第一章习题参考解答
1-1画出下列序列的示意图
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
1-2已知序列x(n)的图形如图1.41，试画出下列序列的示意图。
图1.41 信号x(n)的波形
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) (6)
(修正：n=4处的值为0，不是3） （修正：应该再向右移4个采样点）
1-3判断下列序列是否满足周期性，若满足求其基本周期
(1)
解：非周期序列;
(2)
解：为周期序列，基本周期N=5;
(3)
解：，，取
为周期序列，基本周期。
(4)
解：
其中，为常数
，取， ，取
则为周期序列，基本周期N=40。
1-4 判断下列系统是否为线性的？是否为移不变的？ (1)
非线性移不变系统
(2) (3)
非线性移变系统 （修正：线性移变系统） 非线性移不变系统
(4) 线性移不变系统
(5) 线性移不变系统 （修正：线性移变系统）
1-5判断下列系统是否为因果的？是否为稳定的？ (1)
，其中
因果非稳定系统
(2) 非因果稳定系统
(3) 非因果稳定系统
(4) 非因果非稳定系统
(5) 因果稳定系统
1-6已知线性移不变系统的输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，试求系统的输出y(n)及其示意图 (1)
(2)
(3)
解：（1）
（2）
（3）
1-7若采样信号m(t)的采样频率fs=1500Hz，下列信号经m(t)采样后哪些信号不失真？ (1)
(2)
(3) 解： (1)
采样不失真
(2) 采样不失真
(3)
， 采样失真
1-8已知, 采样信号的采样周期为。
(1) 的截止模拟角频率是多少？
(2)将如何？ (3)若解： (1)
进行A/D采样后，的数字角频率与的模拟角频率的关系
，求的数字截止角频率。
(2)
(3)
1-9 计算下列序列的Z 变换，并标明收敛域。
(1) (2)
(3) (4)
(5) 解：
(1)
(2)
(3)
(4) ，，收敛域不存在
(5)
1-10利用Z 变换性质求下列序列的Z 变换。 (1)
(2)
(3)
(4)
解：(1) , (2) ,
(3)
,
(4) ,
1-11利用Z 变换性质求下列序列的卷积和。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) 解：
(1) ， , ，
,
(2) , ，
,
(3) , ，
,
(4) ，
,
(5) , ，
，
(6) ， ，
，
1-12利用变换来表示
的自相关序列的Z 变换。
定义为，试用的
Z
解：
1-13求序列的单边Z 变换X(Z).
解：
所以：
1-14试求下列函数的逆Z 变换
(1)
(2)
(3)
(4) ，整个Z 平面（除z=0点）
(5)
(6) 解：
(1)
(2) ，
(3)
(4)
(5)
(6)
1-15已知因果序列的Z 变换如下，试求该序列的初值及终值。
(1)
(2)
(3)解：
(1) .
,
(2)
，
(3)
，
1-16若存在一离散时间系统的系统函数域，求系统的单位脉冲响应
，根据下面的收敛
，并判断系统是否因果？是否稳定？
(1) 解：
，(2) ， (3)
(1) ，，因果不稳定系统(2) ，
，非因果稳定系统
(3) ，，非因果非稳定系统
1-17一个因果系统由下面的差分方程描述
及其收敛域；
(1)求系统函数
(2)求系统的单位脉冲响应解：
。
(1)，
(2)
1-18若当
时
；
时
, 其中N 为整数。试证明：
(1)，其中，
(2)证明： (1) 令
，收敛域
，则
其中,
(2) ,
1-19一系统的系统方程及初时条件分别如下：
，
(1)试求零输入响应，零状态响应，全响应；
(2)画出系统的模拟框图 解： (1)零输入响应
，
零状态响应
，得
，则
，
，
则
(2)系统模拟框图
1-20若线性移不变离散系统的单位阶跃响应
,
(1)求系统函数和单位脉冲响应；
(2)使系统的零状态，求输入序列；
(3)若已知激励解：
，求系统的稳态响应。
(1)
激励信号为阶跃信号，
，
(2)若系统零状态响应
则
(3) 若为：
，则从可以判断出稳定分量
1-21设连续时间函数得到离散时间函数
的拉普拉斯变换为，试证明
的Z 变换
，现对以周期T 进行抽样
满足：
证明：，则
当时
1-22设序列的自相关序列定义为，设
。试证明：当
极点。
为的一个极点时，是的
证明：
，故当为的一个极点时，也是的极
点。
1-23研究一个具有如下系统函数的线性移不变因果系统，其中
为常数。
(1)求使系统稳定的
的取值范围；
(2)在Z 平面上用图解法证明系统是一个全通系统。 解：
(1) ，若系统稳定则，极点，零点
(2) ，
系统为全通系统 1-24一离散系统如图，其中
为单位延时单位，
为激励，
为响应。
(1)求系统的差分方程； (2)写出系统转移函数
并画出
平面极点分布图；
(3)求系统单位脉冲响应
(4)保持不变，画出节省了一个延时单元的系统模拟图。
解：(1)
(2)
极点位于0.5±j 0.5 )
（修正：此题有错，两个
(3)系统的单位脉冲响应两个复序列信号之和） (4)
（修正： 随上小题答案而改变，是
（修正：此图错误，乘系数应该为0.5，输出端y(n)应该在两个延迟器D 之间） 1-25 线性移不变离散时间系统的差分方程为
(1)求系统函数；
(2)画出系统的一种模拟框图； (3)求使系统稳定的A 的取值范围。 解：(1)
系统函数
(2)
（此图非直接形式，是转置形式）
(3)若使系统稳定，系统极点, 则 （修正：要根据系统是否为因果系统分别考虑，非因果系统下极点应该位于单位圆外）
第一章习题参考解答
1-1画出下列序列的示意图
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
1-2已知序列x(n)的图形如图1.41，试画出下列序列的示意图。
图1.41 信号x(n)的波形
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) (6)
(修正：n=4处的值为0，不是3） （修正：应该再向右移4个采样点）
1-3判断下列序列是否满足周期性，若满足求其基本周期
(1)
解：非周期序列;
(2)
解：为周期序列，基本周期N=5;
(3)
解：，，取
为周期序列，基本周期。
(4)
解：
其中，为常数
，取， ，取
则为周期序列，基本周期N=40。
1-4 判断下列系统是否为线性的？是否为移不变的？ (1)
非线性移不变系统
(2) (3)
非线性移变系统 （修正：线性移变系统） 非线性移不变系统
(4) 线性移不变系统
(5) 线性移不变系统 （修正：线性移变系统）
1-5判断下列系统是否为因果的？是否为稳定的？ (1)
，其中
因果非稳定系统
(2) 非因果稳定系统
(3) 非因果稳定系统
(4) 非因果非稳定系统
(5) 因果稳定系统
1-6已知线性移不变系统的输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，试求系统的输出y(n)及其示意图 (1)
(2)
(3)
解：（1）
（2）
（3）
1-7若采样信号m(t)的采样频率fs=1500Hz，下列信号经m(t)采样后哪些信号不失真？ (1)
(2)
(3) 解： (1)
采样不失真
(2) 采样不失真
(3)
， 采样失真
1-8已知, 采样信号的采样周期为。
(1) 的截止模拟角频率是多少？
(2)将如何？ (3)若解： (1)
进行A/D采样后，的数字角频率与的模拟角频率的关系
，求的数字截止角频率。
(2)
(3)
1-9 计算下列序列的Z 变换，并标明收敛域。
(1) (2)
(3) (4)
(5) 解：
(1)
(2)
(3)
(4) ，，收敛域不存在
(5)
1-10利用Z 变换性质求下列序列的Z 变换。 (1)
(2)
(3)
(4)
解：(1) , (2) ,
(3)
,
(4) ,
1-11利用Z 变换性质求下列序列的卷积和。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6) 解：
(1) ， , ，
,
(2) , ，
,
(3) , ，
,
(4) ，
,
(5) , ，
，
(6) ， ，
，
1-12利用变换来表示
的自相关序列的Z 变换。
定义为，试用的
Z
解：
1-13求序列的单边Z 变换X(Z).
解：
所以：
1-14试求下列函数的逆Z 变换
(1)
(2)
(3)
(4) ，整个Z 平面（除z=0点）
(5)
(6) 解：
(1)
(2) ，
(3)
(4)
(5)
(6)
1-15已知因果序列的Z 变换如下，试求该序列的初值及终值。
(1)
(2)
(3)解：
(1) .
,
(2)
，
(3)
，
1-16若存在一离散时间系统的系统函数域，求系统的单位脉冲响应
，根据下面的收敛
，并判断系统是否因果？是否稳定？
(1) 解：
，(2) ， (3)
(1) ，，因果不稳定系统(2) ，
，非因果稳定系统
(3) ，，非因果非稳定系统
1-17一个因果系统由下面的差分方程描述
及其收敛域；
(1)求系统函数
(2)求系统的单位脉冲响应解：
。
(1)，
(2)
1-18若当
时
；
时
, 其中N 为整数。试证明：
(1)，其中，
(2)证明： (1) 令
，收敛域
，则
其中,
(2) ,
1-19一系统的系统方程及初时条件分别如下：
，
(1)试求零输入响应，零状态响应，全响应；
(2)画出系统的模拟框图 解： (1)零输入响应
，
零状态响应
，得
，则
，
，
则
(2)系统模拟框图
1-20若线性移不变离散系统的单位阶跃响应
,
(1)求系统函数和单位脉冲响应；
(2)使系统的零状态，求输入序列；
(3)若已知激励解：
，求系统的稳态响应。
(1)
激励信号为阶跃信号，
，
(2)若系统零状态响应
则
(3) 若为：
，则从可以判断出稳定分量
1-21设连续时间函数得到离散时间函数
的拉普拉斯变换为，试证明
的Z 变换
，现对以周期T 进行抽样
满足：
证明：，则
当时
1-22设序列的自相关序列定义为，设
。试证明：当
极点。
为的一个极点时，是的
证明：
，故当为的一个极点时，也是的极
点。
1-23研究一个具有如下系统函数的线性移不变因果系统，其中
为常数。
(1)求使系统稳定的
的取值范围；
(2)在Z 平面上用图解法证明系统是一个全通系统。 解：
(1) ，若系统稳定则，极点，零点
(2) ，
系统为全通系统 1-24一离散系统如图，其中
为单位延时单位，
为激励，
为响应。
(1)求系统的差分方程； (2)写出系统转移函数
并画出
平面极点分布图；
(3)求系统单位脉冲响应
(4)保持不变，画出节省了一个延时单元的系统模拟图。
解：(1)
(2)
极点位于0.5±j 0.5 )
（修正：此题有错，两个
(3)系统的单位脉冲响应两个复序列信号之和） (4)
（修正： 随上小题答案而改变，是
（修正：此图错误，乘系数应该为0.5，输出端y(n)应该在两个延迟器D 之间） 1-25 线性移不变离散时间系统的差分方程为
(1)求系统函数；
(2)画出系统的一种模拟框图； (3)求使系统稳定的A 的取值范围。 解：(1)
系统函数
(2)
（此图非直接形式，是转置形式）
(3)若使系统稳定，系统极点, 则 （修正：要根据系统是否为因果系统分别考虑，非因果系统下极点应该位于单位圆外）