2.1.1 函数的概念和图象（一）
三维目标
1．知识与技能
（1）能利用集合与对应关系的语言来刻画函数 （2）了解函数的定义域及对应法则的含义 2．过程与方法
经历函数概念的发生过程，并归纳函数的概念，提高学生解决问题的能力和语言表达能力．
3．情感、态度与价值观
在探索函数本质的过程中, 体会函数是刻画现实世界中的一类运动变化规律的模型, 使学生养成运用无限运动、发展、变化的观点认识客观世界的思维习惯．
重点难点
1．教学重点
利用集合与对应关系的语言来刻画函数 2．教学难点
对应法则f 的理解
教学过程
一、创设情境
我们生活在这个世界上，每时每刻都在感受其变化．请大家看下面的实例：
（1）一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，炮弹距地面高度h （米）随时
间t （秒）的变化而变化，其规律是h =130t -5t 2．
（2）近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积随时间变化而变化情况．
（3）国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低．从下表中的数据，可以看出“八五”计划以来我们城镇居民的生活质量发生了显著的
二、讲解新课
问题1：在上面的每一个变化过程中，存在哪些变化的量？这些变化过程有什么共同的特点？
问题2：在上面的例子中，是否确定了函数关系？为什么？ 问题3：如何用集合的观点来理解函数的概念？
每一个问题均涉及两个非空数集A 、B 的关系．存在某种对应法则f ，对于A 中的某个元素x ，B 中总有一个元素y 与之对应．
问题4：如何理解对应法则f
问题5．如何用集合的观点来表述函数的概念？
给出函数的定义．指出对应法则和定义域是构成一个函数的要素．
一般地，设 A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则 f ，对于集合A 中的每一个元素 x ，在集合B 中都有惟一的元素 y 和它对应，这样的对应叫做从A 到 B 的一个函数(f un c tion) ，通常记为y ＝f (x ) ，x ∈A ．
其中，所有的输入值 x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x ) 的定义域(d om a in) ． 函数的近代定义：集合语言、对应的观点． 在掌握函数时，必须把握以下几点：
（1）函数是一种特殊的对应f ：A →B ，集合A ，B 是非空的数的集合． （2）对应法则的方向是从A 到B ． （3）特别注意“非空”、“数集”、“每一个”、“惟一”这几个关键词．
例1 判断下列对应是否为集合A 到 B 的函数： （1）A ＝｛1，2，3，4，5｝，B ＝｛0，2，4，6，8｝， x ∈A ，f ：x →2x ； （2）A ＝R ，B ＝R ，x ∈A ，f ：x →y ，y ＝x ；
（3）A ＝[0，＋∞) ，B ＝R ，x ∈A ，f ：x →y ，y 2＝x ．
解（1）对于集合A 中的元素5，在集合B 找不到中所对应的元素10，故这个对应不是从集合A 到 B 的函数；
（2）对于任意一个实数x ，x 被x 惟一确定，所以这个对应是从集合A 到 B 的函数，这个函数也可以表示为 f (x ) ＝x ；
（3）考虑输入值为4，即当x ＝4 时输出值y ，由y 2＝4给出，得y ＝2和 y ＝－2．这里一个输入值与两个输入值对应（不是单值对应），所以，x →y （y 2＝x ）不是函数．
研究函数时，除了符号f (x ) 外，还常用g (x ) ，F (x ) ，G (x ) 等符号表示． 例2 已知函数f (x )=3x 2-5x +2，求f (3)、f (2) 、f (a ) 、f (a +1)． 分析 求x 分别等于3、-、a 、a +1时函数f (x ) 的值． 解 f (3)=3×32-5×3+2=14，
f (-2)=3×(2) 2-5×(-2)+2=8+52， f (a )=3a 2-5a +2，
f (a +1)=3(a +1)2-5(a +1)+2=3a 2+a ．
说明：区别符号f (x ) 和f (a ) ，f (a ) 表示x ＝a 时函数f (x ) 的值，而f (x ) 是一个函数．
三、课堂小结
1．函数的集合观点的概念及其与初中的定义的区别.
2．符号y ＝f (x ) 是“y 是x 的函数”的抽象的数学表示，f 是对应法则，它可以是解析式，也可以是图象、表格．
四、课后作业
（1）P24练习Ex 5，6；P28习题 1，2，5．
函数的概念和图象（二）
三维目标
1．知识与技能
（1）进一步加深对函数概念的理解； （2）掌握同一函数的标准；
（3）了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域． 2．过程与方法
经历求函数定义域及值域的过程，提高学生解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观
培养学生勇于探索，善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质。
重点难点
1．教学重点
能熟练求解常见函数的定义域和值域． 2．教学难点
对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．
教学过程
一、创设情境
下列函数f (x ) 与g(x ) 是否表示同一个函数？为什么？
（1）f (x ) ＝ (x －1) 0；g(x ) ＝1 ； （2） f (x ) ＝x ；g(x ) ＝；
、
（3）f (x ) ＝x 2；g(x ) ＝(x + 1) 2 ； （4） f (x ) ＝|x |；g(x ) ＝x ． 二、讲解新课
总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同 例1 求下列函数的定义域：
（1）y =x -1⋅x +1； （2）y =
1
(x +1) 0x |-x
；
12-x
1． x
（3）y =
x 2-3
+5-x 2； （4）y =2x +3-
+
分析 一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．
解 （1）由⎨
⎧x -1≥0, ⎧x ≥1,
得⎨即x ≥1，故函数y =x -1⋅x +1的定义域是[1，+∞) ．
⎩x +1≥0, ⎩x ≥-1,
⎧x +1≠0, ⎧x ≠-1, (x +1) 0
（2）由⎨得⎨ 故函数y =是{x |x
|x |-x >0, x
2⎧⎧⎪x -3≠0, ⎪x ≠±,
（3）由⎨得⎨即-≤x ≤且x ≠±，
2
⎪⎪5-x ≥0, ⎩⎩-≤x ≤,
故函数的定义域是{x|-≤x ≤且x ≠±3}．
3⎧
x ≥-, ⎪⎧2x +3≥0, 2⎪3⎪
（4）由⎨2-x >0, 即⎨x
2⎪x ≠0⎪x ≠0,
⎩⎪
⎩
故函数的定义域是{x |-
3
≤x ＜2，且x ≠0}． 2
说明 求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x 的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：
① 分式中，分母不等于零．
② 偶次根式中，被开方数为非负数．
③ 对于y =x 0中，要求 x ≠0．
若A 是函数y =f (x ) 的定义域，则对于A 中的每一个x ，在集合B 都有一个值输出值y 与之对应．我们将所有的输出值y 组成的集合称为函数的值域．
因此我们可以知道：对于函数f ：A
B 而言，如果如果值域是C ，那么C ⊆B ，
因此不能将集合B
当成是函数的值域．
我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．
例2．求下列两个函数的定义域与值域：
（1）f (x )=(x -1) 2+1，x ∈{-1，0，1，2，3}； （2）f (x )=( x-1) 2+1．
解（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，
f (-1)= 5，f (0)=2，f (1)=1，f (2)=2，f (3)=5， 所以这个函数的值域为{1，2，5}．
（2）函数的定义域为R ，因为(x -1) 2+1≥1，所以这个函数的值域为{y ∣y ≥1} 说明 通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我们称为观察法． 例3 求下列函数的值域：
（1）y =x 2-4x +6，x ∈[1，5) ； （2）y =
3x -1
； x +1
解：（1）y =(x -2) 2+2．
作出函数y =x 2-4x +6，x ∈[1，5) 数的值域为{y |2≤y ＜11}．
的图象，由图观察得函
（2）解法一：y =域为｛y |y ≠3｝．
3(x +1) -444
，显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值=3-
x +1x +1x +13x -1
看成关于x 的方程，变形得(y －3) x ＋(y ＋1) ＝0，该方程在原函数x +1
解法二：把y =
定义域｛x |x ≠－1｝内有解的条件是 ⎧⎪y －3≠0，⎨y ＋1，解得y ≠3，即即所求函数的值域为｛y |y ≠3｝． －≠－1⎪⎩y －3点评：（1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法；
（2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先配方，找出对称轴，在对照图象观察．
三、课堂小结
（1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同
（2）求解函数值域问题主要有两种方法：一是根据函数的图象和性质（或借助基本的函数的值域）由定义域直接推算；二是对于分式函数，利用分离常数法得到y 的取值范围．
四．课后作业
（1）P25练习7；
（2）求下列函数的值域： （1）y =
2x -1
；（2）y =-x 2+2x +3, x ∈(-1，6]．（3）y =3-|2x +1|． x +1
函数的概念和图象（三）
三维目标
1．知识与技能
（1）能根据函数的解析式利用描点法作出常见函数的图象；
（2）能利用基本初等函数图象结合图象变换作出所求函数的图象． 2．过程与方法
通过作出函数的图象，渗透数形结合的思想． 3．情感、态度与价值观
培养学生勇于探索，善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质。
重点难点
1．教学重点
根据函数的解析式利用描点法作出常见函数的图象； 2．教学难点
函数图象可以是一些点、一些线段、一段曲线等，利用图象变换作出所求函数的图象．
教学过程
一、情境创设
下列图象哪些是函数图象？那些不是？为什么？
二、讲解新课
例1试画出下列函数的图象：
3x -1
（1）y ＝1≤x ≤2，且x ∈Z ) ；（2）y ＝|2x －1|；
2（3）y ＝x 2－4x +3(1≤x ≤3) ．
解：图象如下：
（1） （2） （3）
点评：做函数的图像，主要是描点法，要注意函数的定义域，如（1），定义域是一些整数构成的集合，图像是一些孤立的点，如（3），图像是一抛物线的一部分．
例2作出下列函数的图象：
x
（1）y ＝； （2）y ＝|x 2－2x －3|．
x ＋1
x 11
解：（1） y ＝＝1－，此函数图象可看作把函数y ＝－1个单位，
x x ＋1x ＋1再向上平移1个单位所得．
⎧x 2－2x －3，x ≤－1或x ≥3，
（2）y ＝|x －2x －3|＝⎨ 2
⎩－(x －2x －3) ，－1＜x ＜3．
2
分别作出图象如下：
（2）
点评：函数y ＝f (x ) 的图象和函数y ＝－f (x ) 的图象关于x 轴对称；函数y ＝|f (x )|的图象可以看作将y ＝f (x ) 的图象在x 轴下方的部分对折到x 轴上方（并保持在x 轴上方的图象不变）得到．
三、课堂小结
（1）列表、描点法是我们作出函数图象的基本方法．
（2）函数的图象不一定都是连续的曲线，可以是一些离散的点, 也可以是一段曲线. （3）有时利用图象变换作出函数的图象，常见的变换有平移变换(包括左右平移、上下平移) 、对称变换(包括关于直线对称、关于点对称) ．以后还要学习到伸缩变换、旋转变换等．
四、课后作业 （1）P28练习2；（2）P29习题3，5，7，8，9．
函数的表示方法（一）
三维目标
1．知识与技能
（1）掌握函数三种表示方法并能在实际情况中根据不同的需要选择恰当的表示方法； （2）能够将函数的三种表示方法相互转化；
（3）通过具体实例了解简单的分段函数，并能简单应用． 2．过程与方法
经历函数的三种表达方式，培养比较、分析、综合的能力． 3．情感、态度与价值观
培养学生善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质。
重点难点
1．教学重点
理解函数的三种表示方法； 2．教学难点
对于分段函数的理解
教学过程
一、情境创设
某型号彩电单价为3100元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})台彩电需要y 元．试用三种表示法表示函数y ＝f (x ) ． 二、讲解新课
一 列表法：用列出表格来表示两个变量的函数关系。
海尔某型号彩电单价为3100元，买彩电的台数x 与付款款额y 的函数关系如下表示
列表格的方法很直观地反映了彩电的台数与付款款额的关系，如3台则是18600元，但这种表示方法一般不完整，如某单位要买15台，需付的款额表中就没有，如何得到款额呢？ 可以用一个表达式y =3100x
来表示. 令x =15，可得到款额数
前者表示函数的方法叫做列表法，后者表示函数的方法叫解析法，
列表法优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值, 缺点：但表示方法一般不完整
解析法优点：简明、全面的概括了变量之间的关系，可以求出任意一个自变量的值所对应的函数值，
缺点：抽象、不直观
图像法：
优点：直观形象地表示出函数值的变化情况。 缺点：不准确 以上是函数的三种表示方法
请同学举出生活中或者以前的学习中所接触的函数的表示法 例如银行利率表、列车时刻表等等，一般的，“离散型”问题常用列表法 又如股票图等，用图象法则有效的反映了两个变量之间的关系，
例1某洗衣店中，每洗一次衣服需要付费4元，若在这一家店洗衣10次，则其后可以免费洗一次，若某人在这店中洗了15次衣服． （2）写出当n ≤15时函数的解析式． 当洗衣次数11≤n ≤15（n ∈N *）时，c ＝4(n —1) ．
⎧4n , 1≤n ≤10且n ∈N c =⎨ 即 ．
4(n -1), 11≤n ≤15且n ∈N ⎩
在定义域的不同部分上，有不同的解析式，这样的函数叫做分段函数．分段函数是一个函数，
每一段及其他的解析式只是这个函数整体的一部分.
例2 如图，梯形OABC 各顶
点的坐标分别为O (0，0) ，
A (6，0) ，B (4，2) ，C (2，2) ． 一条与y 轴平行的动直线l 从 O 点开始作平行移动，到A 点 为止．设直线l 与x 轴的交点为 M ，OM ＝x ，记梯形被直线l 截
7
得的在l 左侧的图形的面积为y ．求函数y ＝f(x) 的解析式、定义域、值域以及f [f (的值．
211
解：（1）当0≤x ≤2时，图形为等腰直角三角形，y ＝⋅x ⋅x 2；
22
（2）当2＜x ≤4时，图形为一个直角梯形，它又可以分割成一个等腰三角形(确定的) 与一1
个矩形，y ＝⋅2⋅2＋(x －2) ⋅2＝2x －2；
2
（3）当4＜x ≤6时，图形为一个五边形，它可看作是原梯形去掉一个等腰直角三角形(位于直线右侧) ，y ＝
111
(6＋2) ⋅2－(6－x ) 2＝－x 2＋6x －10．于是y ＝f (x ) ＝222
⎧⎪
⎨⎪⎩
12
x ，0≤x ≤2，2
2x －2，2
－x 2＋6x －10，4
并且函数y ＝f (x ) 的定义域是[0，6]．
又当0≤x ≤2时，y ∈[0，2]；当2＜x ≤4时，y ∈(2，6]；当4＜x ≤6时，y ∈(6，8]．所以函数的值域是[0，8]．
715 f [f (＝f (5)＝．
22
点评：求函数表达式时，若不同情形下，表达式不同，就需要用分段函数来表达．另外，由
实际问题确定的函数，还应注意函数的定义域往往会受实际问题的约束．
三、课堂小结
（1）函数三种表示方法：解析法、列表法、图象法．
(2) 在定义域的不同部分上，有不同的解析式，这样的函数叫做分段函数．分段函数是一个函数，每一段及其他的解析式只是这个函数整体的一部分.
四、课后作业
（1）P32练习2、4；（2）P32习题4，9．
函数的表示方法（二）
三维目标
1．知识与技能
（1）体会简单复合函数的含义，会求简单的复合函数的定义域；
（2）根据条件能用配凑法或换元法，代定系数法求一些函数的解析式． 2．过程与方法
能够利用函数的解析式进行合理的推理，培养比较、分析、综合及抽象和概括能力． 3．情感、态度与价值观
培养学生善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质。
重点难点
1．教学重点
会求一些函数的解析式 2．教学难点
对于复合函数及其定义域的理解
教学过程
一、情境创设
如何理解函数f (x ＋1) 和函数f (x ) 之间的关系？请结合具体函数加以说明． 二、讲解新课
例1已知一次函数f (x ) 满足f [f (x )]＝9＋4x ，求f (x ) 的解析式． 解：令f (x ) ＝ax ＋b ，
则f [f (x )]＝a 2x ＋(a ＋1) b ＝4x ＋9， 又f [f (x )]＝9＋4x ，
所以 a 2＝4，即a ＝±2．
当a ＝2时，b ＝3，f (x ) ＝2x ＋3；
当a ＝－2时，b ＝－9，f (x ) ＝－2x ＋9．
点评：在已知函数解析式的形式的条件下，通常可用待定系数法求解析式，先设出函数的解析式，再根据条件找出有关参数的方程或方程组，最后解得参数的值，从而求出函数的解析式．
例2分别在下列条件下，求出相应的函数f (x ) 的解析式： 11
（1）f (x ＋1) ＝x 2＋x ； （2）f (x －＝x 2＋
x x （3）f x ＋1) ＝x ＋2x ．
解：（1）令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，
所以f (t ) ＝(t －1) 2＋(t －1) ＝t 2－t ． 再把t 换成x 得f (x ) ＝x 2－x (x ∈R ) ． 11
（2）由条件可得f (x －) ＝(x －) 2＋2，
x x 1
用x 替换x －得
x 所以 f (x ) ＝x 2＋2(x ∈R ) ．
（3）解法1：
f x ＋1) ＝x ＋2+1－1＝(x +1) 2-1，
故 f (x ) ＝x 2—1．（x ≥1）)
解法2： 令x ＋1＝t ，则x ＝(t —1) 2，（t ≥1）．
代入已知条件得
f (t ) ＝t 2—1．
把t 换成x 得
f (x ) ＝x 2—1．（x ≥1）．
点评：已知f [g (x )]的解析式，求f (x ) 的解析式，通常有以下两种解法：①换元法，即令g (x ) ＝t ，用t 表示x ，代入已知表达式得f (t ) ，最后把t 换成x ，从而得f (x ) 的解析式（如例2（1）和（3）解法2）②配凑法，即把f [g (x )]的表达式还原成用g (x ) 表示的形式，最后把g (x ) 换成x 而求出f (x ) 的解析式（如例2（2）和（3）解法1）
要特别提醒的是：在利用这两种方法求函数解析式时，需要注明自变量x 的取值范围，否则就得不到正确的解析式．
例3 若f (x ) ＝2x －1，g (x ) ＝ x 2，则f (g (x )) ＝_______ ，g (f (x )) ＝_______ ，f (f (x )) ＝，g (g (x )) ＝．
例4
（1）已知函数f (x ) 的定义域是[0，1]，求函数f (x ＋1) 的定义域；
（2）已知函数f (x ＋1) 的定义域是[0，1]，求函数f (x ) 的定义域．
解：无论函数f (x ) ，还是函数f [g(x )]的定义域，均是指其中自变量x 的取值范围．
（1）f (x ＋1) 中自变量x 应满足0≤x ＋1≤1，即其定义域为[－1，0]；
（2）由于函数f (x ＋1) 的定义域是[0，1]，即其中0≤x ≤1，则1≤x ＋1≤2，即函数f (x ) 的定义域为[1，2] ．
注：一般地，若函数f [g (x )]的定义域为D ，则函数f (x ) 的定义域为函数y ＝g (x ) ，（x ∈D ）的值域；若函数f (x ) 的定义域为D ，则函数f [g (x )]的定义域为不等式g (x ) ∈D 的解集．
三、课堂小结
（1）求f (x ) 的解析式，通常有以下两种解法：①换元法，②配凑法.
(2) 复合函数定义域是指其中自变量x 的取值范围.
四、课后作业
（1）设函数f (x ) ＝2x －1，则f (x +1)＝ ，f (f (x )) ＝ ．
（2）若函数f (x ) 的定义域为[0，2]，则函数f (x ＋2) 的定义域为
（3）已知函数f (x ) 2x -5，则函数f (2x —1) 的定义域为 ．
（4）若函数f (x 2) 的定义域为[－1，2]，则函数f (x ＋1) 的定义域为． 及P33习题10，13．
2.1.1 函数的概念和图象（一）
三维目标
1．知识与技能
（1）能利用集合与对应关系的语言来刻画函数 （2）了解函数的定义域及对应法则的含义 2．过程与方法
经历函数概念的发生过程，并归纳函数的概念，提高学生解决问题的能力和语言表达能力．
3．情感、态度与价值观
在探索函数本质的过程中, 体会函数是刻画现实世界中的一类运动变化规律的模型, 使学生养成运用无限运动、发展、变化的观点认识客观世界的思维习惯．
重点难点
1．教学重点
利用集合与对应关系的语言来刻画函数 2．教学难点
对应法则f 的理解
教学过程
一、创设情境
我们生活在这个世界上，每时每刻都在感受其变化．请大家看下面的实例：
（1）一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，炮弹距地面高度h （米）随时
间t （秒）的变化而变化，其规律是h =130t -5t 2．
（2）近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积随时间变化而变化情况．
（3）国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低．从下表中的数据，可以看出“八五”计划以来我们城镇居民的生活质量发生了显著的
二、讲解新课
问题1：在上面的每一个变化过程中，存在哪些变化的量？这些变化过程有什么共同的特点？
问题2：在上面的例子中，是否确定了函数关系？为什么？ 问题3：如何用集合的观点来理解函数的概念？
每一个问题均涉及两个非空数集A 、B 的关系．存在某种对应法则f ，对于A 中的某个元素x ，B 中总有一个元素y 与之对应．
问题4：如何理解对应法则f
问题5．如何用集合的观点来表述函数的概念？
给出函数的定义．指出对应法则和定义域是构成一个函数的要素．
一般地，设 A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则 f ，对于集合A 中的每一个元素 x ，在集合B 中都有惟一的元素 y 和它对应，这样的对应叫做从A 到 B 的一个函数(f un c tion) ，通常记为y ＝f (x ) ，x ∈A ．
其中，所有的输入值 x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x ) 的定义域(d om a in) ． 函数的近代定义：集合语言、对应的观点． 在掌握函数时，必须把握以下几点：
（1）函数是一种特殊的对应f ：A →B ，集合A ，B 是非空的数的集合． （2）对应法则的方向是从A 到B ． （3）特别注意“非空”、“数集”、“每一个”、“惟一”这几个关键词．
例1 判断下列对应是否为集合A 到 B 的函数： （1）A ＝｛1，2，3，4，5｝，B ＝｛0，2，4，6，8｝， x ∈A ，f ：x →2x ； （2）A ＝R ，B ＝R ，x ∈A ，f ：x →y ，y ＝x ；
（3）A ＝[0，＋∞) ，B ＝R ，x ∈A ，f ：x →y ，y 2＝x ．
解（1）对于集合A 中的元素5，在集合B 找不到中所对应的元素10，故这个对应不是从集合A 到 B 的函数；
（2）对于任意一个实数x ，x 被x 惟一确定，所以这个对应是从集合A 到 B 的函数，这个函数也可以表示为 f (x ) ＝x ；
（3）考虑输入值为4，即当x ＝4 时输出值y ，由y 2＝4给出，得y ＝2和 y ＝－2．这里一个输入值与两个输入值对应（不是单值对应），所以，x →y （y 2＝x ）不是函数．
研究函数时，除了符号f (x ) 外，还常用g (x ) ，F (x ) ，G (x ) 等符号表示． 例2 已知函数f (x )=3x 2-5x +2，求f (3)、f (2) 、f (a ) 、f (a +1)． 分析 求x 分别等于3、-、a 、a +1时函数f (x ) 的值． 解 f (3)=3×32-5×3+2=14，
f (-2)=3×(2) 2-5×(-2)+2=8+52， f (a )=3a 2-5a +2，
f (a +1)=3(a +1)2-5(a +1)+2=3a 2+a ．
说明：区别符号f (x ) 和f (a ) ，f (a ) 表示x ＝a 时函数f (x ) 的值，而f (x ) 是一个函数．
三、课堂小结
1．函数的集合观点的概念及其与初中的定义的区别.
2．符号y ＝f (x ) 是“y 是x 的函数”的抽象的数学表示，f 是对应法则，它可以是解析式，也可以是图象、表格．
四、课后作业
（1）P24练习Ex 5，6；P28习题 1，2，5．
函数的概念和图象（二）
三维目标
1．知识与技能
（1）进一步加深对函数概念的理解； （2）掌握同一函数的标准；
（3）了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域． 2．过程与方法
经历求函数定义域及值域的过程，提高学生解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观
培养学生勇于探索，善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质。
重点难点
1．教学重点
能熟练求解常见函数的定义域和值域． 2．教学难点
对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．
教学过程
一、创设情境
下列函数f (x ) 与g(x ) 是否表示同一个函数？为什么？
（1）f (x ) ＝ (x －1) 0；g(x ) ＝1 ； （2） f (x ) ＝x ；g(x ) ＝；
、
（3）f (x ) ＝x 2；g(x ) ＝(x + 1) 2 ； （4） f (x ) ＝|x |；g(x ) ＝x ． 二、讲解新课
总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同 例1 求下列函数的定义域：
（1）y =x -1⋅x +1； （2）y =
1
(x +1) 0x |-x
；
12-x
1． x
（3）y =
x 2-3
+5-x 2； （4）y =2x +3-
+
分析 一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．
解 （1）由⎨
⎧x -1≥0, ⎧x ≥1,
得⎨即x ≥1，故函数y =x -1⋅x +1的定义域是[1，+∞) ．
⎩x +1≥0, ⎩x ≥-1,
⎧x +1≠0, ⎧x ≠-1, (x +1) 0
（2）由⎨得⎨ 故函数y =是{x |x
|x |-x >0, x
2⎧⎧⎪x -3≠0, ⎪x ≠±,
（3）由⎨得⎨即-≤x ≤且x ≠±，
2
⎪⎪5-x ≥0, ⎩⎩-≤x ≤,
故函数的定义域是{x|-≤x ≤且x ≠±3}．
3⎧
x ≥-, ⎪⎧2x +3≥0, 2⎪3⎪
（4）由⎨2-x >0, 即⎨x
2⎪x ≠0⎪x ≠0,
⎩⎪
⎩
故函数的定义域是{x |-
3
≤x ＜2，且x ≠0}． 2
说明 求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x 的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：
① 分式中，分母不等于零．
② 偶次根式中，被开方数为非负数．
③ 对于y =x 0中，要求 x ≠0．
若A 是函数y =f (x ) 的定义域，则对于A 中的每一个x ，在集合B 都有一个值输出值y 与之对应．我们将所有的输出值y 组成的集合称为函数的值域．
因此我们可以知道：对于函数f ：A
B 而言，如果如果值域是C ，那么C ⊆B ，
因此不能将集合B
当成是函数的值域．
我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．
例2．求下列两个函数的定义域与值域：
（1）f (x )=(x -1) 2+1，x ∈{-1，0，1，2，3}； （2）f (x )=( x-1) 2+1．
解（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，
f (-1)= 5，f (0)=2，f (1)=1，f (2)=2，f (3)=5， 所以这个函数的值域为{1，2，5}．
（2）函数的定义域为R ，因为(x -1) 2+1≥1，所以这个函数的值域为{y ∣y ≥1} 说明 通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我们称为观察法． 例3 求下列函数的值域：
（1）y =x 2-4x +6，x ∈[1，5) ； （2）y =
3x -1
； x +1
解：（1）y =(x -2) 2+2．
作出函数y =x 2-4x +6，x ∈[1，5) 数的值域为{y |2≤y ＜11}．
的图象，由图观察得函
（2）解法一：y =域为｛y |y ≠3｝．
3(x +1) -444
，显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值=3-
x +1x +1x +13x -1
看成关于x 的方程，变形得(y －3) x ＋(y ＋1) ＝0，该方程在原函数x +1
解法二：把y =
定义域｛x |x ≠－1｝内有解的条件是 ⎧⎪y －3≠0，⎨y ＋1，解得y ≠3，即即所求函数的值域为｛y |y ≠3｝． －≠－1⎪⎩y －3点评：（1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法；
（2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先配方，找出对称轴，在对照图象观察．
三、课堂小结
（1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同
（2）求解函数值域问题主要有两种方法：一是根据函数的图象和性质（或借助基本的函数的值域）由定义域直接推算；二是对于分式函数，利用分离常数法得到y 的取值范围．
四．课后作业
（1）P25练习7；
（2）求下列函数的值域： （1）y =
2x -1
；（2）y =-x 2+2x +3, x ∈(-1，6]．（3）y =3-|2x +1|． x +1
函数的概念和图象（三）
三维目标
1．知识与技能
（1）能根据函数的解析式利用描点法作出常见函数的图象；
（2）能利用基本初等函数图象结合图象变换作出所求函数的图象． 2．过程与方法
通过作出函数的图象，渗透数形结合的思想． 3．情感、态度与价值观
培养学生勇于探索，善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质。
重点难点
1．教学重点
根据函数的解析式利用描点法作出常见函数的图象； 2．教学难点
函数图象可以是一些点、一些线段、一段曲线等，利用图象变换作出所求函数的图象．
教学过程
一、情境创设
下列图象哪些是函数图象？那些不是？为什么？
二、讲解新课
例1试画出下列函数的图象：
3x -1
（1）y ＝1≤x ≤2，且x ∈Z ) ；（2）y ＝|2x －1|；
2（3）y ＝x 2－4x +3(1≤x ≤3) ．
解：图象如下：
（1） （2） （3）
点评：做函数的图像，主要是描点法，要注意函数的定义域，如（1），定义域是一些整数构成的集合，图像是一些孤立的点，如（3），图像是一抛物线的一部分．
例2作出下列函数的图象：
x
（1）y ＝； （2）y ＝|x 2－2x －3|．
x ＋1
x 11
解：（1） y ＝＝1－，此函数图象可看作把函数y ＝－1个单位，
x x ＋1x ＋1再向上平移1个单位所得．
⎧x 2－2x －3，x ≤－1或x ≥3，
（2）y ＝|x －2x －3|＝⎨ 2
⎩－(x －2x －3) ，－1＜x ＜3．
2
分别作出图象如下：
（2）
点评：函数y ＝f (x ) 的图象和函数y ＝－f (x ) 的图象关于x 轴对称；函数y ＝|f (x )|的图象可以看作将y ＝f (x ) 的图象在x 轴下方的部分对折到x 轴上方（并保持在x 轴上方的图象不变）得到．
三、课堂小结
（1）列表、描点法是我们作出函数图象的基本方法．
（2）函数的图象不一定都是连续的曲线，可以是一些离散的点, 也可以是一段曲线. （3）有时利用图象变换作出函数的图象，常见的变换有平移变换(包括左右平移、上下平移) 、对称变换(包括关于直线对称、关于点对称) ．以后还要学习到伸缩变换、旋转变换等．
四、课后作业 （1）P28练习2；（2）P29习题3，5，7，8，9．
函数的表示方法（一）
三维目标
1．知识与技能
（1）掌握函数三种表示方法并能在实际情况中根据不同的需要选择恰当的表示方法； （2）能够将函数的三种表示方法相互转化；
（3）通过具体实例了解简单的分段函数，并能简单应用． 2．过程与方法
经历函数的三种表达方式，培养比较、分析、综合的能力． 3．情感、态度与价值观
培养学生善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质。
重点难点
1．教学重点
理解函数的三种表示方法； 2．教学难点
对于分段函数的理解
教学过程
一、情境创设
某型号彩电单价为3100元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})台彩电需要y 元．试用三种表示法表示函数y ＝f (x ) ． 二、讲解新课
一 列表法：用列出表格来表示两个变量的函数关系。
海尔某型号彩电单价为3100元，买彩电的台数x 与付款款额y 的函数关系如下表示
列表格的方法很直观地反映了彩电的台数与付款款额的关系，如3台则是18600元，但这种表示方法一般不完整，如某单位要买15台，需付的款额表中就没有，如何得到款额呢？ 可以用一个表达式y =3100x
来表示. 令x =15，可得到款额数
前者表示函数的方法叫做列表法，后者表示函数的方法叫解析法，
列表法优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值, 缺点：但表示方法一般不完整
解析法优点：简明、全面的概括了变量之间的关系，可以求出任意一个自变量的值所对应的函数值，
缺点：抽象、不直观
图像法：
优点：直观形象地表示出函数值的变化情况。 缺点：不准确 以上是函数的三种表示方法
请同学举出生活中或者以前的学习中所接触的函数的表示法 例如银行利率表、列车时刻表等等，一般的，“离散型”问题常用列表法 又如股票图等，用图象法则有效的反映了两个变量之间的关系，
例1某洗衣店中，每洗一次衣服需要付费4元，若在这一家店洗衣10次，则其后可以免费洗一次，若某人在这店中洗了15次衣服． （2）写出当n ≤15时函数的解析式． 当洗衣次数11≤n ≤15（n ∈N *）时，c ＝4(n —1) ．
⎧4n , 1≤n ≤10且n ∈N c =⎨ 即 ．
4(n -1), 11≤n ≤15且n ∈N ⎩
在定义域的不同部分上，有不同的解析式，这样的函数叫做分段函数．分段函数是一个函数，
每一段及其他的解析式只是这个函数整体的一部分.
例2 如图，梯形OABC 各顶
点的坐标分别为O (0，0) ，
A (6，0) ，B (4，2) ，C (2，2) ． 一条与y 轴平行的动直线l 从 O 点开始作平行移动，到A 点 为止．设直线l 与x 轴的交点为 M ，OM ＝x ，记梯形被直线l 截
7
得的在l 左侧的图形的面积为y ．求函数y ＝f(x) 的解析式、定义域、值域以及f [f (的值．
211
解：（1）当0≤x ≤2时，图形为等腰直角三角形，y ＝⋅x ⋅x 2；
22
（2）当2＜x ≤4时，图形为一个直角梯形，它又可以分割成一个等腰三角形(确定的) 与一1
个矩形，y ＝⋅2⋅2＋(x －2) ⋅2＝2x －2；
2
（3）当4＜x ≤6时，图形为一个五边形，它可看作是原梯形去掉一个等腰直角三角形(位于直线右侧) ，y ＝
111
(6＋2) ⋅2－(6－x ) 2＝－x 2＋6x －10．于是y ＝f (x ) ＝222
⎧⎪
⎨⎪⎩
12
x ，0≤x ≤2，2
2x －2，2
－x 2＋6x －10，4
并且函数y ＝f (x ) 的定义域是[0，6]．
又当0≤x ≤2时，y ∈[0，2]；当2＜x ≤4时，y ∈(2，6]；当4＜x ≤6时，y ∈(6，8]．所以函数的值域是[0，8]．
715 f [f (＝f (5)＝．
22
点评：求函数表达式时，若不同情形下，表达式不同，就需要用分段函数来表达．另外，由
实际问题确定的函数，还应注意函数的定义域往往会受实际问题的约束．
三、课堂小结
（1）函数三种表示方法：解析法、列表法、图象法．
(2) 在定义域的不同部分上，有不同的解析式，这样的函数叫做分段函数．分段函数是一个函数，每一段及其他的解析式只是这个函数整体的一部分.
四、课后作业
（1）P32练习2、4；（2）P32习题4，9．
函数的表示方法（二）
三维目标
1．知识与技能
（1）体会简单复合函数的含义，会求简单的复合函数的定义域；
（2）根据条件能用配凑法或换元法，代定系数法求一些函数的解析式． 2．过程与方法
能够利用函数的解析式进行合理的推理，培养比较、分析、综合及抽象和概括能力． 3．情感、态度与价值观
培养学生善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质。
重点难点
1．教学重点
会求一些函数的解析式 2．教学难点
对于复合函数及其定义域的理解
教学过程
一、情境创设
如何理解函数f (x ＋1) 和函数f (x ) 之间的关系？请结合具体函数加以说明． 二、讲解新课
例1已知一次函数f (x ) 满足f [f (x )]＝9＋4x ，求f (x ) 的解析式． 解：令f (x ) ＝ax ＋b ，
则f [f (x )]＝a 2x ＋(a ＋1) b ＝4x ＋9， 又f [f (x )]＝9＋4x ，
所以 a 2＝4，即a ＝±2．
当a ＝2时，b ＝3，f (x ) ＝2x ＋3；
当a ＝－2时，b ＝－9，f (x ) ＝－2x ＋9．
点评：在已知函数解析式的形式的条件下，通常可用待定系数法求解析式，先设出函数的解析式，再根据条件找出有关参数的方程或方程组，最后解得参数的值，从而求出函数的解析式．
例2分别在下列条件下，求出相应的函数f (x ) 的解析式： 11
（1）f (x ＋1) ＝x 2＋x ； （2）f (x －＝x 2＋
x x （3）f x ＋1) ＝x ＋2x ．
解：（1）令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，
所以f (t ) ＝(t －1) 2＋(t －1) ＝t 2－t ． 再把t 换成x 得f (x ) ＝x 2－x (x ∈R ) ． 11
（2）由条件可得f (x －) ＝(x －) 2＋2，
x x 1
用x 替换x －得
x 所以 f (x ) ＝x 2＋2(x ∈R ) ．
（3）解法1：
f x ＋1) ＝x ＋2+1－1＝(x +1) 2-1，
故 f (x ) ＝x 2—1．（x ≥1）)
解法2： 令x ＋1＝t ，则x ＝(t —1) 2，（t ≥1）．
代入已知条件得
f (t ) ＝t 2—1．
把t 换成x 得
f (x ) ＝x 2—1．（x ≥1）．
点评：已知f [g (x )]的解析式，求f (x ) 的解析式，通常有以下两种解法：①换元法，即令g (x ) ＝t ，用t 表示x ，代入已知表达式得f (t ) ，最后把t 换成x ，从而得f (x ) 的解析式（如例2（1）和（3）解法2）②配凑法，即把f [g (x )]的表达式还原成用g (x ) 表示的形式，最后把g (x ) 换成x 而求出f (x ) 的解析式（如例2（2）和（3）解法1）
要特别提醒的是：在利用这两种方法求函数解析式时，需要注明自变量x 的取值范围，否则就得不到正确的解析式．
例3 若f (x ) ＝2x －1，g (x ) ＝ x 2，则f (g (x )) ＝_______ ，g (f (x )) ＝_______ ，f (f (x )) ＝，g (g (x )) ＝．
例4
（1）已知函数f (x ) 的定义域是[0，1]，求函数f (x ＋1) 的定义域；
（2）已知函数f (x ＋1) 的定义域是[0，1]，求函数f (x ) 的定义域．
解：无论函数f (x ) ，还是函数f [g(x )]的定义域，均是指其中自变量x 的取值范围．
（1）f (x ＋1) 中自变量x 应满足0≤x ＋1≤1，即其定义域为[－1，0]；
（2）由于函数f (x ＋1) 的定义域是[0，1]，即其中0≤x ≤1，则1≤x ＋1≤2，即函数f (x ) 的定义域为[1，2] ．
注：一般地，若函数f [g (x )]的定义域为D ，则函数f (x ) 的定义域为函数y ＝g (x ) ，（x ∈D ）的值域；若函数f (x ) 的定义域为D ，则函数f [g (x )]的定义域为不等式g (x ) ∈D 的解集．
三、课堂小结
（1）求f (x ) 的解析式，通常有以下两种解法：①换元法，②配凑法.
(2) 复合函数定义域是指其中自变量x 的取值范围.
四、课后作业
（1）设函数f (x ) ＝2x －1，则f (x +1)＝ ，f (f (x )) ＝ ．
（2）若函数f (x ) 的定义域为[0，2]，则函数f (x ＋2) 的定义域为
（3）已知函数f (x ) 2x -5，则函数f (2x —1) 的定义域为 ．
（4）若函数f (x 2) 的定义域为[－1，2]，则函数f (x ＋1) 的定义域为． 及P33习题10，13．