常见弹簧类问题分析
一、与物体平衡相关的弹簧问题
1.(1999年，全国) 如图示，两木块的质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的劲度系数分别为
k 1和k 2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接) ，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上
面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这过程中下面木块移动的距离为( )
A.m 1g/k 1 B.m2g/k 2 C.m1g/k 2 D.m2g/k 2 此题若求m l 移动的距离又当如何求解?
2.S 1和S 2表示劲度系数分别为k 1，和k 2两根轻质弹簧，k 1>k 2；A 和B 表示质量分别为m A 和m B 的两个小物块，m A >mB , 将弹簧与物块按图示方式悬挂起来．现要求两根弹簧的总长度最大则应使( )． A.S 1在上，A 在上 B.S1在上，B 在上 C.S2在上，A 在上 D.S2在上，B 在上 3. 一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长0.2m ，它们的一端固定，另一端自由，如图所示，求这两根弹簧的劲度系数k 1(大弹簧) 和k 2(小弹簧) 分别为多少?
4.(2001年上海高考) 如图，一质量为m 的物体系于长度分别为L 1、L 2的两根细线上，L 1一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L 2水平拉直，物体处于平衡状态．现将L 2线剪断，求剪断瞬时物体加速度．
(1)下面是某同学对该题的一种解法：解 设L 1线上拉力为T l ，L 2线上拉力为T 2，重力为mg ，物体在三力作用下保持平衡 Tl cos θ=mg，T l sin θ=T2，T 2=mgtanθ，剪断线的瞬间，T 2突然消失，物体即在T 2反方向获得加速度．
因为mgtan θ=ma，所以加速度a=g tan θ，方向在T 2反方向．你认为这个结果正确吗? 清对该解法作出评价并说明理由．
(2)若将图中的细线L l 改为长度相同、质量不计的轻弹簧，其他条件不变，求解的步骤和结果与(1)完全相同，即a=gtanθ，你认为这个结果正确吗? 请说明理由． 二、与动力学相关的弹簧问题
5. 如图所示，在重力场中，将一只轻质弹簧的上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量为M 的木板，木板下面再挂一个质量为m 的物体．当剪掉m 后发现：当木板的速率再次为零时，弹簧恰好能恢复到原长，(不考虑剪断后m 、M 间的相互作用) 则M 与m 之间的关系必定为 ( )
A.M>m B.M=m C.M
6. 如图所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射出去，则在弹射过程中(重物与弹簧脱离之前
)
重物的运动情况是 ( )
A. 一直加速运动 B．匀加速运动 C.先加速运动后减速运动 D．先减速运动后加速运动
7. 如图，一轻质弹簧竖直放在水平地面上，小球A 由弹簧正上方某高度自由落下，与弹簧接触后，开始
压缩弹簧，设此过程中弹簧始终服从胡克定律，那么在小球压缩弹簧过程中，以下说法正确的是( )
A. 小球加速度方向始终向上 B.小球加速度方向始终向下 C. 小球加速度方向先向下后向上 D.小球加速度方向先向上后向下
8. 如图，一轻质弹簧一端系在墙上的O 点，自由伸长到B 点．今用一小物体m 把弹簧压缩到A 点，然后释放，小物体能运动到C 点静止，物体与水平地面间的动摩擦因数恒定，试判断下列说法正确的是 ( ) A. 物体从A 到B 速度越来越大，从B 到C 速度越来越小 B. 物体从A 到B 速度越来越小，从B 到C 加速度不变 C. 物体从A 到B 先加速后减速，从B 一直减速运动 D. 物体在B 点受到的合外力为零
9. 如图所示，一轻质弹簧一端与墙相连，另一端与一物体接触，当弹簧在O 点位置时弹簧没有形变，现用力将物体压缩至A 点，然后放手。物体向右运动至C 点而静止，AC 距离为L 。第二次将物体与弹簧相连，仍将它压缩至A 点，则第二次物体在停止运动前经过的总路程s 可能为：
A.s=L B.s>L C.s
10. A、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A 、B 质量分别为0.42 kg和0.40 kg，弹簧的劲度系数k =100 N/m ，若在木块A 上作用一个竖直向上的力F ，使A 由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g =10 m/s）.
（1）使木块A 竖直做匀加速运动的过程中，力F 的最大值；
（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A 、B 分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J ，求这一过程F 对 木块做的功. 五、应用型问题
20.. 惯性制导系统已广泛应用于弹道式导弹工程中，这个系统的重要元件之一是加速度计，加速度计的构造原理示意图如下图所示。沿导弹长度方向安装的固定光滑杆上套一质量为m 的滑块，滑块两侧分别与劲度系数为K 的弹簧相连，弹簧处于自然长度，滑块位于中间，指针指示0刻度，试说明该装置是怎样测出物体的加速度的?
2
5. 如图所示，劲度系数为k 2的轻质弹簧，竖直放在桌面上，上面压一质量为m 的物块，劲度系数为k 1的轻质弹簧竖直地放在物块上面，其下端与物块上表面连接在一起，现想使物块在静止时，下面弹簧承受物重的2/3,应将上面弹簧的上端A 竖直向上提高多大的距离？
例5. 有一水平放置的圆盘，上面放一个劲度系数为k 的轻弹簧，其一端固定于轴O 上，另一端系着质量为m 的物体A ，物体A 与盘面间最大静摩擦力为F fm ，弹簧原长为L ，现将弹簧伸长∆L 后置于旋转的桌面上，如图5所示，问：要使物体相对于桌面静止，圆盘转速n 的最大值和最小值各是多少？
例6. 两木块A 、B 质量分别为m 、M ，用劲度系数为k 的轻质弹簧连在一起，放在水平地面上，如图6所示，用外力将木块A 压下一段距离静止，释放后A 做简谐运动，在A 振动过程中，木块B 刚好始终未离开地面，求木块A 最大加速度。
【例1】如图3-7-1所示，一个弹簧秤放在光滑的水平面上，外壳质量m 不能忽略，弹簧及挂钩质量不计，施加水平方向的力F 1、F 2，且F 1>F 2，则弹簧秤沿水平方向的加速度为 ，弹簧秤的读数为 .
【例4】如图3-7-4所示，质量为m 的小球用水平弹簧连接，并用倾角为300光滑木板AB 托住，使小球恰好处于静止状态. 当AB 突然向下撤离瞬间，小球加速度为 ( )
A. 0 B.
C.
3
3
图
3-7-1
，方向竖直向下
3
，方向垂直于木板向下 D.
, 方向水平向右
【例6】如图3-7-7所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻
质弹簧相连接的物块A 、B ，其质量分别为m A 、m B ，弹簧的劲度系数为k , C 为一固定挡板，系统处于静止状态, 现开始用一恒力F 沿斜面方向拉A 使之向上运动，求B 刚要离开C 时A 的加速度a 和从开始到此时A 的位移d (重力加速度为g ). 【例11】如图3-7-14所示，质量为m 1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m 2的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k , 物体A 、B 都处于静止状态. 一不可伸长的轻绳一端绕过轻滑轮连接物体A ，另一端连接一轻挂钩. 开始时各段绳都处于伸直状态，物体A 上方的一段绳沿竖直方向. 现给挂钩挂一质量为m 2的物体C 并从静止释放，已知它恰好能使物体B 离开地面但不继续上升. 若将物体C 换成另一质量为(m 1+m 2) 的物体
图 3-7-7
，仍从上述初始位置由静止释放，则这次物体B 刚离地时物体D 的速度大小是多少? 已知重力加速度为g
图
3-7-14
D
常见弹簧类问题分析
一、与物体平衡相关的弹簧问题
1.(1999年，全国) 如图示，两木块的质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的劲度系数分别为
k 1和k 2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接) ，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上
面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这过程中下面木块移动的距离为( )
A.m 1g/k 1 B.m2g/k 2 C.m1g/k 2 D.m2g/k 2 此题若求m l 移动的距离又当如何求解?
2.S 1和S 2表示劲度系数分别为k 1，和k 2两根轻质弹簧，k 1>k 2；A 和B 表示质量分别为m A 和m B 的两个小物块，m A >mB , 将弹簧与物块按图示方式悬挂起来．现要求两根弹簧的总长度最大则应使( )． A.S 1在上，A 在上 B.S1在上，B 在上 C.S2在上，A 在上 D.S2在上，B 在上 3. 一根大弹簧内套一根小弹簧，大弹簧比小弹簧长0.2m ，它们的一端固定，另一端自由，如图所示，求这两根弹簧的劲度系数k 1(大弹簧) 和k 2(小弹簧) 分别为多少?
4.(2001年上海高考) 如图，一质量为m 的物体系于长度分别为L 1、L 2的两根细线上，L 1一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，L 2水平拉直，物体处于平衡状态．现将L 2线剪断，求剪断瞬时物体加速度．
(1)下面是某同学对该题的一种解法：解 设L 1线上拉力为T l ，L 2线上拉力为T 2，重力为mg ，物体在三力作用下保持平衡 Tl cos θ=mg，T l sin θ=T2，T 2=mgtanθ，剪断线的瞬间，T 2突然消失，物体即在T 2反方向获得加速度．
因为mgtan θ=ma，所以加速度a=g tan θ，方向在T 2反方向．你认为这个结果正确吗? 清对该解法作出评价并说明理由．
(2)若将图中的细线L l 改为长度相同、质量不计的轻弹簧，其他条件不变，求解的步骤和结果与(1)完全相同，即a=gtanθ，你认为这个结果正确吗? 请说明理由． 二、与动力学相关的弹簧问题
5. 如图所示，在重力场中，将一只轻质弹簧的上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量为M 的木板，木板下面再挂一个质量为m 的物体．当剪掉m 后发现：当木板的速率再次为零时，弹簧恰好能恢复到原长，(不考虑剪断后m 、M 间的相互作用) 则M 与m 之间的关系必定为 ( )
A.M>m B.M=m C.M
6. 如图所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，用手将重物向下压缩到一定程度后，突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射出去，则在弹射过程中(重物与弹簧脱离之前
)
重物的运动情况是 ( )
A. 一直加速运动 B．匀加速运动 C.先加速运动后减速运动 D．先减速运动后加速运动
7. 如图，一轻质弹簧竖直放在水平地面上，小球A 由弹簧正上方某高度自由落下，与弹簧接触后，开始
压缩弹簧，设此过程中弹簧始终服从胡克定律，那么在小球压缩弹簧过程中，以下说法正确的是( )
A. 小球加速度方向始终向上 B.小球加速度方向始终向下 C. 小球加速度方向先向下后向上 D.小球加速度方向先向上后向下
8. 如图，一轻质弹簧一端系在墙上的O 点，自由伸长到B 点．今用一小物体m 把弹簧压缩到A 点，然后释放，小物体能运动到C 点静止，物体与水平地面间的动摩擦因数恒定，试判断下列说法正确的是 ( ) A. 物体从A 到B 速度越来越大，从B 到C 速度越来越小 B. 物体从A 到B 速度越来越小，从B 到C 加速度不变 C. 物体从A 到B 先加速后减速，从B 一直减速运动 D. 物体在B 点受到的合外力为零
9. 如图所示，一轻质弹簧一端与墙相连，另一端与一物体接触，当弹簧在O 点位置时弹簧没有形变，现用力将物体压缩至A 点，然后放手。物体向右运动至C 点而静止，AC 距离为L 。第二次将物体与弹簧相连，仍将它压缩至A 点，则第二次物体在停止运动前经过的总路程s 可能为：
A.s=L B.s>L C.s
10. A、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A 、B 质量分别为0.42 kg和0.40 kg，弹簧的劲度系数k =100 N/m ，若在木块A 上作用一个竖直向上的力F ，使A 由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g =10 m/s）.
（1）使木块A 竖直做匀加速运动的过程中，力F 的最大值；
（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A 、B 分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J ，求这一过程F 对 木块做的功. 五、应用型问题
20.. 惯性制导系统已广泛应用于弹道式导弹工程中，这个系统的重要元件之一是加速度计，加速度计的构造原理示意图如下图所示。沿导弹长度方向安装的固定光滑杆上套一质量为m 的滑块，滑块两侧分别与劲度系数为K 的弹簧相连，弹簧处于自然长度，滑块位于中间，指针指示0刻度，试说明该装置是怎样测出物体的加速度的?
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5. 如图所示，劲度系数为k 2的轻质弹簧，竖直放在桌面上，上面压一质量为m 的物块，劲度系数为k 1的轻质弹簧竖直地放在物块上面，其下端与物块上表面连接在一起，现想使物块在静止时，下面弹簧承受物重的2/3,应将上面弹簧的上端A 竖直向上提高多大的距离？
例5. 有一水平放置的圆盘，上面放一个劲度系数为k 的轻弹簧，其一端固定于轴O 上，另一端系着质量为m 的物体A ，物体A 与盘面间最大静摩擦力为F fm ，弹簧原长为L ，现将弹簧伸长∆L 后置于旋转的桌面上，如图5所示，问：要使物体相对于桌面静止，圆盘转速n 的最大值和最小值各是多少？
例6. 两木块A 、B 质量分别为m 、M ，用劲度系数为k 的轻质弹簧连在一起，放在水平地面上，如图6所示，用外力将木块A 压下一段距离静止，释放后A 做简谐运动，在A 振动过程中，木块B 刚好始终未离开地面，求木块A 最大加速度。
【例1】如图3-7-1所示，一个弹簧秤放在光滑的水平面上，外壳质量m 不能忽略，弹簧及挂钩质量不计，施加水平方向的力F 1、F 2，且F 1>F 2，则弹簧秤沿水平方向的加速度为 ，弹簧秤的读数为 .
【例4】如图3-7-4所示，质量为m 的小球用水平弹簧连接，并用倾角为300光滑木板AB 托住，使小球恰好处于静止状态. 当AB 突然向下撤离瞬间，小球加速度为 ( )
A. 0 B.
C.
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图
3-7-1
，方向竖直向下
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，方向垂直于木板向下 D.
, 方向水平向右
【例6】如图3-7-7所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻
质弹簧相连接的物块A 、B ，其质量分别为m A 、m B ，弹簧的劲度系数为k , C 为一固定挡板，系统处于静止状态, 现开始用一恒力F 沿斜面方向拉A 使之向上运动，求B 刚要离开C 时A 的加速度a 和从开始到此时A 的位移d (重力加速度为g ). 【例11】如图3-7-14所示，质量为m 1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m 2的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k , 物体A 、B 都处于静止状态. 一不可伸长的轻绳一端绕过轻滑轮连接物体A ，另一端连接一轻挂钩. 开始时各段绳都处于伸直状态，物体A 上方的一段绳沿竖直方向. 现给挂钩挂一质量为m 2的物体C 并从静止释放，已知它恰好能使物体B 离开地面但不继续上升. 若将物体C 换成另一质量为(m 1+m 2) 的物体
图 3-7-7
，仍从上述初始位置由静止释放，则这次物体B 刚离地时物体D 的速度大小是多少? 已知重力加速度为g
图
3-7-14
D