浅谈万有引力与航天之向心加速度与重力加速度
杨倩倩
关键字：万有引力 航天 重力加速度 地球卫星 教学
在学习了全日制高中物理必修二第四章《万有引力及其应用》中的天体运动之后，很多同学认为重力加速度就与向心加速度是一回事，即向心加速度就等于重力加速度，重力就等于向心力，从而出错。其实不然，下我们从力与运动的关系来分析这个问题。 万有引力定律：（law of universal gravitation ）是物体间相互作用的一条定律，1687年为牛顿所发现。任何物体之间都有相互吸引力，这个力的大小与各个物体的质量成正比例，而与它们之间的距离的平方成反比。如果用M 、m 表示两个物体的质量，r 表示它们间的距离，则物体间相互吸引力为F= GMm/r，G 称为万有引力常数，其值约为6.67×10 单位 N·㎡ /kg 。为英国物理学家、化学家亨利·卡文迪许通过扭秤实验测得。 万有引力定律的发现和提出，使我们认识到自然界中存在的一种基本作用，更重要的是把其应用于天体的运动以及航天技术的研究当中，从而开创了人类探索宇宙奥妙的新纪元。 万有引力与航天这章内容比较晦涩难懂，公式比较多学生容易混淆，万有引力公式与圆周运动公式相结合，得出一系列的公式。如何能在繁杂的公式中找出其中的奥秘，关键还是要搞清楚万有引力与航天的规律。
欲解决此类问题，现归纳以下几条依据：
在地球上的物体：
（1）考虑地球的自转：重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力。重力实际上是万有引力的一个分力，另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力。如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F 也不断变化，因而地球表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g 随纬度变化而变化。 其中G 为万有引力常量，M 为地球的质量，m 为地面物体的质量，R 为地球半径，r 为随着纬度的变化物体距离轴线的长度。（万有引力向量=重力向量+向心力向量） GMm/R222-11 =mg+ mw2r
因为同一个物体的W 相等，随着纬度的增加r 越来越小，但是万有引力
GMm/R2不变，mg 越来越大即：随着纬度的增加，重力加速度g
越来越大。因
此在南北极重力加速度最大，在赤道附近最小。
向心加速度：
GMm/R2 =mg+ ma g>> a=w2r
=mg+ mw2r =(2π/T)2r
=mg+ m(2π/T)r = V/r 22
=mg+ mV2/r
重力加速度>>向心加速度
相关公式的推导：GMm/R =mg+ mV/r 或 GMm/R =mg+ m(2π/T)r
（2）忽略地球的自转：在赤道处R=r，物体的万有引力分解的两个分力f 向和mg 刚好在一条直线上, 则有F=mg+f向，所以，mg=F-f向=GMm/R-mw R
因地球自转角速度很小， GMm/R＞＞mw R 所以GMm/R≈mg ，(一般情况下不考虑自转带来的影响，认为重力等于万有引力，只有在南北极时物体不随地球自转GMm/R =mg)
“GM=gR2”通常称为黄金代换式，在解题时经常用到。
假设地球自转加快，即mg=GMm/R-mw R 知物体的重力将变小. 当GMm/R =mwR 时，[1**********]222mg=0此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度w=GM/R3，比现在地球自转角速度要大得多。
地球附近的近地卫星：
通常把高度在500千米以下的航天器轨道称为低轨道，500千米~2000千米高的轨道称为中轨道。中、低轨道合称为近地轨道（又称顺行轨道）。近地卫星是指轨道在地球表面附近的卫星，计算时轨道半径可近似取地球半径（这一点很重要）即：近地卫星：转动半径(R+h)≈地球半径R
GMm/（R+h）2 = ma → GMm/R2 = ma
= mw2(R+h) → = mw2R
= mV/(R+h) → = mV/R
= m(2π/T)(R+h) → = m(2π/T)R 2222
（1）轨道半径(R+h)≈R；运行速度v =
大绕行速度； GM =(R+h) g (R+h) =7.9km∕s，是所有卫星的最
（2）运行的周期为T=85min，是所有卫星最小周期；
（3）向心加速度a =g ≈9.8m∕s ，是所有卫星的最大加速度。
（4）向心加速度a =g=w R=V/R=(2π/T)R=GM/R 2222 2
GM 角速度ω=R 3 R 3周期T =2π GM
重力加速度=向心加速度
人造卫星在离地面h 的高空中运行，它处于一种完全失重状态，其重力G =0，则重力加速度g =0。但卫星受到了它与地球之间的万有引力F 万，此F 万完全来提供卫星绕地球做圆周F 万=G
运动所需的向心力。由公式
a =Mm Mm =G =ma r 2(R +h ) 2得到卫星做圆周运动的向心加速度GM (R +h ) 2，方向指向地球的球心。现在我们设想一下，如果某一时刻，卫星的速度为零，那么想一下，此时的卫星具有的加速度是多少？
假如卫星的环绕速度变为零，但它受到的万有引力不变，仍然与它绕地球做圆周运动时受到的万有引力一样，只不过。此时的万有引力扮演的角色发生了改变，卫星做圆周运动时，F 万完全用来向心力，而当v 环绕
g ==0时，F 万全部用来提供卫星的重力，所以卫星的重力加速度GM (R +h ) 2，方向与F 万同向，即指向球心。也可以从另外途径来证明此结果。
mg ' =G Mm
(R +h ) 2 （1） 当卫星的环绕速度为零时，它受到的重力：
mg =G 又因为在地球表面，我们可以得到：
' Mm R 2 （2） R 2
g =g 2(R +h ) （3） 从以上（1）（2）两式，得到
2GM =gR 在上文中，我们已得到，代入（3）式，得：g ' =GM (R +h ) 2，方向指向球心。
由此得到同样的结果。
根据以上的分析，对于同一颗卫星，在同一位置的两种不同状态下，其向心加速度和重力加速度是一样的，不但大小一样，而且方向也一样。
地球远地卫星：
距离地球比较远，距离地球的高度不可以忽略，卫星距离地心r=R+H
GMm/（R+ H）2 = ma → GMm/r2 = ma
= mw2(R+ H) → = mw2r
= mV/(R+ H) → = mV/r
= m(2π/T)(R+ H) → = m(2π/T)r 2222
r 3
向心加速度a= w r 周期T =2π GM 2
=V2/r 角速度ω=
=(2π/T)2r
= GM/r2
地球同步卫星： GM 3r
即地球同步轨道卫星，又称对地静止卫星，是运行在地球同步轨道上的人造卫星。所谓同步轨道卫星，是指：卫星距离地球的高度约为h=36000 km，卫星的运行方向与地球自转方向相同、运行轨道为位于地球赤道平面上圆形轨道、运行周期与地球自转一周的时间相等，即23时56分4秒，卫星在轨道上的绕行速度约为3.1公里/秒，等于地球自转的角速度。在地球同步轨道上布设3颗通讯卫星，即可实现除两极外的全球通讯。
3v =GM R +h ) =3. 07⨯10m /s ； （1） 线速度
-5（2） 角速度ω=(R +h ) =7. 24⨯10rad /s ；
4（3） 周期T =24h =8. 64⨯10s ；
2a =GM (R +h ) =0. 22m /s （4） 向心加速度；
32
r =R +h =
（5） 轨道半径T 2GM 7=4. 2⨯10m 24π；
7（6） 对地高度h =3. 6⨯10m ；
以后我们在分析这类问题时，首先要明确研究的是地球表面随地球自转的物体还是上
升到空中成为地球的卫星的物体，重力加速度是否等于向心加速度，要分类讨论。严谨的学习态度，才是学习物理的金钥匙。
浅谈万有引力与航天之向心加速度与重力加速度
杨倩倩
关键字：万有引力 航天 重力加速度 地球卫星 教学
在学习了全日制高中物理必修二第四章《万有引力及其应用》中的天体运动之后，很多同学认为重力加速度就与向心加速度是一回事，即向心加速度就等于重力加速度，重力就等于向心力，从而出错。其实不然，下我们从力与运动的关系来分析这个问题。 万有引力定律：（law of universal gravitation ）是物体间相互作用的一条定律，1687年为牛顿所发现。任何物体之间都有相互吸引力，这个力的大小与各个物体的质量成正比例，而与它们之间的距离的平方成反比。如果用M 、m 表示两个物体的质量，r 表示它们间的距离，则物体间相互吸引力为F= GMm/r，G 称为万有引力常数，其值约为6.67×10 单位 N·㎡ /kg 。为英国物理学家、化学家亨利·卡文迪许通过扭秤实验测得。 万有引力定律的发现和提出，使我们认识到自然界中存在的一种基本作用，更重要的是把其应用于天体的运动以及航天技术的研究当中，从而开创了人类探索宇宙奥妙的新纪元。 万有引力与航天这章内容比较晦涩难懂，公式比较多学生容易混淆，万有引力公式与圆周运动公式相结合，得出一系列的公式。如何能在繁杂的公式中找出其中的奥秘，关键还是要搞清楚万有引力与航天的规律。
欲解决此类问题，现归纳以下几条依据：
在地球上的物体：
（1）考虑地球的自转：重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力。重力实际上是万有引力的一个分力，另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力。如图所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F 也不断变化，因而地球表面物体的重力随纬度的变化而变化，即重力加速度g 随纬度变化而变化。 其中G 为万有引力常量，M 为地球的质量，m 为地面物体的质量，R 为地球半径，r 为随着纬度的变化物体距离轴线的长度。（万有引力向量=重力向量+向心力向量） GMm/R222-11 =mg+ mw2r
因为同一个物体的W 相等，随着纬度的增加r 越来越小，但是万有引力
GMm/R2不变，mg 越来越大即：随着纬度的增加，重力加速度g
越来越大。因
此在南北极重力加速度最大，在赤道附近最小。
向心加速度：
GMm/R2 =mg+ ma g>> a=w2r
=mg+ mw2r =(2π/T)2r
=mg+ m(2π/T)r = V/r 22
=mg+ mV2/r
重力加速度>>向心加速度
相关公式的推导：GMm/R =mg+ mV/r 或 GMm/R =mg+ m(2π/T)r
（2）忽略地球的自转：在赤道处R=r，物体的万有引力分解的两个分力f 向和mg 刚好在一条直线上, 则有F=mg+f向，所以，mg=F-f向=GMm/R-mw R
因地球自转角速度很小， GMm/R＞＞mw R 所以GMm/R≈mg ，(一般情况下不考虑自转带来的影响，认为重力等于万有引力，只有在南北极时物体不随地球自转GMm/R =mg)
“GM=gR2”通常称为黄金代换式，在解题时经常用到。
假设地球自转加快，即mg=GMm/R-mw R 知物体的重力将变小. 当GMm/R =mwR 时，[1**********]222mg=0此时地球上物体无重力，但是它要求地球自转的角速度w=GM/R3，比现在地球自转角速度要大得多。
地球附近的近地卫星：
通常把高度在500千米以下的航天器轨道称为低轨道，500千米~2000千米高的轨道称为中轨道。中、低轨道合称为近地轨道（又称顺行轨道）。近地卫星是指轨道在地球表面附近的卫星，计算时轨道半径可近似取地球半径（这一点很重要）即：近地卫星：转动半径(R+h)≈地球半径R
GMm/（R+h）2 = ma → GMm/R2 = ma
= mw2(R+h) → = mw2R
= mV/(R+h) → = mV/R
= m(2π/T)(R+h) → = m(2π/T)R 2222
（1）轨道半径(R+h)≈R；运行速度v =
大绕行速度； GM =(R+h) g (R+h) =7.9km∕s，是所有卫星的最
（2）运行的周期为T=85min，是所有卫星最小周期；
（3）向心加速度a =g ≈9.8m∕s ，是所有卫星的最大加速度。
（4）向心加速度a =g=w R=V/R=(2π/T)R=GM/R 2222 2
GM 角速度ω=R 3 R 3周期T =2π GM
重力加速度=向心加速度
人造卫星在离地面h 的高空中运行，它处于一种完全失重状态，其重力G =0，则重力加速度g =0。但卫星受到了它与地球之间的万有引力F 万，此F 万完全来提供卫星绕地球做圆周F 万=G
运动所需的向心力。由公式
a =Mm Mm =G =ma r 2(R +h ) 2得到卫星做圆周运动的向心加速度GM (R +h ) 2，方向指向地球的球心。现在我们设想一下，如果某一时刻，卫星的速度为零，那么想一下，此时的卫星具有的加速度是多少？
假如卫星的环绕速度变为零，但它受到的万有引力不变，仍然与它绕地球做圆周运动时受到的万有引力一样，只不过。此时的万有引力扮演的角色发生了改变，卫星做圆周运动时，F 万完全用来向心力，而当v 环绕
g ==0时，F 万全部用来提供卫星的重力，所以卫星的重力加速度GM (R +h ) 2，方向与F 万同向，即指向球心。也可以从另外途径来证明此结果。
mg ' =G Mm
(R +h ) 2 （1） 当卫星的环绕速度为零时，它受到的重力：
mg =G 又因为在地球表面，我们可以得到：
' Mm R 2 （2） R 2
g =g 2(R +h ) （3） 从以上（1）（2）两式，得到
2GM =gR 在上文中，我们已得到，代入（3）式，得：g ' =GM (R +h ) 2，方向指向球心。
由此得到同样的结果。
根据以上的分析，对于同一颗卫星，在同一位置的两种不同状态下，其向心加速度和重力加速度是一样的，不但大小一样，而且方向也一样。
地球远地卫星：
距离地球比较远，距离地球的高度不可以忽略，卫星距离地心r=R+H
GMm/（R+ H）2 = ma → GMm/r2 = ma
= mw2(R+ H) → = mw2r
= mV/(R+ H) → = mV/r
= m(2π/T)(R+ H) → = m(2π/T)r 2222
r 3
向心加速度a= w r 周期T =2π GM 2
=V2/r 角速度ω=
=(2π/T)2r
= GM/r2
地球同步卫星： GM 3r
即地球同步轨道卫星，又称对地静止卫星，是运行在地球同步轨道上的人造卫星。所谓同步轨道卫星，是指：卫星距离地球的高度约为h=36000 km，卫星的运行方向与地球自转方向相同、运行轨道为位于地球赤道平面上圆形轨道、运行周期与地球自转一周的时间相等，即23时56分4秒，卫星在轨道上的绕行速度约为3.1公里/秒，等于地球自转的角速度。在地球同步轨道上布设3颗通讯卫星，即可实现除两极外的全球通讯。
3v =GM R +h ) =3. 07⨯10m /s ； （1） 线速度
-5（2） 角速度ω=(R +h ) =7. 24⨯10rad /s ；
4（3） 周期T =24h =8. 64⨯10s ；
2a =GM (R +h ) =0. 22m /s （4） 向心加速度；
32
r =R +h =
（5） 轨道半径T 2GM 7=4. 2⨯10m 24π；
7（6） 对地高度h =3. 6⨯10m ；
以后我们在分析这类问题时，首先要明确研究的是地球表面随地球自转的物体还是上
升到空中成为地球的卫星的物体，重力加速度是否等于向心加速度，要分类讨论。严谨的学习态度，才是学习物理的金钥匙。