中学数学思想方法的教学研究
【内容提要】 随着数学本身的不断进步和发展，对数学思想方法的重视、研究及教学探索，已成为了历史的必然、时代的要求，成为了中学数学教师及教育科究工作者的一个重要课题。本文从数学思想方法的现实意义着手，对数学思想、数学方法的意义给予了不很严密界定，阐明了它们之间的联系，对数学思想方法的意义进行了探讨性的描述；根据初中数学的内容特点，总结出了十余种常用的基本数学思想方法；在大胆实施数学思想方法的教学实践中，提出了几点不成熟的教学建议。
【主题词】中学数学 思想方法
中学课程数学思想方法是中学数学教学的重要内容之一。九年制义务教育初中数学《新课程标准》在课程总体目标中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。《数学教育概论》第七章第三节“数学思想方法的教学”中谈到数学教学分低级和高级两种，低级水平是介绍数学概念，陈述数学定理、公式，指出解题的程式和套路；高级水平是着眼于数学知识背后的数学思想方法，在解决数学问题的过程中进行深层次的数学思考，经过思维训练，获得数学美学的享受。我国从20世纪90年代以来，重视数学思想方法的教学已成为中国数学教育的一大特色。但是，《新课程标准》中并没有对数学思想方法方面提出要求，其重要的因素是在界定和刻画适应于义务教育阶段的学生领悟和掌握的数学思想方法方面，目前积累的研究成果还不够充分。因此，在教学中怎样挖掘《教科书》中所隐含的数学思想方法, 怎样有效地进行数学思想方法的教学，如何培养和发展学生的数学思想方法，是摆在我们中学数学教师和数学教育工作者面前的一个新课题。我们认为：在中学数学教学实践中不仅要重视《教科书》中数学知识的传授、数学品质的培养、数学能力的提高，而且还要重视中学数学课程数学思想方法的教学探索。
1、数学思想方法的现实意义
1.1数学思想
数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是人们对数学内容和数学方法的本质认识，是对数学知识、方法的进一步抽象和概括，是对数学规律的理性认识，是指导人们学习数学、解决数学问题的观点（如函数观点、统计观点、集合观点等）、原则。然而，我们所谈的中学数学思想指的是基本、常见、较浅显的数学思想，如定义、定理、公式、法则等；人们常用数学思想来泛指某些具有重要意义的、丰富内容的、体系相当完整的数学成果，如：集合思想、函数思想、方程思想、统计思想、公理化思想等等。
1.2数学方法
一般地，方法是指人们为了实现某种目的而采取的行为手段、方式、措施、策略等，它是一种实践活动，人们在实践活动中为实现这一目标，可以创设情境，有效地选择各种手段、方式、技巧、程序、措施、途径、策略等加以实现。我们把讲授数学、学习数学、探究数学、
应用数学等活动均称之为数学活动。数学方法就是人们从事这种数学活动时所用的方法，是指某一数学活动过程的程序、手段和途径，是实施有关数学思想的策略。数学方法有三个基本特征：一是具有高度的抽象性和概括性；二是具有逻辑的严密性和结论的确定性；三是具有应用的普遍性和可操作性。
1.3数学思想与数学方法的联系
蔡上鹤认为：“在大纲、教科书和实际教学中，有时把‘思想方法’作为一个词语使用。为什么可以这样做呢? 这要看我们从哪个角度来分析。例如在解二元一次方程组时，我们常说要让学生掌握‘消元’的思想方法。事实上，当我们从“化未知为已知”的角度去分析此问题时，其思想属于“化归的思想”；当我们从‘化二元为一元’的角度去分析此问题时，其方法属于‘消元法’；而当我们从‘代入公式直接求解’的角度去分析此问题时，就出现了‘行列式法’(其实也是‘代入法’) 。根据这样的认识，在不少场合下笼统使用‘思想方法’一词是合理的，但作为科学研究，必须把‘思想’和‘方法’分开予以界定。”
数学思想是数学方法的灵魂，是处理问题的基本观点，是数学基础知识和基本方法的本质概括，是精神实质和理论的依据，是创造性地发展数学的指导思想，它来源于基础知识和基本方法，高于知识与方法，指导知识和方法的运用，能使知识向深、高层次发展；数学方法则是处理、探索、解决数学问题，实现数学思想的技巧手段和有效策略，是数学思想的表现形式。我们可以看到初中各年级数学《教科书》中常用到的数学方法，都体现了一定的数学思想。有的数学思想和数学方法我们可以把等同看待，只是在不同情况下或侧重于不同的方面时才将其加以区别。当我们用同一个数学成果去解决某个问题时，可称之为方法，当论及它在数学体系中的价值和意义时，可称之为思想。例如：九年级数学（下册）第94页测量山坡的高度一例中用的是“化整为零，积零为整”、 “化曲为直，以直代曲”的方法，当我们从它的价值和意义角度去认识它时，也可以说 “微积分思想”。 又如公理化方法与公理化思想、消元法与消元思想；有的思想和方法可以合起来表明其意义，如换元法思想、坐标法思想等，这时思想和方法就没有明确界定。我们认为：数学思想与数学方法是辨证的、统一的，数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们已形成的数学知识，积累的数学经验、掌握的数学思想密切相关．一般地，数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想的指导下，运用相应的数学技能手段、策略实现的。数学思想是凹现的，数学方法是凸现的。“数学思想方法”暂时没有严格的定义，它是在数学科学的发展中逐步形成起来的，它伴随着数学知识体系的建立而确立，它是数学知识体系的灵魂，是对数学事实、数学概念、数学原理与数学方法的本质认识，是数学中具有奠基性、总括性的基础部分，含有传统数学思维方法的精华和现代数学思想方法的基本点，它的内容是随数学内容的发展而发展的。我们认为：数学思想方法是人们从事数学实践活动的程序和途径，是解决数学问题的过程，是实施数学思想的有效手段，是数学思想在数学实践活动中的具体反映，也是人们对感性认识的积累过程。数学思想的意义比数学思想方法的意义更为深刻，它对数学思想方法起指导作用。
2、初中数学中常用的基本数学思想方法
2.1用字母表示数的思想方法：它是转化思想的体现。《考纲》要求理解用字母表示数，掌握列代数式、解释代数式、求代数式的值，会归纳、灵活应用公式。
例1、某件工程，甲单独做需要x 天完成，乙单独做需要y 天完成。若先由甲做z （z ﹤x ）天后，剩下部分再由乙继续做，问乙需做几天可以完成全部工程？
例2、已知a-b=2,a-c=1.求(2a-b-c)2+(c-b) 2 的值。
2.2数形结合思想方法：就是把“数”与“形”结合起来对数学问题进行分析、研究，从而解决问题的一种方法。在七年级数学（下册）教师用书第71页中这样谈到“我们在平面直角坐标系中，利用坐标的方法表示了平移，从数的角度刻画平移变换，这是用代数的方法研究几何问题；通过本章的学习，要让学生初步感受数形结合的思想，要让学生看到平面直角坐标系的引入，架起了数与形的桥梁，加强了知识间的相互联系，它是解决数学问题的一个强有力的工具”。要求能运用代数、三角知识，通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题，通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题，能将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来，把抽象思维与形象思维结合起来；会用代数的方法去研究几何问题，会根据图形的性质及几何知识去处理代数问题。在教学中，突出数形结合思想方法，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
x
y
O
例、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示。
（1）试确定a 、b 的符号；
（2）试确定a+b+c、a-b+c的符号。
2.3函数思想方法：就是从运动变化的角度去看数学问题中的数量关系，通过函数形式对这种数量关系进行描述、分析、探究。要求会用解析式把问题中两个变量间的对应关系表示出来，能充分运用函数的知识、方法来解决相关的问题。
例1、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天开支20元的各种费用。房价定为多少时，宾馆的利润最大？（九年级《数学》下册第28页习题第6题）
例2、一名工人一天能生产某种玩具3至5个，若每天需生产这种玩具400个，那么需招多少名工人？
2.4方程思想方法：就是根据数学问题中的已知量与未知量间的数量关系，运用数学符号语言使问题转化为解方程的一种思维方式。要求学会分析问题中的数量关系, 寻找已知量与未知量之间的相等关系. 学会通过适当设元, 列出方程或方程组。
例1、某养牛场购进了一批牛饲料, 若供给10头牛吃，可以吃20天；若供给15头牛吃，可以吃10天。那么这批饲料供给25头牛吃，可以吃多少天?
例2、某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达为4500元；经精加工后销售，每吨利润可达为7500元。
该地一家蔬菜公司收购这种蔬菜140吨，它的加工生产能力是：如果粗加工每天可加工16吨；如果精加工每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件的限制，该公司必须在5天内将这批蔬菜销售或加工完毕。为此该公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部粗加工。
方案二：尽可能地对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜，若在市场上直接销售。
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余的蔬菜粗加工，恰好15天完成。
你认为选择哪种方案获利最多？并说明理由。
2.5分类思想方法；就是根据数学对象的某一属性把它分为不同种类的思想方法。初中数学从整体上可以分为代数、几何两类，之后采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现，从具体内容上有实数的分类、三角形的分类、四边形的分类、方程的分类、函数的分类等；在教学中，要引导学生按不同的标准对同一对象分类，掌握分类的方法和原则，形成分类的思想。注意分类要坚持用同一个标准进行，不出现“重”或“漏”现象。如：
底边和腰不等的等腰三角形
不等边三角形
等腰三角形
三角形（按边分）
等边三角形
直角三角形
锐角三角形
三角形（按角分）
钝角三角形
斜三角形
2.6 集合思想方法：就是用集合的观点处理具有同一属性的数学对象的思想方法，即是说人们在认识事物、解决问题的实践中，经常把某些方面具有共同性质的事物放在一起视为一个整体，对它们作统一的研究和处理思想方法。如：点集、解集、平行四边形集合、实数集合等。
2.7对应思想方法：对应是人的思维对两个集合间的把握；对应思想方法就是将各种类别、层次的数学对象联系起来，呈现出它们之间的某些相似或相同的属性，使它们能够相互结合、转化、和深入的一种思想方法。如：对应点、对应角、对应边、函数等。
2.8类比思想方法：就是两类或两个具有部分属性相同的数学对象，推出他们的某种属性也相似的思想方法。数学教育家波利亚说：“类比就是一种相似”，把两个数学对象进行比较，找出它们相似的地方，从而推出这两个数学对象的其它一些属性也有类似之处，这种方法在关于概念、性质等问题的教学中常用。如：我们在探究“一元一次不等式”的解法时，就可以利用解“一元一次方程”的解法进行类比，学生就会很快地掌握“一元一次不等式”的解法。
2.9统计思想方法：就是研究现实生活中的数据，通过对数据的收集、整理、描述和分析，从中探索出规律，得出结论的思想方法。它分布在7年级（上册）、8年级（上、下册）、9年级（上册）四册《教科书》中。它们是按照数据处理的的基本过程安排的，分别是第4章“数据的收集与处理”、 第12章“数据的描述”、第20章“数据的分析”。
2.10化归思想方法：就是将要解决的数学问题转化为一个简单或已经解决了的问题的思想方法。在七年级数学（下册）教师用书第166页中这样谈到“在解方程组的讨论中，重视过程与结果的关系，突出消元化归思想。”；第213页中这样谈到“掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集，体会解法中蕴涵的化归思想。”
2.11公理化思想方法：《教科书》中的某些定理，它的逻辑证明对于初中学生来说较难，所以新教材就把一部分定理改为了公理。以此为出发点，用逻辑方式定义相关概念，导出一系列定理，把相关的几何知识贯穿起来。
2.12整体思想方法：就是把着眼点放在问题的整体结构上，观察、分析、探索问题的本质，把某些看起来好象彼此独立，而又相互密切联系的量作为姿态解决、处理的思想方法。
2.13建模思想方法：在七年级数学（下册）教师用书第166页中这样谈到“在列方程组的讨论中，重视数学与实际的关系，突出其中蕴涵的建模思想。”；第167页谈到“本章明确提出‘方程组是解决含多个未知问题的重要数学工具’，并多出体现在解决实际问题中的工具作用。实际上这就是在渗透建立模型的思想。”；第213页谈到“不等式（组）是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型。”
2.14转化思想方法：数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，《教科书》中体现转化思想方法的地方很多。例如：化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等。在具体内容上，有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，在教学中首先要让学生认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法，从而确信转化是可能的，而且是必须的，其次结合具体教学内容进行有意识的训练，使学生掌握这一具有重大价值的思想方法。在具体教学过程中应设置问题情景，让学生去观察，探索。
2.15辨证思想方法：就是充分利用《教科书》中的有关内容，对学生进行生动而又深刻的辨
证唯物主义思想教育，使学生在学习中反复体验事物的现象与本质、绝对与相对、静止与运动、特殊与一般、对立与统一等辨证关系，学会用辨证唯物主义观去观察、分析、研究、解决问题。
除此，新课本中思想方法还蕴涵有符号化思想方法、极限思想方法、微积分思想方法等。
3、有效实施数学思想方法教学实践
在初中阶段的教学实践活动中，对学生实施数学思想方法的教育，是培养学生数学能力和提高数学素质的有效途径。在此，我们就以“图形认识初步”的教学实践为例，谈谈我们的做法。
3.1图形变换的思想方法
图形变换包括：图形的轴对称、平移、旋转、相似。7年级（上册）第3章第一节中谈到了“点动成线”、“线动成面”、“面动成体”，这实际上渗透了图形的运动变换思想方法等。
例、我们在学习“点、线、面、体”一节时，可以这样设置问题情景：
问题（1）笔尖可以看着一个点，它在纸上运动时，形成了什么？
（2）通过此活动，你得什么结论？
（3）你能举出生活中的一些实例进一步说明这个结论吗？
（分析说明：我们从学生已有的生活经验、知识出发，提供“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，提供充分的数学活动和交流机会，引导他们在“做数学”的活动中，在自主探索的过程中获得知识和技能，掌握基本的数学思想方法。此问题可以在学生动手操作、交流、合作的基础上，教师点拨，得出结论“点动成线”。之后，让学生在讨论、交流的基础上列举出生活中的一些实例。）
3.11对称变换
在教学实践活动中，我们指导学生运用对称变换思想方法对下面的问题分组进行了讨论、交流：
例1、已知线段AB=6cm，点P 在线段AB 上，点E 、F 分别是AP 和BP 的中点，求线段EF 的长。
(分析说明： 将线段对折，使线段的端点A 、B 均与点P 重合，则EF 的长度为1／2 .AB；然后再按照“特殊到一般”的思维方式去体验该问题的解法，可以让学生领略到成功的喜悦。)
例2、已知：∠ABC 为直角，OE 、OF 分别是∠AOC 、∠COB 的角平分线，求∠EOF 的度数。
（分析说明：事先准备一张作业本纸，利用它的一个直角，将其对折，然后分别将得到的两个角又对折，就不难求出∠EOF 的度数了。）
3.12 旋转变换
我们在证明两个角相等时，可以用旋转变换的思想方法来给学生说明。把一个角看成是另一个角绕着转旋中心转旋一定的角度形成的图形，它们的形状、大小不变。
例、已知:点C 、O 、D 三点共线，∠COE 、∠MON 同侧，且是直角。
求证：∠MOE =∠NOD 。
（分析说明：在教学时利用自制的教具、学具演示，体会旋转变换思想在证明两个角相等时的运用。）
3.13 平移变换
从《新课标准》、《教科书》可以看出：平移是《教科书》中引进的第一个基本的图形变换。要求能通过具体事例，认识平移变换的基本特征，能够按要求作出简单平面图形平移后的图形，能利用平移进行简单的图案设计。
例1、已知：点B 在点A 的北偏东45度方向上，问：点A 在点B 的什么方向？
（分析说明：此时，观测点由A 变为B ，实际上就是将互相垂直的相交线由A 平移到B 。）
例2、一位小牧童，他家在A 点，早晨他赶着羊群从A 点出发，先到河边点C 给牛饮水，然后再到草地B 点吃草，问他应当选择怎样的线路，使牛群所走的路程最短？
（ 分析说明：此题是 “两点之间线段最短”这一公理的应用。这里没有确定点A 、B 、C 的位置，教学时应引导学生讨论、交流。）
3.2 类比的思想
类比线段中点与角平分线
研究线段的中点与研究角的平分线，其内容方法都很相似，教学时我们把它们进行对比，效果会更好。因此，学习角的有关知识时，让学生同线段的相关知识相类比，通过小组讨论、交流解决相关问题。
例1（1）、已知：∠FOE 为120度，OC 是∠FOE 内的一条射线 ，OM 是∠COE 的平分线， ON 是∠COE 的平分线，求∠MON 的度数。
（2）请你仿照此题，自己编一道关于线段中点的题目，并给予解答。
（分析说明：引导学生自己编题，学生的能力可以得到很好的锻炼和提高。）
例2、已知点C 、D 、E 是线段AB （不与点A 、B 重合）上的三个点，问：此时共有多少条线段？
（分析说明：一是以线段的端点为顺序来数；二是以基本线段的数量为顺序来数。）
探索：当直线上有n 个点时，可以确定多少条射线？多少条线段？
例3、某人乘坐客车往返于甲乙两地, 途中要经过3个站点。问：(1)最多有多少种不同的票价? (2)要准备多少种车票?
（分析说明：“车票”与“票价”不同，如从“甲到乙”和“乙到甲”票价相同而车票不同。）
除此，本章还涉及到数形结合思想方法、分类讨论思想方法等等。
4、 初中数学思想方法教学的几点思考
4.1研究《新课程标准》和《教科书》，挖掘《教科书》中的数学思想方法
一是认真分析和研究《新课程标准》、《教科书》，理清和把握初中数学《教科书》的知识体系，结合各年级、学段的《教师教学用书》，明确《新课程标准》、《教师教学用书》、《教科书》中所隐含或呈现出来的数学思想方法；二是挖掘各概念、知识网点间的内在联系，渗透“层次”教学，初中数学中渗透的数学思想方法分为“了解”、 “ 理解” 、“掌握” 和“灵活应用”四个层面。我们认为：在初中数学教学中，要求“了解”的方法有分类法、类比法；要求 “理解”、“ 理解”、“掌握”和“灵活应用”的方法有消元法、降次法、配方法、换元法、待定系数法、图象法、统计法。要求“了解”的思想方法有极限思想方法（如：9年级数学上册第118页“阅读与思考”）、微积分思想方法（如：9年级数学下册第94页求山坡的高）；要求 “理解”、“ 理解”、“掌握”和“灵活应用”的思想方法有数形结合思想方法、分类思想方法、化归思想方法、类比思想方法（如：7年级数学下册第九章第128页“不等式的性质”可以与7年级数学上册第二章第72页“等式的性质” 类比）、方程思想方法、函数思想方法、建建模思想方法、统计思想方法、概率思想方法等。
4.2在教学中重视数学思想方法的渗透
“数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，对于它们的认识不是一次完成的，而是需要一个认识过程，既需要教材的不断渗透，也需要教师的经常点拨，这样有利于学生感受和理解它们。数学思想方法对一个人的影响往往大于具体的数学知识，因此教学中应如何深入浅出地进行数学思想方法的渗透传播方面不断探索”（7年级数学下册教师教学用书第九章第216页）。我们认为：一是要在概念的教学中重视渗透数学思想方法，例如：在“绝对值”这一概念的教学时，我们若只是给绝对值下定义，学生理解起来就比较困难，学生既是记住了绝对值的定义，但也无法真正理解它的内含；若渗透数形结合的思想方法，借助数轴来直观形象地揭示绝对值的意义，就可以帮助学生理解这个概念。二是要在定理、公式、法则的
教学中重视渗透数学思想方法。数学定理、公式、法则等结论的形成分成两类：其一是经过观察、分析，用不完全归纳法或类比等方法提出猜想，然后再寻求逻辑证明；其二是从理论推导出发得出结论。因此，在定理、公式、法则的教学中不要过早给出结论，而应引导学生参与结论的探索、发现、推导过程，搞清其因果关系，领悟它与其它知识的关系，让学生亲身体验创造性思维活动中所经历和应用到的数学思想方法。
4.3感悟、归纳、提炼数学思想方法，培养学生综合运用数学思想方法解决实际问题的能力
初中数学思想方法分布在初中数学《教科书》各册的教学内容之中，以凹显方式溶于知识体系。在教学中，我们应把挖掘出来的数学思想方法进行归纳总结，这种教学活动要纳入教学计划，有目的、有步骤地进行，同时也要让学生感悟、归纳、提炼数学思想方法的过程。如在“小结”时，可将统领知识的数学思想方法概括出来，增强学生对数学思想方法的应用意识，让学生更好地理解、掌握所学内容。在教学实践活动中，还应为学生提供丰富、生动、典型、直观的生活材料，创设问题情景，使学生积极投入到接受、分析问题和感悟思想方法的角色中，形成独立探索和分析、解决问题的能力。对于某些数学问题，应尽可能地引导学生从多种渠道、多种途径中寻求答案，获得最佳方法；对于某些数学问题，可通过由简单到复杂、由特殊到一般的思维方式，引导学生大胆联想和猜想，获得新的发现；对于某些条件、因素较多的数学问题，应引导学生系统、全面地分析，获得正确结论等等。此外，还应引导学生解题后反思，优化解题过程，总结解题经验，提炼数学思想方法。例如：在“解一元二次方程”的教学中，学习了直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等数学思想方法，掌握了这些思想方法，应引导学生综合运用它们去解决相关的实际问题，从而培养学生综合运用数学思想方法解决实际问题的能力。
参考文献：
1. 义务教育课程标准实验教科书7年级《教师教学用书》（上、下册）课程教材研究所、中学数学课程教材研究中心 著 人民教育出版社 2005年6月 2004年11月
2. 义务教育课程标准实验教科书8年级《教师教学用书》（上、下册） 课程教材研究所、中学数学课程教材研究中心 著 人民教育出版社 2005年6月 2005年10月
3. 义务教育课程标准实验教科书9年级《教师教学用书》（上、下册） 课程教材研究所、
中学数学课程教材研究中心 著 人民教育出版社 2006年3月 2006年7月
4. 《初中数学新课程标准》 源于 网络
5. 《数学新课程标准解读》 教育部基础教育司组织编写 北京师范大学出版 2002年5月
6. 《中学数学思想方法》沈文选 著 湖南师范大学出版社 2000年5月
7. 《数学教育概论》 张奠宙、宋乃庆主遍 高等教育出版社 2004年10月
8. 《中学数学教科书中应该传授基本的数学思想和方法》蔡上鹤数学时空http://www.shuxue12
9. 《2007年四川中考考纲考点全解》 四川中考命题研究组编 成都时代出版社 2006年10月
中学数学思想方法的教学研究
【内容提要】 随着数学本身的不断进步和发展，对数学思想方法的重视、研究及教学探索，已成为了历史的必然、时代的要求，成为了中学数学教师及教育科究工作者的一个重要课题。本文从数学思想方法的现实意义着手，对数学思想、数学方法的意义给予了不很严密界定，阐明了它们之间的联系，对数学思想方法的意义进行了探讨性的描述；根据初中数学的内容特点，总结出了十余种常用的基本数学思想方法；在大胆实施数学思想方法的教学实践中，提出了几点不成熟的教学建议。
【主题词】中学数学 思想方法
中学课程数学思想方法是中学数学教学的重要内容之一。九年制义务教育初中数学《新课程标准》在课程总体目标中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。《数学教育概论》第七章第三节“数学思想方法的教学”中谈到数学教学分低级和高级两种，低级水平是介绍数学概念，陈述数学定理、公式，指出解题的程式和套路；高级水平是着眼于数学知识背后的数学思想方法，在解决数学问题的过程中进行深层次的数学思考，经过思维训练，获得数学美学的享受。我国从20世纪90年代以来，重视数学思想方法的教学已成为中国数学教育的一大特色。但是，《新课程标准》中并没有对数学思想方法方面提出要求，其重要的因素是在界定和刻画适应于义务教育阶段的学生领悟和掌握的数学思想方法方面，目前积累的研究成果还不够充分。因此，在教学中怎样挖掘《教科书》中所隐含的数学思想方法, 怎样有效地进行数学思想方法的教学，如何培养和发展学生的数学思想方法，是摆在我们中学数学教师和数学教育工作者面前的一个新课题。我们认为：在中学数学教学实践中不仅要重视《教科书》中数学知识的传授、数学品质的培养、数学能力的提高，而且还要重视中学数学课程数学思想方法的教学探索。
1、数学思想方法的现实意义
1.1数学思想
数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是人们对数学内容和数学方法的本质认识，是对数学知识、方法的进一步抽象和概括，是对数学规律的理性认识，是指导人们学习数学、解决数学问题的观点（如函数观点、统计观点、集合观点等）、原则。然而，我们所谈的中学数学思想指的是基本、常见、较浅显的数学思想，如定义、定理、公式、法则等；人们常用数学思想来泛指某些具有重要意义的、丰富内容的、体系相当完整的数学成果，如：集合思想、函数思想、方程思想、统计思想、公理化思想等等。
1.2数学方法
一般地，方法是指人们为了实现某种目的而采取的行为手段、方式、措施、策略等，它是一种实践活动，人们在实践活动中为实现这一目标，可以创设情境，有效地选择各种手段、方式、技巧、程序、措施、途径、策略等加以实现。我们把讲授数学、学习数学、探究数学、
应用数学等活动均称之为数学活动。数学方法就是人们从事这种数学活动时所用的方法，是指某一数学活动过程的程序、手段和途径，是实施有关数学思想的策略。数学方法有三个基本特征：一是具有高度的抽象性和概括性；二是具有逻辑的严密性和结论的确定性；三是具有应用的普遍性和可操作性。
1.3数学思想与数学方法的联系
蔡上鹤认为：“在大纲、教科书和实际教学中，有时把‘思想方法’作为一个词语使用。为什么可以这样做呢? 这要看我们从哪个角度来分析。例如在解二元一次方程组时，我们常说要让学生掌握‘消元’的思想方法。事实上，当我们从“化未知为已知”的角度去分析此问题时，其思想属于“化归的思想”；当我们从‘化二元为一元’的角度去分析此问题时，其方法属于‘消元法’；而当我们从‘代入公式直接求解’的角度去分析此问题时，就出现了‘行列式法’(其实也是‘代入法’) 。根据这样的认识，在不少场合下笼统使用‘思想方法’一词是合理的，但作为科学研究，必须把‘思想’和‘方法’分开予以界定。”
数学思想是数学方法的灵魂，是处理问题的基本观点，是数学基础知识和基本方法的本质概括，是精神实质和理论的依据，是创造性地发展数学的指导思想，它来源于基础知识和基本方法，高于知识与方法，指导知识和方法的运用，能使知识向深、高层次发展；数学方法则是处理、探索、解决数学问题，实现数学思想的技巧手段和有效策略，是数学思想的表现形式。我们可以看到初中各年级数学《教科书》中常用到的数学方法，都体现了一定的数学思想。有的数学思想和数学方法我们可以把等同看待，只是在不同情况下或侧重于不同的方面时才将其加以区别。当我们用同一个数学成果去解决某个问题时，可称之为方法，当论及它在数学体系中的价值和意义时，可称之为思想。例如：九年级数学（下册）第94页测量山坡的高度一例中用的是“化整为零，积零为整”、 “化曲为直，以直代曲”的方法，当我们从它的价值和意义角度去认识它时，也可以说 “微积分思想”。 又如公理化方法与公理化思想、消元法与消元思想；有的思想和方法可以合起来表明其意义，如换元法思想、坐标法思想等，这时思想和方法就没有明确界定。我们认为：数学思想与数学方法是辨证的、统一的，数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们已形成的数学知识，积累的数学经验、掌握的数学思想密切相关．一般地，数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想的指导下，运用相应的数学技能手段、策略实现的。数学思想是凹现的，数学方法是凸现的。“数学思想方法”暂时没有严格的定义，它是在数学科学的发展中逐步形成起来的，它伴随着数学知识体系的建立而确立，它是数学知识体系的灵魂，是对数学事实、数学概念、数学原理与数学方法的本质认识，是数学中具有奠基性、总括性的基础部分，含有传统数学思维方法的精华和现代数学思想方法的基本点，它的内容是随数学内容的发展而发展的。我们认为：数学思想方法是人们从事数学实践活动的程序和途径，是解决数学问题的过程，是实施数学思想的有效手段，是数学思想在数学实践活动中的具体反映，也是人们对感性认识的积累过程。数学思想的意义比数学思想方法的意义更为深刻，它对数学思想方法起指导作用。
2、初中数学中常用的基本数学思想方法
2.1用字母表示数的思想方法：它是转化思想的体现。《考纲》要求理解用字母表示数，掌握列代数式、解释代数式、求代数式的值，会归纳、灵活应用公式。
例1、某件工程，甲单独做需要x 天完成，乙单独做需要y 天完成。若先由甲做z （z ﹤x ）天后，剩下部分再由乙继续做，问乙需做几天可以完成全部工程？
例2、已知a-b=2,a-c=1.求(2a-b-c)2+(c-b) 2 的值。
2.2数形结合思想方法：就是把“数”与“形”结合起来对数学问题进行分析、研究，从而解决问题的一种方法。在七年级数学（下册）教师用书第71页中这样谈到“我们在平面直角坐标系中，利用坐标的方法表示了平移，从数的角度刻画平移变换，这是用代数的方法研究几何问题；通过本章的学习，要让学生初步感受数形结合的思想，要让学生看到平面直角坐标系的引入，架起了数与形的桥梁，加强了知识间的相互联系，它是解决数学问题的一个强有力的工具”。要求能运用代数、三角知识，通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题，通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题，能将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来，把抽象思维与形象思维结合起来；会用代数的方法去研究几何问题，会根据图形的性质及几何知识去处理代数问题。在教学中，突出数形结合思想方法，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
x
y
O
例、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示。
（1）试确定a 、b 的符号；
（2）试确定a+b+c、a-b+c的符号。
2.3函数思想方法：就是从运动变化的角度去看数学问题中的数量关系，通过函数形式对这种数量关系进行描述、分析、探究。要求会用解析式把问题中两个变量间的对应关系表示出来，能充分运用函数的知识、方法来解决相关的问题。
例1、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天开支20元的各种费用。房价定为多少时，宾馆的利润最大？（九年级《数学》下册第28页习题第6题）
例2、一名工人一天能生产某种玩具3至5个，若每天需生产这种玩具400个，那么需招多少名工人？
2.4方程思想方法：就是根据数学问题中的已知量与未知量间的数量关系，运用数学符号语言使问题转化为解方程的一种思维方式。要求学会分析问题中的数量关系, 寻找已知量与未知量之间的相等关系. 学会通过适当设元, 列出方程或方程组。
例1、某养牛场购进了一批牛饲料, 若供给10头牛吃，可以吃20天；若供给15头牛吃，可以吃10天。那么这批饲料供给25头牛吃，可以吃多少天?
例2、某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达为4500元；经精加工后销售，每吨利润可达为7500元。
该地一家蔬菜公司收购这种蔬菜140吨，它的加工生产能力是：如果粗加工每天可加工16吨；如果精加工每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件的限制，该公司必须在5天内将这批蔬菜销售或加工完毕。为此该公司研制了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部粗加工。
方案二：尽可能地对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜，若在市场上直接销售。
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余的蔬菜粗加工，恰好15天完成。
你认为选择哪种方案获利最多？并说明理由。
2.5分类思想方法；就是根据数学对象的某一属性把它分为不同种类的思想方法。初中数学从整体上可以分为代数、几何两类，之后采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现，从具体内容上有实数的分类、三角形的分类、四边形的分类、方程的分类、函数的分类等；在教学中，要引导学生按不同的标准对同一对象分类，掌握分类的方法和原则，形成分类的思想。注意分类要坚持用同一个标准进行，不出现“重”或“漏”现象。如：
底边和腰不等的等腰三角形
不等边三角形
等腰三角形
三角形（按边分）
等边三角形
直角三角形
锐角三角形
三角形（按角分）
钝角三角形
斜三角形
2.6 集合思想方法：就是用集合的观点处理具有同一属性的数学对象的思想方法，即是说人们在认识事物、解决问题的实践中，经常把某些方面具有共同性质的事物放在一起视为一个整体，对它们作统一的研究和处理思想方法。如：点集、解集、平行四边形集合、实数集合等。
2.7对应思想方法：对应是人的思维对两个集合间的把握；对应思想方法就是将各种类别、层次的数学对象联系起来，呈现出它们之间的某些相似或相同的属性，使它们能够相互结合、转化、和深入的一种思想方法。如：对应点、对应角、对应边、函数等。
2.8类比思想方法：就是两类或两个具有部分属性相同的数学对象，推出他们的某种属性也相似的思想方法。数学教育家波利亚说：“类比就是一种相似”，把两个数学对象进行比较，找出它们相似的地方，从而推出这两个数学对象的其它一些属性也有类似之处，这种方法在关于概念、性质等问题的教学中常用。如：我们在探究“一元一次不等式”的解法时，就可以利用解“一元一次方程”的解法进行类比，学生就会很快地掌握“一元一次不等式”的解法。
2.9统计思想方法：就是研究现实生活中的数据，通过对数据的收集、整理、描述和分析，从中探索出规律，得出结论的思想方法。它分布在7年级（上册）、8年级（上、下册）、9年级（上册）四册《教科书》中。它们是按照数据处理的的基本过程安排的，分别是第4章“数据的收集与处理”、 第12章“数据的描述”、第20章“数据的分析”。
2.10化归思想方法：就是将要解决的数学问题转化为一个简单或已经解决了的问题的思想方法。在七年级数学（下册）教师用书第166页中这样谈到“在解方程组的讨论中，重视过程与结果的关系，突出消元化归思想。”；第213页中这样谈到“掌握一元一次不等式的解法，并能在数轴上表示出解集，体会解法中蕴涵的化归思想。”
2.11公理化思想方法：《教科书》中的某些定理，它的逻辑证明对于初中学生来说较难，所以新教材就把一部分定理改为了公理。以此为出发点，用逻辑方式定义相关概念，导出一系列定理，把相关的几何知识贯穿起来。
2.12整体思想方法：就是把着眼点放在问题的整体结构上，观察、分析、探索问题的本质，把某些看起来好象彼此独立，而又相互密切联系的量作为姿态解决、处理的思想方法。
2.13建模思想方法：在七年级数学（下册）教师用书第166页中这样谈到“在列方程组的讨论中，重视数学与实际的关系，突出其中蕴涵的建模思想。”；第167页谈到“本章明确提出‘方程组是解决含多个未知问题的重要数学工具’，并多出体现在解决实际问题中的工具作用。实际上这就是在渗透建立模型的思想。”；第213页谈到“不等式（组）是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型。”
2.14转化思想方法：数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，《教科书》中体现转化思想方法的地方很多。例如：化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等。在具体内容上，有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，在教学中首先要让学生认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法，从而确信转化是可能的，而且是必须的，其次结合具体教学内容进行有意识的训练，使学生掌握这一具有重大价值的思想方法。在具体教学过程中应设置问题情景，让学生去观察，探索。
2.15辨证思想方法：就是充分利用《教科书》中的有关内容，对学生进行生动而又深刻的辨
证唯物主义思想教育，使学生在学习中反复体验事物的现象与本质、绝对与相对、静止与运动、特殊与一般、对立与统一等辨证关系，学会用辨证唯物主义观去观察、分析、研究、解决问题。
除此，新课本中思想方法还蕴涵有符号化思想方法、极限思想方法、微积分思想方法等。
3、有效实施数学思想方法教学实践
在初中阶段的教学实践活动中，对学生实施数学思想方法的教育，是培养学生数学能力和提高数学素质的有效途径。在此，我们就以“图形认识初步”的教学实践为例，谈谈我们的做法。
3.1图形变换的思想方法
图形变换包括：图形的轴对称、平移、旋转、相似。7年级（上册）第3章第一节中谈到了“点动成线”、“线动成面”、“面动成体”，这实际上渗透了图形的运动变换思想方法等。
例、我们在学习“点、线、面、体”一节时，可以这样设置问题情景：
问题（1）笔尖可以看着一个点，它在纸上运动时，形成了什么？
（2）通过此活动，你得什么结论？
（3）你能举出生活中的一些实例进一步说明这个结论吗？
（分析说明：我们从学生已有的生活经验、知识出发，提供“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，提供充分的数学活动和交流机会，引导他们在“做数学”的活动中，在自主探索的过程中获得知识和技能，掌握基本的数学思想方法。此问题可以在学生动手操作、交流、合作的基础上，教师点拨，得出结论“点动成线”。之后，让学生在讨论、交流的基础上列举出生活中的一些实例。）
3.11对称变换
在教学实践活动中，我们指导学生运用对称变换思想方法对下面的问题分组进行了讨论、交流：
例1、已知线段AB=6cm，点P 在线段AB 上，点E 、F 分别是AP 和BP 的中点，求线段EF 的长。
(分析说明： 将线段对折，使线段的端点A 、B 均与点P 重合，则EF 的长度为1／2 .AB；然后再按照“特殊到一般”的思维方式去体验该问题的解法，可以让学生领略到成功的喜悦。)
例2、已知：∠ABC 为直角，OE 、OF 分别是∠AOC 、∠COB 的角平分线，求∠EOF 的度数。
（分析说明：事先准备一张作业本纸，利用它的一个直角，将其对折，然后分别将得到的两个角又对折，就不难求出∠EOF 的度数了。）
3.12 旋转变换
我们在证明两个角相等时，可以用旋转变换的思想方法来给学生说明。把一个角看成是另一个角绕着转旋中心转旋一定的角度形成的图形，它们的形状、大小不变。
例、已知:点C 、O 、D 三点共线，∠COE 、∠MON 同侧，且是直角。
求证：∠MOE =∠NOD 。
（分析说明：在教学时利用自制的教具、学具演示，体会旋转变换思想在证明两个角相等时的运用。）
3.13 平移变换
从《新课标准》、《教科书》可以看出：平移是《教科书》中引进的第一个基本的图形变换。要求能通过具体事例，认识平移变换的基本特征，能够按要求作出简单平面图形平移后的图形，能利用平移进行简单的图案设计。
例1、已知：点B 在点A 的北偏东45度方向上，问：点A 在点B 的什么方向？
（分析说明：此时，观测点由A 变为B ，实际上就是将互相垂直的相交线由A 平移到B 。）
例2、一位小牧童，他家在A 点，早晨他赶着羊群从A 点出发，先到河边点C 给牛饮水，然后再到草地B 点吃草，问他应当选择怎样的线路，使牛群所走的路程最短？
（ 分析说明：此题是 “两点之间线段最短”这一公理的应用。这里没有确定点A 、B 、C 的位置，教学时应引导学生讨论、交流。）
3.2 类比的思想
类比线段中点与角平分线
研究线段的中点与研究角的平分线，其内容方法都很相似，教学时我们把它们进行对比，效果会更好。因此，学习角的有关知识时，让学生同线段的相关知识相类比，通过小组讨论、交流解决相关问题。
例1（1）、已知：∠FOE 为120度，OC 是∠FOE 内的一条射线 ，OM 是∠COE 的平分线， ON 是∠COE 的平分线，求∠MON 的度数。
（2）请你仿照此题，自己编一道关于线段中点的题目，并给予解答。
（分析说明：引导学生自己编题，学生的能力可以得到很好的锻炼和提高。）
例2、已知点C 、D 、E 是线段AB （不与点A 、B 重合）上的三个点，问：此时共有多少条线段？
（分析说明：一是以线段的端点为顺序来数；二是以基本线段的数量为顺序来数。）
探索：当直线上有n 个点时，可以确定多少条射线？多少条线段？
例3、某人乘坐客车往返于甲乙两地, 途中要经过3个站点。问：(1)最多有多少种不同的票价? (2)要准备多少种车票?
（分析说明：“车票”与“票价”不同，如从“甲到乙”和“乙到甲”票价相同而车票不同。）
除此，本章还涉及到数形结合思想方法、分类讨论思想方法等等。
4、 初中数学思想方法教学的几点思考
4.1研究《新课程标准》和《教科书》，挖掘《教科书》中的数学思想方法
一是认真分析和研究《新课程标准》、《教科书》，理清和把握初中数学《教科书》的知识体系，结合各年级、学段的《教师教学用书》，明确《新课程标准》、《教师教学用书》、《教科书》中所隐含或呈现出来的数学思想方法；二是挖掘各概念、知识网点间的内在联系，渗透“层次”教学，初中数学中渗透的数学思想方法分为“了解”、 “ 理解” 、“掌握” 和“灵活应用”四个层面。我们认为：在初中数学教学中，要求“了解”的方法有分类法、类比法；要求 “理解”、“ 理解”、“掌握”和“灵活应用”的方法有消元法、降次法、配方法、换元法、待定系数法、图象法、统计法。要求“了解”的思想方法有极限思想方法（如：9年级数学上册第118页“阅读与思考”）、微积分思想方法（如：9年级数学下册第94页求山坡的高）；要求 “理解”、“ 理解”、“掌握”和“灵活应用”的思想方法有数形结合思想方法、分类思想方法、化归思想方法、类比思想方法（如：7年级数学下册第九章第128页“不等式的性质”可以与7年级数学上册第二章第72页“等式的性质” 类比）、方程思想方法、函数思想方法、建建模思想方法、统计思想方法、概率思想方法等。
4.2在教学中重视数学思想方法的渗透
“数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，对于它们的认识不是一次完成的，而是需要一个认识过程，既需要教材的不断渗透，也需要教师的经常点拨，这样有利于学生感受和理解它们。数学思想方法对一个人的影响往往大于具体的数学知识，因此教学中应如何深入浅出地进行数学思想方法的渗透传播方面不断探索”（7年级数学下册教师教学用书第九章第216页）。我们认为：一是要在概念的教学中重视渗透数学思想方法，例如：在“绝对值”这一概念的教学时，我们若只是给绝对值下定义，学生理解起来就比较困难，学生既是记住了绝对值的定义，但也无法真正理解它的内含；若渗透数形结合的思想方法，借助数轴来直观形象地揭示绝对值的意义，就可以帮助学生理解这个概念。二是要在定理、公式、法则的
教学中重视渗透数学思想方法。数学定理、公式、法则等结论的形成分成两类：其一是经过观察、分析，用不完全归纳法或类比等方法提出猜想，然后再寻求逻辑证明；其二是从理论推导出发得出结论。因此，在定理、公式、法则的教学中不要过早给出结论，而应引导学生参与结论的探索、发现、推导过程，搞清其因果关系，领悟它与其它知识的关系，让学生亲身体验创造性思维活动中所经历和应用到的数学思想方法。
4.3感悟、归纳、提炼数学思想方法，培养学生综合运用数学思想方法解决实际问题的能力
初中数学思想方法分布在初中数学《教科书》各册的教学内容之中，以凹显方式溶于知识体系。在教学中，我们应把挖掘出来的数学思想方法进行归纳总结，这种教学活动要纳入教学计划，有目的、有步骤地进行，同时也要让学生感悟、归纳、提炼数学思想方法的过程。如在“小结”时，可将统领知识的数学思想方法概括出来，增强学生对数学思想方法的应用意识，让学生更好地理解、掌握所学内容。在教学实践活动中，还应为学生提供丰富、生动、典型、直观的生活材料，创设问题情景，使学生积极投入到接受、分析问题和感悟思想方法的角色中，形成独立探索和分析、解决问题的能力。对于某些数学问题，应尽可能地引导学生从多种渠道、多种途径中寻求答案，获得最佳方法；对于某些数学问题，可通过由简单到复杂、由特殊到一般的思维方式，引导学生大胆联想和猜想，获得新的发现；对于某些条件、因素较多的数学问题，应引导学生系统、全面地分析，获得正确结论等等。此外，还应引导学生解题后反思，优化解题过程，总结解题经验，提炼数学思想方法。例如：在“解一元二次方程”的教学中，学习了直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等数学思想方法，掌握了这些思想方法，应引导学生综合运用它们去解决相关的实际问题，从而培养学生综合运用数学思想方法解决实际问题的能力。
参考文献：
1. 义务教育课程标准实验教科书7年级《教师教学用书》（上、下册）课程教材研究所、中学数学课程教材研究中心 著 人民教育出版社 2005年6月 2004年11月
2. 义务教育课程标准实验教科书8年级《教师教学用书》（上、下册） 课程教材研究所、中学数学课程教材研究中心 著 人民教育出版社 2005年6月 2005年10月
3. 义务教育课程标准实验教科书9年级《教师教学用书》（上、下册） 课程教材研究所、
中学数学课程教材研究中心 著 人民教育出版社 2006年3月 2006年7月
4. 《初中数学新课程标准》 源于 网络
5. 《数学新课程标准解读》 教育部基础教育司组织编写 北京师范大学出版 2002年5月
6. 《中学数学思想方法》沈文选 著 湖南师范大学出版社 2000年5月
7. 《数学教育概论》 张奠宙、宋乃庆主遍 高等教育出版社 2004年10月
8. 《中学数学教科书中应该传授基本的数学思想和方法》蔡上鹤数学时空http://www.shuxue12
9. 《2007年四川中考考纲考点全解》 四川中考命题研究组编 成都时代出版社 2006年10月