高一数学竞赛培训题
一、选择题：
1．已知全集U =R ，N 为自然数集，A =|x ||x －3|≥2}，B =|x |x －6x －7>0}，那么集合A ∩(C U B )∩N 的元素个数有………………………………………………………………( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．无穷多个。 2．若sin α+cos α=－1，则角α的终边在( )
A ．I 或III 象限 B ．II 或IV 象限 C ．x 或y 轴上
2
D ．II 或III 象限
3．若动直线x =a 与函数f (x ) =sin x 和g (x ) =cos x 的图像分别交于M ，N 两点，则
MN 的最大值为…………………………………………………………………………（ ）
A ．1 B
C
D ．2
4．若－π
A ．(－3π，3π) B ．(－5π，5π) C ．(－5π，π) D ．(－5π，2π) 5．不定方程2x +2y +3z =20的正整数解的集合为A ={(x ，y ，z )|2x +2y +3z =20，x ，
y ，z ∈N *}，则Card (A )= (Card (A ) 表示A 中集合元素的个数) ……………………(
A ．9
B ．21
C ．29
D ．30
)
a x -a -x (a x +1) x
, f 2(x ) =x 6．设a >0，a ≠1，f 1(x ) =，则…………………………( ) 2a -1
A ．f 1(x ) 是奇函数，f 2(x ) 是奇函数 B ．f 1(x ) 是偶函数，f 2(x ) 是偶函数
C ．f 1(x ) 是奇函数，f 2(x ) 是偶函数 二、填空题：
7．设［a ］表示不超过a 的最大整数，如［2.1］=2，［－1.2］=－2，若已知a ∈N ，则
=_____________。
*
D ．f 1(x ) 是偶函数，f 2(x ) 是奇函数
x
的定义域为_________，值域是___________。 2
x +2x +4
9．若函数y =f (x ) 的定义域为(－1,2) ，则y =f (loga x ) (a >0且a ≠1)的定义域为
8．函数y =_______________。
10．不等式|x －5x |>6的解集是_______________。
11．不等式(x -1)(x +x -2) >0的解集是_________________。 12．函数y =ln |sin x |的单调递增区间是___________________。 13．已知f (x ) =sin ωx +
3
2
2
⎛
⎝π⎫
⎪(ω>0) ，f 3⎭⎛π⎫⎛π⎫⎛ππ⎫
f (x ) ，且在区间=f ⎪ ⎪ ⎪有最小
63⎝⎭⎝⎭⎝63⎭
值，无最大值，则ω＝__________．
1
14．方程x 22x －1＝0的解可视为函数y ＝x+2的图像与函数y ＝x 4
若x 4+ax－4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k≤4)所对应的点(xi , （i ＝1,2,…,k）均在直线
x i y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是
15．
第1行 第2行 第3行
第1列 第2列 第3列 第4列 2 4 6 8 16 14 12 10 18 20 22 24
…… …… 28 26
按照上面的排列规律，实数2006位于第_______行，第______列。 16
．函数f (x ) =若f n ，定义f n (x ) =f {f [f f (x )]}，f n (x ) 的反函数为f n -1(x ) ，
n 个f
1
∙f n -1=，则n =____________。 15
2
17．若不等式9x +6x +b -4x +a >0的解集为{x |x >0|，则a 的最小值为__________。
三、解答题： 18
．设f (x ) =
x >－1) (1)求f -1(x ) ；
(2)求方程f (x ) =f -1(x ) 的解集。
19．已知集合A ={a 1, a 2, a 3, , a k }(k ≥2) 其中a i ∈Z (i =1, 2, , k ) ，由A 中的元素构成
两
个
相
应
的
集
合
(a , b a ∈A , b ∈A , a +b ∈A }S ={
，
(a , b a ∈A , b ∈A , a -b ∈A }，其中(a , b )是有序实数对，集合S 和T 的元素个数分T ={
别为m , n . 若对于任意的a ∈A ，总有-a ∉A ，则称集合A 具有性质P .
（Ⅰ）检验集合{0, 1, 2, 3}与{-1, 2, 3}是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合写出相应的集合S 和T ；
（Ⅱ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：n ≤
k (k -1)； 2
（Ⅲ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论.
1．B
2．(sinα+cos α) 2=1+2sin a cos α=1⇒sin αcos α=0，则α的终边一定在坐标轴上，又sin α+cos α=－1，故α的终边一定在x 轴的非正半轴或y 轴的非正半轴上。 3．B
4．由条件知，－π
－3π
而α
另解：考虑直线l ：z =3α－2β，满足条件的(α，β) 的点所在阴影区域，则线性规划求解。
5．由条件可知，z 为偶数，分别考虑z =2，4，6时正整数解的组数为6，3，0。 6．C
7．a
．提示：a =
8．定义域为R ，值域为[-对x >0和x
另解：判别式法。 9．当a >1时，
11
, ]。提示：①x =0时y =0；当x ≠0时，y =26
1
。再x ++2x
1122
10．(－∞，－1) ∪(2,3)∪(6，+∞)。提示：等价于x －5x >6或x －5x
2
11．(－2,1) ∪(1，+∞)。提示：等价于(x －1)(x +x +1)(x －1)(x +2)>0
π
12．(k π，k π+) ，k ∈Z 。提示：|sin x |的周期为π。当x ∈［0，π］时，|sin x |=sin x
2
ππ
在［0，］上单调递增。而y =ln x 在x >0上单调递增，故ln |sin x |在(0，］上单调
22
递增，再由复合函数的单调性及|sin x |的周期性可得。
1413．
3
14．(－∞, －6) ∪(6,+∞);
15．251,3。提示：每8个数字看作一组。2000=125×8×2。故2000在第125组数的最后一个，即2000为第250行的第一个数，可知2006位于第251行第3列。
16．提示：f 1(x ) =
f (x ) 。f 2(x ) =f [f (x )]=，同样可求
出=，……
，可归纳出f n (x ) =y
=(x ，y 同号) 解f 3(x ) =
得x =17．
，故f n -1(x ) =
，再由条件代入可求出n =8。
13x 23x b 2a x a
。提示：原不等式两边同除以4得[() ]+6∙() -4>0。∵-4
3x 3x 3x
∴不等式可化为[() +t 1][() -t 2]>0，其中t 1>0, t 2>0, -t 1t 2=-4a ，但() >0
222
3x
∴() >t 2⇒x >log 3t 2，又由题意知log 3t 2=0，得t 2=1，于是t 1=4a 。
222
23x 3x 3x 23x a a a
∴[() +4][() -1]>0化为[() ]+(4-1) ∙() -4>0，则4a -1=6b ，
2222
1a b 2
∴4=1+6≥2⇒a ≥。
2
2x 2
=2-18．解：(1)∵为(－1，+∞)上的单调增函数， x +1x +1
从而y
=f (x ) =x >－1) 为增函数
于是y
=f (x )
)
2x y 3
y =, x =(y
3
x +12-y
x 3-1
(x
2-x
(2)若x 0为f (x ) =f -1(x ) 的解，则f (x 0) =f -1(x 0) ，
3
设f (x 0) =y 0，那么f -1(x 0) =y 0，则f (y 0) =x 0
若x 0y 0，则f (x 0) >f (y 0) ，即y 0>x 0，矛盾。 于是有x 0=y 0 这说明方程f (x ) =f
2
-1
(x ) 的根应满足f (x ) =x
x ∴x =0或2=x (x +1)解得x =1从而解集为{0,1}。 19．（Ⅰ）解：集合{0, 1, 2, 3}不具有性质P ，{-1, 2, 3}具有性质P ，其相应的集合S 和T 是
S ={(-1, 3), (3. -1)}, T ={(2, -1), (2, 3)}；
（Ⅱ）证明：首先由
0∈A , (a i , a i )∈T (i =1, 2, , k ) ,
-a ∉A ， 又因为当a ∈A 时，
(a j , a i )∉T (i =1, 2, , k ) ，于是集合T 中的元素的个数最多为所以当(a i , a j )∈T 时，
A 中的元素构成的有序实数对共有k 2个，因为
n =
121k (k -1)k -k =k (k -1)，即n ≤. 222
()
（Ⅲ）解：m =n ，证明如下：
①对于(a , b )∈S ，根据定义a ∈A , b ∈A ，则a +b ∈A ，从而(a +b , b )∈T
如果(a , b )与(c , d )是S 中的不同元素，那么a =c 与b =d 中至少有一个不成立，于是
a +b =c +d 与b =d 中至少有一个不成立，故(a +b , b )与(c +d , d )也是T 中的不同元素. 可见S 中的元素个数不多于T 中的元素个数，即m ≤n ；
②对于(a , b )∈T ，根据定义a ∈A , b ∈A ，则a -b ∈A ，从而(a -b , b )∈S
如果(a , b )与(c , d )是T 中的不同元素，那么a =c 与b =d 中至少有一个不成立，于是a -b =c -d 与b =d 中至少有一个不成立，故(a -b , b )与(c -d , d )也是S 中的不同元素. 可见T 中的元素个数不多于S 中的元素个数，即n ≤m .
由①②可知m =n .
高一数学竞赛培训题
一、选择题：
1．已知全集U =R ，N 为自然数集，A =|x ||x －3|≥2}，B =|x |x －6x －7>0}，那么集合A ∩(C U B )∩N 的元素个数有………………………………………………………………( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．无穷多个。 2．若sin α+cos α=－1，则角α的终边在( )
A ．I 或III 象限 B ．II 或IV 象限 C ．x 或y 轴上
2
D ．II 或III 象限
3．若动直线x =a 与函数f (x ) =sin x 和g (x ) =cos x 的图像分别交于M ，N 两点，则
MN 的最大值为…………………………………………………………………………（ ）
A ．1 B
C
D ．2
4．若－π
A ．(－3π，3π) B ．(－5π，5π) C ．(－5π，π) D ．(－5π，2π) 5．不定方程2x +2y +3z =20的正整数解的集合为A ={(x ，y ，z )|2x +2y +3z =20，x ，
y ，z ∈N *}，则Card (A )= (Card (A ) 表示A 中集合元素的个数) ……………………(
A ．9
B ．21
C ．29
D ．30
)
a x -a -x (a x +1) x
, f 2(x ) =x 6．设a >0，a ≠1，f 1(x ) =，则…………………………( ) 2a -1
A ．f 1(x ) 是奇函数，f 2(x ) 是奇函数 B ．f 1(x ) 是偶函数，f 2(x ) 是偶函数
C ．f 1(x ) 是奇函数，f 2(x ) 是偶函数 二、填空题：
7．设［a ］表示不超过a 的最大整数，如［2.1］=2，［－1.2］=－2，若已知a ∈N ，则
=_____________。
*
D ．f 1(x ) 是偶函数，f 2(x ) 是奇函数
x
的定义域为_________，值域是___________。 2
x +2x +4
9．若函数y =f (x ) 的定义域为(－1,2) ，则y =f (loga x ) (a >0且a ≠1)的定义域为
8．函数y =_______________。
10．不等式|x －5x |>6的解集是_______________。
11．不等式(x -1)(x +x -2) >0的解集是_________________。 12．函数y =ln |sin x |的单调递增区间是___________________。 13．已知f (x ) =sin ωx +
3
2
2
⎛
⎝π⎫
⎪(ω>0) ，f 3⎭⎛π⎫⎛π⎫⎛ππ⎫
f (x ) ，且在区间=f ⎪ ⎪ ⎪有最小
63⎝⎭⎝⎭⎝63⎭
值，无最大值，则ω＝__________．
1
14．方程x 22x －1＝0的解可视为函数y ＝x+2的图像与函数y ＝x 4
若x 4+ax－4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k≤4)所对应的点(xi , （i ＝1,2,…,k）均在直线
x i y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是
15．
第1行 第2行 第3行
第1列 第2列 第3列 第4列 2 4 6 8 16 14 12 10 18 20 22 24
…… …… 28 26
按照上面的排列规律，实数2006位于第_______行，第______列。 16
．函数f (x ) =若f n ，定义f n (x ) =f {f [f f (x )]}，f n (x ) 的反函数为f n -1(x ) ，
n 个f
1
∙f n -1=，则n =____________。 15
2
17．若不等式9x +6x +b -4x +a >0的解集为{x |x >0|，则a 的最小值为__________。
三、解答题： 18
．设f (x ) =
x >－1) (1)求f -1(x ) ；
(2)求方程f (x ) =f -1(x ) 的解集。
19．已知集合A ={a 1, a 2, a 3, , a k }(k ≥2) 其中a i ∈Z (i =1, 2, , k ) ，由A 中的元素构成
两
个
相
应
的
集
合
(a , b a ∈A , b ∈A , a +b ∈A }S ={
，
(a , b a ∈A , b ∈A , a -b ∈A }，其中(a , b )是有序实数对，集合S 和T 的元素个数分T ={
别为m , n . 若对于任意的a ∈A ，总有-a ∉A ，则称集合A 具有性质P .
（Ⅰ）检验集合{0, 1, 2, 3}与{-1, 2, 3}是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合写出相应的集合S 和T ；
（Ⅱ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：n ≤
k (k -1)； 2
（Ⅲ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论.
1．B
2．(sinα+cos α) 2=1+2sin a cos α=1⇒sin αcos α=0，则α的终边一定在坐标轴上，又sin α+cos α=－1，故α的终边一定在x 轴的非正半轴或y 轴的非正半轴上。 3．B
4．由条件知，－π
－3π
而α
另解：考虑直线l ：z =3α－2β，满足条件的(α，β) 的点所在阴影区域，则线性规划求解。
5．由条件可知，z 为偶数，分别考虑z =2，4，6时正整数解的组数为6，3，0。 6．C
7．a
．提示：a =
8．定义域为R ，值域为[-对x >0和x
另解：判别式法。 9．当a >1时，
11
, ]。提示：①x =0时y =0；当x ≠0时，y =26
1
。再x ++2x
1122
10．(－∞，－1) ∪(2,3)∪(6，+∞)。提示：等价于x －5x >6或x －5x
2
11．(－2,1) ∪(1，+∞)。提示：等价于(x －1)(x +x +1)(x －1)(x +2)>0
π
12．(k π，k π+) ，k ∈Z 。提示：|sin x |的周期为π。当x ∈［0，π］时，|sin x |=sin x
2
ππ
在［0，］上单调递增。而y =ln x 在x >0上单调递增，故ln |sin x |在(0，］上单调
22
递增，再由复合函数的单调性及|sin x |的周期性可得。
1413．
3
14．(－∞, －6) ∪(6,+∞);
15．251,3。提示：每8个数字看作一组。2000=125×8×2。故2000在第125组数的最后一个，即2000为第250行的第一个数，可知2006位于第251行第3列。
16．提示：f 1(x ) =
f (x ) 。f 2(x ) =f [f (x )]=，同样可求
出=，……
，可归纳出f n (x ) =y
=(x ，y 同号) 解f 3(x ) =
得x =17．
，故f n -1(x ) =
，再由条件代入可求出n =8。
13x 23x b 2a x a
。提示：原不等式两边同除以4得[() ]+6∙() -4>0。∵-4
3x 3x 3x
∴不等式可化为[() +t 1][() -t 2]>0，其中t 1>0, t 2>0, -t 1t 2=-4a ，但() >0
222
3x
∴() >t 2⇒x >log 3t 2，又由题意知log 3t 2=0，得t 2=1，于是t 1=4a 。
222
23x 3x 3x 23x a a a
∴[() +4][() -1]>0化为[() ]+(4-1) ∙() -4>0，则4a -1=6b ，
2222
1a b 2
∴4=1+6≥2⇒a ≥。
2
2x 2
=2-18．解：(1)∵为(－1，+∞)上的单调增函数， x +1x +1
从而y
=f (x ) =x >－1) 为增函数
于是y
=f (x )
)
2x y 3
y =, x =(y
3
x +12-y
x 3-1
(x
2-x
(2)若x 0为f (x ) =f -1(x ) 的解，则f (x 0) =f -1(x 0) ，
3
设f (x 0) =y 0，那么f -1(x 0) =y 0，则f (y 0) =x 0
若x 0y 0，则f (x 0) >f (y 0) ，即y 0>x 0，矛盾。 于是有x 0=y 0 这说明方程f (x ) =f
2
-1
(x ) 的根应满足f (x ) =x
x ∴x =0或2=x (x +1)解得x =1从而解集为{0,1}。 19．（Ⅰ）解：集合{0, 1, 2, 3}不具有性质P ，{-1, 2, 3}具有性质P ，其相应的集合S 和T 是
S ={(-1, 3), (3. -1)}, T ={(2, -1), (2, 3)}；
（Ⅱ）证明：首先由
0∈A , (a i , a i )∈T (i =1, 2, , k ) ,
-a ∉A ， 又因为当a ∈A 时，
(a j , a i )∉T (i =1, 2, , k ) ，于是集合T 中的元素的个数最多为所以当(a i , a j )∈T 时，
A 中的元素构成的有序实数对共有k 2个，因为
n =
121k (k -1)k -k =k (k -1)，即n ≤. 222
()
（Ⅲ）解：m =n ，证明如下：
①对于(a , b )∈S ，根据定义a ∈A , b ∈A ，则a +b ∈A ，从而(a +b , b )∈T
如果(a , b )与(c , d )是S 中的不同元素，那么a =c 与b =d 中至少有一个不成立，于是
a +b =c +d 与b =d 中至少有一个不成立，故(a +b , b )与(c +d , d )也是T 中的不同元素. 可见S 中的元素个数不多于T 中的元素个数，即m ≤n ；
②对于(a , b )∈T ，根据定义a ∈A , b ∈A ，则a -b ∈A ，从而(a -b , b )∈S
如果(a , b )与(c , d )是T 中的不同元素，那么a =c 与b =d 中至少有一个不成立，于是a -b =c -d 与b =d 中至少有一个不成立，故(a -b , b )与(c -d , d )也是S 中的不同元素. 可见T 中的元素个数不多于S 中的元素个数，即n ≤m .
由①②可知m =n .