理论新探
金融风险的度量与指标选择
周光友5，罗素梅!
（5F西安交通大学经济与金融学院，西安G5""H5；
上海!"5$5I）!F上海中桥学院，
摘
要：目前理论界用来度量金融风险的技术或方法主要有D+A技术、方差、半方差、分位数差
等，但是，最近的研究和实践已发现用这些技术或方法来度量金融风险的大小存在着明显的缺陷。本文认为采用“投资发生损失”这个指标来度量金融风险的大小较为合理，并试图用“发生损失”这一事件出现的概率最小来导出投资组合的选择。
关键词：金融风险；模型；概率；投资组合中图分类号：C!!EFG
文献标识码：&
文章编号：（!""#）5""!.HE8G"$.""5H."!
!引言
近年来，统计界和金融界直接引入了国外已经应用过的
技术和方法，来对中国的数据进行分析和讨论。其中具有代表性的是技术，它被广泛运用于金融风险的控制，其核心就是要尽可能准确地描述金融时间序列的波动性，金融界和统计界的专家学者对此进行了广泛的研究探讨。然而，由于技术已被确定为国际上一种通用的标准，加之它使用的时间长，涉及的面非常宽，其他方法在短时期内难以成为一种流行的技术而取代它，但是，这并不说明是完全适用的。最近，国外的研究和实践已发现存在着不少问题。有的从实际出发，提出它的不足；有的从风险度量应有的性质来考虑，发现它不能满足要求；于是提出了各种改进的方法。另一种是用方差、半方差、分位数差等方法来度量金融风险的大小，由于它们主要用于度量不确定性的程度，它们虽与风险有关，但又不完全是风险，用它们来度量金融风险的大小同样存在着明显的缺陷。由此可见，虽然国内外学者越来越关注对金融风险的研究和讨论，但对金融风险的界定、如何度量金融风险以及风险指标的选择等问题则讨论得不多。本文采用“投资发生损失”这个指标来度量金融风险的大小，因为这个概率大，相应的风险就大；这个概率小，相应的风险也就小。并试图用“发生损失”这一事件出现的概率最小来导出投资组合的选择。
实情况的反映，而厚尾分布的方差往往是不存在的。从实际情况来看，人们谈到风险时，总是与损失相联系的，而方差不仅反映损失的可能性，而且也反映了可能的收益，因此，从直观上看，它是很难以与风险联系在一起的，一种比较符合直观而又不依赖于方差的风险度量指标，应该就是一种到达极限损失的可能性，亦即‘损失’这个随机变量大于某种能承受的极限损失的概率———可能性，可用符号来表示为
（!4,）（5）’
因为不同的投资者（如个人、企业、国家等），它们各自的资产结构并不相同，因而它们能承受的极限损失不同，与之相应的风险大小也就不同。因此，因企657式中的,是因人、业、因所考虑的对象而异的。关于这一点我们用一个简单的例子就可加以说明，例如，两个投资者各自购买了5""万元的同一种股票，其中一个投资者购买股票的资金中有!"万元是借来的，而另一个投资者则有8"万元是借来的。尽管计算出来的二者的值相同，但是两者能承受的损失是不同的，各自的风险也是不同的。所以度量这个事件———能承受的极限损失———发生的概率，在风险分析和管理中是有意义的。
在（5）式中，当,9"时，这是一种既典型又有明确的具有实际意义的情况，就是有损失的概率。一个风险规避型的投资策略就是希望’6!4"7的概率达到最小，当然其前提是希望有收益的概率最大，或收益的期望值达到某个预期值。从数学的角度来看，就是求一种在约束条件下使损失出现的概率达到最小的投资组合。那么这样的投资组合是否存在呢？上述的数学问题是否有解？回答是肯定的。
"金融风险的界定
#
一般来说，风险是一柄双刃剑。既想利用风险来获取收益，又担心风险会造成较大的损失，这是投资者普遍面临的矛盾心理状态。同时，风险承受的能力也因人而异，这种差别与很多因素相关，如公司规模、经营策略、管理制度以及责任人的心理状态、道德观念等。投资者一方面要对自己现有的投资组合进行风险监控，另一方面还要根据自己的风险承受能力来构建合适的投资组合。然而，目前国外学者认为风险就是不确定性，这是一种比较流行、公认的认识。用方差度量风险始于马科维茨定理，后来的%&’(和多因子模型，到
都离不开方差。后来通过大量的实证研)*+,-./,01*23公式，
究发现，以正态分布为理论背景并不合适，厚尾分布才是真
度量金融风险的指标选择及相关性质讨论
现在也有一种度量风险的指标，即:’(（:1;2+*
值，它是一种正被人们广泛关注的风险度量指标，(1?2@=3）
它认为只有收益低于目标值时，才会出现风险，因此将低于"的收益按概率平均的值，才是风险值，即：
:’(（A）9-"，
（A）!（".A）BC
-!"
"
（!）
（:’(-———下端-阶部分矩）。它的优-是:’(的阶数，
点是对"和-的不同选择，就包括了不少已被讨论过、研究过的情况。例如，当"是期望，它就是半方差；当"是目-9!，标，它就是概率；当-95，它就是单边偏离"的均值；当-9"，
5H
统计与决策!""#年$月（下）
理论新探
偏度等指标相联系。然而在实际问题中，不%&$’(就与峰度、
能同时对许多%去寻求最优的投资组合，而且也没有这个必要。值得注意的是期望与概率还是有很大的不同。期望是一个按概率的平均，所以它具有两个特点：一是它的值主要是反映了概率比较大的部分的值，而忽略了概率比较小的部分的值，而实际上大的风险的形成往往是在概率小的部分的值；二是期望值在一次试验中实现的可能性并不大，根据大数定律可知，只有在大量重复的试验后，实际观测到的值平均后才接近于期望值。所以，当%!"时，（!’,）只是一个)*+%平均值，一个参照的值，它与-.,相比，还不能告诉我们实现这个值的概率大小是多少，而-.,还可以告诉我们置信度是多少，比如/#0，或是//0。
由此可见，实际上，因为%&"，!&"的)*+是比较适用的，它告诉我们发生损失的可能性有多大；而%&1，揭示!&"时，了平均损失是多少，只有弄明白了%&"，!&"的概率大小后，去考虑平均损失是多少才有意义。因为概率预示着发生损失的可能性大小，它的值越大，风险就越大；它的值越小，就是风险越小。所以用%&"，!&"的)*+来度量风险看来是比较可行的，它既符合了实际的状况，又与人们的直觉相一致。那么是否可以对它来求解呢？下面我们先对相关的统计术语稍作解释，并对一些简单的情形给出了明确的答案。
由于我们要考虑的是投资组合，因此必须考虑各种资产价格的向量23&（21’)’24），一个投资组合是"32&"1215)5"424，（"1’)’"4）（不准有卖空时，还要求"6""，"3&’要满足!"6&1
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（21）21:)（A215)524）F2!)F24&B
类似地，（#）的每一个边缘分布都是同一个类型的分布，但与
不同之处在于参数并不相同。从（#）式不难看出，它的参（(）
数与#’DD3有关。因而C遵从（#）的密度时，投资组合的分布就与参数"3#有关，并且可以知道
""
!!!
#（H）
是一个完全确定的分布密度函数，B（G是由D确定的。于I
是可将上述结论用于前面的讨论，设"32"是现在投资组合的
（#）的椭球等高分布，于是价格，未来2的分布是形如
（"327"32（"）*8"）就是发生损失的概率，注意到（H）的结论，就有
（"327"32（"）（"328"32（"））*8"）&*
（"）7"3#）（"327"3#8"32&*
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7J
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（"）32#），其中.（"）要使上述损失的概率最小，也就是&"（
$。6&1’!’)’4）
设现在的价格是23（"）（2（），未来的价格是&’)’2（1"）4"）
（21’)’24），对任何一种投资组合，（"）是已知的值，就是23&"32这个投资组合当前的价格，它是一个随机"32是未来的价格，变量，到未来实现时，发生损失就是"327"32（"）8"，于是*（"327"32（"）（$）8"）
就是发生损失的风险。（$）中概率的大小依赖于"32的分布。注意到"32是2的线性函数，因此就许多位置———尺度参数族的多元分布而言，对于它们的线性函数往往是封闭的，也即它们的线性函数仍然是这个位置———尺度参数族的分布，不过是一元的；相应的位置———尺度参数，可以由多元分布的参数和"向量得到。
例如，正态分布2:;（#，，则#）
491
491
494
要.（"）达到最小。
容易看出，使（达到最小值的"，一定是满足下述方程."）
即#"&$"，GG3"&$"，#&GG3
的解，也即"是GG3的特征向量。
注意到"3G（2（"）就是满足使7#）（"）%.
&"
的解，因此，要求13"&1，时，就取7171
（"）（"）（L）"&#（27#）K13#（27#）
它就是使损失概率达到最小的解，这个解对所有的椭球等高分布族是一个公式。但是对于不同的分布（在椭球等高分布族中的不同分布类型，如正态、相应的概率和平均
意思的是使得有损失的概率最小的解的公式却是一样的。这就启示我们，应对不同类型的分布族去探讨同一类型的解。
!结论与启示
（"3#，，"32:;"3#"）
是一个一元的正态分布；
又如2是多元的
491
其中=是一个常数，#是一个位置参数向量，#是与尺度参数有关的正定矩阵，?是与自由度有关的参数。它的线性函
只是@32相应的参数要由"与#’#’?这数@32仍然是
些参数来导出。其它的位置——尺度参数族也有同样的情形。
接下来我们来讨论一下一类比较有代表性的分布族———椭球等高分布族，正态、复合正态等等都在这
（21’)’24）的联合分布密度是个分布族内。设随机向量23&
491
=
1
（2）（232）（(）*&A
其中（是一个完全确定的函数，那么令AB）C&D25#之后，（多元），（只要EDE!"）C就是2的线性函数C的密度就是
7171
（（C7#），（#）EDE（AC7#）3DD3）
显而易见，所C的线性函数的分布密度会仍然具有上述形式，以对C作非退化的线性变换后，分布族是不变的。从（(）式可以看出，（232）时，2:A2的每一个边缘分布都是相同的，
近年来，虽然国内统计界和金融界直接引入了国外已经
应用过的技术和方法，来对中国的数据作一些分析和讨论，如采用-.,技术，或者用方差、半方差、分位数差等方法来度量金融风险的大小。但是，前者是可能损失的极端值，不是风险的大小；而后者则是度量不确定性的程度，它们与风险有关，又不完全是风险。最近，国外的研究和实践已发现有这些技术或方法来度量金融风险的大小存在着明显的不足，并提出了各种改进的方法。国内外学者虽然对金融风险进行了广泛的研究和讨论，但对金融风险的界定、如何度量金融风险以及风险指标的选择等问题在国内讨论并不多见。本文通过对当前所使用的度量金融风险的一些技术和方法及其性质的讨论，发现采用“投资发生损失”这个指标来度量金融风险的大小较为合适，因为这个概率大，相应的风险就大；这个概率小，相应的风险也就小。并认为使用“发生损失”这一事件出现的概率最小可导出投资组合的选择。
参考文献
M1N张尧庭O对金融风险度量的一些看法O金融学术研究网O
科学出版社OM!N方开泰’张尧庭O广义多元分析M+NO1//$年中译本O北京：
M$N崔嵬O-.,理念在银行间市场的运用MPNO中国货币市场’!""$’QO
（责任编辑K亦民）
统计与决策!""#年$月（下）
1L
理论新探
金融风险的度量与指标选择
周光友5，罗素梅!
（5F西安交通大学经济与金融学院，西安G5""H5；
上海!"5$5I）!F上海中桥学院，
摘
要：目前理论界用来度量金融风险的技术或方法主要有D+A技术、方差、半方差、分位数差
等，但是，最近的研究和实践已发现用这些技术或方法来度量金融风险的大小存在着明显的缺陷。本文认为采用“投资发生损失”这个指标来度量金融风险的大小较为合理，并试图用“发生损失”这一事件出现的概率最小来导出投资组合的选择。
关键词：金融风险；模型；概率；投资组合中图分类号：C!!EFG
文献标识码：&
文章编号：（!""#）5""!.HE8G"$.""5H."!
!引言
近年来，统计界和金融界直接引入了国外已经应用过的
技术和方法，来对中国的数据进行分析和讨论。其中具有代表性的是技术，它被广泛运用于金融风险的控制，其核心就是要尽可能准确地描述金融时间序列的波动性，金融界和统计界的专家学者对此进行了广泛的研究探讨。然而，由于技术已被确定为国际上一种通用的标准，加之它使用的时间长，涉及的面非常宽，其他方法在短时期内难以成为一种流行的技术而取代它，但是，这并不说明是完全适用的。最近，国外的研究和实践已发现存在着不少问题。有的从实际出发，提出它的不足；有的从风险度量应有的性质来考虑，发现它不能满足要求；于是提出了各种改进的方法。另一种是用方差、半方差、分位数差等方法来度量金融风险的大小，由于它们主要用于度量不确定性的程度，它们虽与风险有关，但又不完全是风险，用它们来度量金融风险的大小同样存在着明显的缺陷。由此可见，虽然国内外学者越来越关注对金融风险的研究和讨论，但对金融风险的界定、如何度量金融风险以及风险指标的选择等问题则讨论得不多。本文采用“投资发生损失”这个指标来度量金融风险的大小，因为这个概率大，相应的风险就大；这个概率小，相应的风险也就小。并试图用“发生损失”这一事件出现的概率最小来导出投资组合的选择。
实情况的反映，而厚尾分布的方差往往是不存在的。从实际情况来看，人们谈到风险时，总是与损失相联系的，而方差不仅反映损失的可能性，而且也反映了可能的收益，因此，从直观上看，它是很难以与风险联系在一起的，一种比较符合直观而又不依赖于方差的风险度量指标，应该就是一种到达极限损失的可能性，亦即‘损失’这个随机变量大于某种能承受的极限损失的概率———可能性，可用符号来表示为
（!4,）（5）’
因为不同的投资者（如个人、企业、国家等），它们各自的资产结构并不相同，因而它们能承受的极限损失不同，与之相应的风险大小也就不同。因此，因企657式中的,是因人、业、因所考虑的对象而异的。关于这一点我们用一个简单的例子就可加以说明，例如，两个投资者各自购买了5""万元的同一种股票，其中一个投资者购买股票的资金中有!"万元是借来的，而另一个投资者则有8"万元是借来的。尽管计算出来的二者的值相同，但是两者能承受的损失是不同的，各自的风险也是不同的。所以度量这个事件———能承受的极限损失———发生的概率，在风险分析和管理中是有意义的。
在（5）式中，当,9"时，这是一种既典型又有明确的具有实际意义的情况，就是有损失的概率。一个风险规避型的投资策略就是希望’6!4"7的概率达到最小，当然其前提是希望有收益的概率最大，或收益的期望值达到某个预期值。从数学的角度来看，就是求一种在约束条件下使损失出现的概率达到最小的投资组合。那么这样的投资组合是否存在呢？上述的数学问题是否有解？回答是肯定的。
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一般来说，风险是一柄双刃剑。既想利用风险来获取收益，又担心风险会造成较大的损失，这是投资者普遍面临的矛盾心理状态。同时，风险承受的能力也因人而异，这种差别与很多因素相关，如公司规模、经营策略、管理制度以及责任人的心理状态、道德观念等。投资者一方面要对自己现有的投资组合进行风险监控，另一方面还要根据自己的风险承受能力来构建合适的投资组合。然而，目前国外学者认为风险就是不确定性，这是一种比较流行、公认的认识。用方差度量风险始于马科维茨定理，后来的%&’(和多因子模型，到
都离不开方差。后来通过大量的实证研)*+,-./,01*23公式，
究发现，以正态分布为理论背景并不合适，厚尾分布才是真
度量金融风险的指标选择及相关性质讨论
现在也有一种度量风险的指标，即:’(（:1;2+*
值，它是一种正被人们广泛关注的风险度量指标，(1?2@=3）
它认为只有收益低于目标值时，才会出现风险，因此将低于"的收益按概率平均的值，才是风险值，即：
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统计与决策!""#年$月（下）
理论新探
偏度等指标相联系。然而在实际问题中，不%&$’(就与峰度、
能同时对许多%去寻求最优的投资组合，而且也没有这个必要。值得注意的是期望与概率还是有很大的不同。期望是一个按概率的平均，所以它具有两个特点：一是它的值主要是反映了概率比较大的部分的值，而忽略了概率比较小的部分的值，而实际上大的风险的形成往往是在概率小的部分的值；二是期望值在一次试验中实现的可能性并不大，根据大数定律可知，只有在大量重复的试验后，实际观测到的值平均后才接近于期望值。所以，当%!"时，（!’,）只是一个)*+%平均值，一个参照的值，它与-.,相比，还不能告诉我们实现这个值的概率大小是多少，而-.,还可以告诉我们置信度是多少，比如/#0，或是//0。
由此可见，实际上，因为%&"，!&"的)*+是比较适用的，它告诉我们发生损失的可能性有多大；而%&1，揭示!&"时，了平均损失是多少，只有弄明白了%&"，!&"的概率大小后，去考虑平均损失是多少才有意义。因为概率预示着发生损失的可能性大小，它的值越大，风险就越大；它的值越小，就是风险越小。所以用%&"，!&"的)*+来度量风险看来是比较可行的，它既符合了实际的状况，又与人们的直觉相一致。那么是否可以对它来求解呢？下面我们先对相关的统计术语稍作解释，并对一些简单的情形给出了明确的答案。
由于我们要考虑的是投资组合，因此必须考虑各种资产价格的向量23&（21’)’24），一个投资组合是"32&"1215)5"424，（"1’)’"4）（不准有卖空时，还要求"6""，"3&’要满足!"6&1
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类似地，（#）的每一个边缘分布都是同一个类型的分布，但与
不同之处在于参数并不相同。从（#）式不难看出，它的参（(）
数与#’DD3有关。因而C遵从（#）的密度时，投资组合的分布就与参数"3#有关，并且可以知道
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是一个完全确定的分布密度函数，B（G是由D确定的。于I
是可将上述结论用于前面的讨论，设"32"是现在投资组合的
（#）的椭球等高分布，于是价格，未来2的分布是形如
（"327"32（"）*8"）就是发生损失的概率，注意到（H）的结论，就有
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（21’)’24），对任何一种投资组合，（"）是已知的值，就是23&"32这个投资组合当前的价格，它是一个随机"32是未来的价格，变量，到未来实现时，发生损失就是"327"32（"）8"，于是*（"327"32（"）（$）8"）
就是发生损失的风险。（$）中概率的大小依赖于"32的分布。注意到"32是2的线性函数，因此就许多位置———尺度参数族的多元分布而言，对于它们的线性函数往往是封闭的，也即它们的线性函数仍然是这个位置———尺度参数族的分布，不过是一元的；相应的位置———尺度参数，可以由多元分布的参数和"向量得到。
例如，正态分布2:;（#，，则#）
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要.（"）达到最小。
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即#"&$"，GG3"&$"，#&GG3
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（"）（"）（L）"&#（27#）K13#（27#）
它就是使损失概率达到最小的解，这个解对所有的椭球等高分布族是一个公式。但是对于不同的分布（在椭球等高分布族中的不同分布类型，如正态、相应的概率和平均
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!结论与启示
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又如2是多元的
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其中=是一个常数，#是一个位置参数向量，#是与尺度参数有关的正定矩阵，?是与自由度有关的参数。它的线性函
只是@32相应的参数要由"与#’#’?这数@32仍然是
些参数来导出。其它的位置——尺度参数族也有同样的情形。
接下来我们来讨论一下一类比较有代表性的分布族———椭球等高分布族，正态、复合正态等等都在这
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491
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其中（是一个完全确定的函数，那么令AB）C&D25#之后，（多元），（只要EDE!"）C就是2的线性函数C的密度就是
7171
（（C7#），（#）EDE（AC7#）3DD3）
显而易见，所C的线性函数的分布密度会仍然具有上述形式，以对C作非退化的线性变换后，分布族是不变的。从（(）式可以看出，（232）时，2:A2的每一个边缘分布都是相同的，
近年来，虽然国内统计界和金融界直接引入了国外已经
应用过的技术和方法，来对中国的数据作一些分析和讨论，如采用-.,技术，或者用方差、半方差、分位数差等方法来度量金融风险的大小。但是，前者是可能损失的极端值，不是风险的大小；而后者则是度量不确定性的程度，它们与风险有关，又不完全是风险。最近，国外的研究和实践已发现有这些技术或方法来度量金融风险的大小存在着明显的不足，并提出了各种改进的方法。国内外学者虽然对金融风险进行了广泛的研究和讨论，但对金融风险的界定、如何度量金融风险以及风险指标的选择等问题在国内讨论并不多见。本文通过对当前所使用的度量金融风险的一些技术和方法及其性质的讨论，发现采用“投资发生损失”这个指标来度量金融风险的大小较为合适，因为这个概率大，相应的风险就大；这个概率小，相应的风险也就小。并认为使用“发生损失”这一事件出现的概率最小可导出投资组合的选择。
参考文献
M1N张尧庭O对金融风险度量的一些看法O金融学术研究网O
科学出版社OM!N方开泰’张尧庭O广义多元分析M+NO1//$年中译本O北京：
M$N崔嵬O-.,理念在银行间市场的运用MPNO中国货币市场’!""$’QO
（责任编辑K亦民）
统计与决策!""#年$月（下）
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