椭圆.双曲线.抛物线

椭圆、双曲线、抛物线

考情解读 1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．

圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质

热点一 圆锥曲线的定义与标准方程

x2y2

例1 若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF2|＝4则∠F1PF2等于

92( )

A．30° B．60° C．120° D．150°

1

(2)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点与双曲线x2－y2＝－的一个焦点重合，且在抛物线上有一

2动点P到x轴的距离为m，P到直线l：2x－y－4＝0的距离为n，则m＋n的最小值为________． 思维启迪 (1)△PF1F2中利用余弦定理求∠F1PF2；(2)根据抛物线定义得m＝|PF|－1.再利用数形结合求最值． 答案 (1)C (2)5－1

解析 (1)由题意得a＝3，c7，所以|PF1|＝2. 在△F2PF1中，

42＋22－2721由余弦定理可得cos∠F2PF1＝＝－22×4×2又因为cos∠F2PF1∈(0°，180°)，所以∠F2PF1＝120°. (2)易知x2＝2py(p>0)的焦点为F(0,1)，故p＝2， 因此抛物线方程为x2＝4y.

根据抛物线的定义可知m＝|PF|－1，

设|PH|＝n(H为点P到直线l所作垂线的垂足)， 因此m＋n＝|PF|－1＋|PH|.

易知当F，P，H三点共线时m＋n最小， |－1－4|

因此其最小值为|FH|－1＝－1＝－1.

思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1

|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，画出合理草图．

x2y23

(1)已知椭圆C1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭

ab2

圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( ) x2y2

A.＝1 82

x2y2

B.＝1 126

x2y2

1 164x2y2

1 205

(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( ) A．y2＝9x C．y2＝3x 答案 (1)D (2)C

a－b3c3

解析 (1)∵椭圆的离心率为＝，

2aa2∴a＝2b.∴椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.

∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，

∴渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为

525

b，b，

55

B．y2＝6x D．y2＝3x

255

∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为×b＝4，∴b2＝5，∴a2＝

554b2＝20.

x2y2

∴椭圆C的方程为＋1.

205

(2)如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|， ∴∠BCB1＝30°，∴∠A1AF＝60°. 连接A1F，则△A1AF为等边三角形， 过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，

113

设l交x轴于N，则|NF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.

222热点二 圆锥曲线的几何性质

例2 (1)已知离心率为e的双曲线和离心率为π

一个公共点，若∠F1PF2＝，则e等于( )

3A.

556

B. C. D．3 222

2

的椭圆有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的2

x2y2a2

(2)设F1，F2分别是椭圆1 (a>b>0)的左，右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线

abc段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.0，



2

2

B.0，



3

3

C.



21

D.

，1 3

思维启迪 (1)在△F1F2P中利用余弦定理列方程，然后利用定义和已知条件消元；(2)可设点a2

P坐标为(y)，考察y存在的条件．

c答案 (1)C (2)D

解析 (1)设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，且不妨设m>n，由m＋n＝2a1，m－n＝2a2得m＝a1＋a2，n＝a1－a2. π

又∠F1PF2＝

3

2

∴4c2＝m2＋n2－mn＝a21＋3a2，

2

a21363a∴＝4，即＋＝4，解得e＝，故选C. cc222e

222aby，y，线段F1P的中点Q的坐标为， (2)设Pc2c2

当kQF2存在时，则kF1P＝由kF1PkQF2＝－1，得

cycy

，kQF2a＋cb－2ca2＋c2·2c2－b22

y＝y≥0，

c2

但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b2>0， 13

即3c2－a2>0，即e2>，故

33当kQF2不存在时，b2－2c2＝0，y＝0， a23

此时F2为中点，即c＝2c，得e＝，

c3综上，得

3

e

3

.

3，1

即所求的椭圆离心率的取值范围是

思维升华 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，

c的关系式．建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．

x2y2

已知O为坐标原点，双曲线1(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径

ab

→→→

作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若(AO＋AF)·OF＝0，则双曲线的离心率e为( )

A．2 B．3 C.2 3

(2)(2014·课标全国Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( ) A.3 B．3 3m D．3m 答案 (1)C (2)A

解析 (1)设OF的中点为C，则 →→→

AO＋AF＝2AC，由题意得， →→2AC·OF＝0，

∴AC⊥OF，∴AO＝AF， 又∠OAF＝90°，∴∠AOF＝45°， 即双曲线的渐近线的倾斜角为45°， b

∴＝tan 45°＝1， a则双曲线的离心率e＝

1＋22，故选C.

a

m

x＝xmy3mm

x2y2

(2)双曲线C的标准方程为－＝1(m>0)，其渐近线方程为y＝±

3m3

＝±x，不妨选取右焦点F(3m＋3，0)到其中一条渐近线x－＝0的距离求解，得d＝3m＋3

3.故选A. 1＋m

热点三 直线与圆锥曲线

x2y2

例3 过椭圆1(a>b>0)的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，

ab→6→

与y轴的交点为C，已知AB＝BC.

13(1)求椭圆的离心率；

(2)设动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q，若x轴上存在一定点M(1,0)，使得PM⊥QM，求椭圆的方程．

→6→

思维启迪 (1)根据AB＝和点B在椭圆上列关于a、b的方程；(2)联立直线y＝kx＋m与

13→→

椭圆方程，利用Δ＝0，PM·QM＝0求解．

解 (1)∵A(－a,0)，设直线方程为y＝2(x＋a)，B(x1，y1)， 令x＝0，则y＝2a，∴C(0,2a)， →→

∴AB＝(x1＋a，y1)，BC＝(－x1,2a－y1)，

66→6→

∵AB＝BC，∴x1＋a＝(－x1)，y1＝(2a－y1)，

131313

1312

整理得x1＝－a，y1＝，

1919

132122a2b23

∵点B在椭圆上，∴＋()1，＝

1919ba4a2－c2331

∴1－e2∴e.

a442b23

(2)∵，可设b2＝3t，a2＝4t，

a4∴椭圆的方程为3x2＋4y2－12t＝0，

223x＋4y－12t＝0由，得 y＝kx＋m

(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12t＝0，

∵动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P， ∴Δ＝0，即64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12t)＝0， 整理得m2＝3t＋4k2t，

8km4km设P(x1，y1)则有x1＝－， 23＋4k3＋4ky1＝kx1＋m＝∴P(－

3m

3＋4k4km3m

)， 3＋4k3＋4k又M(1,0)，Q(4,4k＋m)，

∵x轴上存在一定点M(1,0)，使得PM⊥QM，

4km3m

∴(1＋)·(－3，－(4k＋m))＝0恒成立， 3＋4k3＋4k整理得3＋4k2＝m2.

∴3＋4k2＝3t＋4k2t恒成立，故t＝1. x2y2

∴椭圆的方程为＋1.

43

思维升华 待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．

x2y22

已知椭圆C：＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点(1，，右焦点为F2.设A，

ab2

1

B是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为－AB的中垂线交椭圆C于P，

2Q两点．

(1)求椭圆C的方程；

→→(2)求F2P·F2Q的取值范围．

解 (1)因为焦距为2，所以a2－b2＝1. 因为椭圆C过点(1，

2

， 2

11

＋1.故a2＝2，b2＝1.

a2bx22

所以椭圆C的方程为＋y＝1.

2

1

(2)由题意，当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为x＝－

2此时P(－2，0)，Q2，0)， →→得F2P·F2Q＝－1.

1当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k(k≠0)，M(－，m)(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，

2y2)，

由x

2y＝1，

222

2xy21＝1，2

y1－y2

得(x1＋x2)＋2(y1＋y20，则－1＋4mk＝0，

x1－x2

故4mk＝1.

此时，直线PQ的斜率为k1＝－4m， 1

直线PQ的方程为y－m＝－4m(x＋)．

2即y＝－4mx－m.

y＝－4mx－m，2

联立x消去y， 2

y＝12整理得(32m2＋1)x2＋16m2x＋2m2－2＝0. 设P(x3，y3)，Q(x4，y4)

2m2－216m2

所以x3＋x4＝－xx＝.

32m＋13432m＋1

→→于是F2P·F2Q＝(x3－1)(x4－1)＋y3y4＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋(4mx3＋m)(4mx4＋m) ＝(4m2－1)(x3＋x4)＋(16m2＋1)x3x4＋m2＋1 4m2－1－16m21＋16m22m2－2＝＋＋1＋m2 32m＋132m＋119m2－1＝. 32m＋1

17

由于M(m)在椭圆的内部，故0

28→→1951

令t＝32m2＋1,1

又1

综上，F2P·F2Q的取值范围为[－1，)．

232

1．对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．

2．椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A、B是不等的常数，A>B>0时，表示焦点在y轴上的椭

圆；B>A>0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB

c

3．求双曲线、椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a，c，计算e＝(2)根据已知条件确定a，

ac

b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求a

4．通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径2b2

2p，过抛物线焦点的弦中通径最短．

a椭圆上点到焦点的最长距离为a＋c，最短距离为a－c. 5．抛物线焦点弦性质：

已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)． p2

(1)y1y2＝－p，x1x2；

4

2

2p

(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝α为弦AB的倾斜角)；

sinαp2

(3)S△AOB＝

2sin α112(4)＋ |FA||FB|p

(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

真题感悟

1．(2014·湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2

π

＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) 34A.

3C．3 答案 A

解析 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2， π2

由(2c)2＝r21＋r2－2r1r2cos ， 3

2得4c2＝r21＋r2－r1r2.

23

B.

3D．2

r1＋r2＝2a1，r1＝a1＋a2，由得 r－r＝2ar＝a－a，122212

11a1＋a2r∴＝. e1e2cc

2

r24r令m＝＝

cr1＋r2－r1r2

＝

44

＝，

r2rr1231＋－＋

r1r1r124

r116当时，mmax＝ r123r43∴(max＝， c3113即的最大值为. e1e23

2．(2014·辽宁)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( ) 1A. 23 4答案 D

pp

解析 抛物线y2＝2px的准线为直线xA(－2,3)在准线上，所以－＝－2，即p

22k

＝4，从而C：y2＝8x，焦点为F(2,0)．设切线方程为y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得2－y＋

8k1

2k＋3＝0(k≠0)①，由于Δ＝1－4×k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝.

82因为切点在第一象限，

2B.343

1

所以k＝.

2

1

将k＝①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8，

2所以点B的坐标为(8,8)， 4

所以直线BF的斜率为3押题精练

a2x2y2

1．已知圆x＋y＝E处的一条切线l过双曲线1(a>0，b>0)的左焦点F，且与

16ab

2

2

→1→→

双曲线的右支交于点P，若OEOF＋OP)，则双曲线的离心率是_____________．

2答案

4

解析 如图所示，设双曲线的右焦点为H，连接PH， a

由题意可知|OE|＝，

4

→1→→

由OE＝OF＋OP)，可知E为FP的中点．

2由双曲线的性质，可知O为FH的中点， 1

所以OE∥PH，且|OE|＝|PH|，

2a

故|PH|＝2|OE|＝.

2

由双曲线的定义，可知|PF|－|PH|＝2a(P在双曲线的右支上)， 所以|PF|＝2a＋|PH|＝

5a2

因为直线l与圆相切，所以PF⊥OE.

又OE∥PH，所以PF⊥PH.在△PFH中，|FH|2＝|PH|2＋|PF|2， a5a

即(2c)2＝()2＋()2，

22c2626

整理得e＝a44

x2y2

2．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A、B两点，O

ab为坐标原点．

1

(1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；

2(2)若|AP|＝|OA|，证明：直线OP的斜率k满足|k|>3. (1)解 设点P的坐标为(x0，y0)，y

0≠0.

由题意，有x2a＋y2b

＝1.①

由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝

yx，ky0＋aBP＝x0－a

. 由k1AP· kBP2x20＝a2－2y2

0， 代入①并整理得(a2－2b2)y20＝0.

由于y≠0，故a2

＝2b2

.于是e2

＝a2－b2120a2，所以椭圆的离心率e＝2

(2)证明 方法一 依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得y0

＝kx0，x2y2

a＋b

＝1.2消去y0并整理，得

x2

ab20＝ka＋b

②

由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，

得(x0＋a)2＋k2x20＝a2

.

整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0. 而x≠0，于是x－2a00＝1＋k，

代入②，整理得(1＋k2)2＝4k2ab2

＋4. 又a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4， 因此k2>3，所以|k|>3.

方法二 依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．

由点Px2a＋k2x2

b

＝1.

因为a>b>0，kx0≠0，

x2a＋k2x2a

.③ 由|AP|＝|OA|及A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2，

整理得(1＋k2)x2＋2ax－2a00＝0，于是x01＋k2

4a2代入③，得(1＋k)1＋k

3， 所以|k3.

(推荐时间：60分钟)

一、选择题

x2y2

1．已知椭圆＋＝1(0

4b点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是( ) 3

A．1 B. 3

2答案 D

解析 由椭圆的方程，可知长半轴长a＝2；由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，2b2

所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即＝3，

a可求得b2＝3，即b＝x2y2y2x2

2－1(a>0，b>0)－＝1的渐近线将第一象限三等分，则双

ababx2y2

－＝1的离心率为( )

ab3

A．2或

3C．23 答案 A

x2y2b3

解析 由题意，可知双曲线1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则＝aba3c

则e＝a故选A.

x2y2

3－1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2

ab＝24x的准线上，则双曲线的方程为( ) x2y2

A.1 36108x2y2

－＝1 10836答案 B

x2y2

解析 由双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，可设双曲线的方程为x2

ab

x2y2

B.－＝1 927x2y2

1 279

a21＋2＝2.

a3

6或

3

3

36

y2

－λ(λ>0)． 3

x2y2

因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，所以F(－6,0)是双曲

abx2y2

线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为－＝1.故选B.

927

y2x2→→

4＋1 (a>b>0)，A(4,0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且AC·BC

ab→→→→

＝0，|OB－OC|＝2|BC－BA|，则其焦距为( ) 46A.

38 3答案 C

→→1→

解析 由题意，可知|OC|＝|OB|＝|BC|，且a＝4，

2→→→→又|OB－OC|＝2|BC－BA|， →→→→

所以，|BC|＝2|AC|.故|OC|＝|AC|. →→→→又AC·BC＝0，所以AC⊥BC.

→→

故△OAC为等腰直角三角形，|OC|＝|AC|＝22.

222216

不妨设点C在第一象限，则点C的坐标为(2,2)，代入椭圆的方程，得＝1，解得b24b3163246

所以c2＝a2－b2＝42－＝c＝3338故其焦距为2c.

3

5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( ) 33639A. B. C. D.

48324答案 D

3

解析 由已知得焦点坐标为F(，0)，

4因此直线AB的方程为y＝即4x－43y－3＝0.

方法一 联立抛物线方程，化简得4y2－123y－9＝0， 故|yA－yB|＝yA＋yB－4yAyB＝6.

43B.

323

3

33(x－)， 34

1139

因此S△OAB|OF||yA－yB|＝62244219

方法二 联立方程得x2－x＋0，

21621

故xA＋xB＝.

2

213

根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＝12，

22同时原点到直线AB的距离为h19

因此S△OAB|AB|·h.

24

x2y2→→

6．椭圆M＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且PF1·PF

ab

2,2

其中2的最大值的取值范围是[c3c]，

3

＝， 2284＋－3

|－3|

c＝a－b，则椭圆M的离心率e的取值范围是( )

11

A．]

42C．2

，1) 2

12B．，]

221

D．1)

2

答案 B

解析 设P(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)， →→

则PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)， →→PF1·PF2＝x2＋y2－c2.

又x2＋y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方， →→所以(x2＋y2)max＝a2，所以(PF1·PF2)max＝b2， 11所以c2≤b2＝a2－c2≤3c2，即≤e2

4212

e≤故选B.

22二、填空题

y22

7．(2014·北京)设双曲线C经过点(2,2)，且与－x＝1具有相同渐近线，则C的方程为

4________；渐近线方程为________． x2y2

答案 －1 y＝±2x

312

y22

解析 设双曲线C的方程为x＝λ，

4将点(2,2)代入上式，得λ＝－3，

x2y2

∴C的方程为＝1，

312其渐近线方程为y＝±2x.

8．已知点P(0,2)，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，线段PF与抛物线C的交点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若∠PQF＝90°，则p＝________. 答案

2

p

解析 由抛物线的定义可得|MQ|＝|MF|，F(，0)，又PQ⊥QF，故M为线段PF的中点，所

2ppp以M(，1)，把M，1)，代入抛物线y2＝2px(p>0)得，1＝2p×

444解得p＝2，故答案为2.

x2y2

9．抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线1的右焦点重合，过点P(2,0)且斜率为

361的直线l与抛物线C交于A，B两点，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为________． 答案 11

x2y2

解析 因为双曲线1的右焦点坐标是(3,0)．

36p

3，所以p＝6.

2

即抛物线的标准方程为y2＝12x.

设过点P(2,0)且斜率为1的直线l的方程为y＝x－2，

联立y2＝12x消去y可得x2－16x＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝16， 所以弦AB的中点到抛物线准线的距离为 x＋x＋p16＋6

＝11.故填11. 22

x2y2

10．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重

ab合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A.若|OA|＝ b，则该双曲线的离心率为_______． 答案

2

解析 延长F2A交PF1于B点，则|PB|＝|PF2|， 依题意可得|BF1|＝|PF1|－|PF2|＝2a. 又因为点A是BF2的中点． 1

所以得到|OA|＝|BF1|，所以b＝a.

2所以c＝2a.2. 三、解答题

11．已知曲线C上的动点P(x，y)满足到定点A(－1,0)的距离与到定点B(1,0)的距离之比为2. (1)求曲线C的方程；

(2)过点M(1,2)的直线l与曲线C交于两点M、N，若|MN|＝4，求直线l的方程． 解 (1)由题意得|PA|＝2|PB| 故x＋1＋yx－1＋y

化简得：x2＋y2－6x＋1＝0(或(x－3)2＋y2＝8)即为所求． (2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1. 将x＝1代入方程x2＋y2－6x＋1＝0得y＝±2， 所以|MN|＝4，满足题意．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx－k＋2， 由圆心到直线的距离d＝2＝

|3k－k＋2|

1＋k解得k＝0，此时直线l的方程为y＝2.

综上所述，满足题意的直线l的方程为x＝1或y＝2.

x2y2

12．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与

abE相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． (1)求E的离心率；

(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程． 解 (1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 4

因为2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝.

3l的方程为y＝x＋c，其中ca－b.

y＝x＋c，22

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组xy

1，ab化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0， －2a2ca2c2－b2

则x1＋x2x1x2＝.

a＋ba＋b因为直线AB的斜率为1，

所以|AB|2|x2－x1|＝2[x1＋x2－4x1x2]. 44ab222

故a＝a＝2b， 3a＋b

a－bc2所以E的离心率e＝.

aa2(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知 x1＋x2－a2c2c

x0＝，y0＝x0＋c＝. 233a＋b

由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1， 即

y0＋1

＝－1， x0

得c＝3，从而a＝32，b＝3. x2y2

故椭圆E的方程为＋＝1.

189

x22

13．(2013·北京)已知A，B，C是椭圆W：y＝1上的三个点，O是坐标原点．

4(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由． x22

解 (1)由椭圆W：y＝1，知B(2,0)

4∴线段OB的垂直平分线x＝1. 在菱形OABC中，AC⊥OB， x223

将x＝1代入＋y＝1，得y＝.

42∴|AC|＝|yA－yC|＝3.

11

∴菱形的面积S＝|OB|·|AC|23＝3.

22(2)假设四边形OABC为菱形．

∵点B不是W的顶点，且直线AC不过原点， ∴可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．

22

x＋4y＝4，由 y＝kx＋m

消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则

x＋xy＋yx＋x4kmm

＝k＋m，2221＋4k1＋4k4kmm

∴线段AC中点M1＋4k1＋4k，



1

∵M为AC和OB交点，∴kOB＝－.

4k

－11－1， 又k·4k4

∴AC与OB不垂直．

∴OABC不是菱形，这与假设矛盾． 综上，四边形OABC不是菱形．

椭圆、双曲线、抛物线

考情解读 1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．

圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质

热点一 圆锥曲线的定义与标准方程

x2y2

例1 若椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF2|＝4则∠F1PF2等于

92( )

A．30° B．60° C．120° D．150°

1

(2)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点与双曲线x2－y2＝－的一个焦点重合，且在抛物线上有一

2动点P到x轴的距离为m，P到直线l：2x－y－4＝0的距离为n，则m＋n的最小值为________． 思维启迪 (1)△PF1F2中利用余弦定理求∠F1PF2；(2)根据抛物线定义得m＝|PF|－1.再利用数形结合求最值． 答案 (1)C (2)5－1

解析 (1)由题意得a＝3，c7，所以|PF1|＝2. 在△F2PF1中，

42＋22－2721由余弦定理可得cos∠F2PF1＝＝－22×4×2又因为cos∠F2PF1∈(0°，180°)，所以∠F2PF1＝120°. (2)易知x2＝2py(p>0)的焦点为F(0,1)，故p＝2， 因此抛物线方程为x2＝4y.

根据抛物线的定义可知m＝|PF|－1，

设|PH|＝n(H为点P到直线l所作垂线的垂足)， 因此m＋n＝|PF|－1＋|PH|.

易知当F，P，H三点共线时m＋n最小， |－1－4|

因此其最小值为|FH|－1＝－1＝－1.

思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1

|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，画出合理草图．

x2y23

(1)已知椭圆C1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭

ab2

圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( ) x2y2

A.＝1 82

x2y2

B.＝1 126

x2y2

1 164x2y2

1 205

(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( ) A．y2＝9x C．y2＝3x 答案 (1)D (2)C

a－b3c3

解析 (1)∵椭圆的离心率为＝，

2aa2∴a＝2b.∴椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.

∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，

∴渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为

525

b，b，

55

B．y2＝6x D．y2＝3x

255

∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为×b＝4，∴b2＝5，∴a2＝

554b2＝20.

x2y2

∴椭圆C的方程为＋1.

205

(2)如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|， ∴∠BCB1＝30°，∴∠A1AF＝60°. 连接A1F，则△A1AF为等边三角形， 过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，

113

设l交x轴于N，则|NF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.

222热点二 圆锥曲线的几何性质

例2 (1)已知离心率为e的双曲线和离心率为π

一个公共点，若∠F1PF2＝，则e等于( )

3A.

556

B. C. D．3 222

2

的椭圆有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的2

x2y2a2

(2)设F1，F2分别是椭圆1 (a>b>0)的左，右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线

abc段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.0，



2

2

B.0，



3

3

C.



21

D.

，1 3

思维启迪 (1)在△F1F2P中利用余弦定理列方程，然后利用定义和已知条件消元；(2)可设点a2

P坐标为(y)，考察y存在的条件．

c答案 (1)C (2)D

解析 (1)设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，且不妨设m>n，由m＋n＝2a1，m－n＝2a2得m＝a1＋a2，n＝a1－a2. π

又∠F1PF2＝

3

2

∴4c2＝m2＋n2－mn＝a21＋3a2，

2

a21363a∴＝4，即＋＝4，解得e＝，故选C. cc222e

222aby，y，线段F1P的中点Q的坐标为， (2)设Pc2c2

当kQF2存在时，则kF1P＝由kF1PkQF2＝－1，得

cycy

，kQF2a＋cb－2ca2＋c2·2c2－b22

y＝y≥0，

c2

但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b2>0， 13

即3c2－a2>0，即e2>，故

33当kQF2不存在时，b2－2c2＝0，y＝0， a23

此时F2为中点，即c＝2c，得e＝，

c3综上，得

3

e

3

.

3，1

即所求的椭圆离心率的取值范围是

思维升华 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，

c的关系式．建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．

x2y2

已知O为坐标原点，双曲线1(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径

ab

→→→

作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若(AO＋AF)·OF＝0，则双曲线的离心率e为( )

A．2 B．3 C.2 3

(2)(2014·课标全国Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( ) A.3 B．3 3m D．3m 答案 (1)C (2)A

解析 (1)设OF的中点为C，则 →→→

AO＋AF＝2AC，由题意得， →→2AC·OF＝0，

∴AC⊥OF，∴AO＝AF， 又∠OAF＝90°，∴∠AOF＝45°， 即双曲线的渐近线的倾斜角为45°， b

∴＝tan 45°＝1， a则双曲线的离心率e＝

1＋22，故选C.

a

m

x＝xmy3mm

x2y2

(2)双曲线C的标准方程为－＝1(m>0)，其渐近线方程为y＝±

3m3

＝±x，不妨选取右焦点F(3m＋3，0)到其中一条渐近线x－＝0的距离求解，得d＝3m＋3

3.故选A. 1＋m

热点三 直线与圆锥曲线

x2y2

例3 过椭圆1(a>b>0)的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，

ab→6→

与y轴的交点为C，已知AB＝BC.

13(1)求椭圆的离心率；

(2)设动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q，若x轴上存在一定点M(1,0)，使得PM⊥QM，求椭圆的方程．

→6→

思维启迪 (1)根据AB＝和点B在椭圆上列关于a、b的方程；(2)联立直线y＝kx＋m与

13→→

椭圆方程，利用Δ＝0，PM·QM＝0求解．

解 (1)∵A(－a,0)，设直线方程为y＝2(x＋a)，B(x1，y1)， 令x＝0，则y＝2a，∴C(0,2a)， →→

∴AB＝(x1＋a，y1)，BC＝(－x1,2a－y1)，

66→6→

∵AB＝BC，∴x1＋a＝(－x1)，y1＝(2a－y1)，

131313

1312

整理得x1＝－a，y1＝，

1919

132122a2b23

∵点B在椭圆上，∴＋()1，＝

1919ba4a2－c2331

∴1－e2∴e.

a442b23

(2)∵，可设b2＝3t，a2＝4t，

a4∴椭圆的方程为3x2＋4y2－12t＝0，

223x＋4y－12t＝0由，得 y＝kx＋m

(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12t＝0，

∵动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P， ∴Δ＝0，即64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12t)＝0， 整理得m2＝3t＋4k2t，

8km4km设P(x1，y1)则有x1＝－， 23＋4k3＋4ky1＝kx1＋m＝∴P(－

3m

3＋4k4km3m

)， 3＋4k3＋4k又M(1,0)，Q(4,4k＋m)，

∵x轴上存在一定点M(1,0)，使得PM⊥QM，

4km3m

∴(1＋)·(－3，－(4k＋m))＝0恒成立， 3＋4k3＋4k整理得3＋4k2＝m2.

∴3＋4k2＝3t＋4k2t恒成立，故t＝1. x2y2

∴椭圆的方程为＋1.

43

思维升华 待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．

x2y22

已知椭圆C：＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点(1，，右焦点为F2.设A，

ab2

1

B是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为－AB的中垂线交椭圆C于P，

2Q两点．

(1)求椭圆C的方程；

→→(2)求F2P·F2Q的取值范围．

解 (1)因为焦距为2，所以a2－b2＝1. 因为椭圆C过点(1，

2

， 2

11

＋1.故a2＝2，b2＝1.

a2bx22

所以椭圆C的方程为＋y＝1.

2

1

(2)由题意，当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为x＝－

2此时P(－2，0)，Q2，0)， →→得F2P·F2Q＝－1.

1当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k(k≠0)，M(－，m)(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，

2y2)，

由x

2y＝1，

222

2xy21＝1，2

y1－y2

得(x1＋x2)＋2(y1＋y20，则－1＋4mk＝0，

x1－x2

故4mk＝1.

此时，直线PQ的斜率为k1＝－4m， 1

直线PQ的方程为y－m＝－4m(x＋)．

2即y＝－4mx－m.

y＝－4mx－m，2

联立x消去y， 2

y＝12整理得(32m2＋1)x2＋16m2x＋2m2－2＝0. 设P(x3，y3)，Q(x4，y4)

2m2－216m2

所以x3＋x4＝－xx＝.

32m＋13432m＋1

→→于是F2P·F2Q＝(x3－1)(x4－1)＋y3y4＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋(4mx3＋m)(4mx4＋m) ＝(4m2－1)(x3＋x4)＋(16m2＋1)x3x4＋m2＋1 4m2－1－16m21＋16m22m2－2＝＋＋1＋m2 32m＋132m＋119m2－1＝. 32m＋1

17

由于M(m)在椭圆的内部，故0

28→→1951

令t＝32m2＋1,1

又1

综上，F2P·F2Q的取值范围为[－1，)．

232

1．对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．

2．椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A、B是不等的常数，A>B>0时，表示焦点在y轴上的椭

圆；B>A>0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB

c

3．求双曲线、椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a，c，计算e＝(2)根据已知条件确定a，

ac

b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求a

4．通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径2b2

2p，过抛物线焦点的弦中通径最短．

a椭圆上点到焦点的最长距离为a＋c，最短距离为a－c. 5．抛物线焦点弦性质：

已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)． p2

(1)y1y2＝－p，x1x2；

4

2

2p

(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝α为弦AB的倾斜角)；

sinαp2

(3)S△AOB＝

2sin α112(4)＋ |FA||FB|p

(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

真题感悟

1．(2014·湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2

π

＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) 34A.

3C．3 答案 A

解析 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2， π2

由(2c)2＝r21＋r2－2r1r2cos ， 3

2得4c2＝r21＋r2－r1r2.

23

B.

3D．2

r1＋r2＝2a1，r1＝a1＋a2，由得 r－r＝2ar＝a－a，122212

11a1＋a2r∴＝. e1e2cc

2

r24r令m＝＝

cr1＋r2－r1r2

＝

44

＝，

r2rr1231＋－＋

r1r1r124

r116当时，mmax＝ r123r43∴(max＝， c3113即的最大值为. e1e23

2．(2014·辽宁)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( ) 1A. 23 4答案 D

pp

解析 抛物线y2＝2px的准线为直线xA(－2,3)在准线上，所以－＝－2，即p

22k

＝4，从而C：y2＝8x，焦点为F(2,0)．设切线方程为y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得2－y＋

8k1

2k＋3＝0(k≠0)①，由于Δ＝1－4×k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝.

82因为切点在第一象限，

2B.343

1

所以k＝.

2

1

将k＝①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8，

2所以点B的坐标为(8,8)， 4

所以直线BF的斜率为3押题精练

a2x2y2

1．已知圆x＋y＝E处的一条切线l过双曲线1(a>0，b>0)的左焦点F，且与

16ab

2

2

→1→→

双曲线的右支交于点P，若OEOF＋OP)，则双曲线的离心率是_____________．

2答案

4

解析 如图所示，设双曲线的右焦点为H，连接PH， a

由题意可知|OE|＝，

4

→1→→

由OE＝OF＋OP)，可知E为FP的中点．

2由双曲线的性质，可知O为FH的中点， 1

所以OE∥PH，且|OE|＝|PH|，

2a

故|PH|＝2|OE|＝.

2

由双曲线的定义，可知|PF|－|PH|＝2a(P在双曲线的右支上)， 所以|PF|＝2a＋|PH|＝

5a2

因为直线l与圆相切，所以PF⊥OE.

又OE∥PH，所以PF⊥PH.在△PFH中，|FH|2＝|PH|2＋|PF|2， a5a

即(2c)2＝()2＋()2，

22c2626

整理得e＝a44

x2y2

2．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，点P在椭圆上且异于A、B两点，O

ab为坐标原点．

1

(1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；

2(2)若|AP|＝|OA|，证明：直线OP的斜率k满足|k|>3. (1)解 设点P的坐标为(x0，y0)，y

0≠0.

由题意，有x2a＋y2b

＝1.①

由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝

yx，ky0＋aBP＝x0－a

. 由k1AP· kBP2x20＝a2－2y2

0， 代入①并整理得(a2－2b2)y20＝0.

由于y≠0，故a2

＝2b2

.于是e2

＝a2－b2120a2，所以椭圆的离心率e＝2

(2)证明 方法一 依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得y0

＝kx0，x2y2

a＋b

＝1.2消去y0并整理，得

x2

ab20＝ka＋b

②

由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，

得(x0＋a)2＋k2x20＝a2

.

整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0. 而x≠0，于是x－2a00＝1＋k，

代入②，整理得(1＋k2)2＝4k2ab2

＋4. 又a>b>0，故(1＋k2)2>4k2＋4，即k2＋1>4， 因此k2>3，所以|k|>3.

方法二 依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．

由点Px2a＋k2x2

b

＝1.

因为a>b>0，kx0≠0，

x2a＋k2x2a

.③ 由|AP|＝|OA|及A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2，

整理得(1＋k2)x2＋2ax－2a00＝0，于是x01＋k2

4a2代入③，得(1＋k)1＋k

3， 所以|k3.

(推荐时间：60分钟)

一、选择题

x2y2

1．已知椭圆＋＝1(0

4b点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是( ) 3

A．1 B. 3

2答案 D

解析 由椭圆的方程，可知长半轴长a＝2；由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，2b2

所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即＝3，

a可求得b2＝3，即b＝x2y2y2x2

2－1(a>0，b>0)－＝1的渐近线将第一象限三等分，则双

ababx2y2

－＝1的离心率为( )

ab3

A．2或

3C．23 答案 A

x2y2b3

解析 由题意，可知双曲线1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则＝aba3c

则e＝a故选A.

x2y2

3－1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2

ab＝24x的准线上，则双曲线的方程为( ) x2y2

A.1 36108x2y2

－＝1 10836答案 B

x2y2

解析 由双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，可设双曲线的方程为x2

ab

x2y2

B.－＝1 927x2y2

1 279

a21＋2＝2.

a3

6或

3

3

36

y2

－λ(λ>0)． 3

x2y2

因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，所以F(－6,0)是双曲

abx2y2

线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为－＝1.故选B.

927

y2x2→→

4＋1 (a>b>0)，A(4,0)为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且AC·BC

ab→→→→

＝0，|OB－OC|＝2|BC－BA|，则其焦距为( ) 46A.

38 3答案 C

→→1→

解析 由题意，可知|OC|＝|OB|＝|BC|，且a＝4，

2→→→→又|OB－OC|＝2|BC－BA|， →→→→

所以，|BC|＝2|AC|.故|OC|＝|AC|. →→→→又AC·BC＝0，所以AC⊥BC.

→→

故△OAC为等腰直角三角形，|OC|＝|AC|＝22.

222216

不妨设点C在第一象限，则点C的坐标为(2,2)，代入椭圆的方程，得＝1，解得b24b3163246

所以c2＝a2－b2＝42－＝c＝3338故其焦距为2c.

3

5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( ) 33639A. B. C. D.

48324答案 D

3

解析 由已知得焦点坐标为F(，0)，

4因此直线AB的方程为y＝即4x－43y－3＝0.

方法一 联立抛物线方程，化简得4y2－123y－9＝0， 故|yA－yB|＝yA＋yB－4yAyB＝6.

43B.

323

3

33(x－)， 34

1139

因此S△OAB|OF||yA－yB|＝62244219

方法二 联立方程得x2－x＋0，

21621

故xA＋xB＝.

2

213

根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＝12，

22同时原点到直线AB的距离为h19

因此S△OAB|AB|·h.

24

x2y2→→

6．椭圆M＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且PF1·PF

ab

2,2

其中2的最大值的取值范围是[c3c]，

3

＝， 2284＋－3

|－3|

c＝a－b，则椭圆M的离心率e的取值范围是( )

11

A．]

42C．2

，1) 2

12B．，]

221

D．1)

2

答案 B

解析 设P(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)， →→

则PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)， →→PF1·PF2＝x2＋y2－c2.

又x2＋y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方， →→所以(x2＋y2)max＝a2，所以(PF1·PF2)max＝b2， 11所以c2≤b2＝a2－c2≤3c2，即≤e2

4212

e≤故选B.

22二、填空题

y22

7．(2014·北京)设双曲线C经过点(2,2)，且与－x＝1具有相同渐近线，则C的方程为

4________；渐近线方程为________． x2y2

答案 －1 y＝±2x

312

y22

解析 设双曲线C的方程为x＝λ，

4将点(2,2)代入上式，得λ＝－3，

x2y2

∴C的方程为＝1，

312其渐近线方程为y＝±2x.

8．已知点P(0,2)，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，线段PF与抛物线C的交点为M，过M作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若∠PQF＝90°，则p＝________. 答案

2

p

解析 由抛物线的定义可得|MQ|＝|MF|，F(，0)，又PQ⊥QF，故M为线段PF的中点，所

2ppp以M(，1)，把M，1)，代入抛物线y2＝2px(p>0)得，1＝2p×

444解得p＝2，故答案为2.

x2y2

9．抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线1的右焦点重合，过点P(2,0)且斜率为

361的直线l与抛物线C交于A，B两点，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为________． 答案 11

x2y2

解析 因为双曲线1的右焦点坐标是(3,0)．

36p

3，所以p＝6.

2

即抛物线的标准方程为y2＝12x.

设过点P(2,0)且斜率为1的直线l的方程为y＝x－2，

联立y2＝12x消去y可得x2－16x＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝16， 所以弦AB的中点到抛物线准线的距离为 x＋x＋p16＋6

＝11.故填11. 22

x2y2

10．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重

ab合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A.若|OA|＝ b，则该双曲线的离心率为_______． 答案

2

解析 延长F2A交PF1于B点，则|PB|＝|PF2|， 依题意可得|BF1|＝|PF1|－|PF2|＝2a. 又因为点A是BF2的中点． 1

所以得到|OA|＝|BF1|，所以b＝a.

2所以c＝2a.2. 三、解答题

11．已知曲线C上的动点P(x，y)满足到定点A(－1,0)的距离与到定点B(1,0)的距离之比为2. (1)求曲线C的方程；

(2)过点M(1,2)的直线l与曲线C交于两点M、N，若|MN|＝4，求直线l的方程． 解 (1)由题意得|PA|＝2|PB| 故x＋1＋yx－1＋y

化简得：x2＋y2－6x＋1＝0(或(x－3)2＋y2＝8)即为所求． (2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1. 将x＝1代入方程x2＋y2－6x＋1＝0得y＝±2， 所以|MN|＝4，满足题意．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx－k＋2， 由圆心到直线的距离d＝2＝

|3k－k＋2|

1＋k解得k＝0，此时直线l的方程为y＝2.

综上所述，满足题意的直线l的方程为x＝1或y＝2.

x2y2

12．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与

abE相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． (1)求E的离心率；

(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程． 解 (1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 4

因为2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝.

3l的方程为y＝x＋c，其中ca－b.

y＝x＋c，22

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组xy

1，ab化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0， －2a2ca2c2－b2

则x1＋x2x1x2＝.

a＋ba＋b因为直线AB的斜率为1，

所以|AB|2|x2－x1|＝2[x1＋x2－4x1x2]. 44ab222

故a＝a＝2b， 3a＋b

a－bc2所以E的离心率e＝.

aa2(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知 x1＋x2－a2c2c

x0＝，y0＝x0＋c＝. 233a＋b

由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1， 即

y0＋1

＝－1， x0

得c＝3，从而a＝32，b＝3. x2y2

故椭圆E的方程为＋＝1.

189

x22

13．(2013·北京)已知A，B，C是椭圆W：y＝1上的三个点，O是坐标原点．

4(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由． x22

解 (1)由椭圆W：y＝1，知B(2,0)

4∴线段OB的垂直平分线x＝1. 在菱形OABC中，AC⊥OB， x223

将x＝1代入＋y＝1，得y＝.

42∴|AC|＝|yA－yC|＝3.

11

∴菱形的面积S＝|OB|·|AC|23＝3.

22(2)假设四边形OABC为菱形．

∵点B不是W的顶点，且直线AC不过原点， ∴可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．

22

x＋4y＝4，由 y＝kx＋m

消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则

x＋xy＋yx＋x4kmm

＝k＋m，2221＋4k1＋4k4kmm

∴线段AC中点M1＋4k1＋4k，



1

∵M为AC和OB交点，∴kOB＝－.

4k

－11－1， 又k·4k4

∴AC与OB不垂直．

∴OABC不是菱形，这与假设矛盾． 综上，四边形OABC不是菱形．