•我们会逐渐进入命题逻辑的形式讨论：我们对命题只注意其命题形式，对联结词只注意其逻辑意义。
•命题逻辑合式公式的定义给出了命题逻辑研究的对象范围。所有符合定义的合式公式构成合式公式空间，它可被视为命题逻辑的符号化语言。语言的结构包括符号表、语法规则（即合适公式定义）和语义（也即真值）。•定义：符号化语言 Lp 的符号表包括
−小写英文字母：p, q, r, … 称为命题变量（或原子变量）。所有可能出现的命题变量的集合记为 Var ；
−命题联结词：包括五个联结词 ¬, ∧, ∨, →, ；−助记符：包括左右两个小括号 (, ) 。
•定义：命题逻辑的合式公式 (wff, well ‐formed formula) •一个命题变量 p 是一个 wff ；
•若 A 是 wff ，则 (¬A) 也是 wff ；
•若 A, B 是 wff ，则 (A∧B), (A∨B), (A→B), (AB) 也是wff ；•当且仅当有限次使用上述规则得到的才是 wff 。上述定义是一个归纳定义，1) 是归纳基始，2) 3) 是归纳步，4) 是最小化规则 命题逻辑的合式公式以下简称为公式
•定义：联结词的优先级
−规定联结词的运算优先级从高到底为：¬ ∧ ∨ → −书写公式时，在不引起误解的情况下，可以省略部分小括号。»例：(p→(q∧r))
可写成 p →(q∧r), 或 p →q ∧r
•定义：真值赋值函数
−具有形式 t:Var→{0,1} 的函数，它为变量表 Var 中的每个命题变量 p ∈Var 指派一个真值 (1/0)。
»例：Var = {p, q}，可以定义赋值函数t 如下：
t(p)=0，t(q)=1
•定义：真值赋值函数
−在含有 n 个命题变量的 Var 上，可以定义的赋值函数有 2n 个，称为对此 n 个命题变量的 2n 个解释。
»例：对 Var={p, q}，可以有 2n =4个不同的解释：
t 0(p)=0，t 0(q)=0； t 1(p)=0，t 1(q)=1；
t 2(p)=1，t 2(q)=0； t 3(p)=1，t 3(q)=1；
•定义：合式公式的真值
−设下述 A, B, C 都是合式公式。给定一个真值赋值函数 t : Var → {0,1} ，则任意公式 A 在 t 下的真值 T(A)：
−若 A 是命题变量形式 p ，则 T(A)=T(p)；
−若 A 具有形式 (¬B)，则 T(A)=1 iff T(B)=0；
−若 A 具有形式 (B∧C) ，则 T(A)=1 iff T(B)=1且T(C)=1；
−若 A 具有形式 (B∨C) ，则 T(A)=0 iff T(B)=0且T(C)=0；
−若 A 具有形式 (B→C) ，则 T(A)=0 iff T(B)=1且T(C)=0；
−若 A 具有形式 (BC) ，则 T(A)=1 iff T(B)=T(C)；
注意到 Var 中包含了本次计算涉及的所有命题变量。
上述对A 的真值T(A)的定义是一个递归定义，对T(A)的计算是一个递归过程，所需步数等于利用wff 定义构造A 的归纳步数。由于A 的构造步数是有限的，所以T(A)的递归计算将在有限步数后终止。
•定义：合式公式的真值表
−可以采用真值表的方法对 A 的逻辑意义作直观的描述：对任何一个可能的赋值函数（解释）t i ，计算出相应 T(A)，称为 A 在 t i 下的真值。将所有的 2n 个(n=|Var|) 不同的解释及 A 在各个解释下的真值用表格的形式列明，称为公式A 的真值表。
•定义：合式公式的真值表
−例： (p∧(p∨q)) p
1
1q (p∨q) (p∧(p∨q)) [1**********]1
在每个解释下，计算 (p∨q) 的真值，再以 p 的真值和 (p∨q) 的真值作合取，依合取的定义得到最右栏的真值.
•定义：合式公式的真值表
−例：((p∧q) →r) p
0
0
0
0
1
1
1
1 q 00110011r 01010101(p ∧ q) ((p∧q) →r) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1
•定义：重言式、可满足式和矛盾式
−在所有真值赋值函数下真值都为1的合式公式称为重言式（或永真式）。−能在某一真值赋值函数下取得真值1的合式公式称为可满足式。
−在所有真值赋值函数下真值都为0的合式公式称为矛盾式（或永假式）。重言式在任何解释下都为真，故其真值表对应的最右列全是1; 可满足式至少在一个解释下为真，故该列至少有一个是1; 矛盾式在任何解释下都为假，故该列全是0 •定义：重言式、可满足式和矛盾式
−例： (p∧q) →(p∨q) 是重言式
p
1
1q (p ∧ q) (p∨q) (p∧q) →(p∨q) [**************]1
•定义：重言式、可满足式和矛盾式
−例： ¬(p→q) ∧q 是矛盾式
p
1
1
下一单元内容提示
−自然语言形式化q →→→q) ∧q [**************]0
•我们会逐渐进入命题逻辑的形式讨论：我们对命题只注意其命题形式，对联结词只注意其逻辑意义。
•命题逻辑合式公式的定义给出了命题逻辑研究的对象范围。所有符合定义的合式公式构成合式公式空间，它可被视为命题逻辑的符号化语言。语言的结构包括符号表、语法规则（即合适公式定义）和语义（也即真值）。•定义：符号化语言 Lp 的符号表包括
−小写英文字母：p, q, r, … 称为命题变量（或原子变量）。所有可能出现的命题变量的集合记为 Var ；
−命题联结词：包括五个联结词 ¬, ∧, ∨, →, ；−助记符：包括左右两个小括号 (, ) 。
•定义：命题逻辑的合式公式 (wff, well ‐formed formula) •一个命题变量 p 是一个 wff ；
•若 A 是 wff ，则 (¬A) 也是 wff ；
•若 A, B 是 wff ，则 (A∧B), (A∨B), (A→B), (AB) 也是wff ；•当且仅当有限次使用上述规则得到的才是 wff 。上述定义是一个归纳定义，1) 是归纳基始，2) 3) 是归纳步，4) 是最小化规则 命题逻辑的合式公式以下简称为公式
•定义：联结词的优先级
−规定联结词的运算优先级从高到底为：¬ ∧ ∨ → −书写公式时，在不引起误解的情况下，可以省略部分小括号。»例：(p→(q∧r))
可写成 p →(q∧r), 或 p →q ∧r
•定义：真值赋值函数
−具有形式 t:Var→{0,1} 的函数，它为变量表 Var 中的每个命题变量 p ∈Var 指派一个真值 (1/0)。
»例：Var = {p, q}，可以定义赋值函数t 如下：
t(p)=0，t(q)=1
•定义：真值赋值函数
−在含有 n 个命题变量的 Var 上，可以定义的赋值函数有 2n 个，称为对此 n 个命题变量的 2n 个解释。
»例：对 Var={p, q}，可以有 2n =4个不同的解释：
t 0(p)=0，t 0(q)=0； t 1(p)=0，t 1(q)=1；
t 2(p)=1，t 2(q)=0； t 3(p)=1，t 3(q)=1；
•定义：合式公式的真值
−设下述 A, B, C 都是合式公式。给定一个真值赋值函数 t : Var → {0,1} ，则任意公式 A 在 t 下的真值 T(A)：
−若 A 是命题变量形式 p ，则 T(A)=T(p)；
−若 A 具有形式 (¬B)，则 T(A)=1 iff T(B)=0；
−若 A 具有形式 (B∧C) ，则 T(A)=1 iff T(B)=1且T(C)=1；
−若 A 具有形式 (B∨C) ，则 T(A)=0 iff T(B)=0且T(C)=0；
−若 A 具有形式 (B→C) ，则 T(A)=0 iff T(B)=1且T(C)=0；
−若 A 具有形式 (BC) ，则 T(A)=1 iff T(B)=T(C)；
注意到 Var 中包含了本次计算涉及的所有命题变量。
上述对A 的真值T(A)的定义是一个递归定义，对T(A)的计算是一个递归过程，所需步数等于利用wff 定义构造A 的归纳步数。由于A 的构造步数是有限的，所以T(A)的递归计算将在有限步数后终止。
•定义：合式公式的真值表
−可以采用真值表的方法对 A 的逻辑意义作直观的描述：对任何一个可能的赋值函数（解释）t i ，计算出相应 T(A)，称为 A 在 t i 下的真值。将所有的 2n 个(n=|Var|) 不同的解释及 A 在各个解释下的真值用表格的形式列明，称为公式A 的真值表。
•定义：合式公式的真值表
−例： (p∧(p∨q)) p
1
1q (p∨q) (p∧(p∨q)) [1**********]1
在每个解释下，计算 (p∨q) 的真值，再以 p 的真值和 (p∨q) 的真值作合取，依合取的定义得到最右栏的真值.
•定义：合式公式的真值表
−例：((p∧q) →r) p
0
0
0
0
1
1
1
1 q 00110011r 01010101(p ∧ q) ((p∧q) →r) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1
•定义：重言式、可满足式和矛盾式
−在所有真值赋值函数下真值都为1的合式公式称为重言式（或永真式）。−能在某一真值赋值函数下取得真值1的合式公式称为可满足式。
−在所有真值赋值函数下真值都为0的合式公式称为矛盾式（或永假式）。重言式在任何解释下都为真，故其真值表对应的最右列全是1; 可满足式至少在一个解释下为真，故该列至少有一个是1; 矛盾式在任何解释下都为假，故该列全是0 •定义：重言式、可满足式和矛盾式
−例： (p∧q) →(p∨q) 是重言式
p
1
1q (p ∧ q) (p∨q) (p∧q) →(p∨q) [**************]1
•定义：重言式、可满足式和矛盾式
−例： ¬(p→q) ∧q 是矛盾式
p
1
1
下一单元内容提示
−自然语言形式化q →→→q) ∧q [**************]0