专题五 立体几何中二面角的求法
★★★高考在考什么
二面角的求法是立体几何中的重点，也是立体几何的难点，从近几年的高考试题来看，几乎每年都涉及到二面角的求法。
二面角的常见求法：（1）定义法（2）垂线法（3）垂面法（4）延伸法（5）射影法
一、定义法：
例1:如图1，设正方形ABCD-A 1B 1C 1D ！中，E 为CC 1中点，求截面A 1BD 和EBD 所成二面角的度数。
分析过程：这个题主要考察的是二面角的定义 第一步要找出这个二面角的的平面角
第二步是构造三角形
第三步是运用余弦定理或者勾股定律的逆定理求角度。
二、垂线法
例2 如图3，设三棱锥V-ABC 中，VA⊥底面ABC ，AB⊥BC，DE 垂直平分VC ，且分别交AC 、VC 于D 、E ，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C 的度数。
三、垂面法：
例3 如图6，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点。 （1）求证：A 1、E 、C 、F 四点共面； （2）求二面角A 1-EC-D 的大小。
四、延伸法
例4. 如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C' 各棱长均为α，D 为CC 1中点，
求平面A'BD 与平面ABC 所成二面角的度数。
五、射影法
例5如图12，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AA 1上点，A 1M:MA=3:1,求截面B 1D 1M 与底
面ABCD 所成二面角。
参考答案
例1、
分析与解：本题可用定义法直接作出两截面A 1BD 、EBD 所成二面角的平面角，设AC 、BD 交于O ，连EO ，A 1O ，由EB=ED，A 1B=A1D 即知EO⊥⊥BD，A 1O⊥BD，故∠EOA1为所求二面角的平面角。
例2、
分析与解 本题应用垂线法作出二面角的平面角，因△VBC为等腰三角形，E 为VC 中点，故BE⊥VC，又因DE⊥VC，故VC⊥平面BED ，所以BD⊥VC，又VA⊥平面ABC ，故VA⊥BD，从而BD⊥平面VAC 。
例3
分析与证明 （1）要证A 1、E 、C 、F 四点共面，可证：A 、F//EC，取DC 中点H ，连AH 、FH ，则AH
EC ，又FH
A 1A 。
故A 1F//AH，即A 1F//EC，从而A 、E 、C 、F 四点共面。 （2）要求二面角A 1-EC-D 的大小，先要作出二面角的平面角，本题可用三垂线法，因FH⊥底面ABCD 于H ，过H 作HM⊥EC于M ，连FM ，则由三垂线定理知FM⊥EC。 所以∠HMF为所求二面角A 1-EC-D 的平面角。
例4
分析与解 由图，平面A'BD 与平面ABC 只出现一个交点，故延长A'D 交AC 延长线于F 点，连BF ，则BF 为所求二面角的棱。
因CD=C'D，则A'C'=CF=BC=AC，所以∠ABF=90°，取BF 中点E ，连DE ，则CE⊥BF，又DC⊥平面ABF ，即DE⊥BF，从而∠DEC为所求二面角的平面角。
说明 本题也可用射影法求二面角的度数。
例5
分析与解：本题应用“射影法”求截面B 1D 1M 与底面ABCD 所成二面角容易。它可以不作出所求二面角的平面角。 因是正方体，所以B 1、D 1、M 在底面射影分别为B 、D 、A ，设棱长为
a.
专题五 立体几何中二面角的求法
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二面角的求法是立体几何中的重点，也是立体几何的难点，从近几年的高考试题来看，几乎每年都涉及到二面角的求法。
二面角的常见求法：（1）定义法（2）垂线法（3）垂面法（4）延伸法（5）射影法
一、定义法：
例1:如图1，设正方形ABCD-A 1B 1C 1D ！中，E 为CC 1中点，求截面A 1BD 和EBD 所成二面角的度数。
分析过程：这个题主要考察的是二面角的定义 第一步要找出这个二面角的的平面角
第二步是构造三角形
第三步是运用余弦定理或者勾股定律的逆定理求角度。
二、垂线法
例2 如图3，设三棱锥V-ABC 中，VA⊥底面ABC ，AB⊥BC，DE 垂直平分VC ，且分别交AC 、VC 于D 、E ，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C 的度数。
三、垂面法：
例3 如图6，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点。 （1）求证：A 1、E 、C 、F 四点共面； （2）求二面角A 1-EC-D 的大小。
四、延伸法
例4. 如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C' 各棱长均为α，D 为CC 1中点，
求平面A'BD 与平面ABC 所成二面角的度数。
五、射影法
例5如图12，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AA 1上点，A 1M:MA=3:1,求截面B 1D 1M 与底
面ABCD 所成二面角。
参考答案
例1、
分析与解：本题可用定义法直接作出两截面A 1BD 、EBD 所成二面角的平面角，设AC 、BD 交于O ，连EO ，A 1O ，由EB=ED，A 1B=A1D 即知EO⊥⊥BD，A 1O⊥BD，故∠EOA1为所求二面角的平面角。
例2、
分析与解 本题应用垂线法作出二面角的平面角，因△VBC为等腰三角形，E 为VC 中点，故BE⊥VC，又因DE⊥VC，故VC⊥平面BED ，所以BD⊥VC，又VA⊥平面ABC ，故VA⊥BD，从而BD⊥平面VAC 。
例3
分析与证明 （1）要证A 1、E 、C 、F 四点共面，可证：A 、F//EC，取DC 中点H ，连AH 、FH ，则AH
EC ，又FH
A 1A 。
故A 1F//AH，即A 1F//EC，从而A 、E 、C 、F 四点共面。 （2）要求二面角A 1-EC-D 的大小，先要作出二面角的平面角，本题可用三垂线法，因FH⊥底面ABCD 于H ，过H 作HM⊥EC于M ，连FM ，则由三垂线定理知FM⊥EC。 所以∠HMF为所求二面角A 1-EC-D 的平面角。
例4
分析与解 由图，平面A'BD 与平面ABC 只出现一个交点，故延长A'D 交AC 延长线于F 点，连BF ，则BF 为所求二面角的棱。
因CD=C'D，则A'C'=CF=BC=AC，所以∠ABF=90°，取BF 中点E ，连DE ，则CE⊥BF，又DC⊥平面ABF ，即DE⊥BF，从而∠DEC为所求二面角的平面角。
说明 本题也可用射影法求二面角的度数。
例5
分析与解：本题应用“射影法”求截面B 1D 1M 与底面ABCD 所成二面角容易。它可以不作出所求二面角的平面角。 因是正方体，所以B 1、D 1、M 在底面射影分别为B 、D 、A ，设棱长为
a.