着
每隔4孔跳一步，也只能跳到B 孔，最后他每隔6孔跳一步，正好
跳回A 孔，问这个圆上共有多少个孔？
81、有一个整数，除300、262、205得到的余数相同，这个整数是几？
82、有一个整数用它去除63、91、129得到三个余数的和是25，这个整数是多少？ 83、71427和19的乘积除以7，余数是几？
84、求 111„„1（1994个1） 除以13所得的余数。
85、已知a= 19911991„„1991（1991个1991） ，a 除以13所得的余数是几？
86、在1到4000之间能同时被3、5、7除都余2的数有多少个？
87、一个数被5除余1，被6除余2，被7除余3，这个数最小是多少？
88、篮子里有鸡蛋若干只，每次取出3只，最后剩1只，每次取5只，最后剩2只，每次取7只，最后剩3只，篮子里最少有多少鸡蛋？
89、有一列数，1，2，4，7，11，16，22，29，„„这列数的组成规律是：第二个数比第一个数多1，第三个数比第二个数多2，第四个数比第三个数多3，依次类推，那么，这列数左起第1994个数除以5余数是几？
90、将既能被5整除又能被7整除的自然数自35起从小到大排成一列，问这列数前1994个数的和被11除的余数是多少？
91、1，1，2，3，5，8，13，„„共1994个数排成一列，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，那么这1994个数的和除以5的余数是多少？
带 余 除 法
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，
5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到
5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。 解：因为被除数=除数×商+余数=除数×33+52，被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数，所以 除数×33+52=2058-除数，所以 除数=（2058-52）÷34=59，被除数=2058-59=1999。
例3甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。
解：因为 甲=乙×11+32，所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，
所以 乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。
例4有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。 分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。
由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。
因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。
例5求478×296×351除以17的余数。
分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。
478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。
所求余数是1。
例6甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，
共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。
因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。（11×25）÷36=7……23，
即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。
例7 9437569与8057127的乘积被9除，余数是__。
讲析：一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。
9437569各位数字之和除以9余7；8057127各位数字之和除以9余3。
7×3=21，21÷9=2„„3。
所以，9437569与8057127的乘积被9除，余数是3。
例8 在1、2、3、4、„„、1993、1994这1994个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么这样的数最多能选出_______个。
讲析：可将1、2、3、„„、1994这1994个数，分别除以26。然后，按所得的余数分类。 要使两个数的和是26的倍数，则必须使这两个数分别除以26以后，所得的余数之和等于26。
但本题要求的是任意两个数的和都是26的倍数，故26的倍数符合要求。这样的数有1994÷26=76（个）„„余18（个）。但被26除余13的数，每两个数的和也能被26整除，而余数为13的数共有77个。
所以，最多能选出77个。
例9 一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（余数不为0）。这个整数是_____。 讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。因此，问题可转化为求（300—262）和（262—205）的最大公约数。
不难求出它们的最大公约数为19，即这个整数是19。
例10 小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？
讲析：被除数增加了131-113=18，余数相同，但结果的商是3，所以，除数应该是18÷3=6。又因为113÷6的余数是5，所以该题的余数也是5。
例11 五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都这样做。问：最初至少有______个桃子。
讲析：因为第一只猴子把桃5等分后，还余1个桃；以后每只猴子来时，都是把前一只猴子剩下的4等份再分成5等份，且每次余1个桃子。于是，我们可设想，如果另加进4个桃子，则连续五次可以分成5等份了。
加进4个桃之后，这五只猴每次分桃时，不再吃掉一个，只需5等份后，拿走一份。 因为4与5互质，每次的4份能分成5等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，也能分
成5等份。这样，这堆桃子就能连续五次被5整除了。所以，这堆桃子至少有5×5×5×5×5-4=3121（个）。
例12 在1、2、3、„„、30这30个自然数中，最多能取出______个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数。
讲析：我们可将1到30这30个自然数分别除以7，然后按余数分类。
余数是0：7、14、21、28
余数是1：1、8、15、22、29
余数是2：2、9、16、23、30
余数是3：3、10、17、24
余数是4：4、11、18、25
余数是5：5、12、19、26
余数是6：6、13、20、27
要使两数之和不是7的倍数，必须使这两个数分别除以7所得的余数之和不等于7。
所以，可以取余数是1、2、3的数，不取余数是4、5、6的数。而余数为0的数只取一个。 故最多可以取15个数。
例13一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求满足条件的最小自然数。
分析与解：这道例题就是《孙子算经》中的问题。这个问题有三个条件，一下子不好解答。那么，我们能不能通过先求出满足其中一个条件的数，然后再逐步增加条件，达到最终解决问题的目的呢？我们试试看。
满足“除以3余2”的数，有2，5，8，11，14，17，…
在上面的数中再找满足“除以5余3”的数，可以找到8，8是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”两个条件的数，容易知道，8再加上3与5的公倍数，仍然满足这两个条件，所以满足这两个条件的数有
8，23，38，53，68，…
在上面的数中再找满足“除以7余2”的数，可以找到23，23是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”、“除以7余2”三个条件的数。23再加上或减去3，5，7的公倍数，仍然满足这三个条件，[3，5，7]=105，因为23＜105，所以满足这三个条件的最小自然数是23。
在例1中，若找到的数大于[3，5，7]，则应当用找到的数减去[3，5，7]的倍数，使得差小于[3，5，7]，这个差即为所求的最小自然数。
例14 求满足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小的自然数。
分析与解：与例1类似，先求出满足“除以5余1”的数，有6，11，16，21，26，31，36，… 在上面的数中，再找满足“除以7余3”的数，可以找到31。同时满足“除以5余1”、“除以7余3”的数，彼此之间相差5×7=35的倍数，有31，66，101，136，171，206，…
在上面的数中，再找满足“除以8余5”的数，可以找到101。因为101＜[5，7，8]=280，所以所求的最小自然数是101。
在例1、例2中，各有三个约束条件，我们先解除两个约束条件，求只满足一个约束条件的数，然后再逐步加上第二个、第三个约束条件，最终求出了满足全部三个约束条件的数。这种先放宽条件，再逐步增加条件的解题方法，叫做逐步约束法。
例15 在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有几个？
解：满足“除以3余2”的数有5，8，11，14，17，20，23，…
再满足“除以7余3”的数有17，38，59，80，101，…
再满足“除以11余4”的数有59。
因为阳[3，7，11]=231，所以符合题意的数是以59为首项，公差是231的等差数列。（10000-59）÷231=43……8，所以在10000以内符合题意的数共有44个。
例16 求满足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然数。
分析与解：如果给所求的自然数加3，所得数能同时被6，8，9整除，所以这个自然数是
[6，8，9]-3=72-3=69。
1、一列数，1，2，4，7，11，16，22，29，„„这列数的组成规律是：第二个数比第一个数多1，第三个数比第二个数多2，第四个数比第三个数多3，依次类推，那么，这列数左起第1994个数除以5的余数是几？
2、31546与27的积除以7，余数是（ ）。
3、327除以一个数，商是26，余数是15，这个数是（ ）。
4、34312＋612×17除以11的余数是（ ）。
5、数列3、6、9、„„3n 、„„中，第1994个数除以29的余数是（ ）。
19646、1973除以10的余数是（ ）。
7、一个正整数共有1993位，每位上的数字都是这个数除以7的余数, 这个余数是（ ）。 ８、有一个整数，它除２１０余５６，它除５１８余５６，它除以６７２还余５６，这个数是（ ）。
9、今天是星期日，若今天算第一天，第72„„72（73个72）天是星期（ ）。
10、有一个大于1的整数，它除367，452，316所得的余数都相同，这个数为（ ）。
11、甲、乙、丙、丁四人分扑克牌，先给甲4张，再给乙3张，再给丙2张，最后给丁1张，然后依照这个顺序发下去，第54张牌发给了（ ）。
12、有一个数恰好被3整除，它除以13余9，它除以7余6，这个数最小为（ ）。
13、桌子上有一堆花朵，若每3朵扎成一束，则扎完后还剩2朵；若每5朵扎成一束，那么，扎完后，还剩1朵，若每7朵扎成一束，那么扎完后也剩一朵，已知这堆花朵的数目在170和200之间，请你算一算，这堆花朵共有（ ）朵。
14、用3除余2，用5除余4，用7除仍余4的最小自然数为（ ）。
15、被2除余1，被3除余2，被7除余5的最小整数为（ ）。
16、被4除余3，被11除余3，被6除余5的最小整数为（ ）。
17、有一堆苹果，5个5个地数还剩2个，6个6个地数剩3个，7个7个地数剩4个。这堆苹果最少有（ ）个。
18、有一个整数被6除余2，被15除余2，被9除余5，这个数最小为（ ）。
19、学生在操场上排队，只知人数在80至90之间，若排成3列还差1人，若排成4列还差2人，若排成5列还差4人，操场上共有学生（ ）人。
20、有一个自然数在4000至5000之间，它满足被135除余10，被121除余30，被473除余140，这个数为（ ）。
21、有一个在1000和1200之间的自然数，用7除它余4。用9除它余5，用11除它余6，这个数为（ ）。
22、有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1，这个数除以12余数是几？
23、237除以一个两位数的余数是6，则适合这个条件的所有两位数是多少？
24、两个整数相除商是12，余数是6，且被除数与除数的差是94，求这两个整数。
25、73、216、227被某个数N 除余数相同，那么，105被这个数N 去除余数应该是多少？
26、一个数被3除余2，被5除余3，被7除余4，求此最小的数是几？
27、有一列数，3，7，10，17，27，44，„„从第3个数起，每个数等于它前面两个数的和，那么第1994个数被5除余数是多少？
28、有一串数，1，4，7，10，„„，94的规律是：第1个数是1，以后每一个数都比它前面的数大3，将这些数相加，其和被7除的余数是多少？
29、200个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的两倍恰好等于它前后两个数的和，这一行最左边的几个数是：1，5，9，13，„„问最右边的一个数被6除的余数是多少？
30、有5个不同的自然数，它们当中的任意3个的和是3的倍数，任意4个的和是4的倍数，为了使这5个数的和尽可能地小，这5个数分别是什么？
31、伸出你的左手，从大拇指开始如图所示的那样数数字，1，2，3，4，„„问：数到1991时，你数在哪个手指上？
32、一个两位数去除251，得到的余数是41，求这个两位数。
33、用一个自然数去除以另一个整数，商40，余数是16，被除数，除数，商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？
34、某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？
35、3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数[即3月16日（第二天），3月15日（第三天）„„]的第1993天是星期几？
36、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
37、一个数除5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。
38、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。
39、一个布袋中装有小球若干个，如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个，布袋中至少有小球多少个？
40、69、90和125被某个正整数N 除时，余数相同，试求N 的最大值。
41、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，求除数。
42、某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？
43、某数除以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以内这样的数有哪几个？
44、用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋，这批货至少有多少袋？ 45、57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为0，求284被这个自然数除的余数。
46、求乘积419×273×518除以19所得的余数。
47、在1～1000之间同时被2、3、5除都余1的数有多少个？
48、四盏灯如下图所示组成舞台彩灯，且每30秒灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，„„这样一直进行下去，那开灯90分钟时四盏灯的颜色如何排列？
„„
49、如果
5－3能被7
整除，n 可以取哪些自然数？ n
50、一布袋中装有一些小球，如果每次取
3个，最后剩2个；如果每次取5个，最后剩下3个，如每次取7个，最后剩下2个，则布袋中最少有小球多少个？
51、如果1993年的儿童节是星期二，那么1994年的儿童节是星期几？
52、2002年5月5日是星期日，如果5月4日作为第一天往回数，那么第1999天是星期几？
53、A 除以13余7，B 除以13余8，那么A ×B ÷13余数是几？
54、180与143对于19是否同余，270和213呢？
55、272、215、310除以同一个数的余数相同，这个整数是多少？
56、求288×226×423除以13所得的余数。
57、在1～10000之间同时被3、5、7除都余1的数有多少个？
58、有一堆苹果，每3个一份剩2个，每5个一份剩3个，每7个一份也剩3个，那么一共至少有多少个苹果？
59、一个数被7除余2，被8除余3，能被5整除，这个数最小是几？
60、所有自然数如下图排列，问400位于哪个字母下面？ A B C D E F G
1 2 3 4
7 6 5
8 9 10 11
14 13 12
15 16 „„„
[1**********]261、求自然数2＋3＋4的个位数字。
62、数111„„1（1999个1） 被13除余多少？
63、19991999的个位数字是几？
64、两个数相除，商是499，余数是7，被除数最小是多少？
65、有78个桃子，平均分给一些猴子之后，还剩18个，不够每只猴子再分一个了，那么这些猴子都有可能是多少只？
66、1+2+3+„+99+100除以4的余数是
多少？ 222223除余1，被5除余2，被7除余3。求这个自然数。
67、节日里街道上挂彩灯，彩灯是按“五
红、四黄、三绿”的规律排列成一串的，那么
第2003个彩灯是什么颜色的？ 73、有一个数除以3余2，除以4余1，问：此数除以12余几？
68、有一个质数，它除300、262、205
得到的余数相同，那么这个质数是多少？ 74、号码分别为37、57、77、和97的四名运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和除以3的余数，那么打球盘数最多的运动员是几号？他打了多少盘？
69、70个数排成一行，除了两头的两个
数以外，每个数的3倍恰好等于它两边两个数
的和，这一行最左边的几个数是这样的“0，1，
3，8，21，55„„。问：最右边的数（第70
个数）被6除的余数是几？ 75、小明在计算有余数除法时，把被除数115当成了151，结果商比正确结果大了3，但余数相同，求这道除法算式的除数。 76、365、450、314除以一个大于1的整
数所得的余数都相同，求这个数。
70、一个数除以3余2，除以5余3，除
以7余4，那么符合条件的最小数是几？
71、113除以一个两位数，余数是23，求
这个两位数。 77、有一串数：1、3、8、22、60、164、448„„从第三个数起，每个数恰好是前两个数之和的2倍，那么，在这串数中，第2000个数除以9的余数是几？
72、一个自然数在1000到1200之间，且被
78、157、234和324除以同一个整数，得到的三个余数之和是100，求这个整数。
79、求这样的三位数，它除以9得的余数等于组成它的三个数字的平方和。
80、在一个圆圈上有几十个孔（见右图），小明像玩跳棋那样，
从A 孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回
A 孔，他先试着每隔2个孔跳一步，结果只能跳到B 孔，他又试着
每隔4孔跳一步，也只能跳到B 孔，最后他每隔6孔跳一步，正好
跳回A 孔，问这个圆上共有多少个孔？
81、有一个整数，除300、262、205得到的余数相同，这个整数是几？
82、有一个整数用它去除63、91、129得到三个余数的和是25，这个整数是多少？ 83、71427和19的乘积除以7，余数是几？
84、求 111„„1（1994个1） 除以13所得的余数。
85、已知a= 19911991„„1991（1991个1991） ，a 除以13所得的余数是几？
86、在1到4000之间能同时被3、5、7除都余2的数有多少个？
87、一个数被5除余1，被6除余2，被7除余3，这个数最小是多少？
88、篮子里有鸡蛋若干只，每次取出3只，最后剩1只，每次取5只，最后剩2只，每次取7只，最后剩3只，篮子里最少有多少鸡蛋？
89、有一列数，1，2，4，7，11，16，22，29，„„这列数的组成规律是：第二个数比第一个数多1，第三个数比第二个数多2，第四个数比第三个数多3，依次类推，那么，这列数左起第1994个数除以5余数是几？
90、将既能被5整除又能被7整除的自然数自35起从小到大排成一列，问这列数前1994个数的和被11除的余数是多少？
91、1，1，2，3，5，8，13，„„共1994个数排成一列，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，那么这1994个数的和除以5的余数是多少？