高中数学解题基本方法——换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝x ＋-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2α ，α∈[0,
π
2
]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中
主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x 、y 适合条件x 2＋y 2＝r 2（r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。
均值换元，如遇到x ＋y ＝S 形式时，设x ＝
S 2
＋t ，y ＝
S 2
－t 等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,
π
2
]。
Ⅰ、再现性题组：
1.y ＝sinx ²cosx ＋sinx+cosx的最大值是_________。
2. 设f(x2＋1) ＝log a (4－x 4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3. 已知数列{an }中，a 1＝－1，a n +1²a n ＝a n +1－a n ，则数列通项a n ＝___________。 4. 设实数x 、y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是___________。
1+3
-x x
5. 方程
1+3
＝3的解是_______________。
6. 不等式log 2(2x －1) ²log 2(2x +1－2) 〈2的解集是_______________。
【简解】1小题：设sinx+cosx＝t ∈[－2, 2]，则y ＝
12
t
2
2
＋t －
12
，对称轴t ＝－1，
当t ＝2，y m ax ＝
＋2；
2小题：设x 2＋1＝t (t≥1) ，则f(t)＝log a [-(t-1)2＋4]，所以值域为(－∞,log a 4]； 3小题：已知变形为
1a n +11n
－
1a n
＝－1, 设b n ＝
1a n
，则b 1＝－1,b n ＝－1＋(n－1)(-1)
＝－n ，所以a n ＝－
；
4小题：设x ＋y ＝k ，则x 2－2kx ＋1＝0, △＝4k 2－4≥0, 所以k ≥1或k ≤－1； 5小题：设3x ＝y ，则3y 2＋2y －1＝0, 解得y ＝
13
，所以x ＝－1；
54
6小题：设log 2(2x －1) ＝y ，则y(y＋1)
例1. 实数x 、y 满足4x －5xy ＋4y ＝5 （ ①式） ，设S ＝x ＋y ，求的值。（93年全国高中数学联赛题）
2
2
2
2
,log 23) 。
1S m a
x
＋
1S m in
【分析】 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2α＝1, 于是进行三角换元，设
⎧⎪x =⎨⎪⎩y =
S cos αS sin α
代入①式求S m ax 和S min 的值。
S cos αS sin α
⎧⎪x =
【解】设⎨
⎪⎩y =
代入①式得： 4S－5S ²sin αcos α＝5
解得 S＝
108-5sin 2α
；
1013
108-5sin α
103
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴
1S m ax
1S m in
310
1310
1610
85
≤≤
∴ ＋＝＋＝＝
8S -10
S
此种解法后面求S 最大值和最小值，还可由sin2α＝式：|
8S -10S
的有界性而求，即解不等
|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【另解】 由S ＝x 2＋y 2，设x 2＝
S 2
＋t ，y 2＝
S 2
－t ，t ∈[－
S 2
，
S 2
]，
则xy ＝±
S
2
4
－t
2
代入①式得：4S ±5
S
2
4
－t
2
=5，
移项平方整理得 100t2+39S2－160S ＋100＝0 。 ∴ 39S2－160S ＋100≤0 解得：
1S m ax
1S m in
310
1310
1610
101385
≤S ≤
103
∴ ＋＝＋＝＝
【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S ＝x 2＋y 2与三角公式cos 2α＋sin 2α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S ＝x 2＋y 2而按照均值换元的思路，设x 2＝S ＋t 、y 2＝S －t ，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值
2
2
域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x 、y 时，可以设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，代入①式整理得3a 2＋13b 2＝5 ，求得a 2∈[0,
1013
2013
1013
103
53
]，所以S ＝(a－b) 2＋(a＋b) 2
＝2(a2＋b 2) ＝
＋
a 2∈[
, ]，再求
1S m ax
＋
1S m in
的值。
例2． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B ，
A -C 2
1cos A
＋
1cos C
＝－
2cos B
，求
cos 的值。（96年全国理）
【分析】 由已知“A ＋C ＝2B ”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得
⎧A +C =120°⎧A ＝60°+α
；由“A ＋C ＝120°”进行均值换元，则设⎨ ，再代入可⎨
B ＝60°C ＝60°－α⎩⎩
求cos α即cos
A -C 2
。
⎧A +C =120°【解】由△ABC 中已知A ＋C ＝2B ，可得 ⎨,
B ＝60°⎩
⎧A ＝60°+α
由A ＋C ＝120°，设⎨，代入已知等式得：
C ＝60°－α⎩1cos A
＋
1cos C
＝
1cos(60︒+α)
＋
1cos(60︒-α)
＝
12
1
cos α-
32sin α
＋
1
12cos α+
32sin α
＝
cos α
14
cos α-
2
34
＝
sin α
2
cos αcos α-
2
34
＝－22,
解得：cos α＝
22
， 即：cos
A -C 2
＝
22
。
【另解】由A ＋C ＝2B ，得A ＋C ＝120°，B ＝60°。所以
1cos A
1cos C
1cos A
＋
1cos C
＝－
2cos B
＝－22，设
1-
＝－2＋m ，
1-
＝－2－m ，
所以cosA ＝
2+m
，cosC ＝
2-m
，两式分别相加、相减得：
cosA ＋cosC ＝2cos
A +C 2
cos
A -C 2
＝cos
A -C 2
＝
22m -2
2
，
2m m
2
cosA －cosC ＝－2sin
A -C 2
A +C 2
sin
A -C 2
＝－3sin 22m -2
2
A -C 2
＝
-2
，
A -C 2
即：sin ＝－
2m 3(m -2)
2
，＝－
，代入sin 2
A -C 2
＋cos 2
＝1整理
得：3m 4－16m －12＝0, 解出m 2＝6，代入cos
A -C 2
＝
1
22m -2
2
＝
1
22
。
【注】 本题两种解法由“A ＋C ＝120°”、“
cos A
＋
cos C
＝－22”分别进行均
值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A ＋C ＝2B ，得A ＋C ＝120°，B ＝60°。所以
1cos A
＋
1cos C
＝－
2cos B
＝－22，即cosA ＋
cosC ＝－22cosAcosC ，和积互化得：
2cos
A +C 2
cos
A -C 2
＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos
A -C 2
＝
22
－2cos(A-C)
＝
22
－2(2cos2
A -C 2
－1) ，整理得：42cos 2
A -C 2
＋2cos
A -C 2
－32＝0,
解得：cos
A -C 2
＝
22
例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx) －sinx ²cosx －2a 2的最大值和最小值。
【解】 设sinx ＋cosx ＝t ，则t ∈[- y
2, 2]，由(sinx＋t -12
2
cosx) ＝1＋2sinx ²cosx 得：sinx ²cosx ＝
12
12
2
∴ f(x)＝g(t)＝－
(t－2a) 2＋
（a>0），t ∈[-2, 2]
12
t ＝-2时，取最小值：－2a 2－22a －
12
当2a ≥2时，t ＝2，取最大值：－2a 2＋22a －当0
12
；
。
∴ f(x)的最小值为－2a 2－2
⎧12
(0
1⎪222a －，最大值为⎨
21⎪2
-2a +22a -(a ≥⎪2⎩
。
22)
【注】 此题属于局部换元法，设sinx ＋cosx ＝t 后，抓住sinx ＋cosx 与sinx ²cosx
的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t ∈[-2, 2]）与sinx ＋cosx 对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx 与cosx 的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx ，sinxcsox) ，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例4. 设对所于有实数x ，不等式x 2log 2
恒成立，求a 的取值范围。（87年全国理）
4(a +1)
a
＋2x log2
2a a +1
＋log 2
(a +1) 4a
2
2
>0
【分析】不等式中log 2
4(a +1)
a
、 log2
2a a +1
、log 2
(a +1) 4a
2
2
三项有何联系？进行对
数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。
【解】 设log 2
log 2
2a a +1
2a a +1
＝t ，则log 2
2
4(a +1)
a
a +12a
＝log 2
8(a +1) 2a
＝3＋log 2
a +12a
＝3－
＝3－t ，log 2
(a +1) 4a
2
＝2log 2
＝－2t ，
代入后原不等式简化为（3－t ）x 2＋2tx －2t>0，它对一切实数x 恒成立，所以： ⎧3-t >0⎧t
，解得 ∴ t
a +1⎩t 6⎩∆=4t +8t (3-t )
0
2a a +1
【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log 2
4(a +1)
a
、 log2
2a a +1
、log 2
(a +1) 4a
2
2
三项之间的联
系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所
给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。
例5. 已知值。
【解】 设
sin θx sin θx
＝
cos θy
，且
cos θx
2
2
＋
sin θy
2
2
＝
103(x +y )
2
2
(②式) ，求
x y
的
＝
cos θy
＝k ，则sin θ＝kx ，cos θ＝ky ，且sin 2θ＋cos 2θ＝
2
k (x+y) ＝1, 代入②式得：
103
222
k y x
2
22
＋
k x y
2
22
＝
103(x +y )
2
2
＝
10k 3
y x
22
＋
x y
22
＝
x y
22
设＝t ，则t ＋
1t
＝
103
, 解得：t ＝3或 ∴
3
1x y
＝±3或±
33
【另解】 由
x y
＝
sin θcos θ
＝tg θ，将等式②两边同时除以
cos θx
2
2
，再表示成含tg θ
的式子：1＋tg 4θ＝(1+tg 2θ) ⨯
103(1+
1tg θ
2
＝)
103
tg 2θ，设tg 2θ＝t ，则3t 2—10t ＋3
＝0，
∴t ＝3或
13
， 解得
x y
＝±3或±
33
。
【注】 第一种解法由
sin θx x y
＝
cos θy
而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。
第二种解法将已知变形为＝
sin θcos θ
，不难发现进行结果为tg θ，再进行换元和变形。两
种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
例6. 实数x 、y 满足
(x -1) 9
22
＋
(y +1) 16
2
2
＝1，若x ＋y －k>0恒成立，求k 的范围。
【分析】由已知条件于是实施三角换元。
【解】由
(x -1) 9
2
(x -1) 9
＋
(y +1) 16
＝1，可以发现它与a 2＋b 2＝1有相似之处，
＋
(y +1) 16
2
＝1，设
x -13
＝cos θ，
y +14
＝sin θ，
⎧x =1+3cos θ即：⎨ 代入不等式x ＋y －k>0得：
y =-1+4sin θ⎩
3cos θ＋4sin θ－k>0，即k
所以k
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax ＋by ＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax ＋by ＋c ＝0所分平面成两部分中含x 轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的
点始终位于平面上x ＋y －k>0的区域。即当直线x ＋y
－k ＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭
k 平面区域
⎧16(x -1) 2+9(y +1) 2=144
圆相切时，方程组⎨有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求
x +y -k =0⎩
得k ＝－3, 所以k
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知f(x3) ＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。 A. 2lg2 B. 1lg2 C. 2lg2 D. 2lg4
3
3
3
2. 函数y ＝(x＋1) 4＋2的单调增区间是______。
A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]
3. 设等差数列{an }的公差d ＝1，且S 100＝145，则a 1＋a 3＋a 5＋„„＋a 99的值为
2
_____。
A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知x 2＋4y 2＝4x ，则x ＋y 的范围是_________________。 5. 已知a ≥0，b ≥0，a ＋b ＝1，则6. 不等式
x
a +
12
＋
b +
12
的范围是____________。
>ax＋3的解集是(4,b)，则a ＝________，b ＝_______。
2
7. 函数y ＝2x ＋
x +1
的值域是________________。
8. 在等比数列{an }中，a 1＋a 2＋„＋a 10＝2，a 11＋a 12＋„＋a 30＝12，求a 31＋a 32
＋„＋a 60。
9. 实数m 在什么范围内取值，对任意实数x ，
不等式sin 2x ＋2mcosx ＋4m －10,y>0)上移动，且AB 、AD 始终平行x 轴、y 轴，求矩形ABCD 的最小面积。
2
2
高中数学解题基本方法——换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x ＋2x －2≥0，先变形为设2x ＝t （t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y ＝x ＋-x 的值域时，易发现x ∈[0,1]，设x ＝sin 2α ，α∈[0,
π
2
]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中
主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x 、y 适合条件x 2＋y 2＝r 2（r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。
均值换元，如遇到x ＋y ＝S 形式时，设x ＝
S 2
＋t ，y ＝
S 2
－t 等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,
π
2
]。
Ⅰ、再现性题组：
1.y ＝sinx ²cosx ＋sinx+cosx的最大值是_________。
2. 设f(x2＋1) ＝log a (4－x 4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3. 已知数列{an }中，a 1＝－1，a n +1²a n ＝a n +1－a n ，则数列通项a n ＝___________。 4. 设实数x 、y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是___________。
1+3
-x x
5. 方程
1+3
＝3的解是_______________。
6. 不等式log 2(2x －1) ²log 2(2x +1－2) 〈2的解集是_______________。
【简解】1小题：设sinx+cosx＝t ∈[－2, 2]，则y ＝
12
t
2
2
＋t －
12
，对称轴t ＝－1，
当t ＝2，y m ax ＝
＋2；
2小题：设x 2＋1＝t (t≥1) ，则f(t)＝log a [-(t-1)2＋4]，所以值域为(－∞,log a 4]； 3小题：已知变形为
1a n +11n
－
1a n
＝－1, 设b n ＝
1a n
，则b 1＝－1,b n ＝－1＋(n－1)(-1)
＝－n ，所以a n ＝－
；
4小题：设x ＋y ＝k ，则x 2－2kx ＋1＝0, △＝4k 2－4≥0, 所以k ≥1或k ≤－1； 5小题：设3x ＝y ，则3y 2＋2y －1＝0, 解得y ＝
13
，所以x ＝－1；
54
6小题：设log 2(2x －1) ＝y ，则y(y＋1)
例1. 实数x 、y 满足4x －5xy ＋4y ＝5 （ ①式） ，设S ＝x ＋y ，求的值。（93年全国高中数学联赛题）
2
2
2
2
,log 23) 。
1S m a
x
＋
1S m in
【分析】 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2α＋sin 2α＝1, 于是进行三角换元，设
⎧⎪x =⎨⎪⎩y =
S cos αS sin α
代入①式求S m ax 和S min 的值。
S cos αS sin α
⎧⎪x =
【解】设⎨
⎪⎩y =
代入①式得： 4S－5S ²sin αcos α＝5
解得 S＝
108-5sin 2α
；
1013
108-5sin α
103
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴
1S m ax
1S m in
310
1310
1610
85
≤≤
∴ ＋＝＋＝＝
8S -10
S
此种解法后面求S 最大值和最小值，还可由sin2α＝式：|
8S -10S
的有界性而求，即解不等
|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【另解】 由S ＝x 2＋y 2，设x 2＝
S 2
＋t ，y 2＝
S 2
－t ，t ∈[－
S 2
，
S 2
]，
则xy ＝±
S
2
4
－t
2
代入①式得：4S ±5
S
2
4
－t
2
=5，
移项平方整理得 100t2+39S2－160S ＋100＝0 。 ∴ 39S2－160S ＋100≤0 解得：
1S m ax
1S m in
310
1310
1610
101385
≤S ≤
103
∴ ＋＝＋＝＝
【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S ＝x 2＋y 2与三角公式cos 2α＋sin 2α＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S ＝x 2＋y 2而按照均值换元的思路，设x 2＝S ＋t 、y 2＝S －t ，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值
2
2
域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x 、y 时，可以设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，代入①式整理得3a 2＋13b 2＝5 ，求得a 2∈[0,
1013
2013
1013
103
53
]，所以S ＝(a－b) 2＋(a＋b) 2
＝2(a2＋b 2) ＝
＋
a 2∈[
, ]，再求
1S m ax
＋
1S m in
的值。
例2． △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A ＋C ＝2B ，
A -C 2
1cos A
＋
1cos C
＝－
2cos B
，求
cos 的值。（96年全国理）
【分析】 由已知“A ＋C ＝2B ”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得
⎧A +C =120°⎧A ＝60°+α
；由“A ＋C ＝120°”进行均值换元，则设⎨ ，再代入可⎨
B ＝60°C ＝60°－α⎩⎩
求cos α即cos
A -C 2
。
⎧A +C =120°【解】由△ABC 中已知A ＋C ＝2B ，可得 ⎨,
B ＝60°⎩
⎧A ＝60°+α
由A ＋C ＝120°，设⎨，代入已知等式得：
C ＝60°－α⎩1cos A
＋
1cos C
＝
1cos(60︒+α)
＋
1cos(60︒-α)
＝
12
1
cos α-
32sin α
＋
1
12cos α+
32sin α
＝
cos α
14
cos α-
2
34
＝
sin α
2
cos αcos α-
2
34
＝－22,
解得：cos α＝
22
， 即：cos
A -C 2
＝
22
。
【另解】由A ＋C ＝2B ，得A ＋C ＝120°，B ＝60°。所以
1cos A
1cos C
1cos A
＋
1cos C
＝－
2cos B
＝－22，设
1-
＝－2＋m ，
1-
＝－2－m ，
所以cosA ＝
2+m
，cosC ＝
2-m
，两式分别相加、相减得：
cosA ＋cosC ＝2cos
A +C 2
cos
A -C 2
＝cos
A -C 2
＝
22m -2
2
，
2m m
2
cosA －cosC ＝－2sin
A -C 2
A +C 2
sin
A -C 2
＝－3sin 22m -2
2
A -C 2
＝
-2
，
A -C 2
即：sin ＝－
2m 3(m -2)
2
，＝－
，代入sin 2
A -C 2
＋cos 2
＝1整理
得：3m 4－16m －12＝0, 解出m 2＝6，代入cos
A -C 2
＝
1
22m -2
2
＝
1
22
。
【注】 本题两种解法由“A ＋C ＝120°”、“
cos A
＋
cos C
＝－22”分别进行均
值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A ＋C ＝2B ，得A ＋C ＝120°，B ＝60°。所以
1cos A
＋
1cos C
＝－
2cos B
＝－22，即cosA ＋
cosC ＝－22cosAcosC ，和积互化得：
2cos
A +C 2
cos
A -C 2
＝－2[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos
A -C 2
＝
22
－2cos(A-C)
＝
22
－2(2cos2
A -C 2
－1) ，整理得：42cos 2
A -C 2
＋2cos
A -C 2
－32＝0,
解得：cos
A -C 2
＝
22
例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx) －sinx ²cosx －2a 2的最大值和最小值。
【解】 设sinx ＋cosx ＝t ，则t ∈[- y
2, 2]，由(sinx＋t -12
2
cosx) ＝1＋2sinx ²cosx 得：sinx ²cosx ＝
12
12
2
∴ f(x)＝g(t)＝－
(t－2a) 2＋
（a>0），t ∈[-2, 2]
12
t ＝-2时，取最小值：－2a 2－22a －
12
当2a ≥2时，t ＝2，取最大值：－2a 2＋22a －当0
12
；
。
∴ f(x)的最小值为－2a 2－2
⎧12
(0
1⎪222a －，最大值为⎨
21⎪2
-2a +22a -(a ≥⎪2⎩
。
22)
【注】 此题属于局部换元法，设sinx ＋cosx ＝t 后，抓住sinx ＋cosx 与sinx ²cosx
的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t ∈[-2, 2]）与sinx ＋cosx 对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx 与cosx 的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx ，sinxcsox) ，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例4. 设对所于有实数x ，不等式x 2log 2
恒成立，求a 的取值范围。（87年全国理）
4(a +1)
a
＋2x log2
2a a +1
＋log 2
(a +1) 4a
2
2
>0
【分析】不等式中log 2
4(a +1)
a
、 log2
2a a +1
、log 2
(a +1) 4a
2
2
三项有何联系？进行对
数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。
【解】 设log 2
log 2
2a a +1
2a a +1
＝t ，则log 2
2
4(a +1)
a
a +12a
＝log 2
8(a +1) 2a
＝3＋log 2
a +12a
＝3－
＝3－t ，log 2
(a +1) 4a
2
＝2log 2
＝－2t ，
代入后原不等式简化为（3－t ）x 2＋2tx －2t>0，它对一切实数x 恒成立，所以： ⎧3-t >0⎧t
，解得 ∴ t
a +1⎩t 6⎩∆=4t +8t (3-t )
0
2a a +1
【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log 2
4(a +1)
a
、 log2
2a a +1
、log 2
(a +1) 4a
2
2
三项之间的联
系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所
给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。
例5. 已知值。
【解】 设
sin θx sin θx
＝
cos θy
，且
cos θx
2
2
＋
sin θy
2
2
＝
103(x +y )
2
2
(②式) ，求
x y
的
＝
cos θy
＝k ，则sin θ＝kx ，cos θ＝ky ，且sin 2θ＋cos 2θ＝
2
k (x+y) ＝1, 代入②式得：
103
222
k y x
2
22
＋
k x y
2
22
＝
103(x +y )
2
2
＝
10k 3
y x
22
＋
x y
22
＝
x y
22
设＝t ，则t ＋
1t
＝
103
, 解得：t ＝3或 ∴
3
1x y
＝±3或±
33
【另解】 由
x y
＝
sin θcos θ
＝tg θ，将等式②两边同时除以
cos θx
2
2
，再表示成含tg θ
的式子：1＋tg 4θ＝(1+tg 2θ) ⨯
103(1+
1tg θ
2
＝)
103
tg 2θ，设tg 2θ＝t ，则3t 2—10t ＋3
＝0，
∴t ＝3或
13
， 解得
x y
＝±3或±
33
。
【注】 第一种解法由
sin θx x y
＝
cos θy
而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。
第二种解法将已知变形为＝
sin θcos θ
，不难发现进行结果为tg θ，再进行换元和变形。两
种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
例6. 实数x 、y 满足
(x -1) 9
22
＋
(y +1) 16
2
2
＝1，若x ＋y －k>0恒成立，求k 的范围。
【分析】由已知条件于是实施三角换元。
【解】由
(x -1) 9
2
(x -1) 9
＋
(y +1) 16
＝1，可以发现它与a 2＋b 2＝1有相似之处，
＋
(y +1) 16
2
＝1，设
x -13
＝cos θ，
y +14
＝sin θ，
⎧x =1+3cos θ即：⎨ 代入不等式x ＋y －k>0得：
y =-1+4sin θ⎩
3cos θ＋4sin θ－k>0，即k
所以k
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax ＋by ＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax ＋by ＋c ＝0所分平面成两部分中含x 轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的
点始终位于平面上x ＋y －k>0的区域。即当直线x ＋y
－k ＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭
k 平面区域
⎧16(x -1) 2+9(y +1) 2=144
圆相切时，方程组⎨有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求
x +y -k =0⎩
得k ＝－3, 所以k
Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知f(x3) ＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。 A. 2lg2 B. 1lg2 C. 2lg2 D. 2lg4
3
3
3
2. 函数y ＝(x＋1) 4＋2的单调增区间是______。
A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]
3. 设等差数列{an }的公差d ＝1，且S 100＝145，则a 1＋a 3＋a 5＋„„＋a 99的值为
2
_____。
A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知x 2＋4y 2＝4x ，则x ＋y 的范围是_________________。 5. 已知a ≥0，b ≥0，a ＋b ＝1，则6. 不等式
x
a +
12
＋
b +
12
的范围是____________。
>ax＋3的解集是(4,b)，则a ＝________，b ＝_______。
2
7. 函数y ＝2x ＋
x +1
的值域是________________。
8. 在等比数列{an }中，a 1＋a 2＋„＋a 10＝2，a 11＋a 12＋„＋a 30＝12，求a 31＋a 32
＋„＋a 60。
9. 实数m 在什么范围内取值，对任意实数x ，
不等式sin 2x ＋2mcosx ＋4m －10,y>0)上移动，且AB 、AD 始终平行x 轴、y 轴，求矩形ABCD 的最小面积。
2
2