一、选择题
1．（2009年滨州）如图所示，给出下列条件： ①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③
ACCD
=ABBC
；④AC2=AD AB．
其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．
4
【关键词】三角形相似的判定.【答案】C
2.（2009年上海市)如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ） A．
ADDF
=BCCE
BCCE
DFAD
CDEF
BCBE
CDEF
ADAF
B．= C．= D．=
【关键词】平行线分线段成比例【答案】A
4. (2009年安顺)如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：
（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.其中正确的有： A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【关键词】等边三角形，三角形中位线，相似三角形
4. （2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为 A.2
B.
3 C. 2
D.6
【答案】A
5. （2011浙江杭州，10，3）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE(点E，F分别在线段AB，
CD上)，记它们的面积分别 为SABCD和SBFDE．现给出下列命题：（ ）
①若
SABCDSBFDE
2+2=
，则tan∠EDF=
3
．②若DE2=BD∙EF,则DF=2AD．
则:
A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D，①是假命题，②是假命题 【答案】A
例1 如图20，∠1＝∠2，AE⊥OB于E， BD⊥OA于D，交点为C．
求证：AC=BC． 图20 证法：∵AE⊥OB，BD⊥OA，∴∠ADC=∠BEC=90︒． ∵∠1＝∠2，∴CD=CE． 在△ACD和△BCE中，
∠ADC=∠BEC，CD=CE，∠3＝∠4． ∴△ACD≌△BCE(ASA)，∴AC=BC．
12
12
D
EC
例2 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E． 求证：CD=
BE．
证明：过点D作DF∥AB交BC于点F． ∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2．
∵DF∥AB，∴∠1=∠3，∠4=∠ABC． 图26 ∴∠2=∠3，∴DF=BF．
∵DE⊥BD，∴∠2+∠DEF=90º，∠3+∠5=90º． ∴∠DEF=∠5．∴DF=EF． ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C． ∴∠4=∠C，CD=DF． ∴CD=EF=BF，即CD=
12
BE．
3）如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.
(1) 求证：△ABD∽△CAE；
(2) 如果AC =BD，AD =22BD，设BD = a，求BC的长.
答案：
(1) ∵ BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上， ∴ ∠DBA = ∠CAE,
又∵
ABAC
=
BDAE
=3, ∴ △ABD∽△CAE.
(2) ∵AB = 3AC = 3BD，AD =22BD ，
∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2， ∴∠D =90°, 由（1）得 ∠E =∠D = 90°, ∵ AE=
13
BD , EC =
13
AD =
23
2BD , AB = 3BD ，
∴在Rt△BCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2
= (3BD +
13
BD )2 + (
223
BD)2 =
1089
BD2 = 12a2 ,
∴ BC =23a .
3, 如图;已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O 交AB于点D，过点D作⊙O 的切线DE交BC于点E．
求证：BE=CE
证明：连接CD ∵AC是直径 ∴∠ADC=90° ∵∠ACB=90°，ED是切线 ∴CE=DE ∴∠ECD=∠ED ∵∠ECD+∠B=90°，∠EDC+∠BDE=90°
∴∠B=∠BDE ∴BE=DE ∴BE=CE
18.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD
⊥AB于D，
E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。
（1） 求证：FD2=FB●FC。 （2） 若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由。
【关键词】相似、垂直
【答案】证明：（1）∵E是Rt△ACD斜边中点 ∴DE=EA
∴∠A=∠2 ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠A…
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A ∴∠FDC=∠FBD ∵F是公共角 ∴△FBD∽△FDC ∴（2）GD⊥
EF
FBFD
=FDFC
∴FD2=FB∙FC
理由如下：
∵DG是Rt△CDB斜边上的中线， ∴DG=GC ∴∠3=∠4
由（1）得∠4=∠1 ∴∠3=∠1 ∵∠3+∠5=90°∴∠5+∠1=90° ∴DG⊥EF
21.如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．
（1）求证：△ABC∽△POA；（2）若OB=2，OP=
72
，求BC的长．
【关键词】相似三角形有关的计算和证明
【答案】（1）证明： BC∥OP ∴∠AOP=∠B AB是直径 ∴∠C=90° PA是⊙O的切线，切点为A ∴∠OAP=90° ∠C=∠OAP ∴△ABC∽△POA （2） △ABC∽△POA ∴
∴BC2
=472
BCOA
=
ABPO
= OB=2，PO
72
∴OA=2，AB=4
∴
72
BC=8， BC=
167
一、选择题
1．（2009年滨州）如图所示，给出下列条件： ①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③
ACCD
=ABBC
；④AC2=AD AB．
其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．
4
【关键词】三角形相似的判定.【答案】C
2.（2009年上海市)如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ） A．
ADDF
=BCCE
BCCE
DFAD
CDEF
BCBE
CDEF
ADAF
B．= C．= D．=
【关键词】平行线分线段成比例【答案】A
4. (2009年安顺)如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：
（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.其中正确的有： A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【关键词】等边三角形，三角形中位线，相似三角形
4. （2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为 A.2
B.
3 C. 2
D.6
【答案】A
5. （2011浙江杭州，10，3）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE(点E，F分别在线段AB，
CD上)，记它们的面积分别 为SABCD和SBFDE．现给出下列命题：（ ）
①若
SABCDSBFDE
2+2=
，则tan∠EDF=
3
．②若DE2=BD∙EF,则DF=2AD．
则:
A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D，①是假命题，②是假命题 【答案】A
例1 如图20，∠1＝∠2，AE⊥OB于E， BD⊥OA于D，交点为C．
求证：AC=BC． 图20 证法：∵AE⊥OB，BD⊥OA，∴∠ADC=∠BEC=90︒． ∵∠1＝∠2，∴CD=CE． 在△ACD和△BCE中，
∠ADC=∠BEC，CD=CE，∠3＝∠4． ∴△ACD≌△BCE(ASA)，∴AC=BC．
12
12
D
EC
例2 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E． 求证：CD=
BE．
证明：过点D作DF∥AB交BC于点F． ∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2．
∵DF∥AB，∴∠1=∠3，∠4=∠ABC． 图26 ∴∠2=∠3，∴DF=BF．
∵DE⊥BD，∴∠2+∠DEF=90º，∠3+∠5=90º． ∴∠DEF=∠5．∴DF=EF． ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C． ∴∠4=∠C，CD=DF． ∴CD=EF=BF，即CD=
12
BE．
3）如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.
(1) 求证：△ABD∽△CAE；
(2) 如果AC =BD，AD =22BD，设BD = a，求BC的长.
答案：
(1) ∵ BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上， ∴ ∠DBA = ∠CAE,
又∵
ABAC
=
BDAE
=3, ∴ △ABD∽△CAE.
(2) ∵AB = 3AC = 3BD，AD =22BD ，
∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2， ∴∠D =90°, 由（1）得 ∠E =∠D = 90°, ∵ AE=
13
BD , EC =
13
AD =
23
2BD , AB = 3BD ，
∴在Rt△BCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2
= (3BD +
13
BD )2 + (
223
BD)2 =
1089
BD2 = 12a2 ,
∴ BC =23a .
3, 如图;已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O 交AB于点D，过点D作⊙O 的切线DE交BC于点E．
求证：BE=CE
证明：连接CD ∵AC是直径 ∴∠ADC=90° ∵∠ACB=90°，ED是切线 ∴CE=DE ∴∠ECD=∠ED ∵∠ECD+∠B=90°，∠EDC+∠BDE=90°
∴∠B=∠BDE ∴BE=DE ∴BE=CE
18.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD
⊥AB于D，
E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。
（1） 求证：FD2=FB●FC。 （2） 若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由。
【关键词】相似、垂直
【答案】证明：（1）∵E是Rt△ACD斜边中点 ∴DE=EA
∴∠A=∠2 ∵∠1=∠2 ∴∠1=∠A…
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A ∴∠FDC=∠FBD ∵F是公共角 ∴△FBD∽△FDC ∴（2）GD⊥
EF
FBFD
=FDFC
∴FD2=FB∙FC
理由如下：
∵DG是Rt△CDB斜边上的中线， ∴DG=GC ∴∠3=∠4
由（1）得∠4=∠1 ∴∠3=∠1 ∵∠3+∠5=90°∴∠5+∠1=90° ∴DG⊥EF
21.如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．
（1）求证：△ABC∽△POA；（2）若OB=2，OP=
72
，求BC的长．
【关键词】相似三角形有关的计算和证明
【答案】（1）证明： BC∥OP ∴∠AOP=∠B AB是直径 ∴∠C=90° PA是⊙O的切线，切点为A ∴∠OAP=90° ∠C=∠OAP ∴△ABC∽△POA （2） △ABC∽△POA ∴
∴BC2
=472
BCOA
=
ABPO
= OB=2，PO
72
∴OA=2，AB=4
∴
72
BC=8， BC=
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