= 本学习手册的编写旨在帮助初学者更好地掌握每一章节的重点内容，并提供相应的计算练习实例以及相应练习。
第一章 仿射正交张量
§1.1 指标记号及两个符号
一、指标记号
1、凡使用指标的记号系统为指标记号，如单位基向量：e i ，空间内任一点坐标：x i ，今后会遇到的应变张量e ij 、应力张量τij 等。
2、求和约定
例：空间内任一点P 的向径可表示为：
x =∑x i e i =x 1e 1+x 2e 2+x 3e 3 （1）
i =13
在（1）式中可发现是对指标i 从1至3的取值范围内求和。可以将其简写为：
x =x 1e 1+x 2e 2+x 3e 3=x i e i （2）
这即是求和约定，亦即在数学表达式内同一项中，有某个指标重复出现一次且仅一次（如（2）式中的指标i ），就表示对该指标在其取值范围内取一切值，并对所得到的对应项求和。该求和指标也称为哑标。
需要说明的是：由于该指标仅表示在其取值范围内求和，因此用其它拉丁字母代替亦可，但是不能与后文提到的自由指标相重复。
例1：t i =τji n j
该例中，同一项中指标j 有重复且只重复一次，所以为哑标。 另一指标i 不参与求和约定，称其为自由指标。 该式展开为：
i =1时，t 1=τj 1n j =τ11n 1+τ21n 2+τ31n 3 i =2时，t 2=τj 2n j =τ12n 1+τ22n 2+τ32n 3 i =3时，t 3=τj 3n j =τ13n 1+τ23n 2+τ33n 3
自由指标的个数决定了简写方程代表实际方程的个数，哑标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数。
例1中，由于只有一个自由指标i ，所以实际上它代表有31=3个表达式；右端项只有一个哑标j ，所以该项展开后是31=3项的和。
例2：A ii =A 11+A 22+A 33 例3：S αα=S 11+S 22
需要说明的是：教材中用拉丁字母书写的指标取值范围是1、2、3，而用希
腊字母书写的指标取值范围是1、2（如例3中的指标α）。
针对指标记号的练习题：
练习1：写出A jk =B ij C ik （32个方程，每个方程右端有31个累加项）
1
练习2：W =τij e ij （30个方程，32个累加项）
2
二、两个符号
1、Kronecker 符号δij
⎡100⎤
1, i =j ⎧⎥ 010 δij =⎨ 写成阵列的形式即为：(δij )=⎢⎢⎥⎩0, i ≠j ⎢⎣001⎥⎦
Kronecker 符号的特点： （1） δij =δji (2) e i e j =δij
(3) δii =δ11+δ22+δ33=3 (4) a j δij =a i (5) A kj δik =A ij (6) δik δkj =δij
例4：向量a =a i e i 和b =b i e i ，有：
a ±b =(a i ±b i )e i 注意：±可作为求和约定中“同一项”的分隔符 a b =a i e i b j e j =a i b j e i e j =a i b j δij =a i b i 注意：点乘(包括叉乘符号) 符号不能作为“同一项”的分隔符，所以此例中将向量b 的下标换成了j 。
a 2=a a =a i a j δij =a i a i 2、排列符号（置换符号）：
⎧1ijk 为123的顺时针排列⎪
e ijk =⎨-1ijk 为123的逆时针排列
⎪0ijk 取值有重复时⎩
1 3
2
所以e 123=e 231=e 312=1，e 132=e 321=e 213=-1，其余21个值为0.
还有：e ijk =e jki =e kij =-e kji =-e jik =-e ikj
例5：e 1⨯e 2=e 3, e 2⨯e 3=e 1, e 3⨯e 1=e 2, , e 1⨯e 3=-e 2 则有：e i ⨯e j =e ijk e k 例6：向量a =a i e i 和b =b i e i ，有：
a ⨯b =(a i e i )⨯(b j e j )=a i b j (e i ⨯e j )=e ijk a i b j e k 则 (a ⨯b )k =e ijk a i b j
针对两个符号的练习题：
练习3：已知θ=e ii ，λ和μ为常数，试将此式开展：W =λθδij +2μe ij
§1.2 坐标变换
旧系：ox 1x 2x 3，单位基向量：e i
新系：123，单位基向量：i 坐标变换系数：βij =i e j =cos (i , e j )
新旧坐标系下的单位基向量坐标变换规律：i =βij e j , e i =βji j 新旧坐标系下的空间点坐标变换规律：i =βij x j , x i =βji j
向量f ，在旧系下的分量f i ，新系下的分量为i ，其坐标变换规律为： i =βij x j , f i =βji j
向量的解析定义：若有3个量，它们在ox 1x 2x 3和123的分量分别为f i 和i ，当两个坐标系之间的变换系数为βij 时，f i 与i 之间按式i =βij x j , f i =βji j 变换，则这3个量有序整体形成一个向量f ，此3个量为向量f 的分量。
§1.3 张量的定义
一、张量的定义
30个分量，1、0阶张量（标量）：在旧系下为ϕ(x 1, x 2, x 3)，新系下(1, 2, 3)，
当进行坐标变换时满足(1, 2, 3)=ϕ(x 1, x 2, x 3)。
2、一阶张量（向量）：31个有序分量，满足i =βij a l , a i =βji j 3、二阶张量：32个有序分量，满足 ij =βim βjn T mn , T ij =βmi βnj mn
⎡T 11T 12T 13⎤
⎥ T T T 记T =(T ij )，写成阵列形式为：T =(T ij )=⎢2223⎥⎢21
⎢⎣T 31T 32T 33⎥⎦
4、n 阶张量，同上
练习4：试证空间中任意两点间的距离对坐标变换来讲都是个不变量（P 8, 例1.3-1）。
练习5：P27, 题1-5 练习6: P27,题1-6
二、张量的表示方法 并向量表示法（实体表示法）：a =a i e i T =T ij e i e j B =B ijk e i e j e k
§1.4 张量的代数运算
1、张量的相等 2、张量相加减 3、张量乘积
r阶张量A ,s 阶张量B 。它们的乘积 C =AB 为（r+s）阶 张量乘积的运算性质：
（1）服从分配律：(A +B )C =AC +BC
（2）服从结合律：(AB )C =A (BC )
（3）不满足交换律：AB ≠BA
4、张量的缩并
在r （r ≥2）阶张量，令其任何两个指标相同，并对重复指标施行求和约定。
例7：b k =A iik =A 11k +A 22k +A 33k 缩并一次减少2阶
5、张量的内积
r （r 0）阶张量A 和s （s 0）阶张量B 的乘积中，对分别属于A 和B 的指标进行一次缩并，称如此所得的r +s -2张量为张量A 与B 的内积，记为
A B ，约定：对张量A 的最后一个指标和张量B 的第一个指标进行。
⎡2-10⎤
⎥，向量122例8：知(A ij )=⎢(b i )=(1, -2,2)。求内积A ij b j 和b i A ij ⎢⎥
⎢⎣0-31⎥⎦
§1.5 商法则
设一组数的集合T (i , j , k , l , m )，若它满足对于任意一个q 阶张量S (如q =2，任意阶张量分量为S lm ) 的内积均为一个p 阶张量U （如p =3，三阶张量U ijk ），即在任意坐标系内以下等式均成立：T (i , j , k , l , m )S lm =U ijk （对l ，m 应用了求和约定），则这组数的集合T (i , j , k , l , m )必为一个(p +q )阶张量。
§1.6 几种特殊张量
对称二阶张量：A ij =A ji 反对称二阶张量：C ij =-C ji 引入C kj =e ijk c i c i = 球张量及偏张量：A ij =
1
e ijk C kj 2
11⎛⎫A kk δij + A ij -A kk δij ⎪ 33⎝⎭
各向同性张量：张量的每一个分量都是坐标系旋转变换下的不变量。
§1.7 二阶张量的特征值和特征向量
T n =λn n i n i =1
(T
ij
-λδij )n j =0
§1.8 张量分析简介
标量：φ(x , t )； 向量：a (x , t )；T (x , t )
=∂T 1、对时间的导数：T
∂t
⎛∂⎫
2、张量场的梯度：grad T =∇T = e k ⎪(T ij e i e j )=T ij , k e k e i e j
⎝∂x k ⎭
⎛∂⎫
3、张量场的散度：div T =∇⋅T = e i ⎪⋅(T jk e j e k )=T ij , i e j
⎝∂x i ⎭
⎛∂⎫
curl T =∇⨯T = e k ⎪⨯(T lj e l e j )∂x 4、张量场的旋度： k ⎭⎝
=T lj , k (e k ⨯e l )e j =e ikl T lj , k e i e j
5、散度定理：⎰div u dV =⎰n ⋅u dS ⎰u i , i dV =⎰n i u i dS
V
S
V
S
⎰divTdV =⎰n ⋅T dS ⎰T ij , i dV =⎰n i T ij dS
V
S
V
S
练习7：题1-9
第二章 弹性波动力学绪论
一、弹性波动力学的任务：应用弹性动力学理论来研究弹性波的激发和传播问题。 二、弹性动力学的基本假设：1、物体是连续的；2、物体是线性弹性的；3、物体是均匀的；4、物体是各向同性的；5、物体的位移和应变都是微小的。6、物体无初应力。
第三章 运动和变形
§3.1 弹性体运动和变形的表述
一、基本概念：位形、参考位形、变形、运动 二、运动和变形的数学表述：
同一质点、不同时刻的向径：x '=x '(x , t ) 或 x i '=x i '(x , t ) 位移：u =u (x , t )
u (x , t )=x '(x , t )-x u i (x , t )=x i '(x , t )-x i x '(x , t )=x +u (x , t ) x i '(x , t )=x i +u i (x , t )
例1：例3.1-1 练习1：题3-2 练习2: 题3-3
§3.2质点的速度和加速度
(x , t ) v (x , t )=u
(x , t )=u (x , t ) a (x , t )=v
§3.3应变张量
公式推导：从两点间的距离改变出发来推导：
(ds ')-(ds )
22
⎛∂u i ∂u j ∂u k ∂u k ⎫= ++dx i dx j =2E ij dx i dx j ⎪ ∂x ⎪⎝j ∂x i ∂x i ∂x j ⎭
1⎛∂u i ∂u j ∂u k ∂u k ⎫
++定义E ij = 格林应变张量 ⎪⎪2 ∂x ∂x ∂x ∂x i i j ⎭⎝j
E ij =E ji
例2：例3.3-1 练习3：题3-4
§3.4小变形情形的应变张量和转动张量
1
一、小变形情形下的应变张量：e ij =(u i , j +u j , i )
2
二、小变形位移的分解：
u i
(Q )
=u i
(P )
1⎛∂u i ∂u j ⎫1⎛∂u i ∂u j ⎫+ -dx j + +dx j ⎪⎪⎪ ⎪2 ∂x ∂x 2∂x ∂x i ⎭i ⎭⎝j ⎝j
1⎛∂u i ∂u j ⎫
-令转动张量：ϖij = ⎪ ⎪2⎝∂x j ∂x i ⎭
u i ()=u i ()+ϖij dx j +e ij dx j （刚体平移+刚体转动+变形位移）
Q
P
Q P
du i =u i ()-u i ()
例3：例3.4-1 例4：例3.4-2 练习4：题3-7 练习5：题3-8
§3.5小变形情形下，过一点线元长度的变化及过一点的两个线元之间的变化 一、正应变（线应变、相对伸缩） e =e ij n i n j
例5：例3.5-1 练习6：题3-6 练习7：题3-11
二、过一点的两个线元之间夹角的变化
i 初始两线元夹角余弦 cos φ=n i n
j +(1-e -e )cos φ 变形后两线元夹角余弦 cos φ'=2e ij n i n
例6：例3.5-2
练习8：题3-10
§3.6小变形应变张量的几何解释
一、e 11 的几何解释：质点P 处原来沿ox 1轴方向上的线元每单位长度的长度变化，即点P 处沿ox 1轴方向的正应变。（e 22、e 33同理）——正应变分量 二、e 12 的几何解释：变形中点P 处原来沿ox 1轴和ox 2轴方向的两线元之间角度（原为
π
）改变量的一半。（e 23、e 31同理）——剪应变分量 2
三、e ii 的几何解释：变形中点P 处每单位体积的体积改变。
θ=e ii =∇ u —— 该公式的推导
§3.7主应变，应变不变量
若过点P 的某个方向的线元，在变形后只沿着它原来的方向产生相对伸缩，则称此线元的方向为该点应变的主方向，称该方向的相对伸缩（正应变）为主应变。
(e
ij
-e δij )n j =0
e ij -e δij =0
§3.8相容性条件
e ij , kl +e kl , ij -e ik , jl -e jl , ik =0
§3.9应变球张量及应变偏张量
11e ij =e kk δij +εij εi j =e i -e δk k i j j
331
张量e kk δij 为应变球张量，表明某一点处体元的形状不改变，只是体积发生
3
变化；εij 为应变偏张量，描述体元的形状改变。因其可拆分成5个纯剪切变形的叠加。
第四章 应力分析
§4.1体力及面力
体（积）力：p =lim
∆F
=ρf 连续分布作用于弹性体每个体元上的外力
∆V →0∆V
∆N
（表）面力：t =lim 连续分布作用于弹性体表面上的力
∆S →0∆S
§4.2应力向量
用假想截面将弹性体一分为二，两部分通过截面相互有内力作用，可视为面力分布作用于整个截面上。截面上取包含P 点的面元，面元的外法向向量为n
∆N
t =lim 应力向量 ∆S →0∆S
t =t (n , x , t ) t =t i t i
当x 和t 固定，而使n 取一切可能值时，就得出时刻t 过向径为x 的点所有各个面元上的应力向量，它们的总体就是该点在该时刻的应力状态；当x 改变时，就给出弹性体内各个点的应力状态，即为应力场。
一般来讲，应力向量与面元的外法向方向不平行，于是有：
2
t =τn +τs
τn ——面元上的正应力，τs ——剪应力分量
τn =t n
τs =
Tn
τn =τn n τs =t -τn 例1：例4.2-1
§4.3应力张量
一、应力向量的分解： t (e i , x , t )=τij e j τij 指标涵义，正负的规定
二、Cauchy 应力公式：t i =τji n j 给定一点的应力状态τij ，就完全确定了该点的应力状态。τij =τij (x , t ) 例2：例4.3-1 例3：例4.3-2
练习1：题4-5
§4.4运动微分方程 边界条件
i 一、运动微分方程：τji , j +ρf i =ρu
平衡微分方程：τji , j +ρf i =0，f 为体力 练习2：题4-18
练习3：题4-19
二、应力张量的对称性：τij =τji
三、应力边界条件： t i =τji n j
例4：例4.4-2
简便方法：比较边界上的应力与面力方向
τ11
22
练习4：题4-20 练习5：题4-21 练习6：题4-22
§4.5 主应力 应力不变量
主平面、主方向：若面元上的应力向量t 与面元的法向方向n 平行，则此面元为该点的主平面，该平面法向方向为该点的主方向。
主应力：该主平面上，应力向量的剪应力分量为零，则主平面上的正应力分量既为该点的主应力。
(τ
ij
-τδij )n j =0
ij -τδij =0
§4.6 主应力的一些性质
§4.7 应力球张量及应力偏张量
τij =τkk δij +s ij
Θ=τkk
1Θδij 为应力球张量，s ij 为应力偏张量 313
第五章 应力与应变关系
§5.1 功和应变能
忽略热与温度影响的热力学第一定律：
τij =dK dU dA += dt dt dt ∂W Green 公式，以W （eij ）表示弹性体内应变能体积密∂e ij
度，或应变能密度
§5.2 各向同性线性弹性体的广义Hooke 定律
一、τij =C ijkl e kl ——广义Hooked 定律
二、各向同性线性弹性体的广义Hooked 定律
τi j =λθδμ i j i +j 2e
e i j =-λ1Θδi +τ i j j 2μ3λ+2μμ2
练习1：题5-3
练习2：题5-4
练习3：题5-5
练习4：题5-6
三、各向同性线性弹性体的应变能密度函数
1 W =τij e ij 2
四、物理常数与λ、μ之间的关系式
λ=3λ+2μE νE μ= κ= G =μ 321+ν1+ν1-2ν五、各弹性常数可能的取值范围
1 λ 0 2
六、使用球张量及偏张量表出广义Hooke 定律 μ 0 E 0 κ 0 0 ν
τk k =3κe k k s i j =2μεi j
第六章 线性弹性动力学问题的提出
§6.1 线弹性动力学的基本方程、边界条件和初始条件
基本方程：几何方程、物理方程、运动微分方程
定解条件：边界条件+初始条件
线性弹性动力学问题的基本求解路线：已知弹性体的自身性质、所受外力、边界条件、初始条件，而求弹性体内的位移场、应变场及应力场。
§6.2 线弹性动力学问题的提法
一、τij =λu k , k δij +μ(u i , j +u j , i )
i 二、Navier 方程：μu i , jj +(λ+μ)u j , ji +ρf i =ρu
例1：例6.7-1
练习1：题6-1
练习2：题6-2
练习3：题6-3
§6.5 二维运动问题
平面运动+反平面运动
§6.6 能量密度及能通量密度向量
11 i u i +τij e ij ε=ρu 22
i e j ϕ=-τij u
例2：例6.6-1
练习4：题6-9
练习5：题6-10
第七章 线性弹性动力学中的基本波及表示
§7.1 无界线性弹性体中的波传播
φ+∇ψ⨯ （∇⋅ψ=0 ） u =∇
u (1)=∇φ u (2)=∇⨯ψ
§7.2 无界线性弹性体中的平面波
一、f (x ⋅n -ct ) ——在空间沿n 方向以速度c 传播的平面波
波阵面为x ⋅n -ct =const
二、平面位移波：u (x , t )=f (x ⋅n -ct )d
d 为位移方向
（1）d =±n ，纵波 （2）d ⊥n ，横波
相关参数的物理意义。
三、平面简谐波：u =Ae ik (x ⋅n -ct ) d
非均匀平面简谐波：u =Ae -k ''⋅x e (i k '⋅x -ϖt )d
等振幅面：
等位相面：
§7.3 二维运动问题的波动方程
u 1=∂φ∂ψ +∂x 1∂x 2
∂φ∂ψ -∂x 2∂x 1 u 2=
u 3=u 3(x , 1x , t 2)
第八章 平面简谐波在界面处的反射和折射
§8.1 具有自由界面的弹性半空间中的平面简谐波
一、边界条件
二、会辨别平面波的类型、波的传播方向、反射系数的计算（P 波、SV 波、SH 波）、视速度
三、Rayleigh 面波的特点
练习1：题8-1
练习2：题8-2
练习3：题8-3
= 本学习手册的编写旨在帮助初学者更好地掌握每一章节的重点内容，并提供相应的计算练习实例以及相应练习。
第一章 仿射正交张量
§1.1 指标记号及两个符号
一、指标记号
1、凡使用指标的记号系统为指标记号，如单位基向量：e i ，空间内任一点坐标：x i ，今后会遇到的应变张量e ij 、应力张量τij 等。
2、求和约定
例：空间内任一点P 的向径可表示为：
x =∑x i e i =x 1e 1+x 2e 2+x 3e 3 （1）
i =13
在（1）式中可发现是对指标i 从1至3的取值范围内求和。可以将其简写为：
x =x 1e 1+x 2e 2+x 3e 3=x i e i （2）
这即是求和约定，亦即在数学表达式内同一项中，有某个指标重复出现一次且仅一次（如（2）式中的指标i ），就表示对该指标在其取值范围内取一切值，并对所得到的对应项求和。该求和指标也称为哑标。
需要说明的是：由于该指标仅表示在其取值范围内求和，因此用其它拉丁字母代替亦可，但是不能与后文提到的自由指标相重复。
例1：t i =τji n j
该例中，同一项中指标j 有重复且只重复一次，所以为哑标。 另一指标i 不参与求和约定，称其为自由指标。 该式展开为：
i =1时，t 1=τj 1n j =τ11n 1+τ21n 2+τ31n 3 i =2时，t 2=τj 2n j =τ12n 1+τ22n 2+τ32n 3 i =3时，t 3=τj 3n j =τ13n 1+τ23n 2+τ33n 3
自由指标的个数决定了简写方程代表实际方程的个数，哑标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数。
例1中，由于只有一个自由指标i ，所以实际上它代表有31=3个表达式；右端项只有一个哑标j ，所以该项展开后是31=3项的和。
例2：A ii =A 11+A 22+A 33 例3：S αα=S 11+S 22
需要说明的是：教材中用拉丁字母书写的指标取值范围是1、2、3，而用希
腊字母书写的指标取值范围是1、2（如例3中的指标α）。
针对指标记号的练习题：
练习1：写出A jk =B ij C ik （32个方程，每个方程右端有31个累加项）
1
练习2：W =τij e ij （30个方程，32个累加项）
2
二、两个符号
1、Kronecker 符号δij
⎡100⎤
1, i =j ⎧⎥ 010 δij =⎨ 写成阵列的形式即为：(δij )=⎢⎢⎥⎩0, i ≠j ⎢⎣001⎥⎦
Kronecker 符号的特点： （1） δij =δji (2) e i e j =δij
(3) δii =δ11+δ22+δ33=3 (4) a j δij =a i (5) A kj δik =A ij (6) δik δkj =δij
例4：向量a =a i e i 和b =b i e i ，有：
a ±b =(a i ±b i )e i 注意：±可作为求和约定中“同一项”的分隔符 a b =a i e i b j e j =a i b j e i e j =a i b j δij =a i b i 注意：点乘(包括叉乘符号) 符号不能作为“同一项”的分隔符，所以此例中将向量b 的下标换成了j 。
a 2=a a =a i a j δij =a i a i 2、排列符号（置换符号）：
⎧1ijk 为123的顺时针排列⎪
e ijk =⎨-1ijk 为123的逆时针排列
⎪0ijk 取值有重复时⎩
1 3
2
所以e 123=e 231=e 312=1，e 132=e 321=e 213=-1，其余21个值为0.
还有：e ijk =e jki =e kij =-e kji =-e jik =-e ikj
例5：e 1⨯e 2=e 3, e 2⨯e 3=e 1, e 3⨯e 1=e 2, , e 1⨯e 3=-e 2 则有：e i ⨯e j =e ijk e k 例6：向量a =a i e i 和b =b i e i ，有：
a ⨯b =(a i e i )⨯(b j e j )=a i b j (e i ⨯e j )=e ijk a i b j e k 则 (a ⨯b )k =e ijk a i b j
针对两个符号的练习题：
练习3：已知θ=e ii ，λ和μ为常数，试将此式开展：W =λθδij +2μe ij
§1.2 坐标变换
旧系：ox 1x 2x 3，单位基向量：e i
新系：123，单位基向量：i 坐标变换系数：βij =i e j =cos (i , e j )
新旧坐标系下的单位基向量坐标变换规律：i =βij e j , e i =βji j 新旧坐标系下的空间点坐标变换规律：i =βij x j , x i =βji j
向量f ，在旧系下的分量f i ，新系下的分量为i ，其坐标变换规律为： i =βij x j , f i =βji j
向量的解析定义：若有3个量，它们在ox 1x 2x 3和123的分量分别为f i 和i ，当两个坐标系之间的变换系数为βij 时，f i 与i 之间按式i =βij x j , f i =βji j 变换，则这3个量有序整体形成一个向量f ，此3个量为向量f 的分量。
§1.3 张量的定义
一、张量的定义
30个分量，1、0阶张量（标量）：在旧系下为ϕ(x 1, x 2, x 3)，新系下(1, 2, 3)，
当进行坐标变换时满足(1, 2, 3)=ϕ(x 1, x 2, x 3)。
2、一阶张量（向量）：31个有序分量，满足i =βij a l , a i =βji j 3、二阶张量：32个有序分量，满足 ij =βim βjn T mn , T ij =βmi βnj mn
⎡T 11T 12T 13⎤
⎥ T T T 记T =(T ij )，写成阵列形式为：T =(T ij )=⎢2223⎥⎢21
⎢⎣T 31T 32T 33⎥⎦
4、n 阶张量，同上
练习4：试证空间中任意两点间的距离对坐标变换来讲都是个不变量（P 8, 例1.3-1）。
练习5：P27, 题1-5 练习6: P27,题1-6
二、张量的表示方法 并向量表示法（实体表示法）：a =a i e i T =T ij e i e j B =B ijk e i e j e k
§1.4 张量的代数运算
1、张量的相等 2、张量相加减 3、张量乘积
r阶张量A ,s 阶张量B 。它们的乘积 C =AB 为（r+s）阶 张量乘积的运算性质：
（1）服从分配律：(A +B )C =AC +BC
（2）服从结合律：(AB )C =A (BC )
（3）不满足交换律：AB ≠BA
4、张量的缩并
在r （r ≥2）阶张量，令其任何两个指标相同，并对重复指标施行求和约定。
例7：b k =A iik =A 11k +A 22k +A 33k 缩并一次减少2阶
5、张量的内积
r （r 0）阶张量A 和s （s 0）阶张量B 的乘积中，对分别属于A 和B 的指标进行一次缩并，称如此所得的r +s -2张量为张量A 与B 的内积，记为
A B ，约定：对张量A 的最后一个指标和张量B 的第一个指标进行。
⎡2-10⎤
⎥，向量122例8：知(A ij )=⎢(b i )=(1, -2,2)。求内积A ij b j 和b i A ij ⎢⎥
⎢⎣0-31⎥⎦
§1.5 商法则
设一组数的集合T (i , j , k , l , m )，若它满足对于任意一个q 阶张量S (如q =2，任意阶张量分量为S lm ) 的内积均为一个p 阶张量U （如p =3，三阶张量U ijk ），即在任意坐标系内以下等式均成立：T (i , j , k , l , m )S lm =U ijk （对l ，m 应用了求和约定），则这组数的集合T (i , j , k , l , m )必为一个(p +q )阶张量。
§1.6 几种特殊张量
对称二阶张量：A ij =A ji 反对称二阶张量：C ij =-C ji 引入C kj =e ijk c i c i = 球张量及偏张量：A ij =
1
e ijk C kj 2
11⎛⎫A kk δij + A ij -A kk δij ⎪ 33⎝⎭
各向同性张量：张量的每一个分量都是坐标系旋转变换下的不变量。
§1.7 二阶张量的特征值和特征向量
T n =λn n i n i =1
(T
ij
-λδij )n j =0
§1.8 张量分析简介
标量：φ(x , t )； 向量：a (x , t )；T (x , t )
=∂T 1、对时间的导数：T
∂t
⎛∂⎫
2、张量场的梯度：grad T =∇T = e k ⎪(T ij e i e j )=T ij , k e k e i e j
⎝∂x k ⎭
⎛∂⎫
3、张量场的散度：div T =∇⋅T = e i ⎪⋅(T jk e j e k )=T ij , i e j
⎝∂x i ⎭
⎛∂⎫
curl T =∇⨯T = e k ⎪⨯(T lj e l e j )∂x 4、张量场的旋度： k ⎭⎝
=T lj , k (e k ⨯e l )e j =e ikl T lj , k e i e j
5、散度定理：⎰div u dV =⎰n ⋅u dS ⎰u i , i dV =⎰n i u i dS
V
S
V
S
⎰divTdV =⎰n ⋅T dS ⎰T ij , i dV =⎰n i T ij dS
V
S
V
S
练习7：题1-9
第二章 弹性波动力学绪论
一、弹性波动力学的任务：应用弹性动力学理论来研究弹性波的激发和传播问题。 二、弹性动力学的基本假设：1、物体是连续的；2、物体是线性弹性的；3、物体是均匀的；4、物体是各向同性的；5、物体的位移和应变都是微小的。6、物体无初应力。
第三章 运动和变形
§3.1 弹性体运动和变形的表述
一、基本概念：位形、参考位形、变形、运动 二、运动和变形的数学表述：
同一质点、不同时刻的向径：x '=x '(x , t ) 或 x i '=x i '(x , t ) 位移：u =u (x , t )
u (x , t )=x '(x , t )-x u i (x , t )=x i '(x , t )-x i x '(x , t )=x +u (x , t ) x i '(x , t )=x i +u i (x , t )
例1：例3.1-1 练习1：题3-2 练习2: 题3-3
§3.2质点的速度和加速度
(x , t ) v (x , t )=u
(x , t )=u (x , t ) a (x , t )=v
§3.3应变张量
公式推导：从两点间的距离改变出发来推导：
(ds ')-(ds )
22
⎛∂u i ∂u j ∂u k ∂u k ⎫= ++dx i dx j =2E ij dx i dx j ⎪ ∂x ⎪⎝j ∂x i ∂x i ∂x j ⎭
1⎛∂u i ∂u j ∂u k ∂u k ⎫
++定义E ij = 格林应变张量 ⎪⎪2 ∂x ∂x ∂x ∂x i i j ⎭⎝j
E ij =E ji
例2：例3.3-1 练习3：题3-4
§3.4小变形情形的应变张量和转动张量
1
一、小变形情形下的应变张量：e ij =(u i , j +u j , i )
2
二、小变形位移的分解：
u i
(Q )
=u i
(P )
1⎛∂u i ∂u j ⎫1⎛∂u i ∂u j ⎫+ -dx j + +dx j ⎪⎪⎪ ⎪2 ∂x ∂x 2∂x ∂x i ⎭i ⎭⎝j ⎝j
1⎛∂u i ∂u j ⎫
-令转动张量：ϖij = ⎪ ⎪2⎝∂x j ∂x i ⎭
u i ()=u i ()+ϖij dx j +e ij dx j （刚体平移+刚体转动+变形位移）
Q
P
Q P
du i =u i ()-u i ()
例3：例3.4-1 例4：例3.4-2 练习4：题3-7 练习5：题3-8
§3.5小变形情形下，过一点线元长度的变化及过一点的两个线元之间的变化 一、正应变（线应变、相对伸缩） e =e ij n i n j
例5：例3.5-1 练习6：题3-6 练习7：题3-11
二、过一点的两个线元之间夹角的变化
i 初始两线元夹角余弦 cos φ=n i n
j +(1-e -e )cos φ 变形后两线元夹角余弦 cos φ'=2e ij n i n
例6：例3.5-2
练习8：题3-10
§3.6小变形应变张量的几何解释
一、e 11 的几何解释：质点P 处原来沿ox 1轴方向上的线元每单位长度的长度变化，即点P 处沿ox 1轴方向的正应变。（e 22、e 33同理）——正应变分量 二、e 12 的几何解释：变形中点P 处原来沿ox 1轴和ox 2轴方向的两线元之间角度（原为
π
）改变量的一半。（e 23、e 31同理）——剪应变分量 2
三、e ii 的几何解释：变形中点P 处每单位体积的体积改变。
θ=e ii =∇ u —— 该公式的推导
§3.7主应变，应变不变量
若过点P 的某个方向的线元，在变形后只沿着它原来的方向产生相对伸缩，则称此线元的方向为该点应变的主方向，称该方向的相对伸缩（正应变）为主应变。
(e
ij
-e δij )n j =0
e ij -e δij =0
§3.8相容性条件
e ij , kl +e kl , ij -e ik , jl -e jl , ik =0
§3.9应变球张量及应变偏张量
11e ij =e kk δij +εij εi j =e i -e δk k i j j
331
张量e kk δij 为应变球张量，表明某一点处体元的形状不改变，只是体积发生
3
变化；εij 为应变偏张量，描述体元的形状改变。因其可拆分成5个纯剪切变形的叠加。
第四章 应力分析
§4.1体力及面力
体（积）力：p =lim
∆F
=ρf 连续分布作用于弹性体每个体元上的外力
∆V →0∆V
∆N
（表）面力：t =lim 连续分布作用于弹性体表面上的力
∆S →0∆S
§4.2应力向量
用假想截面将弹性体一分为二，两部分通过截面相互有内力作用，可视为面力分布作用于整个截面上。截面上取包含P 点的面元，面元的外法向向量为n
∆N
t =lim 应力向量 ∆S →0∆S
t =t (n , x , t ) t =t i t i
当x 和t 固定，而使n 取一切可能值时，就得出时刻t 过向径为x 的点所有各个面元上的应力向量，它们的总体就是该点在该时刻的应力状态；当x 改变时，就给出弹性体内各个点的应力状态，即为应力场。
一般来讲，应力向量与面元的外法向方向不平行，于是有：
2
t =τn +τs
τn ——面元上的正应力，τs ——剪应力分量
τn =t n
τs =
Tn
τn =τn n τs =t -τn 例1：例4.2-1
§4.3应力张量
一、应力向量的分解： t (e i , x , t )=τij e j τij 指标涵义，正负的规定
二、Cauchy 应力公式：t i =τji n j 给定一点的应力状态τij ，就完全确定了该点的应力状态。τij =τij (x , t ) 例2：例4.3-1 例3：例4.3-2
练习1：题4-5
§4.4运动微分方程 边界条件
i 一、运动微分方程：τji , j +ρf i =ρu
平衡微分方程：τji , j +ρf i =0，f 为体力 练习2：题4-18
练习3：题4-19
二、应力张量的对称性：τij =τji
三、应力边界条件： t i =τji n j
例4：例4.4-2
简便方法：比较边界上的应力与面力方向
τ11
22
练习4：题4-20 练习5：题4-21 练习6：题4-22
§4.5 主应力 应力不变量
主平面、主方向：若面元上的应力向量t 与面元的法向方向n 平行，则此面元为该点的主平面，该平面法向方向为该点的主方向。
主应力：该主平面上，应力向量的剪应力分量为零，则主平面上的正应力分量既为该点的主应力。
(τ
ij
-τδij )n j =0
ij -τδij =0
§4.6 主应力的一些性质
§4.7 应力球张量及应力偏张量
τij =τkk δij +s ij
Θ=τkk
1Θδij 为应力球张量，s ij 为应力偏张量 313
第五章 应力与应变关系
§5.1 功和应变能
忽略热与温度影响的热力学第一定律：
τij =dK dU dA += dt dt dt ∂W Green 公式，以W （eij ）表示弹性体内应变能体积密∂e ij
度，或应变能密度
§5.2 各向同性线性弹性体的广义Hooke 定律
一、τij =C ijkl e kl ——广义Hooked 定律
二、各向同性线性弹性体的广义Hooked 定律
τi j =λθδμ i j i +j 2e
e i j =-λ1Θδi +τ i j j 2μ3λ+2μμ2
练习1：题5-3
练习2：题5-4
练习3：题5-5
练习4：题5-6
三、各向同性线性弹性体的应变能密度函数
1 W =τij e ij 2
四、物理常数与λ、μ之间的关系式
λ=3λ+2μE νE μ= κ= G =μ 321+ν1+ν1-2ν五、各弹性常数可能的取值范围
1 λ 0 2
六、使用球张量及偏张量表出广义Hooke 定律 μ 0 E 0 κ 0 0 ν
τk k =3κe k k s i j =2μεi j
第六章 线性弹性动力学问题的提出
§6.1 线弹性动力学的基本方程、边界条件和初始条件
基本方程：几何方程、物理方程、运动微分方程
定解条件：边界条件+初始条件
线性弹性动力学问题的基本求解路线：已知弹性体的自身性质、所受外力、边界条件、初始条件，而求弹性体内的位移场、应变场及应力场。
§6.2 线弹性动力学问题的提法
一、τij =λu k , k δij +μ(u i , j +u j , i )
i 二、Navier 方程：μu i , jj +(λ+μ)u j , ji +ρf i =ρu
例1：例6.7-1
练习1：题6-1
练习2：题6-2
练习3：题6-3
§6.5 二维运动问题
平面运动+反平面运动
§6.6 能量密度及能通量密度向量
11 i u i +τij e ij ε=ρu 22
i e j ϕ=-τij u
例2：例6.6-1
练习4：题6-9
练习5：题6-10
第七章 线性弹性动力学中的基本波及表示
§7.1 无界线性弹性体中的波传播
φ+∇ψ⨯ （∇⋅ψ=0 ） u =∇
u (1)=∇φ u (2)=∇⨯ψ
§7.2 无界线性弹性体中的平面波
一、f (x ⋅n -ct ) ——在空间沿n 方向以速度c 传播的平面波
波阵面为x ⋅n -ct =const
二、平面位移波：u (x , t )=f (x ⋅n -ct )d
d 为位移方向
（1）d =±n ，纵波 （2）d ⊥n ，横波
相关参数的物理意义。
三、平面简谐波：u =Ae ik (x ⋅n -ct ) d
非均匀平面简谐波：u =Ae -k ''⋅x e (i k '⋅x -ϖt )d
等振幅面：
等位相面：
§7.3 二维运动问题的波动方程
u 1=∂φ∂ψ +∂x 1∂x 2
∂φ∂ψ -∂x 2∂x 1 u 2=
u 3=u 3(x , 1x , t 2)
第八章 平面简谐波在界面处的反射和折射
§8.1 具有自由界面的弹性半空间中的平面简谐波
一、边界条件
二、会辨别平面波的类型、波的传播方向、反射系数的计算（P 波、SV 波、SH 波）、视速度
三、Rayleigh 面波的特点
练习1：题8-1
练习2：题8-2
练习3：题8-3