15级数学导学案
3.3.2基本不等式与最大（小）值
主编：任春燕 审核：高宇 审批：高文志
学习目标
1. 知识与技能
（1）熟练掌握基本不等式及变形的应用．（2）会用基本不等式解决简单的最大(小) 值问题． 2. 过程与方法
通过用基本不等式解决简单的最大(小) 值问题，让学生掌握用均值不等式求最值的方法，在
前面学习的基础上，进一步拓展求最值的方法。
3. 情感、态度与价值观 通过本节的学习，让学生进一步理解和体会数学来源于生活，应用于生活。学习重点：对不等式的理解与掌握。 学习难点：利用不等式求最值 ：以讲学稿为依托的探究式教学方法。 学习
一、课前预习指导：仔细阅读课本90--91页内容，完成以下预习检测
1. 设x ，y 为正数， (1)若x ＋y ＝s (和为定值) ，则当 时，积xy 取得最 值为s
2
4(2)若xy ＝p (积为定值) ，则当 时，和x ＋y 取得最 值为 .
2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x ，y 必须是 ；
(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为 ；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为 ．(3)等号成立的条件是否满足．
利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”
二、新课学习
问题探究一 利用基本不等式求函数最值
利用基本不等式a ＋b
2
ab (a，b 均大于0) 求最值(值域) 时，必须具备“一正、二定、三相
等”的条件．如果“相等”条件不具备就可能造成错解．为了解决这个问题，我们引进一个函数
f(x)＝x ＋a
x
(a>0)，利用它的单调性来完整上述解法的不足，作为使基本不等式“完美”的
问题1 证明函数f(x)＝x ＋a
x
(a>0)在区间(0a]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．
问题2 求函数y ＝sin x＋
4
sin x
，x∈(0，π) 的最小值． 问题探究二 利用基本不等式求代数式最值
例2 已知x>0，y>0，且2x+5y=20，求u=lgx ＋lg y 的最大值．
问题探究三：基本不等式在实际问题中的应用 例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池, 其容积为4 800 m3,深为3 m，如果池底每1 m2的造
价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多
少元？
三、当堂检测 1．设0
2y ＝x(3－2x) 的最大值是 ( ) A. 916 B.94 C．2 D.98
25x 3
y
1 (x>0，y>0)，则xy 的最小值是 ( )
A ．15 B．6 C．60 D．1
3．已知x ，y ，z∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y2
xz
的最小值为
( ) A．3 B．6 C．9 D．12
4. 已知a>3，求a ＋4
a －3
四、课堂小结：
五、课后反思
15级数学导学案
3.3.2基本不等式与最大（小）值
主编：任春燕 审核：高宇 审批：高文志
学习目标
1. 知识与技能
（1）熟练掌握基本不等式及变形的应用．（2）会用基本不等式解决简单的最大(小) 值问题． 2. 过程与方法
通过用基本不等式解决简单的最大(小) 值问题，让学生掌握用均值不等式求最值的方法，在
前面学习的基础上，进一步拓展求最值的方法。
3. 情感、态度与价值观 通过本节的学习，让学生进一步理解和体会数学来源于生活，应用于生活。学习重点：对不等式的理解与掌握。 学习难点：利用不等式求最值 ：以讲学稿为依托的探究式教学方法。 学习
一、课前预习指导：仔细阅读课本90--91页内容，完成以下预习检测
1. 设x ，y 为正数， (1)若x ＋y ＝s (和为定值) ，则当 时，积xy 取得最 值为s
2
4(2)若xy ＝p (积为定值) ，则当 时，和x ＋y 取得最 值为 .
2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x ，y 必须是 ；
(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为 ；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为 ．(3)等号成立的条件是否满足．
利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”
二、新课学习
问题探究一 利用基本不等式求函数最值
利用基本不等式a ＋b
2
ab (a，b 均大于0) 求最值(值域) 时，必须具备“一正、二定、三相
等”的条件．如果“相等”条件不具备就可能造成错解．为了解决这个问题，我们引进一个函数
f(x)＝x ＋a
x
(a>0)，利用它的单调性来完整上述解法的不足，作为使基本不等式“完美”的
问题1 证明函数f(x)＝x ＋a
x
(a>0)在区间(0a]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数．
问题2 求函数y ＝sin x＋
4
sin x
，x∈(0，π) 的最小值． 问题探究二 利用基本不等式求代数式最值
例2 已知x>0，y>0，且2x+5y=20，求u=lgx ＋lg y 的最大值．
问题探究三：基本不等式在实际问题中的应用 例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池, 其容积为4 800 m3,深为3 m，如果池底每1 m2的造
价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多
少元？
三、当堂检测 1．设0
2y ＝x(3－2x) 的最大值是 ( ) A. 916 B.94 C．2 D.98
25x 3
y
1 (x>0，y>0)，则xy 的最小值是 ( )
A ．15 B．6 C．60 D．1
3．已知x ，y ，z∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y2
xz
的最小值为
( ) A．3 B．6 C．9 D．12
4. 已知a>3，求a ＋4
a －3
四、课堂小结：
五、课后反思