建立空间直角坐标系，书写坐标、求法向量
复习：1. 向量的数量积公式
若与的夹角为θ(0≤θ≤π), 且a =(a 1, a 2, a 3) ，b =(b 1, b 2, b 3) , 则 （1）点乘公式： ·=|||
b | cosθ
（2）模长公式：则|a |==，|b |==（3）夹角公式：cos a ⋅b =
a ⋅b
= |a |⋅|b |（4）两个非零向量与垂直的充要条件是a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2
2. 建立空间直角坐标系
+a 3b 3=0
y
. M
z
. M
y
x
平面直角坐标系
空间直角坐标系
注：三条坐标轴互相垂直，当题目中没有现成的时候我们可以自己建立。
（判断正误）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x 轴正方向，食指指向为y 轴正向，中指指向则为z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。
C 1
D 1
1
1
P C
B D 1B A
G
E
D A C
A C
C
F D B
B
长方体 正方体 PA ⊥平面ABC ，∠ACB =90︒
A
B
C
PA 平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD
底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD
PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD =60.
3. 如何正确书写a =(x , y , z )坐标
x 即为横坐标，表示点到yoz 平面的距离; y即为横坐标，表示点到xoz 平面的距离; z即为横坐标，表示点到xoy 平面的距离.
1. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，AA 1=6,写出所有点坐标
2. 如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，写出所有点坐标
4. 如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC , PA =AC =1, BC =
D 1
A 1
B 1
C E
G
D A
C
F
3. 如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB =90︒且PA =AC =BC =a ，写出对应坐标。
B
C
z
5. 如图，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC =90 ，PB ⊥面ABCD ，BA =BC =BP =2CD =2，E 为PD 的中点.
4. 大写字母如何表示向量（在以上写出的坐标中表示可能写的向量）
若A (a 1, a 2, a 3) ，B (b 1, b 2, b 3) ⇒AB =(b 1-a 1, b 2-a 2, b 3-a 3) 即：终点减起点
5. 如何求一个平面的法向量（在以上写出的坐标中表示可能写的法向量）
5.1平面的法向量。
如果表示向量的有向线段所在的直线垂直于平面α, 称这个向量垂直于平面α, 记作⊥α, 这时向量叫做平面α的法向量
.
在空间直角坐标系中, 如何求平面法向量的坐标呢?
如图, 设a =(x 1, y 1, z 1) , b =(x 2, y 2, z 2) 是平面α内的两个不共线的非零向量, 由
= 直线与平面垂直的判定定理知, 若⊥且⊥, 则⊥α. 换句话说, 若·0
且·= 0,则⊥α.
求平面的法向量的坐标的步骤:
(设):设出平面法向量的坐标为=(x,y,z).
⎧x x +y 1y +z 1z =0
(列):根据n ·a = 0且n ·b = 0可列出方程组⎨1
⎩x 2x +y 2y +z 2z =0(解):把z 看作常数, 用z 表示x 、y.
(取):取z 为任意一个正数(当然取得越特殊越好), 便得到平面法向量的坐标.
例1在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 是面AC 的中心, 求平面OA 1D 1的法向量
.
常见立体几何问题的类型及解法
1、判断直线、平面间的位置关系；
(1)直线与直线的位置关系;
不重合的两条直线a,b 的方向向量分别为 ,. ①若a ∥b , 即a =λb , 则a ∥b . ②若a ⊥b , 即a ·b = 0,则a ⊥b
(2)直线与平面的位置关系;
直线L 的方向向量为, 平面α的法向量为, 且L α.
∥, 即=λ, 则 L⊥α a ⊥n, 即a ·n = 0,则a ∥α
.
(3)平面与平面的位置关系;
平面α的法向量为n 1 ,平面β的法向量为n 2
n 1∥n 2, 即n 1=λn 2, 则α∥β n 1⊥n 2, 即n 1·n 2= 0,则α⊥β
【例题讲解】
1. 如图，已知正方体ABCD-A B C D M,N 分别是A B ，BB 的中点. 求证:
1111，111(1)MN//平面ACD
(2)DB⊥平面ACD . 1 ; 11
D1
A
B N
C
B
2、如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB，E 为PC 中点． (I) 求证：CD ⊥平面PAD ；
(II) 求证：BE//平面PAD ．
D C B
3. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点，求证： （1）D 1O//平面A 1BC 1; （2）D 1O ⊥平面MAC.
4. 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，AB =5, 点D 是AB 的中点，求证：
（I ）AC ⊥BC 1； （II ）A 1C //平面CDB 1；
5. 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 、G 分别是BB 1、DD 1、DC 的中点，求证：
(1)平面ADE ∥平面B 1C 1F ； (2)平面ADE ⊥平面A 1D 1G ；
6. 棱长都等于2的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1,D,E 分别是AC,CC 1的中点, 求证: (I)A1E ⊥平面DBC 1; (II)AB1∥平面DBC 1 A1
7、正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点, 求证:面AED ⊥面A 1FD
建立空间直角坐标系，书写坐标、求法向量
复习：1. 向量的数量积公式
若与的夹角为θ(0≤θ≤π), 且a =(a 1, a 2, a 3) ，b =(b 1, b 2, b 3) , 则 （1）点乘公式： ·=|||
b | cosθ
（2）模长公式：则|a |==，|b |==（3）夹角公式：cos a ⋅b =
a ⋅b
= |a |⋅|b |（4）两个非零向量与垂直的充要条件是a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2
2. 建立空间直角坐标系
+a 3b 3=0
y
. M
z
. M
y
x
平面直角坐标系
空间直角坐标系
注：三条坐标轴互相垂直，当题目中没有现成的时候我们可以自己建立。
（判断正误）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x 轴正方向，食指指向为y 轴正向，中指指向则为z 轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。
C 1
D 1
1
1
P C
B D 1B A
G
E
D A C
A C
C
F D B
B
长方体 正方体 PA ⊥平面ABC ，∠ACB =90︒
A
B
C
PA 平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD
底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD
PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠BAD =60.
3. 如何正确书写a =(x , y , z )坐标
x 即为横坐标，表示点到yoz 平面的距离; y即为横坐标，表示点到xoz 平面的距离; z即为横坐标，表示点到xoy 平面的距离.
1. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，AA 1=6,写出所有点坐标
2. 如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，写出所有点坐标
4. 如图，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC , PA =AC =1, BC =
D 1
A 1
B 1
C E
G
D A
C
F
3. 如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB =90︒且PA =AC =BC =a ，写出对应坐标。
B
C
z
5. 如图，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC =90 ，PB ⊥面ABCD ，BA =BC =BP =2CD =2，E 为PD 的中点.
4. 大写字母如何表示向量（在以上写出的坐标中表示可能写的向量）
若A (a 1, a 2, a 3) ，B (b 1, b 2, b 3) ⇒AB =(b 1-a 1, b 2-a 2, b 3-a 3) 即：终点减起点
5. 如何求一个平面的法向量（在以上写出的坐标中表示可能写的法向量）
5.1平面的法向量。
如果表示向量的有向线段所在的直线垂直于平面α, 称这个向量垂直于平面α, 记作⊥α, 这时向量叫做平面α的法向量
.
在空间直角坐标系中, 如何求平面法向量的坐标呢?
如图, 设a =(x 1, y 1, z 1) , b =(x 2, y 2, z 2) 是平面α内的两个不共线的非零向量, 由
= 直线与平面垂直的判定定理知, 若⊥且⊥, 则⊥α. 换句话说, 若·0
且·= 0,则⊥α.
求平面的法向量的坐标的步骤:
(设):设出平面法向量的坐标为=(x,y,z).
⎧x x +y 1y +z 1z =0
(列):根据n ·a = 0且n ·b = 0可列出方程组⎨1
⎩x 2x +y 2y +z 2z =0(解):把z 看作常数, 用z 表示x 、y.
(取):取z 为任意一个正数(当然取得越特殊越好), 便得到平面法向量的坐标.
例1在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 是面AC 的中心, 求平面OA 1D 1的法向量
.
常见立体几何问题的类型及解法
1、判断直线、平面间的位置关系；
(1)直线与直线的位置关系;
不重合的两条直线a,b 的方向向量分别为 ,. ①若a ∥b , 即a =λb , 则a ∥b . ②若a ⊥b , 即a ·b = 0,则a ⊥b
(2)直线与平面的位置关系;
直线L 的方向向量为, 平面α的法向量为, 且L α.
∥, 即=λ, 则 L⊥α a ⊥n, 即a ·n = 0,则a ∥α
.
(3)平面与平面的位置关系;
平面α的法向量为n 1 ,平面β的法向量为n 2
n 1∥n 2, 即n 1=λn 2, 则α∥β n 1⊥n 2, 即n 1·n 2= 0,则α⊥β
【例题讲解】
1. 如图，已知正方体ABCD-A B C D M,N 分别是A B ，BB 的中点. 求证:
1111，111(1)MN//平面ACD
(2)DB⊥平面ACD . 1 ; 11
D1
A
B N
C
B
2、如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB，E 为PC 中点． (I) 求证：CD ⊥平面PAD ；
(II) 求证：BE//平面PAD ．
D C B
3. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点，求证： （1）D 1O//平面A 1BC 1; （2）D 1O ⊥平面MAC.
4. 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，AB =5, 点D 是AB 的中点，求证：
（I ）AC ⊥BC 1； （II ）A 1C //平面CDB 1；
5. 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 、G 分别是BB 1、DD 1、DC 的中点，求证：
(1)平面ADE ∥平面B 1C 1F ； (2)平面ADE ⊥平面A 1D 1G ；
6. 棱长都等于2的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1,D,E 分别是AC,CC 1的中点, 求证: (I)A1E ⊥平面DBC 1; (II)AB1∥平面DBC 1 A1
7、正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点, 求证:面AED ⊥面A 1FD