问题：利用参考扇性坐标确定如图1所示各断面的扭心位置，并作出主扇性坐标ω0图。
(a ) (b )
图1 断面尺寸图
解：(a ) 槽型断面
此断面具有横向对称轴，故形心在该对称轴上，形心C 到腹板中线的距离xc为
d
∙2dxc==2t∙d∙
并作出坐标y 图如图2所示。以腹板中点O 为参考极点，腹板与上翼缘板交点1为积分起点，作出参考扇性坐标ω1图如图3所示。
s
图2 坐标y 图 图3 参考扇性坐标ω1图
利用图2和图3，由公式Iωx=∫ω1ydA=∫0ω1ytds，可求出
1
Iωx=2∙(−d∙d2∙d∙2t)=−2d4t
而绕x 轴的惯性矩Ix为
Ix=∫y2tds=2∙2t∙d∙d2+
所以剪心偏心距xs为
Iωx−2d4t3xs===−d
3xdt因此剪心在腹板左侧7d处，由此作出主扇性坐标ω0图如图4所示。
3
1143t∙(2d) 3=dt
图4 主扇性坐标ω0图
(b ) 工字型断面
由于该断面具有竖向对称轴，所以形心必在该对称轴上。由于在此题中只需要求得断面的坐标x 图，所以不必求得形心的准确位置，只需要大致确定形心位置为C 点，建立坐标系x-y 。
作出坐标x 图如图5所示。以腹板与上翼缘板交点O 为参考极点，腹板与下翼缘板交点1为积分起点，作出参考扇性坐标ω1图如图6所示。
图5 坐标x 图 图6 参考扇性坐标ω1图
s
利用图5和图6，由公式Iωy=∫ω1xdA=∫0ω1xtds，可求出
Iωy
1dd22d14
=2∙(−∙∙∙∙∙2t)=−dt
而绕y 轴的惯性矩Iy为
2
12d1dd5
Iy=∫x2tds=2∙∙d2∙∙t+2∙∙(∙∙2t=d3t
所以剪心偏心距ys为
ys=−
1
Iωy1
=−=d
3ydt1−d4t
因此剪心在O 点下侧5d处，由此作出主扇性坐标ω0图如图7所示。
图7 主扇性坐标ω0图
问题：利用参考扇性坐标确定如图1所示各断面的扭心位置，并作出主扇性坐标ω0图。
(a ) (b )
图1 断面尺寸图
解：(a ) 槽型断面
此断面具有横向对称轴，故形心在该对称轴上，形心C 到腹板中线的距离xc为
d
∙2dxc==2t∙d∙
并作出坐标y 图如图2所示。以腹板中点O 为参考极点，腹板与上翼缘板交点1为积分起点，作出参考扇性坐标ω1图如图3所示。
s
图2 坐标y 图 图3 参考扇性坐标ω1图
利用图2和图3，由公式Iωx=∫ω1ydA=∫0ω1ytds，可求出
1
Iωx=2∙(−d∙d2∙d∙2t)=−2d4t
而绕x 轴的惯性矩Ix为
Ix=∫y2tds=2∙2t∙d∙d2+
所以剪心偏心距xs为
Iωx−2d4t3xs===−d
3xdt因此剪心在腹板左侧7d处，由此作出主扇性坐标ω0图如图4所示。
3
1143t∙(2d) 3=dt
图4 主扇性坐标ω0图
(b ) 工字型断面
由于该断面具有竖向对称轴，所以形心必在该对称轴上。由于在此题中只需要求得断面的坐标x 图，所以不必求得形心的准确位置，只需要大致确定形心位置为C 点，建立坐标系x-y 。
作出坐标x 图如图5所示。以腹板与上翼缘板交点O 为参考极点，腹板与下翼缘板交点1为积分起点，作出参考扇性坐标ω1图如图6所示。
图5 坐标x 图 图6 参考扇性坐标ω1图
s
利用图5和图6，由公式Iωy=∫ω1xdA=∫0ω1xtds，可求出
Iωy
1dd22d14
=2∙(−∙∙∙∙∙2t)=−dt
而绕y 轴的惯性矩Iy为
2
12d1dd5
Iy=∫x2tds=2∙∙d2∙∙t+2∙∙(∙∙2t=d3t
所以剪心偏心距ys为
ys=−
1
Iωy1
=−=d
3ydt1−d4t
因此剪心在O 点下侧5d处，由此作出主扇性坐标ω0图如图7所示。
图7 主扇性坐标ω0图