1椭圆
一、引入
问题：平面内现有两个定点F 1，F 2，另外一动点M 与这两个定点的距离之和为常数且距离之和大于|F 1F 2|，则动点M 的轨迹方程是什么？ 的坐标为(x , y )，则MF 1=
推导：如下图建立平面直角坐标系，设F 1的坐标为(-c , 0)，F 2的坐标为(c , 0)，设M
(x +c )2+y 2，MF 2
=
(x -c )2+y 2，又动点与两个定
(x -c ) 2+y 2=2a
点的距离之和为常数，设MF 1+MF 2=2a ，故
x +c 2+y 2+
x 2y 2
(c >0)，化简得2+22=1，又2a >2c ，即a >c ，所以a 2-c 2>0.
a a -c
二、新课讲解 1、椭圆概念
平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a （大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有|MF 2|=2a . 1|+|MF 注意：2a >F 1F 2表示椭圆；2a =F 1F 2表示线段F 1F 2；2a
x 2y 2
=1，设b =a 2-c 2，则化为 在引入中，推导出点M 的轨迹方程为2+2
2
a a -c
x 2y 2
+2=1(a >b >0) 2a b
这就是焦点在x 轴上的椭圆的标准方程, 这里焦点分别是F 1(-c , 0)，F 2(c , 0)，且
b
=a 2-
c 2. 如下图
y 2x 2
类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程2+2=1(
a >b >0)．如图
a b
x 2y 2
椭圆的标准方程为：2+2=1（a >b >0）（焦点在x 轴上）
a b
y 2x 2
或2+2=1（a >b >0）（焦点在y 轴上）。 a b 注：（1）以上方程中a , b 的大小a >b >0，其中b 2=a 2-c 2；
x 2y 2y 2x 2
（2）在2+2=1和2+2=1两个方程中都有a >b >0的条件，要分清焦点的位置，
a b a b
2
只要看x 和y 2的分母的大小，“谁大焦点在谁上”
x 2y 2
+=1（m >0，n >0，m ≠n ）当m >n 时表示焦点在x 轴上的例如椭圆
m n
椭圆；当m
（3）方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，A , B , C 同号，
x 2y 2
例1、已知方程+=1表示椭圆，则k 的取值范围为____
3+k 2-k
例2、如图，设A ，B 的坐标分别为(-5,0)，(5,0)．直线AM ，BM 相交于点M ，且它
4
，求点M 的轨迹方程． 9
y y
解设点M (x , y )，则k AM =(x ≠-5)，k BM =(x ≠5)；
x +5x -5
y y 4⋅=-， k AM ⋅k BM =
x +5x -59
们的斜率之积为-
x 2y 2+=1(x ≠±5) 化简得
25100
9
3、椭圆的简单几何性质
y 2x 2
①范围：由椭圆的标准方程可得，2=1-2≥0，进一步得：-a ≤x ≤a ，同理可
b a
得：-b ≤y ≤b ，即椭圆位于直线x =±a 和y =±b 所围成的矩形框图里；
例3、若x , y ∈R ，且3x 2+2y 2=6，则x +y 的最大值是____，x 2+y 2的最小值是___
x 2y 2
+=1上动点，求线段AP 中点M 的轨迹方程． 例4、设定点A (6,2)，P 是椭圆
259
解：①（代入法求伴随轨迹）设M (x , y )，P (x 1, y 1)； ②（点与伴随点的关系） ∵M 为线段AP 的中点，∴⎨
⎧x 1=2x -6
；
⎩y 1=2y -2
③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）， ∵
x y
+=1，∴点M 的轨迹方程为259
2121
(x -3)
25
2
+
(y -1)
9
2
1=； 4
11⎧1≤x ≤⎪⎧-5≤x 1≤5⎪22
④伴随轨迹表示的范围⎨，求得⎨
15-3≤y ≤31⎩⎪-≤y ≤⎪2⎩2
②对称性：由以-x 代x ，以-y 代y 和-x 代x ，且以-y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点． 椭圆四个顶点为：A 1(-a ,0) ，A 2(a ,0) ，B 1(0,-b ) ，B 2(0,b )
线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在Rt ∆OB 2F 2中，|OB 2|=b ，
|OF 2|=c ，|B 2F 2|=a ，且|OF 2|2=|B 2F 2|2-|OB 2|2，即c 2=a 2-b 2；
④离心率：（0
x 2y 2
椭圆2+2=1（a >b >0），保持长半轴长a 不变，改变椭圆的半焦距c ，可以发现c 越
a b
接近a ，椭圆越扁平，这样可以利用a 和c 刻画椭圆的扁平程度,
c
(0
c e ==
a
c 2
=a 2
a 2-b 2⎛b ⎫
=- ⎪ a 2⎝a ⎭
2
例5、已知椭圆mx 2+5y 2=5m (m >
0)的离心率为e =
m 的值． x 2y 2
+=1 解依题意，m >0, m ≠5，
5m
①当焦点在x 轴上，即0
5时，有a =b =
c =
=
，得m =3；
②当焦点在y 轴上，即m >
5时，有a =b =c =
=
25⇒m =． 53
254
的距离的比是常数，45
x =例6、如图，设M (x , y )与定点F (4,0)的距离和它到直线l ：
求点M 的轨迹方程． 解设点M (x , y )，则
MF =
到直线l ：x =
2525
的距离d =x -， 44
又
MF d
=
4
，化简得 5
x 2y 2
+=1 259
椭圆第二定义：
c a 2
若点M (x , y )与定点F (c ,0)的距离和它到定直线l ：x =的距离比是常数e =
a c
a 2
(a >c >0)，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点F (c ,0)是焦点，定直线l ：x =相
c
a 2
应于F 的准线；由椭圆的对称性，另一焦点F '(-c ,0)，相应于F '的准线l '：x =-．
c a 2
类似的焦点在y 轴的椭圆为y =±.
c
4、点与椭圆的关系
x 2y 2
点P (x 0, y 0) 和椭圆2+2=1（a >b >0）的关系：
a b
22
x 0y 0
（1）点P (x 0, y 0) 在椭圆外⇔2+2>1；
a b
22x 0y 0
（2）点P (x 0, y 0) 在椭圆上⇔2+2＝1；
a b 22x 0y 0
（3）点P (x 0, y 0) 在椭圆内⇔2+2
a b
5、直线与椭圆的位置关系
联立直线与椭圆方程，消参数，得关于x 或y 的一个一元二次方程； （1）相交：∆>0，直线与椭圆有两个交点； （2）相切：∆=0，直线与椭圆有一个交点；
（3）相离：∆
例7、在平面直角坐标系xOy 中，点P (a , b ) (a >b >0) 为动点，F 1,
F 2分别为椭圆
x 2y 2
+2=1的左右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． 2a b
（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；
（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A , B 两点，M 是直线PF 2
上的点，满足AM ⋅BM =-2，
求点M
的轨迹方程．
（Ⅰ）解:设F 1(-c ,0) , F 2(c ,0) (c >0) , 由题意可判断∠PF 2F 1为钝角，
=2c , 整理得 故可得|PF 2|=|F 1F 2|,
c 11c c c
2() 2+-1=0, 得=-1(舍) 或=, 所以e =.
2a 2a a a
222
（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知a =2c , b , 可得椭圆方程为3x +4y =12c . 直线PF 2方程为 222⎧⎪3x +4y =12c
y =x -c ) ,A,B 两点的坐标满足方程组⎨, 消去y 并整理, 得
⎪⎩y =x -c )
5x 2-8cx =0, 解得
8c ⎧x =2⎪⎧58c 8c ⎪⎪x 1=0
x 1=
0, x 2=) , , 得方程组的解⎨, ⎨, 不妨设A
(55⎪
⎩y 1=⎪y =1⎪
5⎩B (0,) ,
8c ) , BM =(x , y ) . 由设点M 的坐标为(x
, y ) , 则AM =(x -, y 5y =
x -c ) 得
38y
c =
x y , 于是AM =y -x , x ), BM =(x ) , 由AM ⋅BM =-2，
55即38y y -x ) x +(x ) =
-2, 化简得18x 2--
15=0, 将552
10x 2+5y =y , 得c =>0, 所以x >
0, 代入c =x -
316x 因此, 点M 的轨迹方程是18x --15=0(x >0) .
2
x 2y 2
+=1恒有公共点，则m 的取值范围是_______. 思考：直线y -kx -1=0与椭圆
5m
1椭圆
一、引入
问题：平面内现有两个定点F 1，F 2，另外一动点M 与这两个定点的距离之和为常数且距离之和大于|F 1F 2|，则动点M 的轨迹方程是什么？ 的坐标为(x , y )，则MF 1=
推导：如下图建立平面直角坐标系，设F 1的坐标为(-c , 0)，F 2的坐标为(c , 0)，设M
(x +c )2+y 2，MF 2
=
(x -c )2+y 2，又动点与两个定
(x -c ) 2+y 2=2a
点的距离之和为常数，设MF 1+MF 2=2a ，故
x +c 2+y 2+
x 2y 2
(c >0)，化简得2+22=1，又2a >2c ，即a >c ，所以a 2-c 2>0.
a a -c
二、新课讲解 1、椭圆概念
平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a （大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有|MF 2|=2a . 1|+|MF 注意：2a >F 1F 2表示椭圆；2a =F 1F 2表示线段F 1F 2；2a
x 2y 2
=1，设b =a 2-c 2，则化为 在引入中，推导出点M 的轨迹方程为2+2
2
a a -c
x 2y 2
+2=1(a >b >0) 2a b
这就是焦点在x 轴上的椭圆的标准方程, 这里焦点分别是F 1(-c , 0)，F 2(c , 0)，且
b
=a 2-
c 2. 如下图
y 2x 2
类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程2+2=1(
a >b >0)．如图
a b
x 2y 2
椭圆的标准方程为：2+2=1（a >b >0）（焦点在x 轴上）
a b
y 2x 2
或2+2=1（a >b >0）（焦点在y 轴上）。 a b 注：（1）以上方程中a , b 的大小a >b >0，其中b 2=a 2-c 2；
x 2y 2y 2x 2
（2）在2+2=1和2+2=1两个方程中都有a >b >0的条件，要分清焦点的位置，
a b a b
2
只要看x 和y 2的分母的大小，“谁大焦点在谁上”
x 2y 2
+=1（m >0，n >0，m ≠n ）当m >n 时表示焦点在x 轴上的例如椭圆
m n
椭圆；当m
（3）方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，A , B , C 同号，
x 2y 2
例1、已知方程+=1表示椭圆，则k 的取值范围为____
3+k 2-k
例2、如图，设A ，B 的坐标分别为(-5,0)，(5,0)．直线AM ，BM 相交于点M ，且它
4
，求点M 的轨迹方程． 9
y y
解设点M (x , y )，则k AM =(x ≠-5)，k BM =(x ≠5)；
x +5x -5
y y 4⋅=-， k AM ⋅k BM =
x +5x -59
们的斜率之积为-
x 2y 2+=1(x ≠±5) 化简得
25100
9
3、椭圆的简单几何性质
y 2x 2
①范围：由椭圆的标准方程可得，2=1-2≥0，进一步得：-a ≤x ≤a ，同理可
b a
得：-b ≤y ≤b ，即椭圆位于直线x =±a 和y =±b 所围成的矩形框图里；
例3、若x , y ∈R ，且3x 2+2y 2=6，则x +y 的最大值是____，x 2+y 2的最小值是___
x 2y 2
+=1上动点，求线段AP 中点M 的轨迹方程． 例4、设定点A (6,2)，P 是椭圆
259
解：①（代入法求伴随轨迹）设M (x , y )，P (x 1, y 1)； ②（点与伴随点的关系） ∵M 为线段AP 的中点，∴⎨
⎧x 1=2x -6
；
⎩y 1=2y -2
③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）， ∵
x y
+=1，∴点M 的轨迹方程为259
2121
(x -3)
25
2
+
(y -1)
9
2
1=； 4
11⎧1≤x ≤⎪⎧-5≤x 1≤5⎪22
④伴随轨迹表示的范围⎨，求得⎨
15-3≤y ≤31⎩⎪-≤y ≤⎪2⎩2
②对称性：由以-x 代x ，以-y 代y 和-x 代x ，且以-y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点． 椭圆四个顶点为：A 1(-a ,0) ，A 2(a ,0) ，B 1(0,-b ) ，B 2(0,b )
线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在Rt ∆OB 2F 2中，|OB 2|=b ，
|OF 2|=c ，|B 2F 2|=a ，且|OF 2|2=|B 2F 2|2-|OB 2|2，即c 2=a 2-b 2；
④离心率：（0
x 2y 2
椭圆2+2=1（a >b >0），保持长半轴长a 不变，改变椭圆的半焦距c ，可以发现c 越
a b
接近a ，椭圆越扁平，这样可以利用a 和c 刻画椭圆的扁平程度,
c
(0
c e ==
a
c 2
=a 2
a 2-b 2⎛b ⎫
=- ⎪ a 2⎝a ⎭
2
例5、已知椭圆mx 2+5y 2=5m (m >
0)的离心率为e =
m 的值． x 2y 2
+=1 解依题意，m >0, m ≠5，
5m
①当焦点在x 轴上，即0
5时，有a =b =
c =
=
，得m =3；
②当焦点在y 轴上，即m >
5时，有a =b =c =
=
25⇒m =． 53
254
的距离的比是常数，45
x =例6、如图，设M (x , y )与定点F (4,0)的距离和它到直线l ：
求点M 的轨迹方程． 解设点M (x , y )，则
MF =
到直线l ：x =
2525
的距离d =x -， 44
又
MF d
=
4
，化简得 5
x 2y 2
+=1 259
椭圆第二定义：
c a 2
若点M (x , y )与定点F (c ,0)的距离和它到定直线l ：x =的距离比是常数e =
a c
a 2
(a >c >0)，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点F (c ,0)是焦点，定直线l ：x =相
c
a 2
应于F 的准线；由椭圆的对称性，另一焦点F '(-c ,0)，相应于F '的准线l '：x =-．
c a 2
类似的焦点在y 轴的椭圆为y =±.
c
4、点与椭圆的关系
x 2y 2
点P (x 0, y 0) 和椭圆2+2=1（a >b >0）的关系：
a b
22
x 0y 0
（1）点P (x 0, y 0) 在椭圆外⇔2+2>1；
a b
22x 0y 0
（2）点P (x 0, y 0) 在椭圆上⇔2+2＝1；
a b 22x 0y 0
（3）点P (x 0, y 0) 在椭圆内⇔2+2
a b
5、直线与椭圆的位置关系
联立直线与椭圆方程，消参数，得关于x 或y 的一个一元二次方程； （1）相交：∆>0，直线与椭圆有两个交点； （2）相切：∆=0，直线与椭圆有一个交点；
（3）相离：∆
例7、在平面直角坐标系xOy 中，点P (a , b ) (a >b >0) 为动点，F 1,
F 2分别为椭圆
x 2y 2
+2=1的左右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． 2a b
（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；
（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A , B 两点，M 是直线PF 2
上的点，满足AM ⋅BM =-2，
求点M
的轨迹方程．
（Ⅰ）解:设F 1(-c ,0) , F 2(c ,0) (c >0) , 由题意可判断∠PF 2F 1为钝角，
=2c , 整理得 故可得|PF 2|=|F 1F 2|,
c 11c c c
2() 2+-1=0, 得=-1(舍) 或=, 所以e =.
2a 2a a a
222
（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知a =2c , b , 可得椭圆方程为3x +4y =12c . 直线PF 2方程为 222⎧⎪3x +4y =12c
y =x -c ) ,A,B 两点的坐标满足方程组⎨, 消去y 并整理, 得
⎪⎩y =x -c )
5x 2-8cx =0, 解得
8c ⎧x =2⎪⎧58c 8c ⎪⎪x 1=0
x 1=
0, x 2=) , , 得方程组的解⎨, ⎨, 不妨设A
(55⎪
⎩y 1=⎪y =1⎪
5⎩B (0,) ,
8c ) , BM =(x , y ) . 由设点M 的坐标为(x
, y ) , 则AM =(x -, y 5y =
x -c ) 得
38y
c =
x y , 于是AM =y -x , x ), BM =(x ) , 由AM ⋅BM =-2，
55即38y y -x ) x +(x ) =
-2, 化简得18x 2--
15=0, 将552
10x 2+5y =y , 得c =>0, 所以x >
0, 代入c =x -
316x 因此, 点M 的轨迹方程是18x --15=0(x >0) .
2
x 2y 2
+=1恒有公共点，则m 的取值范围是_______. 思考：直线y -kx -1=0与椭圆
5m