苏教版八年级数学上册勾股定理

第三届全国中小学“教学中的互联网搜索” 优秀教学案例评选参评教案设计

课题：2.1 勾股定理

（苏教版八年级数学上册）

单位：江苏省淮安市淮阴区开明中学姓名：王静涛通讯地址：江苏省淮安市淮阴区北京西路 15 号（区开明中学）邮编： 223300 邮箱：[email protected] 联系电话：[1**********] 2012、3、14

苏教版八年级数学上册

2.1 勾股定理

知识目标

1、体验勾股定理的探索过程，了解勾股定理的多种证明方法。 2、会运用勾股定理解决计算直角三角形简单问题和实际的应用。

能力目标

通过学生实际动口、动脑、动手的操作，经历发现--归纳--验证--应用的数学体验，从而培养学生数学推理、数形结合、综合运用能力，进一步体会数学与生活实际的紧密联系。

情感和价值观目标

通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值，体会数学在生活实际的价值。利用互联网百度搜索收集勾股定理的相关资料，让学生感受到现代科技给人类带来的方便，从而提高学生对未来科技的不懈追求和无限探索。

学习重点

探索和证明勾股定理，并能进行简单的应用

学习难点

多种方法证明勾股定理，利用互联网百度搜索勾股定理的证明方法

教材分析

勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。

学情分析

学生对网络的应用已经普及，在平时的教学中，也经常让学生课前准备与教学内容相关的互联网上的资料。小组合作学习教学模式下的课堂，学生能进行自主探究，互相讨论，互相合作学习，师生能共同完成教学任务，在这种教学模式下不断提高学生课堂参与率，提高学生数学水平，所有学生的数学能力显著增强。

教法学法

教法：创设--观察--发现--归纳--验证--应用教学方法学法：小组合作学习、自主探究法

课前准备

教师准备：多媒体课件制作，准备教学案，把学生分成合作学习小组学生准备：利用互联网百度搜索勾股定理相关资料，课前制作四张全等直角三角形纸片，准备网格画图用纸

教学过程

一、情景导入小明的妈妈买了一部 29 英寸（74 厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 58 厘米长和 46 厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？你能在你的网格纸上画出两个直角三角形吗？要求一个直角三角形的直角边长分别是 3 和 4，另一个直角三角形的直角边长

分别是 5 和 12.你测量一下这两个直角三角形的斜边长是多少？你发现了什么？今天我们就一起探索上述问题中有关直角三角形的勾股定理。设计意图：第一个引例让学生感受数学就在我们的身边，激发学生学习的欲望和兴趣，第二个引例用学生课前准备

的网格纸，实际动手操作，亲身感受直角三角形三边的关系，也为下面勾股定理的证明做准备。二、探索和证明勾股定理活动 1、勾股定理的导入勾股故事一（小组合作成果展示） http://www.baidu.com/s?tn=site888_pg&lm=-1&word=%B1%CF%B4%EF%B8%E7%C0%AD%CB%B9%B6%A8%C0%ED

1955 年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 ── 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对勾股定理的说明（图 1）。希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里。

图1

图2

问题①：同学们，你能在刚才网格纸上的两个直角三角形画出类似的图形吗？（学生展示成果：例如图 2）问题②：同学们，你发现正方形的面积之间的数量关系吗？（小组讨论交流--小组代表发言--小组归纳结论）学生归纳结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．教师引导学生将“上面的面积转化成三角形边长的平方” ，归纳勾股定理的内容：勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为 a 、 b ，斜边长为 c ，那么

勾

弦股

a2  b2  c2 ．

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．设计意图：学生课前准备的在互联网上百度搜集的资料进行展示，通过画图动手实践，老师提出问题，学生小组讨论交流，总结归纳勾股定理的内容，让学生感受从特殊到一般的数学变化过程和数学转化的思想。问题③：同学们，你能用手中的四个全等三角形拼成一个大正方形吗？ 2、勾股定理的证明勾股故事二（小组合作成果展示） http://www.baidu.com/s?tn=site888_pg&lm=-1&word=%D5%D4%CB%AC%CF%D2%CD%BC

勾股圆方图

图3

图4

赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。如图 3，图 4,在边长为 c 的正方形中,有四个斜边是 c 的全等直角三角形,已知它们的直角边分别是 a, b .说明我国古代数学家赵爽在他所著的中,利用这个图证明勾股定理. 问题④：你能用这两个图形的面积证明勾股定理吗？（小组合作讨论证明过程---小组代表展示证明结果--其他小组点评）设计意图：给学生一个开放性

的问题，用课前准备好的四个全等直角三角形拼一大正方形，学生方法会有很多，选出代表性强的例子，让学生完成勾股定理的一种证明方法。小组合作学习可带动小组的每个学生的参与，可用集体的智慧完成有难度的证明过程，老师引导学生用正方形和四个直角三角形的面积关系去证明结论。问题⑤：同学们，还有其他勾股定理的证明方法吗？（各小组在准备的资料中查找其他证明方法）勾股故事三

（小组合作成果展示） http://www.baidu.com/s?tn=site888_pg&lm=-1&word=%B9%B4%B9%C9%B6%A8%C0%ED%D6%A4%C3%F7%B7%BD%B7%A8

美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．

2 2 1 s1  1 2 ( a  b)(a  b)  2 ( a  2ab  b )

c c

b a b a

2 1 2 1 2 a  2 b  ab 1 1 2 1 2 s2  1 2 ab  2 ab  2 c  ab  2 c

s1  s2

1 2 2 1 2 a2  1 2 b  ab  ab  2 c

a 2  b2  c2

问题⑥：同学们，你能说说这些证明勾股定理的方法有什么共同特征吗？（小组讨论交流---小组代表发言--教师归纳总结：面积割补法，数形结合法）设计意图：勾股定理证明是本节课的重点，用多种方法解决问题，开拓学生的思维。通过探索勾股定理证明的过程，以小组为单位合作交流，充分体现课堂中学生为主体，教师问题引导为主线，从而实现对主要知识点的探索。三、勾股定理的简单应用例题飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这

个男孩 5000 米，飞机每小时飞行多少千米？

四、基础巩固练习填一填 1、在 Rt△ABC 中，∠C=90°（1）若 a=5，b=12，则 c=________；（2）b=8，c=17，则 S△ABC=________。 2、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。(注：下列各图中的三角形均为直角三角形) C D

64 y 289 15 36 8 17

7cm B

第

题图

答：A=________，y=________，B=________。 3、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm,则正方形 A， B，C，D 的面积之和为___________cm 。（学生独立思考完成本环节问题，以学生口答和上黑板演示过程为主）设计意图：例题是前后呼应，解决实际问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，练习第 1、2 题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．练习第 3 题是拓展性问题，，本环节意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容. 五、课堂小结问题⑦：这节课你学到了哪些知识和数学思想方法？你对这些知识有什么感悟，体会到了什么？（小组讨论交流---小组代表发言--教师总结归纳思想方法：面积法，特

殊--一般--特殊，数形结合等）六、课后训练 1、如图，在⊿ABC 中，∠ACB=90 ，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB 与 D, 求：（1），AC 的长；（2）⊿ABC 的面积；（3）CD 的长。

B A

0 2

2、要登上 8m 高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物 6m，至少需要多长的梯子？（画出示意图）

3、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上,且与 AE 重合,你能求出 CD 的长吗？

C D

设计意图：课后训练作业设计包括了三个层面：作业 1 是为了巩固基础知识；作业 2 是会画图用勾股定理解决实际问题，扩展学生的知识面；作业 3 是为了拓展思维，进行课后小组合作探究而设计，通过这些题目可让学生进一步认识和掌握勾股定理．

七、课后教学反思

数学来源于生活，来源于实践，让生活中处处有数学的思想走进我们的课堂，进一步加强“书本世界”与学生“生活世界”的联系，改变学生学习数学苍白无味的状态，给数学课堂增加“营养” 。让学生根据数学上的问题到现实世界中去寻找生活素材，让数学贴近生活，用具体、生动、形象、可感知的实例来解释数学问题，使学生体会到数学的价值。反思本节课，在内容上关注生活素材，让学生在具体的情境中发现、使用勾股定理。在教学过程中利用互联网百度搜索给出几种著名的证法和勾股定理的相关历史，感兴趣学生的课前探索，感受到数学证明的灵活、优美与精巧，感受勾股定理的丰富文化内涵。

这一课的学习主要通过创设情境--发现问题--小组讨论--成果展示--组间点评的小组合作学习课堂教学模式，让学生自主地探索知识，从而将其转化为自己的，真正做到了先激发兴趣，再合作交流，最后展示成果的自主学习。小组合作学习要尊重学生意愿，合理组建合作学习小组；任务明确，

落实到人，分工合作；把握小组合作学习的时机；给弱势群体以更多的关怀，给予更多的机会。小组合作学习并不是仅仅意味着安排学生按小组坐在一起去完成一个任务，他需要教师对小组活动过程的各个方面，尤其结合学科的特点给予认真地思考和关注。合作学习是学生的一种学习方式，同时也是教师教学的一种组织形式，学生的合作是否有效，同教师的参与与指导是分不开的。因此，在学生开展合作学习的时候，教师不是提高合作技巧，顺利完成学习任务。或对开展得很顺利的小组予以及时的表扬；对合作交流中偏离主题或遇到困难的小组提供及时的点拨；对完成任务的小组进行检查等等。学生的小组合作学习有了教师的参与与指导，避免了果三角形的三条边长 a，b，c 有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

勾股定理练习一．填空题：

1. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°（1）若 a=5，b=12，则 c=________；（2）b=8，c=17，则 S△ABC=________。 2.若一个三角形的三边之比为 5∶12∶13，则这个三角形是________（按角分类）。 3. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为________。 4．传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长 24 厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为 24 厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________. 5.命题“对顶角相等”的逆命题为___________________,它是____命题.(填“真”或“假”) 6．观察下列各式： 32+42=52；82+62=102； 152+82=172；242+102=262； „„；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：____________________________。

7．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图(最早由三国时期的数学家赵爽给出的)．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 c2＝＋ ,化简后即为 c2＝． B

c a

A 第 8 题图

8．一只蚂蚁从长、宽都是 3，高是 8 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。

二．

选择题： )组 C. 3 D. 4

9．观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形的三边长的有( A. 1 B. 2

10．三个正方形的面积如图，正方形 A 的面积为（ A. 6 B.４ C. 64 D. 8

）

6 4 10 0

11.已知直角三角形的两条边长分别是 5 和 12，则第三边为（Ａ．１３Ｂ．

）Ｄ．不能确定

119

Ｃ．１３或 119

12.下列命题①如果 a、b、c 为一组勾股数，那么 4a、4b、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是 5、12，那么斜边必是 13；③如果一个三角形的三边是 12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是 a、b、c，（a>b=c），那么 a2∶b2∶c2=2∶1∶1。其中正确的是（ A、①② ） B、①③ C、①④ D、②④ )

13.三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是(

A. 等边三角形;

钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.

14.如图一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相距（ A、25 海里 B、30 海里 C、35 海里 D、40 海里））

15. 已知等腰三角形的腰长为 10，一腰上的高为 6，则以底边为边长的正方形的面积为（ A、40 B、80 C、40 或 360 D、80 或 360

16．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要（ A、450a 元 B、225a 元 C、150a 元

北 A 南第 14 题图东

）

D、300a 元

20m

150°

30m

第 16 题图

三．解答题： 17．如图 1，在单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（（A）CD、EF、GH （C）AB、CD、GH ）（B）AB、EF、GH （D）AB、CD、EF

图1 18.(1)在数轴上作出表示

2 的点.

2和

(2)在第(1)的基础上分别作出表示 1-

2 +1 的点.

19．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出 1 尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽 4 尺，求竹竿高与门高。

20．一架方梯长 25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

A′

O A B 第 20A 题图

B′

21.如图 5，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E，交 BC 于 F，边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G。如果 M 为 CD 边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。

图5

3、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DE⊥DF，若 BE=12，CF=5．求线段 EF 的长。

1、如图，这是一个供滑板爱好者使用的 U 型池，该 U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱” 而成，中间可供滑行部分的截面是半径为 4m 的半圆，其边缘 AB=CD=20m，点 E 在 CD 上， CE=2m，一滑行爱好者从 A 点到 E 点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数）

2、将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 15cm，杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为 hcm，则 h 的取值范围是（ A．h≤17cm C．15cm≤h≤16cm B．h≥8cm D．7cm≤h≤16cm ）．

高 8cm 的圆柱形水

3、如图，在 Rt ABC 中， A  90 , D 为斜边 BC 中点， DE  DF ,求证： EF 2  BE 2  CF 2

4 、如图，在等腰直角 ABC 的斜边上取异于 B, C 的两点 E , F , 使 EAF  45

 , 求证：以

EF, BE, CF 为边的三角形是直角三角形。

5、如图，在 ABC 中， BAC  90 , AB  AC, D 是 BC 上的点，求证：



BD2  CD 2  2 AD2

第一章《勾股定理》测试题一、选择题：（每小题 4 分，共 40 分） 1、下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ A．6、8、10 B. 5、12、13 ） D. 9、12、15 ) C. 12、18、22

2、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( A、钝角三角形 B、锐角三角形

C、直角三角形 D、等腰三角形

3、如图（1），带阴影的矩形面积是( A．9 B．24 C．45

)平方厘米 D．51

4、如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是 ( A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米

)

5、等腰三角形的一腰长为 13,底边长为 10,则它的面积为（ A.65 B.60 C.120 D.130

）

6、已知一直角三角形的木版，三边的平方和为 1800cm2,则斜边长为（ A、80 m B、 30 m C、90 m D、120 m ） D.200

）

7、等边三角形的边长是 10,它的高的平方等于（ A.50 B.75 C.125

8、直角三角形的两直角边分别为 5 厘米、12 厘米，则斜边上的高是（） A、6 厘米 B、8 厘米 C、

80 厘米 13

D、

60 厘米 13

9、已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a+b=14cm，c=10cm，则 Rt△ABC 的面积是（ A、24cm

）

A B C

B、36cm

C、48cm

D、60cm

10 如图，在直角三角形中，∠C＝ 90 o ，AC=3，将其绕 B 点顺时针旋转一

周，则分别以 BA，BC 为半径的圆形成一环，该圆环的面积为（Ａ、 Ｂ、３ Ｃ、９ Ｄ、６

）

二、填空题：（每小题 3 分，共 15 分） 11、⊿ABC 中，若 AC 2 ＋AB 2 = BC 2 ，则∠B＋∠C= 12、若三角形的三边之比为 3﹕4﹕5，则此三角形为三角形。

7cm B

C D

13、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为 7cm,则正方形 A，B，C，D 的面积之和为 ___________cm2。

15、正方形的面积为 100 平方厘米，则该正方形的对角线长的平方为

三、解答题：（共 45 分） 16、如图，从电线杆离地面 6 m 处向地面拉一条长 10 m 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？（ 6 分）

B C

18、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1m，当它把绳子的下端拉开 5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度是多少？（7 分）

19、19.如图正方形网格中的△ABC,若小方格边长为 1,请你根据所学的知识 (1)求△ABC 的面积 (1)判断△ABC 是什么形状? 并说明理由. （8 分）

20、如图所示，折叠长方形一边 AD，点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 BC=10 厘米，AB=8 厘米，求 FC 的长。（7 分）

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22、（8 分）中国古

代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图” ，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形 ABDE 是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为 ab/2；中间的小正方形边长为 b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：

（1）你能用下面的图形也来验证一下勾股定理吗？试一试！

第 17 题图

（2）你自己还能设计一种方法来验证勾股定理吗？

一、选择题 1. 已知一个 Rt△的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（ A.25 C.7 A.a=7,b=24,c=25 C.a=6,b=8,c=10 A.2∶3∶4 C.5∶12∶13 B.14 D.7 或 25 ） B.a=7,b=24,c=24 D.a=3,b=4,c=5 ） B.3∶4∶6 D.4∶6∶7 ）

2. 下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是 Rt△的是（

3. 若线段 a，b，c 组成 Rt△，则它们的比可以是（

4. 已知，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的

速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相距（ A.25 海里 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对 6. 如果 Rt△的两直角边长分别为 n2－1，2n（其中 n >1），那么它的斜边长是（ A.2n C.n －1 A.24cm

2 2 2

）

B.30 海里

C.35 海里

D.40 海里）

5. 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为 1，则△ABC 是（

B C

）

B.n+1 D.n +1 ） B.36cm

2 2

7. 已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a+b=14cm，c=10cm，则 Rt△ABC 的面积是（ C.48cm A.40 C.60

2 2

D.60cm2 ） B.50 D.70 ) B.钝角三角形; D.锐角三角形） B.8 D.12

第 10 题图 F

8. 等腰三角形底边长 10 cm，腰长为 13，则此三角形的面积为（

9. 三角形的三边长为（a+b） =c +2ab,则这个三角形是( A.等边三角形; C.直角三角形; 则△ABE 的面积为（ A.6 C.10

10. 已知，如图，长方形 ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，

A E D

二、填空题 11. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，①若 a=5，b=12，则 c=___________；②若 a=15，c=25，则 b=___________；③若 c=61，b=60，则 a=__________；④若 a∶b=3∶4，c=10 则 SRt△ABC=________ 12. 在△ABC 中，AC=17 cm，BC= 10 cm，AB=9 cm，这是一个_________三角形（按角分）。 13. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为__________ 14. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1 米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2 米，问这里水深是________m。 15. 已知

两条较短线段的长为 5cm 和 12cm,当较长线段的长为___________cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形.

三、解答题 16. 一个三角形三条边的比为 5∶12∶13，且周长为 60cm，求它的面积.

17. 某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定公路相距 25km 的 A，B 两站之间 E 点修建一个土特产加工基地，如图，DA⊥AB 于 A，CB⊥AB 于 B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要使 C、D 两村到 E 点的距离相等，那么基地 E 应建在离 A 站多少 km 的地方？

D C

第 17 题图

18. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

19. 一辆汽车以 16 千米/时的速度离开甲城市,向东南方向行驶,另一辆汽车在同时同地以 12 千米 /时的速度离开甲城市,向西南方向行驶,它们离开城市 3 个小时后相距多远?

4 4

A 4,在底面6 20. 如图,有一个长方体的长,宽,高分别是 6, 4, A 处有一只蚂蚁,它想吃到长方体上面

B 处的食物,需要爬行的最短路程是多少?

21. 如图,已知:  ABC 中,CD  AB 于 D, AC=4, BC=3, BD= (1) 求 CD 的长; (2) 求 AD 的长; (3) 求 AB 的长; (4)  ABC 是直角三角形

9 5

22. 如图,折叠矩形纸片 ABCD,先折出对角线 BD,再折叠使 AD 边与 BD 重合,得到折痕 DG,若 AB=8. BC=6,求 AG 的长

23. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=900，试求∠A 的度数。

《同步课程》试卷 [***********][***********]444

第一章轴对称图形

一、选择题

《同步课程》试卷八年级数学(上)

1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ A．1 个）个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是 30° 的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（ A．1 个）个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

3．已知∠AOB＝30° ，点 P 在∠AOB 的内部，P1 与 P 关于 OA 对称，P2 与 P 关于 OB 对称，则△ P1OP2 是（ A．含 30° 角的直角三角形； C．等边三角形）

B．顶角是 30 的等腰三角形； D．等腰直角三角形.

4．如图：等边三角形 ABC 中，BD＝CE，AD 与 BE 相交于点 P，则 ∠APE 的度数是 A．45° C．60° B．55° D．75° （）

P B C E

5. 等腰梯形两底长为 4cm 和 10cm，面积为 21cm2，则这个梯形较小的底角是（ A．45° ）度. B．30° C．60° D．90° （）

6．已知点 P 在线段 AB 的中垂线上，

点 Q 在线段 AB 的中垂线外，则 A．PA+PB＞QA+QB D．PA+PB＝QA+QB B．PA+PB＜QA+QB D．不能确定

7．已知△ ABC 与△ A1B1C1 关于直线 MN 对称，且 BC 与 B1C1 交与直线 MN 上一点 O，则 A．点 O 是 BC 的中点 C．线段 OA 与 OA1 关于直线 MN 对称 D．以上都不对 8．如图：已知∠AOP=∠BOP=15° ，PC∥OA， PD⊥OA，若 PC=4，则 PD= （ A．4 C．2 B．3 D．1

（ B．点 O 是 B1C1 的中点

）

） C P A

9．∠AOB 的平分线上一点 P 到 OA 的距离为 5，Q 是 OB 上任一点，则 A．PQ＞5 C．PQ＜5 B．PQ≥5 D．PQ≤5 ）（）

10．等腰三角形的周长为 15cm，其中一边长为 3cm．则该等腰三角形的底长为（ A．3cm 或 5cm B．3cm 或 7cm 二．填空题 11．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴． 12．等腰△ ABC 中，若∠A=30° ，则∠B=________． C．3cm D．5cm

13．在 Rt△ ABC 中，∠C=90° ，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，若 CD=4，则点 D 到 AB 的距离是__________． 14．等腰△ ABC 中，AB=AC=10，∠A=30° ，则腰 AB 上的高等于___________． 15．如图：等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=6，AD=5，BC=8， AB∥DE，则△ DEC 的周长是____________． 16．等腰梯形的腰长为 2，上、下底之和为 10 且有一底角为 60° ，则它的两底长分别为____________． 17．若 D 为△ ABC 的边 BC 上一点，且 AD=BD，AB=AC=CD，则∠BAC=____________． 18．△ ABC 中，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E、F，若∠BAC=115° ，则∠EAF=___________．三．解答题 19．如图：已知∠AOB 和 C、D 两点，求作一点 P，使 PC=PD，且 P 到∠AOB 两边的距离相等． A C · ·D O B B E C A D 且

20．如图：AD 为△ ABC 的高，∠B=2∠C，用轴对称图形说明：CD=AB+BD． A

21．有一本书折了其中一页的一角，如图：测得 AD=30cm,BE=20cm，∠BEG=60° ，求折痕 EF 的长．

22．如图：△ ABC 中，AB=AC=5，AB 的垂直平分线 DE 交 AB、AC 于 E、D， ① 若△ BCD 的周长为 8，求 BC 的长； ② 若 BC=4，求△ BCD 的周长． E D B C A

23．等边△ ABC 中，点 P 在△ ABC 内，点 Q 在△ ABC 外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问形状的三角形？试说明你的结论． A

△ APQ 是什么

P B

参考答案

第一章轴对称图形 1．A 11．2 2．B 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．C

12．30° 、75° 、120° 13．4 14．5 15．15 16．4、6 17．72° 18．50°

19．提示：作 CD 的中垂线和∠AOB 的平分线，两线的交点即为所作的点 P； 20．提示：在 CD 上取一点 E 使 DE＝BD，连结 AE； 21．EF＝20 ㎝； 22．①BC＝3，② 9； 23．提示：△ APQ 为等边三角形，先证△ ABP≌△ACQ 得 AP＝AQ，再证∠PAQ＝60° 即可.

第三届全国中小学“教学中的互联网搜索” 优秀教学案例评选参评教案设计

课题：2.1 勾股定理

（苏教版八年级数学上册）

苏教版八年级数学上册

2.1 勾股定理

知识目标

1、体验勾股定理的探索过程，了解勾股定理的多种证明方法。 2、会运用勾股定理解决计算直角三角形简单问题和实际的应用。

能力目标

情感和价值观目标

学习重点

探索和证明勾股定理，并能进行简单的应用

学习难点

多种方法证明勾股定理，利用互联网百度搜索勾股定理的证明方法

教材分析

学情分析

教法学法

教法：创设--观察--发现--归纳--验证--应用教学方法学法：小组合作学习、自主探究法

课前准备

教学过程

图1

图2

勾

弦股

a2  b2  c2 ．

勾股圆方图

图3

图4

（小组合作成果展示） http://www.baidu.com/s?tn=site888_pg&lm=-1&word=%B9%B4%B9%C9%B6%A8%C0%ED%D6%A4%C3%F7%B7%BD%B7%A8

美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．

2 2 1 s1  1 2 ( a  b)(a  b)  2 ( a  2ab  b )

c c

b a b a

2 1 2 1 2 a  2 b  ab 1 1 2 1 2 s2  1 2 ab  2 ab  2 c  ab  2 c

s1  s2

1 2 2 1 2 a2  1 2 b  ab  ab  2 c

a 2  b2  c2

个男孩 5000 米，飞机每小时飞行多少千米？

64 y 289 15 36 8 17

7cm B

第

题图

B A

0 2

2、要登上 8m 高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物 6m，至少需要多长的梯子？（画出示意图）

3、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上,且与 AE 重合,你能求出 CD 的长吗？

C D

七、课后教学反思

勾股定理练习一．填空题：

c a

A 第 8 题图

8．一只蚂蚁从长、宽都是 3，高是 8 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。

二．

选择题： )组 C. 3 D. 4

9．观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形的三边长的有( A. 1 B. 2

10．三个正方形的面积如图，正方形 A 的面积为（ A. 6 B.４ C. 64 D. 8

）

6 4 10 0

11.已知直角三角形的两条边长分别是 5 和 12，则第三边为（Ａ．１３Ｂ．

）Ｄ．不能确定

119

Ｃ．１３或 119

13.三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是(

A. 等边三角形;

钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.

15. 已知等腰三角形的腰长为 10，一腰上的高为 6，则以底边为边长的正方形的面积为（ A、40 B、80 C、40 或 360 D、80 或 360

北 A 南第 14 题图东

）

D、300a 元

20m

150°

30m

第 16 题图

图1 18.(1)在数轴上作出表示

2 的点.

2和

(2)在第(1)的基础上分别作出表示 1-

2 +1 的点.

A′

O A B 第 20A 题图

B′

图5

3、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DE⊥DF，若 BE=12，CF=5．求线段 EF 的长。

高 8cm 的圆柱形水

3、如图，在 Rt ABC 中， A  90 , D 为斜边 BC 中点， DE  DF ,求证： EF 2  BE 2  CF 2

4 、如图，在等腰直角 ABC 的斜边上取异于 B, C 的两点 E , F , 使 EAF  45

 , 求证：以

EF, BE, CF 为边的三角形是直角三角形。

5、如图，在 ABC 中， BAC  90 , AB  AC, D 是 BC 上的点，求证：



BD2  CD 2  2 AD2

2、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( A、钝角三角形 B、锐角三角形

C、直角三角形 D、等腰三角形

3、如图（1），带阴影的矩形面积是( A．9 B．24 C．45

)平方厘米 D．51

4、如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是 ( A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米

)

5、等腰三角形的一腰长为 13,底边长为 10,则它的面积为（ A.65 B.60 C.120 D.130

）

6、已知一直角三角形的木版，三边的平方和为 1800cm2,则斜边长为（ A、80 m B、 30 m C、90 m D、120 m ） D.200

）

7、等边三角形的边长是 10,它的高的平方等于（ A.50 B.75 C.125

8、直角三角形的两直角边分别为 5 厘米、12 厘米，则斜边上的高是（） A、6 厘米 B、8 厘米 C、

80 厘米 13

D、

60 厘米 13

9、已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a+b=14cm，c=10cm，则 Rt△ABC 的面积是（ A、24cm

）

A B C

B、36cm

C、48cm

D、60cm

10 如图，在直角三角形中，∠C＝ 90 o ，AC=3，将其绕 B 点顺时针旋转一

周，则分别以 BA，BC 为半径的圆形成一环，该圆环的面积为（Ａ、 Ｂ、３ Ｃ、９ Ｄ、６

）

二、填空题：（每小题 3 分，共 15 分） 11、⊿ABC 中，若 AC 2 ＋AB 2 = BC 2 ，则∠B＋∠C= 12、若三角形的三边之比为 3﹕4﹕5，则此三角形为三角形。

7cm B

C D

13、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为 7cm,则正方形 A，B，C，D 的面积之和为 ___________cm2。

15、正方形的面积为 100 平方厘米，则该正方形的对角线长的平方为

三、解答题：（共 45 分） 16、如图，从电线杆离地面 6 m 处向地面拉一条长 10 m 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？（ 6 分）

B C

19、19.如图正方形网格中的△ABC,若小方格边长为 1,请你根据所学的知识 (1)求△ABC 的面积 (1)判断△ABC 是什么形状? 并说明理由. （8 分）

20、如图所示，折叠长方形一边 AD，点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 BC=10 厘米，AB=8 厘米，求 FC 的长。（7 分）

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22、（8 分）中国古

（1）你能用下面的图形也来验证一下勾股定理吗？试一试！

第 17 题图

（2）你自己还能设计一种方法来验证勾股定理吗？

2. 下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是 Rt△的是（

3. 若线段 a，b，c 组成 Rt△，则它们的比可以是（

4. 已知，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的

2 2 2

）

B.30 海里

C.35 海里

D.40 海里）

5. 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为 1，则△ABC 是（

B C

）

B.n+1 D.n +1 ） B.36cm

2 2

7. 已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a+b=14cm，c=10cm，则 Rt△ABC 的面积是（ C.48cm A.40 C.60

2 2

D.60cm2 ） B.50 D.70 ) B.钝角三角形; D.锐角三角形） B.8 D.12

第 10 题图 F

8. 等腰三角形底边长 10 cm，腰长为 13，则此三角形的面积为（

9. 三角形的三边长为（a+b） =c +2ab,则这个三角形是( A.等边三角形; C.直角三角形; 则△ABE 的面积为（ A.6 C.10

10. 已知，如图，长方形 ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，

A E D

两条较短线段的长为 5cm 和 12cm,当较长线段的长为___________cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形.

三、解答题 16. 一个三角形三条边的比为 5∶12∶13，且周长为 60cm，求它的面积.

D C

第 17 题图

18. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

4 4

A 4,在底面6 20. 如图,有一个长方体的长,宽,高分别是 6, 4, A 处有一只蚂蚁,它想吃到长方体上面

B 处的食物,需要爬行的最短路程是多少?

21. 如图,已知:  ABC 中,CD  AB 于 D, AC=4, BC=3, BD= (1) 求 CD 的长; (2) 求 AD 的长; (3) 求 AB 的长; (4)  ABC 是直角三角形

9 5

22. 如图,折叠矩形纸片 ABCD,先折出对角线 BD,再折叠使 AD 边与 BD 重合,得到折痕 DG,若 AB=8. BC=6,求 AG 的长

23. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=900，试求∠A 的度数。

《同步课程》试卷 [***********][***********]444

第一章轴对称图形

一、选择题

《同步课程》试卷八年级数学(上)

2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是 30° 的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（ A．1 个）个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

3．已知∠AOB＝30° ，点 P 在∠AOB 的内部，P1 与 P 关于 OA 对称，P2 与 P 关于 OB 对称，则△ P1OP2 是（ A．含 30° 角的直角三角形； C．等边三角形）

B．顶角是 30 的等腰三角形； D．等腰直角三角形.

4．如图：等边三角形 ABC 中，BD＝CE，AD 与 BE 相交于点 P，则 ∠APE 的度数是 A．45° C．60° B．55° D．75° （）

P B C E

5. 等腰梯形两底长为 4cm 和 10cm，面积为 21cm2，则这个梯形较小的底角是（ A．45° ）度. B．30° C．60° D．90° （）

6．已知点 P 在线段 AB 的中垂线上，

点 Q 在线段 AB 的中垂线外，则 A．PA+PB＞QA+QB D．PA+PB＝QA+QB B．PA+PB＜QA+QB D．不能确定

（ B．点 O 是 B1C1 的中点

）

） C P A

9．∠AOB 的平分线上一点 P 到 OA 的距离为 5，Q 是 OB 上任一点，则 A．PQ＞5 C．PQ＜5 B．PQ≥5 D．PQ≤5 ）（）

20．如图：AD 为△ ABC 的高，∠B=2∠C，用轴对称图形说明：CD=AB+BD． A

21．有一本书折了其中一页的一角，如图：测得 AD=30cm,BE=20cm，∠BEG=60° ，求折痕 EF 的长．

22．如图：△ ABC 中，AB=AC=5，AB 的垂直平分线 DE 交 AB、AC 于 E、D， ① 若△ BCD 的周长为 8，求 BC 的长； ② 若 BC=4，求△ BCD 的周长． E D B C A

23．等边△ ABC 中，点 P 在△ ABC 内，点 Q 在△ ABC 外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问形状的三角形？试说明你的结论． A

△ APQ 是什么

P B

参考答案

第一章轴对称图形 1．A 11．2 2．B 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．C

12．30° 、75° 、120° 13．4 14．5 15．15 16．4、6 17．72° 18．50°

苏教版八年级数学上册勾股定理

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