第11卷第2期 2002年5月
数 学 教 育 学 报
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION
Vol.11, No.2
May., 2002
对数学本质的认识
黄光荣
（湖南大学衡阳分校，湖南 衡阳 421101）
摘要：数学哲学家们对数学本质的认识提出了多种说法，概括起来可分为4类：经验倾向性说法；形式倾向性说法；综合（调和）说法；先验论说法．然而，没有一种令人完全满意的关于数学本质的概括．为此，要从不同历史阶段分析和认识数学的本质；从不同的角度去认识数学的本质意义；对数学本质的认识也随着各人对数学的感觉不同而异．对数学本质的认识更多地取决于对数学的心灵感悟，这才是接近数学、走进数学、研究数学和发现数学真理的不竭动力源泉．
关键词：数学本质；演绎；数感；时效性
中图分类号：G01–0 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2002）02–0021–03
数学本质，简单地解释就是数学的根本性质．对数学本质的认识，是数学认识的一个根本性问题，也是数学教育论的一个根本性问题，历来被数学家，尤其为数学哲学家所重视．
的片面性，这就使得一些数学家开始怀疑“数学是一门演绎科学”的观点．提出数学是一门有经验根据的科学，但并不排除演绎法．这引起一场来自数学家的关于数学本质的讨论[1]．
拉卡托斯（1922—1974）为了避免数学演绎的片面性，从分析数学理论结构入手，提出数学是一门拟经验科学．他说：“从总体上看，按欧几里得方式重组数学也是不可能的，至少最有意义的数学理论，像自然科学一样是拟经验的．”
数学家们对拉卡托斯以及数学哲学史上有关数学本质的概括并不满意，如数理逻辑学家A.罗宾逊表示：“在应用辩证法来仔细分析数学或某一种数学理论（如微积分）而言，在我所读到的从黑格尔开始的这方面的著作中，还没有发现经得起认真批判的东西．”当计算机在数学中的应用引起数学研究方法的变化时，特别是当计算机证明了四色定理和借助计算机进行大量试验而创立分形几何时，再次引起了数学家们对“什么是数学”，“什么是证明”这类有关数学本质的争论[2]．
最新的关于数学本质的概括，应该提及我国学者林夏水先生的分析[3]．他认为：（1）作为经验的数学知识是通过解决问题而积累的，而提出问题和解决问题需要计算；（2）对数学一般方法（公式、原理、法则等）的概括不仅需要计算（包括使用计算机），也需要采用观察，实验和演绎方法．因此，“演”（演绎）与“算”（计算和算法）反映了数学研究的特点，构成数学发展的一对基本矛盾．所以“数学是一门演算科学”．
1 数学哲学家对数学本质的认识
数学哲学史上最早讨论数学本质的是古希腊哲学家柏拉图，他在《理想国》中提出认识的4个
阶段，认为数学是处于从感性认识到理性认识的一个阶梯，是一种理智认识．这是柏拉图对数学知识在认识中的定位，第一次触及数学的本质问题．
17世纪英国经验论哲学家洛克（1632—1704）在批判笛卡尔的天赋观念中建立起他的唯物主义经验论，表述了数学经验论观点．
德国哲学家、数学家莱布尼兹（1646—1716）在建立他的唯理论哲学中，阐述了唯理论的数学哲学观．他认为：“全部算术和全部几何学都是天赋的．”数学只要依靠矛盾原则就可以证明全部算术和几何，数学属于推理真理．他否认数学知识具有经验性．
德国哲学家康德（1742—1804）为了克服唯理论与经验的片面性，运用它的先验论哲学，从判断分类入手，认为数学是“先验综合判断”．
康德以后，数学发展进入一个新高潮，主要特点是公理化倾向．这一趋势使大多数数学家形成一种共识：“数学是一门演绎科学．”这种观点的典型代表是数学基础学派中逻辑主义和形式主义．前者把数学归结为逻辑，后者把数学看作符号．哥德尔不完备性定理表明了公理系统的局限性和演绎论
收稿日期：2001–12–09；修订日期：2002–02–05
22 数 学 教 育 学 报 第11卷
2 对以上概括的分析评价
2.1 对各种概括的时代背景分析
以上列举了概括数学本质的7种尝试，之所以称为尝试，是认为尚无定论，或者是不成熟．这7种概括大体可以分为下列4类说法．
（1）经验倾向性说法．如洛克的“数学知识来源于经验，数学的理论知识不如直觉知识清楚和可靠”和柏拉图的“数学是处于从感性认识过渡到理性认识的一个阶梯，是一种理智认识”等．其倾向性是注重数学知识的来源和过程，包括属于直觉的、经验的，或者是归纳、类比的过程．
（2）形式倾向性说法．如“数学是一门演绎科学”等．其倾向性是注重数学知识的按形式逻辑编排的表面形式和按演绎体系展开的特点．
（3）综合（调和）说法．如“数学是一门演算科学”、“数学是一门拟经验科学”等．其目的是试图解释或调和由经验性说法和演绎性说法产生的矛盾，揭示数学“对立统一”的辩证关系． （4）先验论说法．如莱布尼兹的“天赋”和康德的“先验综合判断”说法等．
以上4类说法，与其说是各有其倾向性，倒不如说是各有其鲜明的（历史）时代特色．
数学史告诉我们，数学起源于算，即起源于物体个数、长度，田亩面积等的计算．要计算就要有方法，当各种方法积累到一定数量时，再进行分类，概括出某类问题的计算公式、法则、原理，因此数学的童年时代表现为一种经验知识，叫算术．这是经验说法的时代背景．
当欧几里得建立了数学史上第一个公理体系时，才出现了演绎法．演绎法是迫于丰富的数学成果不可能总是零零散散的，需要整理，并按一定的程序排列，以至找出它们之间的内在联系而产生的，是数学本身内在发展力和数学家敏捷的适应能力的综合作用之产物．
现代计算机的应用促进了（计算）数学的发展及其与之交叉的，诸如计算流体力学，计算几何等边缘科学的产生．人们开始认识到，数学不是纯演绎的，算法与演绎法已并驾齐驱，本应早有体现的“算法”思想，在数学发展史上终于有了一席地位．这是演算说法的时代背景．
至于先验论说法，是数学处于由纯经验性向形式性（不可说化）过渡时期的一种矛盾说法（无奈的解释）．因为，天赋（包含灵感成分）有时来自
直觉（或经验），而先天综合判断又有理性思维成
分．因此，与其说是“先验论”倒不如说是限于时代和认识水平，对初见端倪的公理性的一种力不从心（词不达意）的表述．还有拟经验说法，尽管目的是想解决经验性和演绎性的矛盾，但拟经验实际上是半经验，不但没有解决数学的性质问题，甚至本身也有矛盾性．
2.2 对各类说法的评价
对数学本质的认识是随着数学的发展而发展的，我们不能要求经验说法（欧几里得以前）把演绎性概括为数学的本质属性．因此，就当时数学发展的实际背景而言，经验说法好像没有什么缺陷感；形式倾向说法只注意当时形式化倾向的强大暄染力，忽视了数学的经验性特点；演算说法注意到计算机在现代社会的广泛应用和强大功能，也未忽视数学结构的演绎性和作为数学起源的算法思想．然而，首先的问题是：演绎是论证思维，是对已知结论作整理，对猜想作论证，那么仅用“计算”能概括包括由直觉、归纳及类比等等发现数学知识的思维过程吗？在以知识创新为主旋律的今天，数学知识的发明和发现尤为重要，“演算”能揭示数学强大创新功能之特性吗？其次是，既然哥德尔不完备性定理已经动摇了按演绎构成的数学知识体系的绝对严密性，当越来越多的人们认识到数学知识的形式化不利于培养创新能力时，数学知识还一定要按形式逻辑编排，按演绎体系展开吗？第三是，当计算机技术被视为一种文化的今天，计算机技术是否可以单列为一个科学知识体系呢？第四是，数学发展史证明，推动数学发展的主要动力是归纳而不是演绎．
事实上，首先是已有不那么严格的按演绎体系和形式逻辑编排的数学教材问世．如2000年8月，在第九届国际数学教育大会上，莫斯科大学教授杜勒林介绍的俄罗斯最新中学教材《直观几何》，“改变了过去几何严谨抽象枯燥的呈现方式，严格孤傲的公理体系+单调乏味的点线面被生动有趣的生活哲理及变换多姿的可视图形所取代，几何达到了它从未有过的丰富程度，内在的生机也由此得以释放．”[4]其次是计算机知识已作为一门公共课，已有单独的计算机专业、计算机系、计算机专科学校．计算机技术从数学中分离出来成为一门独立的学科，只怕已是被“存在”决定了的“认识”．
3 对数学本质的认识方法
第2期 黄光荣：对数学本质的认识 23
以上的讨论启发我们进一步思考如下问题：为什么有史以来竟没有一种令人满意的关于数学本质的概括？原因何在？或者说，究竟应该怎样去理解和认识数学的本质呢？
3.1 从不同历史阶段分析和认识数学的本质特性
对数学本质的认识，是依赖于数学发展阶段的，是有时效性的，这已在前面作过分析．如果说要给数学本质下一个涵概各个发展时期的定义，必定是“过去时态”．至于说预见和先知也可以说是对数学发展规律的认识的话，却只能由以后的数学事实来检验．对数学本质的认识既随着数学的发展而发展，也随着各个阶段人们的认识水平的提高而深入．它是一个动态的认识过程．
3.2 从不同的角度去认识数学的本质意义
已有的事实表明，除去我们前面所列多种关于数学本质的概括，我们还可以列举若干种．比如，从广泛的社会意义的角度来理解、认识数学，罗宾逊说：“数学是人类意志的表达．它反映积极的意志，深思熟虑的推理，以及精美完善的愿望”；从作为一种语言文化形态的角度来理解、认识数学，现在人们倾向于：“数学是一种文化体系”[5]，“数学是一种语言”，“数学是一门艺术”；从作为思维科学的角度来理解、认识数学，也可以说数学是“实验思维过程+归纳抽象思维过程+逻辑论证思维过程”，等等．这些关于数学本质的认识，不但未显偏颇，甚至更能从各个侧面来揭示数学形式的丰富多彩和数学内容的博大精深．
3.3 认识随着各人对数学的感觉不同而异 比如，自数学公理化体系形成以来，认为“数学是按严密的逻辑构成的科学”，“数学是一个演绎体系”只怕是最普遍的认识．然而，当我们做数学时，总觉得数学实际上不是这么回事，数学与逻辑不是大致一样，而是大不一样．“数学当然要遵循逻辑，但逻辑在数学中的作用就像文法在文学中的作用那样，写作合乎文法的文章与照着文法去写文章，完全是两码事”（小平邦彦语）．当作家写一部小说时，他凭的是对生活的感受和对语言的感觉，却很少考虑文法与逻辑．同样，进行正确的逻辑推理与堆砌逻辑去构成数学理论是性质完全不同的．
一个明显的事实是：通常的逻辑大家都知道，如果数学与逻辑一样，那么懂得逻辑的人就应该懂得数学，但是中文成绩好，写作水平高而数学成绩
不好的大有人在．由此看来，数学在本质上与逻辑大不一样．
数学是研究自然中数学现象的科学．因此，理解数学的关键是要观察数学现象，这种观察在很大程度上要根据某种感觉去体会，如果说这种感觉有些难以言传的话，是因为它是一种心灵感悟，我们称它为“数感”．要理解数学不靠数感将是困难的，没有数感的人不懂得数学就像5音不全的人不懂得音乐一样．
发现数学理论、证明数学定理主要靠数感而不是靠逻辑，因为不但大部分感觉无法用逻辑语言表达出来，并且在数学发现和数学论证中，与数感相比，逻辑的比重极小．
在人们寻找完美数的过程中，第五个完美数（33 550 336）的发现与第四个完美数（8 128）的发现相隔一千多年，第六个完美数（8 589 869 056）的发现距第五个完美数的发现相隔了50年．因为如此艰难，欧几里得以他敏锐的“数感”发现完美数是形如Cn=2n–1(2n–1)的数，而且猜测到当n与2n–1同为素数时Cn=2n—1(2n–1)是完美数．因此，问题转化为寻找形如2n–1的素数（称为默森数）．至目前为止寻找到的最后一个默森数是286 243–1，这个数共2万多位，要用二三十页纸才能写完，更不要说判断其为素数有多难．是什么使得人们如此不畏艰难一如既往呢？“枯燥”的逻辑有如此大的吸引力吗？靠逻辑能创造数论吗？这只能靠数感，是数的美感吸引作用．又如对素数分布的结论：前n个整数中素数约n/lnn个，人们怎么把素数的个数问题与一个对数值联系起来的呢？这与逻辑有多大关系？
人们对数学的不同感受可以得出对数学本质完全不同的认识，从不同的角度观察数学也可以得出对数学本质的不同理解．所以，对数学本质下一个统一的定义，既不大可能，也没有必要．并且，我们最好不要花太多的精力去思考哪一个关于数学本质的定义更合乎自己的认识，因为这是无关紧要的．对数学本质的认识更多地取决于对数学的心灵感悟，这才是接近数学、走进数学、研究数学和发现数学真理的不竭动力源泉．
致谢：衷心感谢导师张楚廷教授的悉心指导．
（下转第49页）
第2期 马云鹏等：认识数感与发展数感 49
符号感的建立和初步的数学模型的建立结合起来，将有助学生的整体数学素养的提高．
培养学生数感应当成为中小学数学教育的重要目标之一，《标准》中确定这方面的目标与要求，
在实际教学中需要结合具体的教学内容有意识地
设计具体目标，提供有助于培养学生数感的情境，有利于发展学生数感的评价方式，以促进学生数感的建立和数学素养的提高．
Understanding Number Sense and Its Cultivation among the Students
MA Yun-peng1, SHI Bing-xing2
(1. The Faculty of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China; 2. Department of Mathematics, Beijing Institute of Education, Beijing 100011, China)
Abstract: Number sense was a key concept in the “Mathematics Curriculum Standards”. Number sense was the attitude towards and awareness of understanding and applying number automatically. It was an important component of thinking and solving problem mathematically in the learning mathematics. With the development of the number sense, students could have a deeper understanding of number concept and their manipulation skills could be further enhanced. In this light, it was essential to have an understanding on the number sense as elaborated in the “Mathematics Curriculum Standards”. It was important to, by realizing the importance of number sense in mathematics education, cultivate a number sense among the students in the teaching of number concept, in the teaching of number manipulations and in the guidance of student problem solving processes. Key words: number sense; reform of mathematics curriculum; curriculum standards; number concept
[责任编校：陈汉君]
（上接第23页）
[3] 林夏水．论数学本质[J]．哲学研究，2000，（9）：66．
参考文献：
[1] 郑毓信．中国学习者的悖论[J]．数学教育学报，2001，10（1）：1–6．
[2] 林夏水，董光壁，梁芳．分形的哲学漫步[M]．北京：首都师范大学出版社，1999．23．
[4] 周莉莉．“直观几何”及对我国几何课程改革的启示[J]．数学教育学报，2001，10（3）：54–55．
[5] 张楚廷．数学文化与人才发展[J]．数学教育学报，2001，10（3）：1–4．
On Knowledge of Mathematics Nature
HUANG Guang－ｒｏｎｇ
(Ｈｅｎｇｙａｎｇ Ｂｒａｎｃｈ ｏｆ Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｈｕｎａｎ Ｈｅｎｇｙａｎｇ ４２１１０１， Ｃｈｉｎａ)
Abstract: The author of this paper had made some comments on the various aspects of the mathematics nature, pointed out that too much emphasize on the deductive way for mathematics teaching was not good for creativeness cultivation through mathematics teaching, and also analyzed the efficiency, and multiangles for knowing the nature of mathematics and the role of the mathematics sense in knowing the nature of mathematics.
Key words: mathematics nature; deduction; mathematics sense; efficiency
[责任编校：张艳琼]
第11卷第2期 2002年5月
数 学 教 育 学 报
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION
Vol.11, No.2
May., 2002
对数学本质的认识
黄光荣
（湖南大学衡阳分校，湖南 衡阳 421101）
摘要：数学哲学家们对数学本质的认识提出了多种说法，概括起来可分为4类：经验倾向性说法；形式倾向性说法；综合（调和）说法；先验论说法．然而，没有一种令人完全满意的关于数学本质的概括．为此，要从不同历史阶段分析和认识数学的本质；从不同的角度去认识数学的本质意义；对数学本质的认识也随着各人对数学的感觉不同而异．对数学本质的认识更多地取决于对数学的心灵感悟，这才是接近数学、走进数学、研究数学和发现数学真理的不竭动力源泉．
关键词：数学本质；演绎；数感；时效性
中图分类号：G01–0 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2002）02–0021–03
数学本质，简单地解释就是数学的根本性质．对数学本质的认识，是数学认识的一个根本性问题，也是数学教育论的一个根本性问题，历来被数学家，尤其为数学哲学家所重视．
的片面性，这就使得一些数学家开始怀疑“数学是一门演绎科学”的观点．提出数学是一门有经验根据的科学，但并不排除演绎法．这引起一场来自数学家的关于数学本质的讨论[1]．
拉卡托斯（1922—1974）为了避免数学演绎的片面性，从分析数学理论结构入手，提出数学是一门拟经验科学．他说：“从总体上看，按欧几里得方式重组数学也是不可能的，至少最有意义的数学理论，像自然科学一样是拟经验的．”
数学家们对拉卡托斯以及数学哲学史上有关数学本质的概括并不满意，如数理逻辑学家A.罗宾逊表示：“在应用辩证法来仔细分析数学或某一种数学理论（如微积分）而言，在我所读到的从黑格尔开始的这方面的著作中，还没有发现经得起认真批判的东西．”当计算机在数学中的应用引起数学研究方法的变化时，特别是当计算机证明了四色定理和借助计算机进行大量试验而创立分形几何时，再次引起了数学家们对“什么是数学”，“什么是证明”这类有关数学本质的争论[2]．
最新的关于数学本质的概括，应该提及我国学者林夏水先生的分析[3]．他认为：（1）作为经验的数学知识是通过解决问题而积累的，而提出问题和解决问题需要计算；（2）对数学一般方法（公式、原理、法则等）的概括不仅需要计算（包括使用计算机），也需要采用观察，实验和演绎方法．因此，“演”（演绎）与“算”（计算和算法）反映了数学研究的特点，构成数学发展的一对基本矛盾．所以“数学是一门演算科学”．
1 数学哲学家对数学本质的认识
数学哲学史上最早讨论数学本质的是古希腊哲学家柏拉图，他在《理想国》中提出认识的4个
阶段，认为数学是处于从感性认识到理性认识的一个阶梯，是一种理智认识．这是柏拉图对数学知识在认识中的定位，第一次触及数学的本质问题．
17世纪英国经验论哲学家洛克（1632—1704）在批判笛卡尔的天赋观念中建立起他的唯物主义经验论，表述了数学经验论观点．
德国哲学家、数学家莱布尼兹（1646—1716）在建立他的唯理论哲学中，阐述了唯理论的数学哲学观．他认为：“全部算术和全部几何学都是天赋的．”数学只要依靠矛盾原则就可以证明全部算术和几何，数学属于推理真理．他否认数学知识具有经验性．
德国哲学家康德（1742—1804）为了克服唯理论与经验的片面性，运用它的先验论哲学，从判断分类入手，认为数学是“先验综合判断”．
康德以后，数学发展进入一个新高潮，主要特点是公理化倾向．这一趋势使大多数数学家形成一种共识：“数学是一门演绎科学．”这种观点的典型代表是数学基础学派中逻辑主义和形式主义．前者把数学归结为逻辑，后者把数学看作符号．哥德尔不完备性定理表明了公理系统的局限性和演绎论
收稿日期：2001–12–09；修订日期：2002–02–05
22 数 学 教 育 学 报 第11卷
2 对以上概括的分析评价
2.1 对各种概括的时代背景分析
以上列举了概括数学本质的7种尝试，之所以称为尝试，是认为尚无定论，或者是不成熟．这7种概括大体可以分为下列4类说法．
（1）经验倾向性说法．如洛克的“数学知识来源于经验，数学的理论知识不如直觉知识清楚和可靠”和柏拉图的“数学是处于从感性认识过渡到理性认识的一个阶梯，是一种理智认识”等．其倾向性是注重数学知识的来源和过程，包括属于直觉的、经验的，或者是归纳、类比的过程．
（2）形式倾向性说法．如“数学是一门演绎科学”等．其倾向性是注重数学知识的按形式逻辑编排的表面形式和按演绎体系展开的特点．
（3）综合（调和）说法．如“数学是一门演算科学”、“数学是一门拟经验科学”等．其目的是试图解释或调和由经验性说法和演绎性说法产生的矛盾，揭示数学“对立统一”的辩证关系． （4）先验论说法．如莱布尼兹的“天赋”和康德的“先验综合判断”说法等．
以上4类说法，与其说是各有其倾向性，倒不如说是各有其鲜明的（历史）时代特色．
数学史告诉我们，数学起源于算，即起源于物体个数、长度，田亩面积等的计算．要计算就要有方法，当各种方法积累到一定数量时，再进行分类，概括出某类问题的计算公式、法则、原理，因此数学的童年时代表现为一种经验知识，叫算术．这是经验说法的时代背景．
当欧几里得建立了数学史上第一个公理体系时，才出现了演绎法．演绎法是迫于丰富的数学成果不可能总是零零散散的，需要整理，并按一定的程序排列，以至找出它们之间的内在联系而产生的，是数学本身内在发展力和数学家敏捷的适应能力的综合作用之产物．
现代计算机的应用促进了（计算）数学的发展及其与之交叉的，诸如计算流体力学，计算几何等边缘科学的产生．人们开始认识到，数学不是纯演绎的，算法与演绎法已并驾齐驱，本应早有体现的“算法”思想，在数学发展史上终于有了一席地位．这是演算说法的时代背景．
至于先验论说法，是数学处于由纯经验性向形式性（不可说化）过渡时期的一种矛盾说法（无奈的解释）．因为，天赋（包含灵感成分）有时来自
直觉（或经验），而先天综合判断又有理性思维成
分．因此，与其说是“先验论”倒不如说是限于时代和认识水平，对初见端倪的公理性的一种力不从心（词不达意）的表述．还有拟经验说法，尽管目的是想解决经验性和演绎性的矛盾，但拟经验实际上是半经验，不但没有解决数学的性质问题，甚至本身也有矛盾性．
2.2 对各类说法的评价
对数学本质的认识是随着数学的发展而发展的，我们不能要求经验说法（欧几里得以前）把演绎性概括为数学的本质属性．因此，就当时数学发展的实际背景而言，经验说法好像没有什么缺陷感；形式倾向说法只注意当时形式化倾向的强大暄染力，忽视了数学的经验性特点；演算说法注意到计算机在现代社会的广泛应用和强大功能，也未忽视数学结构的演绎性和作为数学起源的算法思想．然而，首先的问题是：演绎是论证思维，是对已知结论作整理，对猜想作论证，那么仅用“计算”能概括包括由直觉、归纳及类比等等发现数学知识的思维过程吗？在以知识创新为主旋律的今天，数学知识的发明和发现尤为重要，“演算”能揭示数学强大创新功能之特性吗？其次是，既然哥德尔不完备性定理已经动摇了按演绎构成的数学知识体系的绝对严密性，当越来越多的人们认识到数学知识的形式化不利于培养创新能力时，数学知识还一定要按形式逻辑编排，按演绎体系展开吗？第三是，当计算机技术被视为一种文化的今天，计算机技术是否可以单列为一个科学知识体系呢？第四是，数学发展史证明，推动数学发展的主要动力是归纳而不是演绎．
事实上，首先是已有不那么严格的按演绎体系和形式逻辑编排的数学教材问世．如2000年8月，在第九届国际数学教育大会上，莫斯科大学教授杜勒林介绍的俄罗斯最新中学教材《直观几何》，“改变了过去几何严谨抽象枯燥的呈现方式，严格孤傲的公理体系+单调乏味的点线面被生动有趣的生活哲理及变换多姿的可视图形所取代，几何达到了它从未有过的丰富程度，内在的生机也由此得以释放．”[4]其次是计算机知识已作为一门公共课，已有单独的计算机专业、计算机系、计算机专科学校．计算机技术从数学中分离出来成为一门独立的学科，只怕已是被“存在”决定了的“认识”．
3 对数学本质的认识方法
第2期 黄光荣：对数学本质的认识 23
以上的讨论启发我们进一步思考如下问题：为什么有史以来竟没有一种令人满意的关于数学本质的概括？原因何在？或者说，究竟应该怎样去理解和认识数学的本质呢？
3.1 从不同历史阶段分析和认识数学的本质特性
对数学本质的认识，是依赖于数学发展阶段的，是有时效性的，这已在前面作过分析．如果说要给数学本质下一个涵概各个发展时期的定义，必定是“过去时态”．至于说预见和先知也可以说是对数学发展规律的认识的话，却只能由以后的数学事实来检验．对数学本质的认识既随着数学的发展而发展，也随着各个阶段人们的认识水平的提高而深入．它是一个动态的认识过程．
3.2 从不同的角度去认识数学的本质意义
已有的事实表明，除去我们前面所列多种关于数学本质的概括，我们还可以列举若干种．比如，从广泛的社会意义的角度来理解、认识数学，罗宾逊说：“数学是人类意志的表达．它反映积极的意志，深思熟虑的推理，以及精美完善的愿望”；从作为一种语言文化形态的角度来理解、认识数学，现在人们倾向于：“数学是一种文化体系”[5]，“数学是一种语言”，“数学是一门艺术”；从作为思维科学的角度来理解、认识数学，也可以说数学是“实验思维过程+归纳抽象思维过程+逻辑论证思维过程”，等等．这些关于数学本质的认识，不但未显偏颇，甚至更能从各个侧面来揭示数学形式的丰富多彩和数学内容的博大精深．
3.3 认识随着各人对数学的感觉不同而异 比如，自数学公理化体系形成以来，认为“数学是按严密的逻辑构成的科学”，“数学是一个演绎体系”只怕是最普遍的认识．然而，当我们做数学时，总觉得数学实际上不是这么回事，数学与逻辑不是大致一样，而是大不一样．“数学当然要遵循逻辑，但逻辑在数学中的作用就像文法在文学中的作用那样，写作合乎文法的文章与照着文法去写文章，完全是两码事”（小平邦彦语）．当作家写一部小说时，他凭的是对生活的感受和对语言的感觉，却很少考虑文法与逻辑．同样，进行正确的逻辑推理与堆砌逻辑去构成数学理论是性质完全不同的．
一个明显的事实是：通常的逻辑大家都知道，如果数学与逻辑一样，那么懂得逻辑的人就应该懂得数学，但是中文成绩好，写作水平高而数学成绩
不好的大有人在．由此看来，数学在本质上与逻辑大不一样．
数学是研究自然中数学现象的科学．因此，理解数学的关键是要观察数学现象，这种观察在很大程度上要根据某种感觉去体会，如果说这种感觉有些难以言传的话，是因为它是一种心灵感悟，我们称它为“数感”．要理解数学不靠数感将是困难的，没有数感的人不懂得数学就像5音不全的人不懂得音乐一样．
发现数学理论、证明数学定理主要靠数感而不是靠逻辑，因为不但大部分感觉无法用逻辑语言表达出来，并且在数学发现和数学论证中，与数感相比，逻辑的比重极小．
在人们寻找完美数的过程中，第五个完美数（33 550 336）的发现与第四个完美数（8 128）的发现相隔一千多年，第六个完美数（8 589 869 056）的发现距第五个完美数的发现相隔了50年．因为如此艰难，欧几里得以他敏锐的“数感”发现完美数是形如Cn=2n–1(2n–1)的数，而且猜测到当n与2n–1同为素数时Cn=2n—1(2n–1)是完美数．因此，问题转化为寻找形如2n–1的素数（称为默森数）．至目前为止寻找到的最后一个默森数是286 243–1，这个数共2万多位，要用二三十页纸才能写完，更不要说判断其为素数有多难．是什么使得人们如此不畏艰难一如既往呢？“枯燥”的逻辑有如此大的吸引力吗？靠逻辑能创造数论吗？这只能靠数感，是数的美感吸引作用．又如对素数分布的结论：前n个整数中素数约n/lnn个，人们怎么把素数的个数问题与一个对数值联系起来的呢？这与逻辑有多大关系？
人们对数学的不同感受可以得出对数学本质完全不同的认识，从不同的角度观察数学也可以得出对数学本质的不同理解．所以，对数学本质下一个统一的定义，既不大可能，也没有必要．并且，我们最好不要花太多的精力去思考哪一个关于数学本质的定义更合乎自己的认识，因为这是无关紧要的．对数学本质的认识更多地取决于对数学的心灵感悟，这才是接近数学、走进数学、研究数学和发现数学真理的不竭动力源泉．
致谢：衷心感谢导师张楚廷教授的悉心指导．
（下转第49页）
第2期 马云鹏等：认识数感与发展数感 49
符号感的建立和初步的数学模型的建立结合起来，将有助学生的整体数学素养的提高．
培养学生数感应当成为中小学数学教育的重要目标之一，《标准》中确定这方面的目标与要求，
在实际教学中需要结合具体的教学内容有意识地
设计具体目标，提供有助于培养学生数感的情境，有利于发展学生数感的评价方式，以促进学生数感的建立和数学素养的提高．
Understanding Number Sense and Its Cultivation among the Students
MA Yun-peng1, SHI Bing-xing2
(1. The Faculty of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China; 2. Department of Mathematics, Beijing Institute of Education, Beijing 100011, China)
Abstract: Number sense was a key concept in the “Mathematics Curriculum Standards”. Number sense was the attitude towards and awareness of understanding and applying number automatically. It was an important component of thinking and solving problem mathematically in the learning mathematics. With the development of the number sense, students could have a deeper understanding of number concept and their manipulation skills could be further enhanced. In this light, it was essential to have an understanding on the number sense as elaborated in the “Mathematics Curriculum Standards”. It was important to, by realizing the importance of number sense in mathematics education, cultivate a number sense among the students in the teaching of number concept, in the teaching of number manipulations and in the guidance of student problem solving processes. Key words: number sense; reform of mathematics curriculum; curriculum standards; number concept
[责任编校：陈汉君]
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[3] 林夏水．论数学本质[J]．哲学研究，2000，（9）：66．
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On Knowledge of Mathematics Nature
HUANG Guang－ｒｏｎｇ
(Ｈｅｎｇｙａｎｇ Ｂｒａｎｃｈ ｏｆ Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｈｕｎａｎ Ｈｅｎｇｙａｎｇ ４２１１０１， Ｃｈｉｎａ)
Abstract: The author of this paper had made some comments on the various aspects of the mathematics nature, pointed out that too much emphasize on the deductive way for mathematics teaching was not good for creativeness cultivation through mathematics teaching, and also analyzed the efficiency, and multiangles for knowing the nature of mathematics and the role of the mathematics sense in knowing the nature of mathematics.
Key words: mathematics nature; deduction; mathematics sense; efficiency
[责任编校：张艳琼]