全国高中数学联赛模拟试题(四)

第一试

一、选择题(共36分)

122

1. 设变量x 满足x ＋bx ≢－x(b＜－1) ，且f(x)＝x ＋bx 则b ＝( )

A. 2 B. － C. －2 D. －2或－

π2π

2. 已知x ∈(，) ，给出下列六个不等式

①sin(sinx)＜cos(cosx) ②sin(cosx)＜sin(sinx) ③cos(sinx)＜cos(cosx) ④cos(sinx)＜sin(sinx) ⑤cos(cosx)＜sin(cosx) ⑥sin(cosx)＜cos(sinx)

其中成立的个数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6

2x 12

3. 设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0的根，若x 1是实数，则

x 2

x 1x 12x 14x 18x 121995

S ＝1＋() ＋) ＋(＋……＋(的值为 ( )

x 2x 2x 2x 2x 2

A.0 B. －998 C.998 D. －997

4. 在空间，从一点O 出发引四条射线OA ，OB ，OC ，OD ，如果∠AOB ＝∠BOC ＝∠DOA ＝∠AOC

＝θ，则θ的值为 ( )

1212

A. π－B. π－arcsin C. π－arccos D. π－arccos

33333

5. 已知a ＞，则y ＝(sinx＋a)(cosx＋a) 的最小值为 ( )

12222

A.a －a B.(a－1) (a－1) D.(a－)

6. 在有穷数列{an }中，首项a 1＝1，末项a n ＝1997(n＞3) ，若公差是自然数，则项数n 的

所有取值之和是 ( ) A.3504 B.3501 C.1587 D.1997

二、填空题(共54分)

7. 用1和2这两种数字写n 位数，其中任意相邻两位不全为1，记n 位数的个数为f(n)，

则f(10)＝________________. 8. 已知复数z 0，z 1，z 2，…，z n ，…满足z 0＝0，z 1＝1，z n ＋1－z n ＝α(zn －z n －1) ，α＝1＋3i ，n ＝1，2，…，则在圆|z|＝10的内部共含有z n 的个数为_____________.

9. 对满足不等式|log2p|＜2的一切实数p 中，使不等式x ＋px ＋1＞3x ＋p 都成立的x 的

取值范围是_______________________. 10. 已知等腰梯形的最大边长为13，周长为28，面积为27，则它的最小边长为___________.

2π

11. 若对非零常数m ，函数f(x)满足f(x＋m) ＋f(x－m) ＝∈R) ，则f(x)是

周期函数，它的一个周期是__________________.

ππ2π

12. x ＜2π，且cosxcos2x ＝cos cos x 的取值为______________.

555

三、解答题(共计60分)

13. (20分) 用0，1，3，5，7五个数中任意不同的数作为一元二次方程的系数，问：

(1)可以作出多少个不同的一元二次方程？ (2)在这些方程中有实数根的有多少个？

14. (20分) 设|S|表示集合S 中元素的个数，令n(S)表示包含空集及S 自身在内的S 的子

集个数. 如果A ，B ，C 三个集合满足n(A)＋n(B)＋n(C)＝n(A∪B ∪C) ，|A|＝|B|＝100，那么|A∩B ∩C|的最小可能值是多少？

15. (20分) 在平面上作一条直线，使得平面上三个已知点到这条直线的距离之和达到最小.

第二试

一、(50分) 一次数学竞赛分一、二两试共有28个题目，每个参赛者都恰好解出7个题目，

每两个题恰好有两名参赛者解出. 试证：必有一个参赛者，他在第一试中或者一道也没有解出或者至少解出四道题.

二、(50分) 如果一个矩形的长和宽都是奇数，在其内部是否存在这样的点，它到四个顶点

的距离都是正整数.

三、(50分) 若四面体的六条棱长分别为a ，b ，c ，d ，e ，f ，体积为V ，求证：

6666662a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f ≣432V .

其中等号当且仅当四面体为正四面体时取得.

全国高中数学联赛模拟试题(四)

参考答案第一试

一、选择题 1. B

x ＋bx ≢－x(b＜－1) ⇒ 0≢x ≢－(b＋1)

b 2b b

f(x)＝(x＋) (b＋1) b ≢－2

242

b b 1

f(x)min ＝f(－) ＝－ ⇒ b2＞－2矛盾.

242b

－(b＋1) 2＜b ＜－1

f(x)min ＝f(－(b＋1)) ＝b ＋1＝－ ⇒ b22

2. C

2π

可以验证①②③④⑥均成立，而令x ＝.

3. D

x 1与x 2共轭，设x 1＝r(cosθ＋isin θ) ，则x 2＝r(cosθ－isin θ)

2x 1π2π∴＝r(cos3θ＋isin3θ) ∈R ⇒ θ＝

x 233

x 1132

∴＝cos2θ＋isin2θ＝－＝ω或ω x 222

1995x 12482当＝ω时 S＝1＋ω＋ω＋ω＋ω＋……＋ω x 2

注意到当n ≣1时2不是3的倍数，

∴ ω＝ω或ω，于是ω

n ＋12

＝ω

2×2

＝(ω) ＝ω或ω

S 中共计1997项，其中前三项和为0，以后的1994项每两项和为－1，∴ S＝－997 x 12

＝ω时同理可得S ＝－997 x 2

4. C

可令A ，B ，C ，D 构成正四面体，O 为其中心，则易得θ＝π－3

5. D

令sinx ＋cosx ＝t ∈[22] t 2t －2

则y ＝(a＋) －24

又因为a ＞

22所以 y≣(a225π

) ，当x ＝时等号成立， 2422) 2

∴ ymin ＝(a－

6. B

a n ＝a 1＋(n－1)d

即(n－1)d ＝1996＝4×499 (499为质数)

∴ n的所有取值之和为4＋499＋2×499＋4×499＝3501 二、填空题 7.144；

考虑数字末位数若为2，则有f(n－1) 种，若为1，则第n －1位必为2，有f(n－2) 种. ∴ f(n)＝f(n－1) ＋f(n－2) 且f(1)＝2，f(2)＝3 8.5；

2n n

z n ＋1－z n ＝α(zn －z n －1) ＝α(zn －1－z n －2) ＝……＝α(z1－z 0) ＝α.

n －1n －2

∴ zn －z n －1＝α，z n －1－z n －2＝α，……，z 1－z 0＝1

α－1

n 个式子相加得z n ＝α－1

当α＝1＋3i 时，解不等式|zn |＜10，得n ≢4 ∴ n＝0，1，2，3，4共有5个－1－131173

9.(－∞，]∪[，＋∞) ；

解不等式|log2P|＜2得＜P ＜4

3－p ＋p －2p ＋53－p p －2p ＋5

x ＋(p－3)x ＋1－p ＞0 x＞或x ＜

转化为上式求最大值和最小值

10.5；

首先最大边不能为腰长，否则面积＜2×13×＜27

设下底长为13，上底长为x ，则(13＋x)h ×＝27

11222

(－x)) ＋h ＝((15－x)) ，解之得x ＝5，则腰长为5，故最小边长为5. 2211.7m ；

2π

可假设f(x)＝cosx ，m ＝7m ＝2π为f(x)的一个周期.

不难验证7m 是f(x)的一个周期. 3π7π9π2π4π，，}

55533

π2π5＋15－11cos cos ＝＝cosxcos2x

55444令cosx ＝t ，则cos2x ＝2t －1

1t 132

∴ 2t －t －＝0，即(2t－1)(t－) ＝0

424

15±13π7π9π2π4π

∴ t＝x ＝，，2455533

三、

13．(1)设所作一元二次方程为ax ＋bx ＋c ＝0，则a ≠0

a 有4种选择，b 有4种选择，c 有3种选择，共计有4×4×3＝48个不同的一元二次方程.

(2)考虑b 的取值情况：

①b ＝0时，方程不可能有实数根；

②b ＝1时，只能取c ＝0，a 有三种可能，即有三个方程有实数根； ③b ＝3时，只能取c ＝0，a 有三种可能，即有三个方程有实数根；

④b ＝5时，取c ＝0，a 有三种可能；取c ＝1，a ＝3时有一种可能；取c ＝3，a ＝1时有一种可能. 共计5个方程有实数根.

⑤b ＝7时，取c ＝0，a 有三种可能；取c ＝1时，a ＝3或5有两种可能；取c ＝3，a ＝1有一种可能；取c ＝5，a ＝1时有一种可能；共计7个方程有实数根. ∴ 共有3＋3＋5＋7＝18个方程有实数根.

|S|100100

14．n(S)＝2，∴ n(A∪B ∪C) ＝2＋2＋n(C)

设|A∪B ∪C|＝m ·|C|＝P

m 101p p m －p 101

则2＝2＋2，2(2－1) ＝2

m －p

∴ 2－1＝1 m－p ＝1

∴ m＝102，P ＝101，即|A∪B ∪C|＝102，|C|＝101 由容斥原理：|A∩B ∩C|＝|A|＋|B|＋|C|－|A∪B|－|B∪C|－|C∪A|＋|A∪B ∪C|≣97 当|A∪C|＝|B∪C|＝|C∪A|＝102时等号成立. ∴ |A∩Β∩C|min ＝97

15．(1)当三点在一条直线上时，所求直线就是经过三点的直线.

(2)若三点构成三角形，设为△ABC ，其边长分别为a ，b ，c ，并设a ≣b ≣c

如果直线不经过其中任何一点，如果三点在直线的同侧，则只需将直线向△ABC 靠拢，直到直线经过最近的一个点，显然三点到直线的距离和在减小.

对于经过一个顶点的直线，将其绕这一点旋转，使其向经过这一点较长的一边靠拢，则另外两点到该直线的距离和也在减小，直到直线与这一边重合.

下面考虑直线与△ABC 相交的情况，显然直线至少应该经过三点中的一个点，否则只

需将直线向两点的一侧平移，距离和显然减小. 而在三角形中，经过一顶点的直线被三角形截得的线段中，当线段与最长边重合时，长度最大，利用面积法可知，此时第三点到这条直线的距离就是所求最小值. 即所求直线为△ABC 最长边所在的直线.

第二试

一、记题目组成的集合为X ，参赛者组成的m 元集合为Y ，

若y i 解出题目x j ，就在y i ，x j 之间联一条线，设点x j 次数为n ，它与y 1，y 2，……，y n 相连，则X 中每一点恰与y i 相连(1≢i ≢n) ∴ 2×27＝6n n＝9

这个图共有28×9＝7m 条边，∴ m＝36

设初试共有S 道试题，解出1道，2道，3道试题的人数分别为α，β，γ，

若α＋β＋γ＝36，则α＋2β＋3γ＝9S ，β＋C 3γ＝2C S ，

消去α、γ得β＝－2S ＋29S －108＜0，矛盾.

所以，必有一个参赛者，他在第一试中或者一道也没有解出或者至少解出四道题. 二、假设存在这样的点P 满足PA ，PB ，PC ，PD 均为整数，过P 作矩形各边的垂线，设长度分别为p ，q ，r ，s. 且设p ＋q ＝a ，r ＋s ＝b 均为奇数， 2222

PD －PA ＝q －p ＝(q－p)(q＋p) 为整数，

可知p －q 为有理数.

将矩形扩大p ＋q 倍，则p －q 变为整数.

m 1n 1m 2n 2

B (m2，n 2∈N) C ∴ p，q 为(m1，n 1∈N) ，同理，r ，s ，2222

显然，m 1，n 1同奇偶，m 2，n 2同奇偶

2222

若m 1，m 2同为奇，则由4(p＋r ) ≡2(mod 4)知p ＋r 不为完全平方数. 矛盾. ∴ m1，m 2铜为偶数，∴ p，q ，r ，s 均为整数又∵ p＋q ＝a 为奇数，r ＋s ＝b 为奇数，

∴ p，q 中有一个为奇数，不妨设为p ，且r ，s 中有一个奇数，不妨设为r

则p ＋r ≡2(mod 4)不为完全平方数. 矛盾. 所以，不存在满足条件的点. 三、取AB ，CD 的中点E ，F ，

[1**********]2

A 则AF (b＋c －f ) ，BF ＝＋e －f )

[1**********]2c ∴ EF(b＋c ＋d ＋e －a －f ) 411D V ≢AB ·EF ·CD 23

2222222

＝b ＋c ＋d ＋e －a －f af 24d F [1**********]V≢(b＋c ＋d ＋e －a －f )a ·f

122222222

B e C ≢(b＋c ＋d ＋e －a －f )2a ·2f 4

1a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f 3

≢(

222222a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f 3

≢2·(

666666a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f

≢2幂平均不等式)

6666662

∴ a＋b ＋c ＋d ＋e ＋f ≣432V .

222222

全国高中数学联赛模拟试题(四)

第一试

一、选择题(共36分)

122

1. 设变量x 满足x ＋bx ≢－x(b＜－1) ，且f(x)＝x ＋bx 则b ＝( )

A. 2 B. － C. －2 D. －2或－

π2π

2. 已知x ∈(，) ，给出下列六个不等式

①sin(sinx)＜cos(cosx) ②sin(cosx)＜sin(sinx) ③cos(sinx)＜cos(cosx) ④cos(sinx)＜sin(sinx) ⑤cos(cosx)＜sin(cosx) ⑥sin(cosx)＜cos(sinx)

其中成立的个数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6

2x 12

3. 设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0的根，若x 1是实数，则

x 2

x 1x 12x 14x 18x 121995

S ＝1＋() ＋) ＋(＋……＋(的值为 ( )

x 2x 2x 2x 2x 2

A.0 B. －998 C.998 D. －997

4. 在空间，从一点O 出发引四条射线OA ，OB ，OC ，OD ，如果∠AOB ＝∠BOC ＝∠DOA ＝∠AOC

＝θ，则θ的值为 ( )

1212

A. π－B. π－arcsin C. π－arccos D. π－arccos

33333

5. 已知a ＞，则y ＝(sinx＋a)(cosx＋a) 的最小值为 ( )

12222

A.a －a B.(a－1) (a－1) D.(a－)

6. 在有穷数列{an }中，首项a 1＝1，末项a n ＝1997(n＞3) ，若公差是自然数，则项数n 的

所有取值之和是 ( ) A.3504 B.3501 C.1587 D.1997

二、填空题(共54分)

7. 用1和2这两种数字写n 位数，其中任意相邻两位不全为1，记n 位数的个数为f(n)，

9. 对满足不等式|log2p|＜2的一切实数p 中，使不等式x ＋px ＋1＞3x ＋p 都成立的x 的

取值范围是_______________________. 10. 已知等腰梯形的最大边长为13，周长为28，面积为27，则它的最小边长为___________.

2π

11. 若对非零常数m ，函数f(x)满足f(x＋m) ＋f(x－m) ＝∈R) ，则f(x)是

周期函数，它的一个周期是__________________.

ππ2π

12. x ＜2π，且cosxcos2x ＝cos cos x 的取值为______________.

555

三、解答题(共计60分)

13. (20分) 用0，1，3，5，7五个数中任意不同的数作为一元二次方程的系数，问：

(1)可以作出多少个不同的一元二次方程？ (2)在这些方程中有实数根的有多少个？

14. (20分) 设|S|表示集合S 中元素的个数，令n(S)表示包含空集及S 自身在内的S 的子

集个数. 如果A ，B ，C 三个集合满足n(A)＋n(B)＋n(C)＝n(A∪B ∪C) ，|A|＝|B|＝100，那么|A∩B ∩C|的最小可能值是多少？

15. (20分) 在平面上作一条直线，使得平面上三个已知点到这条直线的距离之和达到最小.

第二试

一、(50分) 一次数学竞赛分一、二两试共有28个题目，每个参赛者都恰好解出7个题目，

每两个题恰好有两名参赛者解出. 试证：必有一个参赛者，他在第一试中或者一道也没有解出或者至少解出四道题.

二、(50分) 如果一个矩形的长和宽都是奇数，在其内部是否存在这样的点，它到四个顶点

的距离都是正整数.

三、(50分) 若四面体的六条棱长分别为a ，b ，c ，d ，e ，f ，体积为V ，求证：

6666662a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f ≣432V .

其中等号当且仅当四面体为正四面体时取得.

全国高中数学联赛模拟试题(四)

参考答案第一试

一、选择题 1. B

x ＋bx ≢－x(b＜－1) ⇒ 0≢x ≢－(b＋1)

b 2b b

f(x)＝(x＋) (b＋1) b ≢－2

242

b b 1

f(x)min ＝f(－) ＝－ ⇒ b2＞－2矛盾.

242b

－(b＋1) 2＜b ＜－1

f(x)min ＝f(－(b＋1)) ＝b ＋1＝－ ⇒ b22

2. C

2π

可以验证①②③④⑥均成立，而令x ＝.

3. D

x 1与x 2共轭，设x 1＝r(cosθ＋isin θ) ，则x 2＝r(cosθ－isin θ)

2x 1π2π∴＝r(cos3θ＋isin3θ) ∈R ⇒ θ＝

x 233

x 1132

∴＝cos2θ＋isin2θ＝－＝ω或ω x 222

1995x 12482当＝ω时 S＝1＋ω＋ω＋ω＋ω＋……＋ω x 2

注意到当n ≣1时2不是3的倍数，

∴ ω＝ω或ω，于是ω

n ＋12

＝ω

2×2

＝(ω) ＝ω或ω

S 中共计1997项，其中前三项和为0，以后的1994项每两项和为－1，∴ S＝－997 x 12

＝ω时同理可得S ＝－997 x 2

4. C

可令A ，B ，C ，D 构成正四面体，O 为其中心，则易得θ＝π－3

5. D

令sinx ＋cosx ＝t ∈[22] t 2t －2

则y ＝(a＋) －24

又因为a ＞

22所以 y≣(a225π

) ，当x ＝时等号成立， 2422) 2

∴ ymin ＝(a－

6. B

a n ＝a 1＋(n－1)d

即(n－1)d ＝1996＝4×499 (499为质数)

∴ n的所有取值之和为4＋499＋2×499＋4×499＝3501 二、填空题 7.144；

考虑数字末位数若为2，则有f(n－1) 种，若为1，则第n －1位必为2，有f(n－2) 种. ∴ f(n)＝f(n－1) ＋f(n－2) 且f(1)＝2，f(2)＝3 8.5；

2n n

z n ＋1－z n ＝α(zn －z n －1) ＝α(zn －1－z n －2) ＝……＝α(z1－z 0) ＝α.

n －1n －2

∴ zn －z n －1＝α，z n －1－z n －2＝α，……，z 1－z 0＝1

α－1

n 个式子相加得z n ＝α－1

当α＝1＋3i 时，解不等式|zn |＜10，得n ≢4 ∴ n＝0，1，2，3，4共有5个－1－131173

9.(－∞，]∪[，＋∞) ；

解不等式|log2P|＜2得＜P ＜4

3－p ＋p －2p ＋53－p p －2p ＋5

x ＋(p－3)x ＋1－p ＞0 x＞或x ＜

转化为上式求最大值和最小值

10.5；

首先最大边不能为腰长，否则面积＜2×13×＜27

设下底长为13，上底长为x ，则(13＋x)h ×＝27

11222

(－x)) ＋h ＝((15－x)) ，解之得x ＝5，则腰长为5，故最小边长为5. 2211.7m ；

2π

可假设f(x)＝cosx ，m ＝7m ＝2π为f(x)的一个周期.

不难验证7m 是f(x)的一个周期. 3π7π9π2π4π，，}

55533

π2π5＋15－11cos cos ＝＝cosxcos2x

55444令cosx ＝t ，则cos2x ＝2t －1

1t 132

∴ 2t －t －＝0，即(2t－1)(t－) ＝0

424

15±13π7π9π2π4π

∴ t＝x ＝，，2455533

三、

13．(1)设所作一元二次方程为ax ＋bx ＋c ＝0，则a ≠0

a 有4种选择，b 有4种选择，c 有3种选择，共计有4×4×3＝48个不同的一元二次方程.

(2)考虑b 的取值情况：

①b ＝0时，方程不可能有实数根；

②b ＝1时，只能取c ＝0，a 有三种可能，即有三个方程有实数根； ③b ＝3时，只能取c ＝0，a 有三种可能，即有三个方程有实数根；

④b ＝5时，取c ＝0，a 有三种可能；取c ＝1，a ＝3时有一种可能；取c ＝3，a ＝1时有一种可能. 共计5个方程有实数根.

|S|100100

14．n(S)＝2，∴ n(A∪B ∪C) ＝2＋2＋n(C)

设|A∪B ∪C|＝m ·|C|＝P

m 101p p m －p 101

则2＝2＋2，2(2－1) ＝2

m －p

∴ 2－1＝1 m－p ＝1

15．(1)当三点在一条直线上时，所求直线就是经过三点的直线.

(2)若三点构成三角形，设为△ABC ，其边长分别为a ，b ，c ，并设a ≣b ≣c

如果直线不经过其中任何一点，如果三点在直线的同侧，则只需将直线向△ABC 靠拢，直到直线经过最近的一个点，显然三点到直线的距离和在减小.

对于经过一个顶点的直线，将其绕这一点旋转，使其向经过这一点较长的一边靠拢，则另外两点到该直线的距离和也在减小，直到直线与这一边重合.

下面考虑直线与△ABC 相交的情况，显然直线至少应该经过三点中的一个点，否则只

第二试

一、记题目组成的集合为X ，参赛者组成的m 元集合为Y ，

若y i 解出题目x j ，就在y i ，x j 之间联一条线，设点x j 次数为n ，它与y 1，y 2，……，y n 相连，则X 中每一点恰与y i 相连(1≢i ≢n) ∴ 2×27＝6n n＝9

这个图共有28×9＝7m 条边，∴ m＝36

设初试共有S 道试题，解出1道，2道，3道试题的人数分别为α，β，γ，

若α＋β＋γ＝36，则α＋2β＋3γ＝9S ，β＋C 3γ＝2C S ，

消去α、γ得β＝－2S ＋29S －108＜0，矛盾.

PD －PA ＝q －p ＝(q－p)(q＋p) 为整数，

可知p －q 为有理数.

将矩形扩大p ＋q 倍，则p －q 变为整数.

m 1n 1m 2n 2

B (m2，n 2∈N) C ∴ p，q 为(m1，n 1∈N) ，同理，r ，s ，2222

显然，m 1，n 1同奇偶，m 2，n 2同奇偶

2222

∴ p，q 中有一个为奇数，不妨设为p ，且r ，s 中有一个奇数，不妨设为r

则p ＋r ≡2(mod 4)不为完全平方数. 矛盾. 所以，不存在满足条件的点. 三、取AB ，CD 的中点E ，F ，

[1**********]2

A 则AF (b＋c －f ) ，BF ＝＋e －f )

[1**********]2c ∴ EF(b＋c ＋d ＋e －a －f ) 411D V ≢AB ·EF ·CD 23

2222222

＝b ＋c ＋d ＋e －a －f af 24d F [1**********]V≢(b＋c ＋d ＋e －a －f )a ·f

122222222

B e C ≢(b＋c ＋d ＋e －a －f )2a ·2f 4

1a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f 3

≢(

222222a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f 3

≢2·(

666666a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f

≢2幂平均不等式)

6666662

∴ a＋b ＋c ＋d ＋e ＋f ≣432V .

222222

全国高中数学联赛模拟试题(四)

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