2011-05-13 14:28:10| 分类： 默认分类 | 标签： |字号大中小 订阅
张思思 曾华
（中南大学土木建筑学院，湖南长沙 410012）
摘要：本文首先对“体彩排列三”中的和数与和尾上近1074期的出号数字进行统计，利用马尔可夫链，求得其相应的转移矩阵。其次，建立和尾与和数的转移概率矩阵，基于马尔科夫链的预测法，得出下期和尾与和数各状态概率矩阵，从中挑选出概率最大几项作为下期预测的和尾及和数，为投资者提供更好的投资方案。
关键词：转移概率矩阵；状态概率矩阵；马尔科夫预测法
一、“体彩排列三”的基本知识
购买"体彩排列3"时，由购买者从000-999的数字中选取1个3位数为投注号码进行投注。彩票购买人购买彩票时关注的概念有：
1. 和值：即下期彩票三个数字之和；
2. 和尾：即和值中的第二位数值；
3. 跨度：下期彩票三个数字中的最大数与最小数之差；
4. 胆码：下期可能出现的出号；
5. 组合：彩票三个数字的不同组合；
二、建立转移概率矩阵
2.1问题的分析
由于各期的体育彩票出号均为相互独立，且百位、十位和各位上的数字也互不影响，均为相互独立。在事件的发展过程中，每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则可知这样的状态转移过程是马尔可夫过程。
根据过去近1000期的体育彩票“排列三”的出号，可分别将百位、十位和各位上的1000个数据统计出来，在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
2.2状态转移矩阵的建立
（1）状态转移概率：在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。由状态Ei转为状态Ej的状态转移概率为：
（2）状态转移概率矩阵：假定某一个事件的发展过程有n个可能的状态，即。记为从状态 转变为状态
的状态转移概率 ，则其状态转移概率矩阵：
其中，
2.3状态转移矩阵的求解
经查阅资料可得近1074期的号码历史数据，知对和尾上的数字均为0—9内的数字间的相互转移，假设对于数字0—9，其对应的转移状态用 来表示，则从
状态转移到 状态的个数为 ， 为状态 的个数，概率为 ，可知
（4.2.1）
因此，只要统计出从 状态转移到
状态的个数为 ，则可求得从 状态转移到 状态的转移概率。同理，对于和数上的数字即是在0—27内转移。
三、预测和尾与和数
3.2马尔科夫预测法
马尔可夫（Markov）预测法，是一种预测事件发生的概率的方法。它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。
通过对历史数据进行统计，可求出和尾和和数的转移概率矩阵，由此，可通过当期的数据求出下期将出现的数字的状态概率矩阵，筛选出概率较大的作为预测结果。
3.2.1 马尔科夫预测法的建立
（1）状态概率：表示事件在初始（k＝0）状态为已知的条件下，经过k次状态转移后，在第k 个时刻（时期）处于状态 的概率。 且：
根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes条件概率公式，有：
(j=1,2,
n)
（2）状态概率递推公式：
记行向量 ，则由上式可以得到逐次计算状态
概率的递推公式：
式中， 为初始状态概率向量。
（3）第k个时刻（时期）的状态概率预测
如果某一事件在第0个时刻（或时期）的初始状态已知，即 已知，则利用递推公式，就可以求得它经过k次状态转移后，在第k个时刻（时期）处于各种可能的状态的概率，即
，从而就得到该事件在第k个时刻（时期）的状态概率预测
3.2.2 马尔科夫预测法的求解
通过MATLAB程序，取近1074组数据，可得到和尾与和数下一期的各状态的概率如下所示：
和尾的状态概率矩阵：
P =[0.1122,0.1224,0.1020,0.0918,0.0918,0.1429,0.1020,0.1122,0.0408,0.0816]
和数的状态概率矩阵：
P=[0,0,0,0.0185,0,0.0185,0.0185,0.0185,0,0.0370,0.0556,0.0741,0.0741,0.0556,0.0741,0.1481,0.0741,0.1111 0.0185,0.0556,0.0926,0.0185,0,0,0.0185,0.0185,0,0]
根据以上状态概率，分别选取和尾和和数概率最大的前三个数作为下期的预测值，即：
下期看好和尾：5、1、0、7、2
下期看好和数：20、11、12、13、16
参考文献：
[1] 姜启源,谢金星 叶俊.《数学建模》（第三版）.北京：高等教育出版社,2009
[2] 张威.《MATALB基础与编程入门》.西安：西安电子子科技大学出版社,2008
[3] http://www.17500.cn/p3/p3.php
[4] http://888.266255.com/zs/2_16.htm
张思思（1989-），女，汉族，湖南衡阳人，本科，中南大学土木建筑学院在校生，研究方向：土木工程
曾华（1990-），女，汉族，湖南永州人，本科，中南大学土木建筑学院在校生，研究方向：土木工程
2011-05-13 14:28:10| 分类： 默认分类 | 标签： |字号大中小 订阅
张思思 曾华
（中南大学土木建筑学院，湖南长沙 410012）
摘要：本文首先对“体彩排列三”中的和数与和尾上近1074期的出号数字进行统计，利用马尔可夫链，求得其相应的转移矩阵。其次，建立和尾与和数的转移概率矩阵，基于马尔科夫链的预测法，得出下期和尾与和数各状态概率矩阵，从中挑选出概率最大几项作为下期预测的和尾及和数，为投资者提供更好的投资方案。
关键词：转移概率矩阵；状态概率矩阵；马尔科夫预测法
一、“体彩排列三”的基本知识
购买"体彩排列3"时，由购买者从000-999的数字中选取1个3位数为投注号码进行投注。彩票购买人购买彩票时关注的概念有：
1. 和值：即下期彩票三个数字之和；
2. 和尾：即和值中的第二位数值；
3. 跨度：下期彩票三个数字中的最大数与最小数之差；
4. 胆码：下期可能出现的出号；
5. 组合：彩票三个数字的不同组合；
二、建立转移概率矩阵
2.1问题的分析
由于各期的体育彩票出号均为相互独立，且百位、十位和各位上的数字也互不影响，均为相互独立。在事件的发展过程中，每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则可知这样的状态转移过程是马尔可夫过程。
根据过去近1000期的体育彩票“排列三”的出号，可分别将百位、十位和各位上的1000个数据统计出来，在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
2.2状态转移矩阵的建立
（1）状态转移概率：在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。由状态Ei转为状态Ej的状态转移概率为：
（2）状态转移概率矩阵：假定某一个事件的发展过程有n个可能的状态，即。记为从状态 转变为状态
的状态转移概率 ，则其状态转移概率矩阵：
其中，
2.3状态转移矩阵的求解
经查阅资料可得近1074期的号码历史数据，知对和尾上的数字均为0—9内的数字间的相互转移，假设对于数字0—9，其对应的转移状态用 来表示，则从
状态转移到 状态的个数为 ， 为状态 的个数，概率为 ，可知
（4.2.1）
因此，只要统计出从 状态转移到
状态的个数为 ，则可求得从 状态转移到 状态的转移概率。同理，对于和数上的数字即是在0—27内转移。
三、预测和尾与和数
3.2马尔科夫预测法
马尔可夫（Markov）预测法，是一种预测事件发生的概率的方法。它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。
通过对历史数据进行统计，可求出和尾和和数的转移概率矩阵，由此，可通过当期的数据求出下期将出现的数字的状态概率矩阵，筛选出概率较大的作为预测结果。
3.2.1 马尔科夫预测法的建立
（1）状态概率：表示事件在初始（k＝0）状态为已知的条件下，经过k次状态转移后，在第k 个时刻（时期）处于状态 的概率。 且：
根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes条件概率公式，有：
(j=1,2,
n)
（2）状态概率递推公式：
记行向量 ，则由上式可以得到逐次计算状态
概率的递推公式：
式中， 为初始状态概率向量。
（3）第k个时刻（时期）的状态概率预测
如果某一事件在第0个时刻（或时期）的初始状态已知，即 已知，则利用递推公式，就可以求得它经过k次状态转移后，在第k个时刻（时期）处于各种可能的状态的概率，即
，从而就得到该事件在第k个时刻（时期）的状态概率预测
3.2.2 马尔科夫预测法的求解
通过MATLAB程序，取近1074组数据，可得到和尾与和数下一期的各状态的概率如下所示：
和尾的状态概率矩阵：
P =[0.1122,0.1224,0.1020,0.0918,0.0918,0.1429,0.1020,0.1122,0.0408,0.0816]
和数的状态概率矩阵：
P=[0,0,0,0.0185,0,0.0185,0.0185,0.0185,0,0.0370,0.0556,0.0741,0.0741,0.0556,0.0741,0.1481,0.0741,0.1111 0.0185,0.0556,0.0926,0.0185,0,0,0.0185,0.0185,0,0]
根据以上状态概率，分别选取和尾和和数概率最大的前三个数作为下期的预测值，即：
下期看好和尾：5、1、0、7、2
下期看好和数：20、11、12、13、16
参考文献：
[1] 姜启源,谢金星 叶俊.《数学建模》（第三版）.北京：高等教育出版社,2009
[2] 张威.《MATALB基础与编程入门》.西安：西安电子子科技大学出版社,2008
[3] http://www.17500.cn/p3/p3.php
[4] http://888.266255.com/zs/2_16.htm
张思思（1989-），女，汉族，湖南衡阳人，本科，中南大学土木建筑学院在校生，研究方向：土木工程
曾华（1990-），女，汉族，湖南永州人，本科，中南大学土木建筑学院在校生，研究方向：土木工程