《必须掌握的“等时圆”模型》
一、 等时圆模型
二、 等时圆规律：
沿不同的弦静止滑下的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即
t 0=
2d 4R R
==2g g g 三、 等时圆推证：
【题1】2004年高考试题：如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、
d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处由静止释放，用t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ） A.t 1t2>t3 C.t 3>t1>t2 D.t 1=t2=t3
四、等时圆应用：
【题2】倾角为30°的长斜坡上有C 、O 、B 三点，CO = OB = 10m，在C 点竖直地固定一长10 m 的直杆AO 。A 端与C 点间和坡底B 点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A 点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC 和tAB 分别为（取g = 10m/s2）
A ．2s 和2s B
和 2s C
和4s D ．4s
【题3】如图，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）
A. 球面 B. 抛物面 C. 水平面 D. 无法确定
【题4】如图3所示，Oa 、Ob 、Oc 是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O 、a 、
b 、c 四点位于同一圆周上，d 点为圆周的最高点，c 为最低点，每根杆上套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从图中O 点无初速释放，用t1、t2 、t3、依次表示滑到a 、b 、c 所用的时间，则 A ．B ．
t 1=t 2=t 3 t 1>t 2>t 3
O
t
D.
t 3>t 1>t 2
图3
【题5】 如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M 点，与竖直墙相切于A 点，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为60°，C 是圆轨道的圆心．D 是圆轨道上与M 靠得很近的一点(DM远小于CM) ．已知在同一时刻，a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M 点；c 球由C 点自由下落到M 点；d 球从D 点由静止出发沿圆轨道运动到M 点．则( )
A ．a 球最先到达M 点 B ．b 球最先到达M 点 C ．c 球最先到达M 点 D ．d 球最先到达M 点
【题6】如图9，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO 、bO 、cO ，其下端都固定于底部圆心O ，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水
平面的夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时从a 、b 、c 处开
始下滑（忽略阻力），则 （ ）
A 、a 处小孩最先到O 点 B 、b 处小孩最先到O 点
C 、c 处小孩最先到O 点 D 、a 、c 处小孩同时到O 点
【题7】如图，AB 是一个倾角为θ的输送带，P 处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P 与AB 输送带间建立一管道(假设其光滑) ，使原料从P 处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？
【题8】：圆O1和圆O2相切于点P ，O1、O2的连线为一竖直线，如图8所示。过点P 有两条光滑的轨道AB 、CD ，两个小物体由静止开始分别沿AB 、CD 下滑，下滑时间分别为t1、t2，则t1、t2的关系是（） A.t1>t2 B.t1=t2 C.t1
8
【题9】. 如图9，底边为定长b 的直角斜面中，球从光滑直角斜面顶端由静止滑到底端，至少需要多少时间？ 图9
【题10】如图甲所示是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分AE 滑行的时间，技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图．AC 是滑道的竖直高度，D 点是AC 竖直线上的一点，且有AD ＝DE ＝10 m ，滑道AE 可视为光滑，滑行者从坡顶A 点由静止开始沿滑道AE 向下做直线滑动，g 取10 m/s2，则滑行者在滑道AE 上滑行的时间为( ) 2 s C. 3 s
B ．2 s D ．2
s
《必须掌握的“等时圆”模型》
一、 等时圆模型
二、 等时圆规律：
沿不同的弦静止滑下的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即
t 0=
2d 4R R
==2g g g 三、 等时圆推证：
【题1】2004年高考试题：如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、
d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处由静止释放，用t 1、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（ ） A.t 1t2>t3 C.t 3>t1>t2 D.t 1=t2=t3
四、等时圆应用：
【题2】倾角为30°的长斜坡上有C 、O 、B 三点，CO = OB = 10m，在C 点竖直地固定一长10 m 的直杆AO 。A 端与C 点间和坡底B 点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A 点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC 和tAB 分别为（取g = 10m/s2）
A ．2s 和2s B
和 2s C
和4s D ．4s
【题3】如图，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ）
A. 球面 B. 抛物面 C. 水平面 D. 无法确定
【题4】如图3所示，Oa 、Ob 、Oc 是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O 、a 、
b 、c 四点位于同一圆周上，d 点为圆周的最高点，c 为最低点，每根杆上套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从图中O 点无初速释放，用t1、t2 、t3、依次表示滑到a 、b 、c 所用的时间，则 A ．B ．
t 1=t 2=t 3 t 1>t 2>t 3
O
t
D.
t 3>t 1>t 2
图3
【题5】 如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M 点，与竖直墙相切于A 点，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为60°，C 是圆轨道的圆心．D 是圆轨道上与M 靠得很近的一点(DM远小于CM) ．已知在同一时刻，a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M 点；c 球由C 点自由下落到M 点；d 球从D 点由静止出发沿圆轨道运动到M 点．则( )
A ．a 球最先到达M 点 B ．b 球最先到达M 点 C ．c 球最先到达M 点 D ．d 球最先到达M 点
【题6】如图9，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO 、bO 、cO ，其下端都固定于底部圆心O ，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水
平面的夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时从a 、b 、c 处开
始下滑（忽略阻力），则 （ ）
A 、a 处小孩最先到O 点 B 、b 处小孩最先到O 点
C 、c 处小孩最先到O 点 D 、a 、c 处小孩同时到O 点
【题7】如图，AB 是一个倾角为θ的输送带，P 处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P 与AB 输送带间建立一管道(假设其光滑) ，使原料从P 处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？
【题8】：圆O1和圆O2相切于点P ，O1、O2的连线为一竖直线，如图8所示。过点P 有两条光滑的轨道AB 、CD ，两个小物体由静止开始分别沿AB 、CD 下滑，下滑时间分别为t1、t2，则t1、t2的关系是（） A.t1>t2 B.t1=t2 C.t1
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【题9】. 如图9，底边为定长b 的直角斜面中，球从光滑直角斜面顶端由静止滑到底端，至少需要多少时间？ 图9
【题10】如图甲所示是某景点的山坡滑道图片，为了探究滑行者在滑道直线部分AE 滑行的时间，技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图．AC 是滑道的竖直高度，D 点是AC 竖直线上的一点，且有AD ＝DE ＝10 m ，滑道AE 可视为光滑，滑行者从坡顶A 点由静止开始沿滑道AE 向下做直线滑动，g 取10 m/s2，则滑行者在滑道AE 上滑行的时间为( ) 2 s C. 3 s
B ．2 s D ．2
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