弹性力学小孔应力集中读书报告

工程中的弹塑性力学读书报告

作业：基于ANSYS对孔口应力集中问题进行简单分析 姓名:郭政 学号：S20156116

基于ANSYS对孔口应力集中问题进行简单分析

摘要：徐芝纶所著《弹性力学》给出矩形薄板左右受均布拉力的基尔斯解答，本文利用有限元软件ANSYS数值实验，实现应力场、位移场的可视化。同时定义了应力集中的特征参数来研究应力集中系数与孔径尺度(宽径比、长宽比)、材料所处状态的关系，最后提出一种可应用于工程中减小应力集中的方法。

关键词：圆孔应力集中特征参数应力集中系数孔径尺度 材料状态

1引言

孔口的尺寸远小于弹性体的尺寸，并且孔边距弹性体的边界比较远（约大于1.5倍孔口尺寸）被定义为小孔口问题。由于开孔，孔口附近的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较远处的应力，这种现象称为孔口应力集中。一般来说，集中的程度越高，集中的现象越是局部性的，就是说应力随着与孔的距离增大而越快的趋进于无孔时的应力。应力集中的程度，首先与孔的形状有关，一般来说，圆孔孔边的集中程度最低。另外集中系数还与相对孔径尺度有关。基于ansys平台，通过数值试验的方法，研究不同孔径时的孔边应力集中问题。

2 力学模型

参考《弹性力学》和书籍[3]我们建立如下模型，如图1所示。 平面带孔平板，孔位于板正中，假设板为各向同性完全弹性，板两端受均布拉力荷载q1000pa，长为200mm，宽为100mm，厚为0.01mm，泊松比为0.3，E220Gpa。

现在我们定义一个描述板宽与孔径的相对尺度的特征参数，

1,2，定义应力集中系数kmax，其中L为板长，B为板

宽，R为孔半径，max为孔边最大应力，q为均布荷载，q0为平均应力。

q

q

图1 力学模型

3ANSYS求解

3.1 模型建立

为了研究不同孔径时的孔边应力集中，我们做一下数值实验。B=100，R=66.67、50、33.33、25、20、16.67、10、5（单位mm），利用ANSYS平台由值，计算出相应的k值。本模型为轴对称平面应力问题，所以我们只需要取模型进行求解即可。具体操作过程这里不用细讲，生成R10mm的几何模型和变形后模型见图2、3。

图2 生成的几何模型结果显示

图3 变形后的几何形状和未变形轮廓显示

3.2 数据分析

3.2.1圆孔附近应力场

从R10mm圆孔的X方向应力场分布等值线图（图4、5），我们发现圆孔附近应力发生了改变：由平均1000pa急剧增加到27813137pa，即发生了明显的应力集中现象；在远离孔边应急急剧减少至1003pa；孔附近的应力远大于较远处的应力，且最大应力（图中红色区域）

1r23r4

在圆孔的上下边。而《弹性力学》基尔斯解为q124，

22

当r,3q，并且随着远离孔边应力急剧趋近于q，比较数值解与解析解，两者基本吻合，所以我们通过ANSYS来实现解析解的可视化是成功的。

图4 R10mm和R5mm圆孔X方向应力

图5 R10mm和R5mm圆孔沿Y方向环向正应力分布

3.2 圆孔附近的形变场

笔者查阅不少资料，发现文献大多是研究圆孔附近的应力场，而对圆孔附近的形变场阐述很少，下面笔者就用ANSYS来简单分析圆孔附近形变场。

《弹性力学》已经给出矩形薄板左右受均布拉力的基尔斯解（1），我们把该解带入平面问题下的物理方程（2），之后在代入几何方程（3），就得到位移场的通解[1]（4）。

qr2qr2r2

12cos212132

22

qr2qr4

基尔斯解：12cos2134（1）平面问题极

22

qr2r2sin212132

2

坐标下的物理方程：

1

()E



1

()（2）

E2(1)

E



平面问题极坐标下的几何方程：



u1u

（3）

1uuu





u

板内位移场通解：

qr2r2r4

u[(1)(1)(1)cos24cos2(1)3cos2]

2E

（4）24

qrru[(1)sin22(1)sin2(1)3sin2]

2E

当r时,运用坐标转换公式, 即可获得在远离孔边弹性薄板内的位

q

x

E

移分布:  (5)

qyv

E

u

该结果与无圆孔时单向拉伸的位移解完全一致。

图5为R10mm圆孔附近的应变场，可见圆孔受拉由圆形变成了椭圆形，位移场成线性条带状分布，远离小孔位移值逐渐变大，在两端处达到最大，这完全符合位移公式（5）的描述。

图5 圆孔附近的应变场

3.31对应力集中的影响

当孔径变化，应力集中现象会有什么改变呢？通过对比图5不同孔径下等效应力场等值线，我们得出结论：孔径越小应力，应力集中现象越明显，应力突然变大的趋势越迅速。在图5中的表现为蓝色区域所占弹性体比例越来越大。

图5 R10mm和R5mm圆孔等效应力场等值线

这里笔者不禁想讨论孔径的大小对应力集中影响到底有多大，我们统计上面8组试验的相对尺度与应力集中系数k，得到如下结果，如表1。

1 k

表1 应力集中系数k与相对尺度1之间的关系 1.5 2 3 4 5 6 10 20 6.340 4.315 3.309 3.094 3.002 3.000 3.000 3.000

将1k之间的关系，我们可以推论: 只要弹性体的边界离开圆孔中心有足够的距离，或者相对尺度14，应力集中系数趋近稳定，也就是当板宽一定时，随着小孔孔径变小，小孔对应力集中的影响较小。 3.42对应力集中的影响

为了研究长宽比2对应力集中系数k的影响，我们规定小孔R=10mm，然后利用ANSYS命令流（见附录）依次改变长宽

L/B1.04.0，并记录应力值，计算出应力集中系数，得出2k的

关系如图6。

从图可见，当孔径一定时候，长宽比2也影响应力集中。其中当

22.0，应力集中系数趋于稳定；当21.02.0，长宽比2越小，应

力集中系数越大。

k

L/B

图6 2k

3.5材料所处的状态对应力集中的影响

笔者参阅相关资料[2],发现目前对孔边应力集中问题的研究大多停留在线弹性领域内，并没有反应材料处于屈服阶段、强化阶段的 孔边应力集中规律，所以笔者通过ANSYS建模来找出这一规律。

我们假设薄板为各向同性理想的弹塑性材料，泊松比为0.3，弹性模量E220Gpa,L200mm,B100mm,R10mm,材料的屈服极限

s240Mpa，应力集中系数kmax,max为孔边最大应力，q为均布

荷载,q0为平均应力。由于研究材料产生屈服前、后的应集中现象，所以每一个实验采用2中荷载：一种荷载材料未进入屈服状态，另一种荷载进入屈服，实验数据见下表。

q

80 100 120 140 160 180 200 210

max

250.367 249.681 261.23 274.522 289.537 308.319 339.169 379.133

q0

88.812 89.83 94.354 100.082 105.39 112.335 121.83 134.734

2.819067 2.779483 2.768616 2.742971 2.747291 2.744639 2.783953 2.813937

k

220 230 240

2.852.80

2.752.70

422.438 465.631 508.097

149.782 172.631 200.535 2.820352 2.697262 2.533707

k

2.652.602.552.50

60

80

[***********]220240260

q

图6 qk

图7 两端均布荷载80Mpa、240Mpa作用下的等效应力图

从上表和图6可见，均布荷载q=80MPa，材料尚未进入屈服阶段，孔边存在明显的应力集中，且随着荷载逐渐增大，在一定范围内应力集中系数基本上不变（k2.78）；当均布荷载逐渐接近屈服极限，应力集中系数迅速下降，设想如果荷载再继续增大，远离孔边的材料都会相继进入屈服状态，尽管变形在不断增加，应力却停留在屈服极限附近不再增加[5]。

4减少薄板应力集中的方法

通过上面分析，我们知道孔径越小，应力集中越明显。而在实际工程中，有时要求孔径不变且使得应力集中较小，这就需要我们探究新的方法来减少中心孔边的应力集中。通过参阅相关文献[4],笔者设想在中心圆孔两侧开对称小孔，已达到减少中心圆孔应力集中，如图7所示。

图7 圆孔两侧对称开小孔模型

我们设定中心小孔R=10mm，两侧小孔均为R=5mm。通过ANSYS实验得到等效应力云图如图7所示。可见最大应力位臵依然在圆孔上下端，但最大应力值为2870Pa，较之单孔平板最大应力值3137Pa，降低了8.51%，说明此方法对减少薄板圆孔应力集中是有效的。至于如何调整两侧小孔的参数（孔径、孔的相对位臵），已实现最小应力集中效果。鉴于笔者初学ANSYS，也不懂复变函数，无法给出相关解析解，这是本报告的遗憾。

4 结论

（1） 利用ANSYS求解与弹性力学所给解析解基本吻合，并且可以实现

应力场、位移场可视化。

（2） 当相对尺度14时，应力集中系数k急剧增大；当相对尺度

14时，应力集中系数k趋近稳定。即当板宽一定时，随着孔径尺寸变小，应力集中系数趋近一个稳定值，小孔对单向受拉薄板应力集中影响较小。

（3） 孔径一定，长宽比2也影响应力集中。当22.0，应力集中系

数趋于稳定；当21.02.0，长宽比2越小，应力集中系数越大。

（4） 应力集中与材料所处状态有关。材料应力小于屈服极限，应力

集中系数基本上稳定，应力接近屈服极限时，应力集中系数突然下降。

（5） 在中心圆孔两侧开对称小孔可以有效减少应力集中。 参考文献

[1]刘述伦等.应力集中圆孔附近的形变场[J].安徽建筑工业学院，2011(19):23-24.

[2]徐芝纶编.弹性力学(上册).[M].第四版.北京.高等教育出版社.2006

[3] 陈章华.工程中的有限元分析方法[M].北京.冶金工业出版社.2013

[4] 朱晓东等.基于ANSYS平台含圆孔薄板的应力集中分析[J].苏州大学学报，2004(24):51-52.

[5] 银光球等.有限板宽孔边应力集中有限元分析[J].福州工程学院学报.2009(7):67-68.

附录

小孔应力集中建模所使用的命令流文件

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PCIRC,0.01,0,0,90,

ASBA, 1, 2

NUMCMP,ALL

/DIST,1,0.[1**********]2,1

/REP,FAST

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ESIZE,0.002,0,

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AMAP,1,1,4,5,3

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FLST,2,1,4,ORDE,1

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FLST,2,1,4,ORDE,1

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FLST,2,1,4,ORDE,1

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工程中的弹塑性力学读书报告

作业：基于ANSYS对孔口应力集中问题进行简单分析 姓名:郭政 学号：S20156116

基于ANSYS对孔口应力集中问题进行简单分析

摘要：徐芝纶所著《弹性力学》给出矩形薄板左右受均布拉力的基尔斯解答，本文利用有限元软件ANSYS数值实验，实现应力场、位移场的可视化。同时定义了应力集中的特征参数来研究应力集中系数与孔径尺度(宽径比、长宽比)、材料所处状态的关系，最后提出一种可应用于工程中减小应力集中的方法。

关键词：圆孔应力集中特征参数应力集中系数孔径尺度 材料状态

1引言

孔口的尺寸远小于弹性体的尺寸，并且孔边距弹性体的边界比较远（约大于1.5倍孔口尺寸）被定义为小孔口问题。由于开孔，孔口附近的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较远处的应力，这种现象称为孔口应力集中。一般来说，集中的程度越高，集中的现象越是局部性的，就是说应力随着与孔的距离增大而越快的趋进于无孔时的应力。应力集中的程度，首先与孔的形状有关，一般来说，圆孔孔边的集中程度最低。另外集中系数还与相对孔径尺度有关。基于ansys平台，通过数值试验的方法，研究不同孔径时的孔边应力集中问题。

2 力学模型

参考《弹性力学》和书籍[3]我们建立如下模型，如图1所示。 平面带孔平板，孔位于板正中，假设板为各向同性完全弹性，板两端受均布拉力荷载q1000pa，长为200mm，宽为100mm，厚为0.01mm，泊松比为0.3，E220Gpa。

现在我们定义一个描述板宽与孔径的相对尺度的特征参数，

1,2，定义应力集中系数kmax，其中L为板长，B为板

宽，R为孔半径，max为孔边最大应力，q为均布荷载，q0为平均应力。

q

q

图1 力学模型

3ANSYS求解

3.1 模型建立

为了研究不同孔径时的孔边应力集中，我们做一下数值实验。B=100，R=66.67、50、33.33、25、20、16.67、10、5（单位mm），利用ANSYS平台由值，计算出相应的k值。本模型为轴对称平面应力问题，所以我们只需要取模型进行求解即可。具体操作过程这里不用细讲，生成R10mm的几何模型和变形后模型见图2、3。

图2 生成的几何模型结果显示

图3 变形后的几何形状和未变形轮廓显示

3.2 数据分析

3.2.1圆孔附近应力场

从R10mm圆孔的X方向应力场分布等值线图（图4、5），我们发现圆孔附近应力发生了改变：由平均1000pa急剧增加到27813137pa，即发生了明显的应力集中现象；在远离孔边应急急剧减少至1003pa；孔附近的应力远大于较远处的应力，且最大应力（图中红色区域）

1r23r4

在圆孔的上下边。而《弹性力学》基尔斯解为q124，

22

当r,3q，并且随着远离孔边应力急剧趋近于q，比较数值解与解析解，两者基本吻合，所以我们通过ANSYS来实现解析解的可视化是成功的。

图4 R10mm和R5mm圆孔X方向应力

图5 R10mm和R5mm圆孔沿Y方向环向正应力分布

3.2 圆孔附近的形变场

笔者查阅不少资料，发现文献大多是研究圆孔附近的应力场，而对圆孔附近的形变场阐述很少，下面笔者就用ANSYS来简单分析圆孔附近形变场。

《弹性力学》已经给出矩形薄板左右受均布拉力的基尔斯解（1），我们把该解带入平面问题下的物理方程（2），之后在代入几何方程（3），就得到位移场的通解[1]（4）。

qr2qr2r2

12cos212132

22

qr2qr4

基尔斯解：12cos2134（1）平面问题极

22

qr2r2sin212132

2

坐标下的物理方程：

1

()E



1

()（2）

E2(1)

E



平面问题极坐标下的几何方程：



u1u

（3）

1uuu





u

板内位移场通解：

qr2r2r4

u[(1)(1)(1)cos24cos2(1)3cos2]

2E

（4）24

qrru[(1)sin22(1)sin2(1)3sin2]

2E

当r时,运用坐标转换公式, 即可获得在远离孔边弹性薄板内的位

q

x

E

移分布:  (5)

qyv

E

u

该结果与无圆孔时单向拉伸的位移解完全一致。

图5为R10mm圆孔附近的应变场，可见圆孔受拉由圆形变成了椭圆形，位移场成线性条带状分布，远离小孔位移值逐渐变大，在两端处达到最大，这完全符合位移公式（5）的描述。

图5 圆孔附近的应变场

3.31对应力集中的影响

当孔径变化，应力集中现象会有什么改变呢？通过对比图5不同孔径下等效应力场等值线，我们得出结论：孔径越小应力，应力集中现象越明显，应力突然变大的趋势越迅速。在图5中的表现为蓝色区域所占弹性体比例越来越大。

图5 R10mm和R5mm圆孔等效应力场等值线

这里笔者不禁想讨论孔径的大小对应力集中影响到底有多大，我们统计上面8组试验的相对尺度与应力集中系数k，得到如下结果，如表1。

1 k

表1 应力集中系数k与相对尺度1之间的关系 1.5 2 3 4 5 6 10 20 6.340 4.315 3.309 3.094 3.002 3.000 3.000 3.000

将1k之间的关系，我们可以推论: 只要弹性体的边界离开圆孔中心有足够的距离，或者相对尺度14，应力集中系数趋近稳定，也就是当板宽一定时，随着小孔孔径变小，小孔对应力集中的影响较小。 3.42对应力集中的影响

为了研究长宽比2对应力集中系数k的影响，我们规定小孔R=10mm，然后利用ANSYS命令流（见附录）依次改变长宽

L/B1.04.0，并记录应力值，计算出应力集中系数，得出2k的

关系如图6。

从图可见，当孔径一定时候，长宽比2也影响应力集中。其中当

22.0，应力集中系数趋于稳定；当21.02.0，长宽比2越小，应

力集中系数越大。

k

L/B

图6 2k

3.5材料所处的状态对应力集中的影响

笔者参阅相关资料[2],发现目前对孔边应力集中问题的研究大多停留在线弹性领域内，并没有反应材料处于屈服阶段、强化阶段的 孔边应力集中规律，所以笔者通过ANSYS建模来找出这一规律。

我们假设薄板为各向同性理想的弹塑性材料，泊松比为0.3，弹性模量E220Gpa,L200mm,B100mm,R10mm,材料的屈服极限

s240Mpa，应力集中系数kmax,max为孔边最大应力，q为均布

荷载,q0为平均应力。由于研究材料产生屈服前、后的应集中现象，所以每一个实验采用2中荷载：一种荷载材料未进入屈服状态，另一种荷载进入屈服，实验数据见下表。

q

80 100 120 140 160 180 200 210

max

250.367 249.681 261.23 274.522 289.537 308.319 339.169 379.133

q0

88.812 89.83 94.354 100.082 105.39 112.335 121.83 134.734

2.819067 2.779483 2.768616 2.742971 2.747291 2.744639 2.783953 2.813937

k

220 230 240

2.852.80

2.752.70

422.438 465.631 508.097

149.782 172.631 200.535 2.820352 2.697262 2.533707

k

2.652.602.552.50

60

80

[***********]220240260

q

图6 qk

图7 两端均布荷载80Mpa、240Mpa作用下的等效应力图

从上表和图6可见，均布荷载q=80MPa，材料尚未进入屈服阶段，孔边存在明显的应力集中，且随着荷载逐渐增大，在一定范围内应力集中系数基本上不变（k2.78）；当均布荷载逐渐接近屈服极限，应力集中系数迅速下降，设想如果荷载再继续增大，远离孔边的材料都会相继进入屈服状态，尽管变形在不断增加，应力却停留在屈服极限附近不再增加[5]。

4减少薄板应力集中的方法

通过上面分析，我们知道孔径越小，应力集中越明显。而在实际工程中，有时要求孔径不变且使得应力集中较小，这就需要我们探究新的方法来减少中心孔边的应力集中。通过参阅相关文献[4],笔者设想在中心圆孔两侧开对称小孔，已达到减少中心圆孔应力集中，如图7所示。

图7 圆孔两侧对称开小孔模型

我们设定中心小孔R=10mm，两侧小孔均为R=5mm。通过ANSYS实验得到等效应力云图如图7所示。可见最大应力位臵依然在圆孔上下端，但最大应力值为2870Pa，较之单孔平板最大应力值3137Pa，降低了8.51%，说明此方法对减少薄板圆孔应力集中是有效的。至于如何调整两侧小孔的参数（孔径、孔的相对位臵），已实现最小应力集中效果。鉴于笔者初学ANSYS，也不懂复变函数，无法给出相关解析解，这是本报告的遗憾。

4 结论

（1） 利用ANSYS求解与弹性力学所给解析解基本吻合，并且可以实现

应力场、位移场可视化。

（2） 当相对尺度14时，应力集中系数k急剧增大；当相对尺度

14时，应力集中系数k趋近稳定。即当板宽一定时，随着孔径尺寸变小，应力集中系数趋近一个稳定值，小孔对单向受拉薄板应力集中影响较小。

（3） 孔径一定，长宽比2也影响应力集中。当22.0，应力集中系

数趋于稳定；当21.02.0，长宽比2越小，应力集中系数越大。

（4） 应力集中与材料所处状态有关。材料应力小于屈服极限，应力

集中系数基本上稳定，应力接近屈服极限时，应力集中系数突然下降。

（5） 在中心圆孔两侧开对称小孔可以有效减少应力集中。 参考文献

[1]刘述伦等.应力集中圆孔附近的形变场[J].安徽建筑工业学院，2011(19):23-24.

[2]徐芝纶编.弹性力学(上册).[M].第四版.北京.高等教育出版社.2006

[3] 陈章华.工程中的有限元分析方法[M].北京.冶金工业出版社.2013

[4] 朱晓东等.基于ANSYS平台含圆孔薄板的应力集中分析[J].苏州大学学报，2004(24):51-52.

[5] 银光球等.有限板宽孔边应力集中有限元分析[J].福州工程学院学报.2009(7):67-68.

附录

小孔应力集中建模所使用的命令流文件

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