八下提优第8讲
【例题精讲】
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1．正比例函数y ＝－2x 与反比例函数y ＝
k
的图象相交于A （m ，2），B 两点．则点B 的坐标是（）A ．（－2，1）B ．（－1，2）C ．（1，－2）D ．（2，－1）
2．向高为H 的圆柱形水杯中注水，已知水杯底面半径为2，那么注水量y 与水深x 的函数
图像是（）
3. 在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（－2，4）、（－5，2），点M 是x 轴上的点，点N 是y 轴上的点，如果以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为是平行四边形，那么符合条件的点M 有（）
A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为(3，4) ，顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数
y ＝A ．12
(x >0)的图象经过顶点B ，则k 的值为
B ．20
C ．24
D ．
32
（
）
5．如图，正比例函数y 1与反比例函数y 2相交于点E (－1，2) ，若y 1>y 2>0，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（
）
6．如图，将矩形纸片ABCD 的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝12厘米，EF ＝16厘米，则边AD 的长是（）A ．12厘米B ．16厘米C ．20厘米D ．28厘米7．在反比例函数y
4
的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）
A ．B ．C ．D
．
8. 已知y =y 1+y 2, 其中y 1与
12
成反比例, 且比例系数为
k
1
, 而y 2与x 成正比例, 且比例系数x
（
C 、k 1-k 2=0
）
为k 2若x ＝-1时, y =0,则k 1、k 2的关系是A 、k 1+k 2=0
B 、k 1k 2=1
D 、k 1k 2=-1
9．若反比例函数y =(2m -1) x A . －1或1
B . 小于
m 2-2
的图像在第二、四象限，则m 的值是
C . －1
（）
1
的任意实数2
D . 不能确定
10．如图，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝－
y =
2
的图像交于点A 和点B ．若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的x
（
B ．4
C ．5
D ．6
）
4和x
面积为A ．3
11．反比例函数y =A ．1
k
在第一象限的图像如图所示，则整数k 的值可能是（x
B ．2
C ．3
D ．4
）
12．如图，过点C （1,2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y =-x +6于A 、B 两点，若反比例函数y =
k
（x ＞0）的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是x
A ．2≤k ≤9B . 2≤k ≤8C . 2≤k ≤5
（）
D . 5≤k ≤8
13. 如图，函数y 1=x －1和y 2=值范围是
A ．－1＜x ＜0或x ＞2
2
的图像交于点M (2，m ) ，N (－1，n ) ，若y 1 y 2，则x 的取x
（
B ．x ＜－1或x ＞2D ．x ＜－1或0＜x ＜2
）
C ．－1＜x ＜0或0＜x ＜2
1
y
A C
D
O
B
x
）
14. 如图，若反比例函数y =k 的图像与边长为10的等边三角形AOB 的边OA 、AB 分别相
x
交于C 、D 两点，且OC=3BD ，则实数k 的值为A ．23
B ．43
C ．83
（
）D ．93
15．若点(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ，(x 3，y 3) 都是反比例函数y =
且x 1＜0＜x 2＜x 3，则下列各式正确的是A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1
1
的图像上的一点，x
（）
C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 1＜y 3＜y 2
16. 如图，在平面直角坐标系中，A （-3，1），以点O 为顶点作等腰直角三角形AOB ，
双曲线当
在第一象限内的图象经过点B ．设直线AB 的解析式为时，x 的取值范围是
（
）
，
A ．-5＜x ＜1；B ．0＜x ＜1或x ＜-5；C ．-6＜x ＜1；D ．0＜x ＜1或x ＜-6；
17．如图，在正方形ABCD 中，AD =5，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且AE =FC =3，
BE =DF =4，则EF 的长为（）A ．
；
B ．
；
C ．
；D ．
；
18．如图，平面直角坐标中，点A （1，2），将AO 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应B 点恰好落在双曲线y =（x ＞0）上，则k 的值为
（
）
A ．2B ．3C ．4D ．
6
19．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，D 为AB 边上一动点，E 为平面内一点，
以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形，则DE 的最小值为（）
A ．
2
B ．
2
C ．
3
D ．2
A
D
B
20．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/
小时，根据题意，得
（A
．C ．
B ．D ．
）
21．如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x
的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是
（
）
A ．10B ．16C ．18D ．20
22．如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若AC ＝8，BD ＝6，且OE ⊥AB ，垂足为E ，则△BOE 的周长是（
A ．2.4
E
）B ．4.8
C ．8.2
D ．10
A C
23．如图，平行四边形ABCD 的顶点A 的坐标为（﹣，0），顶点D 在双曲线y =（x ＞0）
上，AD 交y 轴于点E （0，2），且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的3倍，
则k 的值为（）A ．4B ．6C ．7D ．
8
y
C
D B
24．如图，四边形OABC 、BDEF 均为正方形，点A 在x 轴上，点F 在BC 上，点E 在反比
例函数y ＝k ＞0）的图像上，若S 正方形OABC －S 正方形BDEF ＝2，则k 值为（
x A ．1
B ．C ．2
D ．4
）
25. 若反比例函数y =
k -3
的图象在于第一、三象限内，正比例函数y =(k -9) x 过二、．
四象限，则k 的范值是___
26．若直线y =k 1x (k 1≠0) 和双曲线y =
k 2
(k 2≠0) 在同一坐标系内的图象无交点，则b
的图象在第_________象限，并且在每kx
k 1、k 2的关系是_________；
27．直线y =kx ＋b 过一、三、四象限，则函数y =
一个象限内，y 随x 的增大而______________．
28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是正方形，点A ，C 的坐标分别为
（2，0），（0，2），D 是x 轴正半轴上的一点（点D 在点A 的右边），以BD 为边向外作正方形BDEF （E ，F 两点在第一象限），连接FC 交AB 的延长线于点G ．若反比例函数y
=的图象经过点E ，G 两点，则k 的值为______
．
29．向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于
_____
．
30．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，E 为CD 边上一点，∠DAE =30°，M 为AE 的中点，过点M 作直线分别与AD 、BC 相交于点P 、Q ．若PQ =AE ，则AP 等于
cm ．
31．如图，已知E 为□ABCD 内部一点，且AD ＝DE ＝CE ，若∠DEC ＝n °，则∠AEB 的度数为°（用含n 的代数式表示）．
32．已知反比例函数y
9
，当x ≥3时，y 的取值范围是33．若关于x 的分式方程1的解为正数，则m 的取值范围是
x －3x －34－x 34．若关于x 的方程2＝k ＝
x －3x －3
．
k 1k
和y =在第一象限内的图象如图所示，点P 在y =的图象上，11
PC ⊥x 轴于点C ，交y =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y =的图象于点B ，当点P
k
在y =的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的
35．两个反比例函数y =
面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是
（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．
36．如图，矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将一边AD 折叠，使点A 恰好落在边BC 的点
F 处，折痕为DE ，若AB ＝8，BF ＝4，则ED ＝
cm ．
37．如图，菱形ABCD 的面积为120cm 2，正方形AECF 的面积为50cm 2，则菱形的边长为
cm
．
38. 已知函数y =y =x －23的图像交点坐标为P (a ，b ) ，则－=
x a b
39. 若x ＋=3，则2的值是
．
x x ＋x ＋140．若关于x 的分式方程
无解，则
m =
．
41. 如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形三个顶点坐标分别为A （4，0）、B （－1，
0）、C （0，2），则第四个顶点D 的坐标为
A′
．
C B O
A
A
B′
C
B
42. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，BC =2，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得
到△A′B′C，连接AA′，若点B′恰好落在AA′上，则AA′的长为43．如图，在直角坐标系中，正方形的对称中心在原点O ，且正方形的一
组对边与x 轴平行，点P (3a ，－a ) 是反比例函数y =的一个交点，则图中阴影部分的面积为
44. 若点A （－1，y 1）、B （－2，y 2）都在反比例函数y =上，且y 1＜y 2，则m 的取值范围是
．
．
-12
的图像与正方形x
．
2m -11
（m 为常数，m ≠）图象
2x
45．如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点．若AC ＋BD ＝24厘米，△OAB 的周长是18厘米，则EF ＝
厘米．
46. 如图，反比列函数y =
m
的图象与一次函数y =kx +b 的图象交于点M （1，3）、m
N （-3，-1），则不等式＜kx +b 解集为．
47. 如图，点A 在双曲线y =
13
上，点B 在双曲线y =上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，x x
.
若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为
48．若M （2，2）和N （b ，-1-n 2）是反比例函数y =的图像不经过第
象限．
k
图像上的两点，则一次函数y =kx +b x
49．若反比例函数y ＝标为6，则b ＝
b -3
和一次函数y ＝3x ＋b 的图像有两个交点，且有一个交点的纵坐．
50. 如图，已知第一象限内的图像是反比例函数y =是反比例函数y =-
1
图像的一个分支，第二象限内的图像x
2
图像的一个分支，在x 轴的上方有一条平行于x 轴的直线l 与它们分别交于点A 、B ，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ．若四边形ABCD 的周长为8且AB ＜AC ，则点A 的坐标为
．
51. 如图，直线y =2x -6与反比例函数y =
k
(x >0) 的图像交于点A （4，2），与x 轴交于点B ．点C 在x 轴上，且△ABC 为等腰三角形，则点C 的坐标是____________________．
52．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（（1，0）、0，3），以AB 为边在
k
（k ≠0）的图象上，将正方形沿x 轴负k
半轴方向平移m 个单位长度后，点C 恰好落在反比例函数y =（k ≠0）的图象上，则m
第一象限作正方形ABCD ，点D 在反比例函数y =的值是
．
53．如图，菱形ABCD 的边长为4，∠DAB =60°，E 为BC 的中点，在对角线AC 上存在一点P ，使△PBE 的周长最小，则△PBE 的周长的最小值为．54．一次函数y ＝k x ＋b 与反比例函数y ＝
x y ＝k x ＋b y ＝
x
则不等式
………
－3
－2
中，若x 与y 的部分对应值如下表：x －1
11
－3
20
－
3
－1－1
………
51
42
33
2
k x ＋b 的解x
55. 两个反比例函数在函数
，在第一象限内的图像如图所示，点
，
，
，…，
，，，…，
的图像上，它们的横坐标分别是
，（.
，纵坐标分别是1，3，
5，…，共2013个连续奇数，过点的图像交点依次是则
（
，
），
，，…，，
），
（
分别作y 轴的平行线，与函数，
），…，
（
，
），
56. 如图，直线y =-3x +3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，以线段AB 为边，在第一象限内作正方形ABCD ，点C 落在双曲线单位长度，使点D 恰好落在双曲线
（k ≠0）上，将正方形ABCD 沿x 轴负方向平移个（k ≠0）上的点
处，则=
．
C
E
D A
P
B
57．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝BC =2．点P 是AB 上的一个动点（不与点A 、
B 重合），PD ⊥AC 于点D ，PE ⊥BC 于点E ，连结DE ．在点P 的运动过程中，下列结论：①AD ＝CE ；②四边形PDCE 的周长随点P 的运动而变化；③DE 长的最小值为2．其中，正确的结论有（填写所有正确结论的序号）
．
58．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =得到△MNC ，连接BM ，则BM 的长是
，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°，
．
在直角坐标系中，有如图所示的Rt △ABO ，斜边AO =10，直角边AB =6，59．AB ⊥x 轴于点B ，反比例函数y
=（x ＞0）的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ，则点D 的坐标为
．
60．直线y =k 1x +b 与双曲线y
=则不等式k 1x ＜
﹣b 的解集是
交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，
．
61．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 如此摆放，点A 的坐标为（－1，0），点B
的坐标为（0，2），点D 在反比例函数y ＝
k ≠0）上．将正方形沿x 轴正方向平移x
m 个单位长度后，点C 恰好落在该函数图象上，则m 的值是
y B
62．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y =3x 与反比例函数y =的图象交于A ，B 两点，点A 的横坐标为2，AC ⊥x 轴，垂足为C ，连接BC ．（1）求反比例函数的表达式；（2）求△ABC 的面积；
（3）若点P 是反比例函数y =图象上的一点，△OPC 与△ABC 面积相等，请直接写出点P
的坐标．
63．已知a ，b 满足关系式
10a 5
．（1）用含b 的代数式表示a ；
（2）①若点（a ，b ）在反比例函数y ＝x
a 、b 的值；
②若a 、b 均为整数，且点（a ，b ）在反比例函数y ＝x
k ＝
64．如图，在菱形ABCD 中，M 是AD 边上一点．
（1）用尺规完成下列作图：把射线BM 绕点B 顺时针旋转B 的大小，与CD 边交于
2
点N ，连结MN ．（保留作图痕迹，不写作法）（2）直接写出AM ，CN ，MN 满足的数量关系．
66．如图，已知点M 、N 分别为▱ABCD 的边CD 、AB 的中点，连接AM 、CN ．（1）判断AM 、CN 的位置关系，并说明理由；
（2）过点B 作BH ⊥AM 于点H ，交CN 于点E ，连接CH ，判断线段
CB 、CH 的数量关系，并说明理由．
67．已知点A 在反比例函数y ＝A 、B 关于原点O 对称．
x
（1）求证：点B 在反比例函数y ＝x
（2）若点C 满足AC ⊥x 轴，BC ⊥y 轴，求证：△ABC 的面积为定值．
68．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 图像与反比例函数y ＝A 、
x
B 两点，BC ⊥x 轴于点C ．已知A 点的坐标是（4，－1），OC ＝2．（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）直接写出方程kx ＋b ＝2的解集．
x x
y
B C
O
x
A
69．某工程队要修路300米，在按原计划进度修了60米后，由于效率提高，实际
每天所修路的长度比原计划进度增加20%，结果共用了13天完成任务，则该工程队原计划每天修路多少米？
70．如图所示，在菱形ABCD 中，AB =8cm ，∠BAD =120°，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的两个动点，E 点从点B 向点C 运动，F 点从点D 向点C 运动，设点E 、F 运动的路径长分别是acm 和bcm ．
（1）请问当a 和b 满足什么关系时，△AEF 为等边三角形？并说明理由；
（2）请问在（1）的条件下，四边形AECF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值；
（3）在（1）的条件下，求出△CEF
的面积最大值．
71．剪一个面积是4cm 2的矩形纸片，设其中一边长为x cm ，另一边长为y cm ，
(1)写出y 与x 的函数关系式，并在直角坐标系中画出它的图像；
(2)能否制作出一个周长为12，面积是4的矩形纸片？如果可以，请在直角坐标系中画出符合条
件的所有矩形；如果不可以，请说明理由．．．
y
O
x
72. 在矩形ABCD 中，AD =5，AB=7，点E 为DC 上一个动点（点E 不与点D 、C 重合），把△ADE 沿AE 折叠，点D 的对应点为D ′.（1）如图（1），若点D ′落在AB 上，则DE =；（2）如图（2），若点D ′落在∠ABC 的平分线上，求DE 的长；
73．如图，一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =A 点坐标为（4，3）。（1）求出两函数解析式；
m
的图象相交于A 、B 两点，已知（2）根据图象回答：当x
为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值
74．已知：正比例函数y =ax 的图像与反比例函数y =（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
k
的图像交于点A (3,2) ．（2）点M (m ，n )是反比例函数图像上的一个动点，其中0
y
B
M
D A
O
o
C
x
75．如图，一次函数y 1＝k 1x ＋2与反比例函数y 2＝
B (－8，－2) ，与y 轴交于点C ．
（1）k 1＝_____________，k 2＝_____________；
（2）根据函数图像可知，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是（3）过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图像上一点．设直线OP
与线段AD 交于点E ，当四边形ODAC 与△DOE 面积之比为6：1时，求点P 的坐标．
k 的图像交于点A (4，m ) 和
76．(12分) 在直角坐标系中，已知Rt △ABC ，∠CAB =90°，AB =AC ，A (－2，0) ，B (0，1) ．(1)写出C (2)将△ABC 沿x 轴的正方向平移b (b >0)个单位长度，在第一象限内B 、C 两点的对应点E 、F 正好落在某反比例函数图像上，求出这个反比例函数和此时直线EF 的解析式；
(3)在(2)的条件下，问是否存在x 轴上的点M 和y 轴上的点N ，使以点E 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．如果存在，请直接写出点M 和点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
77. 【阅读理解】
反比例函数y =k 为常数，k ≠0)的图像是双曲线，其图像具有下列性质：
x 对称性：反比例函数的两支图像关于原点对称．增减性：
当k ＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；
当k ＜0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大.
这些熟悉的性质，能否通过证明得到？
小强首先对反比例函数y =k ＞0）的增减性进行了证明：
x 如图，当x ＞0时，在函数y =
图像上任取两点A 、B ，x
设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，且0＜x 1＜x 2，y 1－y 2=
=x 1x 2x 1x 2
（第27题）
∵0＜x 1＜x 2，∴x 2-x 1＞0，x 1x 2＞0，
又∵k ＞0，∴＞0，即y 1－y 2＞0，∴y 1＞y 2.
x 1x 2即x ＞0时，y 随x 的增大而减小.
同理可证，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小. ∴在每一个象限内，y 随x 的增大而减小. 【初步思考】
（1）请你证明反比例函数y =k ＜0）的增减性.
x
【探索延伸】
（2）分别写出函数y =①增减性：②对称性：证明：
2x ＋3
.
x ＋1
. x ＋1
. .
（3）请直接写出函数y =
78. 已知：在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点，
顺次连接E 、G 、F 、H .
（1）如图，求证：四边形EGFH 是菱形；
（2）当∠ABC 与∠DCB 满足什么关系时，四边形EGFH 为正方形，并说明理由；（3）猜想：∠GFH 、∠ABC 、∠DCB 三个角之间的数量关系.
（直接写出结果）
79. 探索与发现
探索：如图，在直角坐标系中，正方形ABCO 的点B 坐标（4，4），对角线AC 上一动点E ，连接BE ，过E 作DE ⊥BE 交OC 于点D ，连接DE . （1）证明：BE ＝DE ；
小明给出的思路为：过E 作y 轴的平行线交AB ，x 轴于点F 、H . 请完善小明的证明过程.
F
（2）若点D 坐标为（3，0），则点E 坐标为
若点D 坐标为（a ，0），则点E 坐标为
；；
发现：
（3）在直角坐标系中，点B 坐标（5，3），点D 坐标（3，0），找一点E ，使得△BDE 为等腰直角三角形，直接写出点E 坐标.
80．问题提出
如图①，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，将△ABO 绕点A 按逆时针方向旋转25°后得到△AB'O' ，AB' 、AO' 所在的直线分别与BD 交于点M 、N ．探索BM 、MN 、ND 三者之间存在的关系，并证明你的结论．
A
图①
图②
N B
初步思考
（1）小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△AND 绕点A 按顺时针方向旋转90°后得到△AN'B ，连接N'M ．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）
推广运用
（2）如图③，在正方形ABCD 中，E 、F 是边BC 、CD 上的点，且EF ＝EB ＋FD ．AE 、AF 分别与BD 交于点M 、N ．探索BM 、MN 、ND 三者之间存在的关系，并证明你的结论．
A
F
图③
81．四边形ABCD 为正方形，点E 为射线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE ，交射
线BC 于点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．（1）如图1，当点E 在线段AC 上时．①求证：矩形DEFG 是正方形；②求证：AC ＝CE ＋CG ；
（2）如图2，当点E 在线段AC 的延长线上时，请你在图2中画出相应图形，并直接写出AC 、CE 、CG 之间的数量关系；
（3）直接写出∠FCG 的度数．B
B
（图1）
（图1备用图）
B
（图2）
E
82．问题：我们已经知道反比例函数的图像是双曲线，那么函数y ＝的呢？
︱x ︱－3
经验：(1)我们在研究反比例函数的图像和性质的时候是从以下两个方面来探究的：
①由数想形——先根据表达式中x 、y 的数量关系，初步估计图像的基本概貌．如：形状（直线或曲线）；位置（所在区域、．．．．与直线或坐标轴的交点情况）；趋势（上升、下降）、对称性等．．．．．．②描点画图——根据已有的函数画图的经验，利用描点画图．（2）我们知道，函数y ＝x ＋１一支在过点（－1，）且平行于轴的直线的右侧且在x 轴的．．．．．0．．．．．．y ．．．．．．．
上方，另一支在过点（－1，0）且平行于y 轴的直线的左侧且在x 轴的下方．．．
探索：请你根据以上经验，研究函数y ＝
（1）由数想形：（2）描点画图：
︱x ︱－3
列表：
……
x y
……
2
画图：
y
1应用：观察你所画的函数图像，解下答列问题：
（1）若点A （a ，c ），B （b ，c ）为该函数图像上不同的两点，则a ＋b ＝（2）直接写出当
－2时x 的取值范围．
︱x ︱－3
；
83. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =60cm ，∠A =60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm /秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm /秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒（0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE =DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由；（3）当t 为何值时，△DEF
为直角三角形？请说明理由．
八下提优第8讲
【例题精讲】
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1．正比例函数y ＝－2x 与反比例函数y ＝
k
的图象相交于A （m ，2），B 两点．则点B 的坐标是（）A ．（－2，1）B ．（－1，2）C ．（1，－2）D ．（2，－1）
2．向高为H 的圆柱形水杯中注水，已知水杯底面半径为2，那么注水量y 与水深x 的函数
图像是（）
3. 在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（－2，4）、（－5，2），点M 是x 轴上的点，点N 是y 轴上的点，如果以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为是平行四边形，那么符合条件的点M 有（）
A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为(3，4) ，顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数
y ＝A ．12
(x >0)的图象经过顶点B ，则k 的值为
B ．20
C ．24
D ．
32
（
）
5．如图，正比例函数y 1与反比例函数y 2相交于点E (－1，2) ，若y 1>y 2>0，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（
）
6．如图，将矩形纸片ABCD 的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝12厘米，EF ＝16厘米，则边AD 的长是（）A ．12厘米B ．16厘米C ．20厘米D ．28厘米7．在反比例函数y
4
的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）
A ．B ．C ．D
．
8. 已知y =y 1+y 2, 其中y 1与
12
成反比例, 且比例系数为
k
1
, 而y 2与x 成正比例, 且比例系数x
（
C 、k 1-k 2=0
）
为k 2若x ＝-1时, y =0,则k 1、k 2的关系是A 、k 1+k 2=0
B 、k 1k 2=1
D 、k 1k 2=-1
9．若反比例函数y =(2m -1) x A . －1或1
B . 小于
m 2-2
的图像在第二、四象限，则m 的值是
C . －1
（）
1
的任意实数2
D . 不能确定
10．如图，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝－
y =
2
的图像交于点A 和点B ．若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的x
（
B ．4
C ．5
D ．6
）
4和x
面积为A ．3
11．反比例函数y =A ．1
k
在第一象限的图像如图所示，则整数k 的值可能是（x
B ．2
C ．3
D ．4
）
12．如图，过点C （1,2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y =-x +6于A 、B 两点，若反比例函数y =
k
（x ＞0）的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是x
A ．2≤k ≤9B . 2≤k ≤8C . 2≤k ≤5
（）
D . 5≤k ≤8
13. 如图，函数y 1=x －1和y 2=值范围是
A ．－1＜x ＜0或x ＞2
2
的图像交于点M (2，m ) ，N (－1，n ) ，若y 1 y 2，则x 的取x
（
B ．x ＜－1或x ＞2D ．x ＜－1或0＜x ＜2
）
C ．－1＜x ＜0或0＜x ＜2
1
y
A C
D
O
B
x
）
14. 如图，若反比例函数y =k 的图像与边长为10的等边三角形AOB 的边OA 、AB 分别相
x
交于C 、D 两点，且OC=3BD ，则实数k 的值为A ．23
B ．43
C ．83
（
）D ．93
15．若点(x 1，y 1) ，(x 2，y 2) ，(x 3，y 3) 都是反比例函数y =
且x 1＜0＜x 2＜x 3，则下列各式正确的是A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1
1
的图像上的一点，x
（）
C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 1＜y 3＜y 2
16. 如图，在平面直角坐标系中，A （-3，1），以点O 为顶点作等腰直角三角形AOB ，
双曲线当
在第一象限内的图象经过点B ．设直线AB 的解析式为时，x 的取值范围是
（
）
，
A ．-5＜x ＜1；B ．0＜x ＜1或x ＜-5；C ．-6＜x ＜1；D ．0＜x ＜1或x ＜-6；
17．如图，在正方形ABCD 中，AD =5，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且AE =FC =3，
BE =DF =4，则EF 的长为（）A ．
；
B ．
；
C ．
；D ．
；
18．如图，平面直角坐标中，点A （1，2），将AO 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应B 点恰好落在双曲线y =（x ＞0）上，则k 的值为
（
）
A ．2B ．3C ．4D ．
6
19．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，D 为AB 边上一动点，E 为平面内一点，
以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形，则DE 的最小值为（）
A ．
2
B ．
2
C ．
3
D ．2
A
D
B
20．小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/
小时，根据题意，得
（A
．C ．
B ．D ．
）
21．如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x
的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是
（
）
A ．10B ．16C ．18D ．20
22．如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若AC ＝8，BD ＝6，且OE ⊥AB ，垂足为E ，则△BOE 的周长是（
A ．2.4
E
）B ．4.8
C ．8.2
D ．10
A C
23．如图，平行四边形ABCD 的顶点A 的坐标为（﹣，0），顶点D 在双曲线y =（x ＞0）
上，AD 交y 轴于点E （0，2），且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的3倍，
则k 的值为（）A ．4B ．6C ．7D ．
8
y
C
D B
24．如图，四边形OABC 、BDEF 均为正方形，点A 在x 轴上，点F 在BC 上，点E 在反比
例函数y ＝k ＞0）的图像上，若S 正方形OABC －S 正方形BDEF ＝2，则k 值为（
x A ．1
B ．C ．2
D ．4
）
25. 若反比例函数y =
k -3
的图象在于第一、三象限内，正比例函数y =(k -9) x 过二、．
四象限，则k 的范值是___
26．若直线y =k 1x (k 1≠0) 和双曲线y =
k 2
(k 2≠0) 在同一坐标系内的图象无交点，则b
的图象在第_________象限，并且在每kx
k 1、k 2的关系是_________；
27．直线y =kx ＋b 过一、三、四象限，则函数y =
一个象限内，y 随x 的增大而______________．
28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是正方形，点A ，C 的坐标分别为
（2，0），（0，2），D 是x 轴正半轴上的一点（点D 在点A 的右边），以BD 为边向外作正方形BDEF （E ，F 两点在第一象限），连接FC 交AB 的延长线于点G ．若反比例函数y
=的图象经过点E ，G 两点，则k 的值为______
．
29．向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于
_____
．
30．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，E 为CD 边上一点，∠DAE =30°，M 为AE 的中点，过点M 作直线分别与AD 、BC 相交于点P 、Q ．若PQ =AE ，则AP 等于
cm ．
31．如图，已知E 为□ABCD 内部一点，且AD ＝DE ＝CE ，若∠DEC ＝n °，则∠AEB 的度数为°（用含n 的代数式表示）．
32．已知反比例函数y
9
，当x ≥3时，y 的取值范围是33．若关于x 的分式方程1的解为正数，则m 的取值范围是
x －3x －34－x 34．若关于x 的方程2＝k ＝
x －3x －3
．
k 1k
和y =在第一象限内的图象如图所示，点P 在y =的图象上，11
PC ⊥x 轴于点C ，交y =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y =的图象于点B ，当点P
k
在y =的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的
35．两个反比例函数y =
面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是
（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．
36．如图，矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将一边AD 折叠，使点A 恰好落在边BC 的点
F 处，折痕为DE ，若AB ＝8，BF ＝4，则ED ＝
cm ．
37．如图，菱形ABCD 的面积为120cm 2，正方形AECF 的面积为50cm 2，则菱形的边长为
cm
．
38. 已知函数y =y =x －23的图像交点坐标为P (a ，b ) ，则－=
x a b
39. 若x ＋=3，则2的值是
．
x x ＋x ＋140．若关于x 的分式方程
无解，则
m =
．
41. 如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形三个顶点坐标分别为A （4，0）、B （－1，
0）、C （0，2），则第四个顶点D 的坐标为
A′
．
C B O
A
A
B′
C
B
42. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，BC =2，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得
到△A′B′C，连接AA′，若点B′恰好落在AA′上，则AA′的长为43．如图，在直角坐标系中，正方形的对称中心在原点O ，且正方形的一
组对边与x 轴平行，点P (3a ，－a ) 是反比例函数y =的一个交点，则图中阴影部分的面积为
44. 若点A （－1，y 1）、B （－2，y 2）都在反比例函数y =上，且y 1＜y 2，则m 的取值范围是
．
．
-12
的图像与正方形x
．
2m -11
（m 为常数，m ≠）图象
2x
45．如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点．若AC ＋BD ＝24厘米，△OAB 的周长是18厘米，则EF ＝
厘米．
46. 如图，反比列函数y =
m
的图象与一次函数y =kx +b 的图象交于点M （1，3）、m
N （-3，-1），则不等式＜kx +b 解集为．
47. 如图，点A 在双曲线y =
13
上，点B 在双曲线y =上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，x x
.
若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为
48．若M （2，2）和N （b ，-1-n 2）是反比例函数y =的图像不经过第
象限．
k
图像上的两点，则一次函数y =kx +b x
49．若反比例函数y ＝标为6，则b ＝
b -3
和一次函数y ＝3x ＋b 的图像有两个交点，且有一个交点的纵坐．
50. 如图，已知第一象限内的图像是反比例函数y =是反比例函数y =-
1
图像的一个分支，第二象限内的图像x
2
图像的一个分支，在x 轴的上方有一条平行于x 轴的直线l 与它们分别交于点A 、B ，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ．若四边形ABCD 的周长为8且AB ＜AC ，则点A 的坐标为
．
51. 如图，直线y =2x -6与反比例函数y =
k
(x >0) 的图像交于点A （4，2），与x 轴交于点B ．点C 在x 轴上，且△ABC 为等腰三角形，则点C 的坐标是____________________．
52．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（（1，0）、0，3），以AB 为边在
k
（k ≠0）的图象上，将正方形沿x 轴负k
半轴方向平移m 个单位长度后，点C 恰好落在反比例函数y =（k ≠0）的图象上，则m
第一象限作正方形ABCD ，点D 在反比例函数y =的值是
．
53．如图，菱形ABCD 的边长为4，∠DAB =60°，E 为BC 的中点，在对角线AC 上存在一点P ，使△PBE 的周长最小，则△PBE 的周长的最小值为．54．一次函数y ＝k x ＋b 与反比例函数y ＝
x y ＝k x ＋b y ＝
x
则不等式
………
－3
－2
中，若x 与y 的部分对应值如下表：x －1
11
－3
20
－
3
－1－1
………
51
42
33
2
k x ＋b 的解x
55. 两个反比例函数在函数
，在第一象限内的图像如图所示，点
，
，
，…，
，，，…，
的图像上，它们的横坐标分别是
，（.
，纵坐标分别是1，3，
5，…，共2013个连续奇数，过点的图像交点依次是则
（
，
），
，，…，，
），
（
分别作y 轴的平行线，与函数，
），…，
（
，
），
56. 如图，直线y =-3x +3与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，以线段AB 为边，在第一象限内作正方形ABCD ，点C 落在双曲线单位长度，使点D 恰好落在双曲线
（k ≠0）上，将正方形ABCD 沿x 轴负方向平移个（k ≠0）上的点
处，则=
．
C
E
D A
P
B
57．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝BC =2．点P 是AB 上的一个动点（不与点A 、
B 重合），PD ⊥AC 于点D ，PE ⊥BC 于点E ，连结DE ．在点P 的运动过程中，下列结论：①AD ＝CE ；②四边形PDCE 的周长随点P 的运动而变化；③DE 长的最小值为2．其中，正确的结论有（填写所有正确结论的序号）
．
58．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =得到△MNC ，连接BM ，则BM 的长是
，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°，
．
在直角坐标系中，有如图所示的Rt △ABO ，斜边AO =10，直角边AB =6，59．AB ⊥x 轴于点B ，反比例函数y
=（x ＞0）的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ，则点D 的坐标为
．
60．直线y =k 1x +b 与双曲线y
=则不等式k 1x ＜
﹣b 的解集是
交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，
．
61．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 如此摆放，点A 的坐标为（－1，0），点B
的坐标为（0，2），点D 在反比例函数y ＝
k ≠0）上．将正方形沿x 轴正方向平移x
m 个单位长度后，点C 恰好落在该函数图象上，则m 的值是
y B
62．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y =3x 与反比例函数y =的图象交于A ，B 两点，点A 的横坐标为2，AC ⊥x 轴，垂足为C ，连接BC ．（1）求反比例函数的表达式；（2）求△ABC 的面积；
（3）若点P 是反比例函数y =图象上的一点，△OPC 与△ABC 面积相等，请直接写出点P
的坐标．
63．已知a ，b 满足关系式
10a 5
．（1）用含b 的代数式表示a ；
（2）①若点（a ，b ）在反比例函数y ＝x
a 、b 的值；
②若a 、b 均为整数，且点（a ，b ）在反比例函数y ＝x
k ＝
64．如图，在菱形ABCD 中，M 是AD 边上一点．
（1）用尺规完成下列作图：把射线BM 绕点B 顺时针旋转B 的大小，与CD 边交于
2
点N ，连结MN ．（保留作图痕迹，不写作法）（2）直接写出AM ，CN ，MN 满足的数量关系．
66．如图，已知点M 、N 分别为▱ABCD 的边CD 、AB 的中点，连接AM 、CN ．（1）判断AM 、CN 的位置关系，并说明理由；
（2）过点B 作BH ⊥AM 于点H ，交CN 于点E ，连接CH ，判断线段
CB 、CH 的数量关系，并说明理由．
67．已知点A 在反比例函数y ＝A 、B 关于原点O 对称．
x
（1）求证：点B 在反比例函数y ＝x
（2）若点C 满足AC ⊥x 轴，BC ⊥y 轴，求证：△ABC 的面积为定值．
68．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 图像与反比例函数y ＝A 、
x
B 两点，BC ⊥x 轴于点C ．已知A 点的坐标是（4，－1），OC ＝2．（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）直接写出方程kx ＋b ＝2的解集．
x x
y
B C
O
x
A
69．某工程队要修路300米，在按原计划进度修了60米后，由于效率提高，实际
每天所修路的长度比原计划进度增加20%，结果共用了13天完成任务，则该工程队原计划每天修路多少米？
70．如图所示，在菱形ABCD 中，AB =8cm ，∠BAD =120°，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的两个动点，E 点从点B 向点C 运动，F 点从点D 向点C 运动，设点E 、F 运动的路径长分别是acm 和bcm ．
（1）请问当a 和b 满足什么关系时，△AEF 为等边三角形？并说明理由；
（2）请问在（1）的条件下，四边形AECF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值；
（3）在（1）的条件下，求出△CEF
的面积最大值．
71．剪一个面积是4cm 2的矩形纸片，设其中一边长为x cm ，另一边长为y cm ，
(1)写出y 与x 的函数关系式，并在直角坐标系中画出它的图像；
(2)能否制作出一个周长为12，面积是4的矩形纸片？如果可以，请在直角坐标系中画出符合条
件的所有矩形；如果不可以，请说明理由．．．
y
O
x
72. 在矩形ABCD 中，AD =5，AB=7，点E 为DC 上一个动点（点E 不与点D 、C 重合），把△ADE 沿AE 折叠，点D 的对应点为D ′.（1）如图（1），若点D ′落在AB 上，则DE =；（2）如图（2），若点D ′落在∠ABC 的平分线上，求DE 的长；
73．如图，一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =A 点坐标为（4，3）。（1）求出两函数解析式；
m
的图象相交于A 、B 两点，已知（2）根据图象回答：当x
为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值
74．已知：正比例函数y =ax 的图像与反比例函数y =（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
k
的图像交于点A (3,2) ．（2）点M (m ，n )是反比例函数图像上的一个动点，其中0
y
B
M
D A
O
o
C
x
75．如图，一次函数y 1＝k 1x ＋2与反比例函数y 2＝
B (－8，－2) ，与y 轴交于点C ．
（1）k 1＝_____________，k 2＝_____________；
（2）根据函数图像可知，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是（3）过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图像上一点．设直线OP
与线段AD 交于点E ，当四边形ODAC 与△DOE 面积之比为6：1时，求点P 的坐标．
k 的图像交于点A (4，m ) 和
76．(12分) 在直角坐标系中，已知Rt △ABC ，∠CAB =90°，AB =AC ，A (－2，0) ，B (0，1) ．(1)写出C (2)将△ABC 沿x 轴的正方向平移b (b >0)个单位长度，在第一象限内B 、C 两点的对应点E 、F 正好落在某反比例函数图像上，求出这个反比例函数和此时直线EF 的解析式；
(3)在(2)的条件下，问是否存在x 轴上的点M 和y 轴上的点N ，使以点E 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．如果存在，请直接写出点M 和点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
77. 【阅读理解】
反比例函数y =k 为常数，k ≠0)的图像是双曲线，其图像具有下列性质：
x 对称性：反比例函数的两支图像关于原点对称．增减性：
当k ＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；
当k ＜0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大.
这些熟悉的性质，能否通过证明得到？
小强首先对反比例函数y =k ＞0）的增减性进行了证明：
x 如图，当x ＞0时，在函数y =
图像上任取两点A 、B ，x
设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，且0＜x 1＜x 2，y 1－y 2=
=x 1x 2x 1x 2
（第27题）
∵0＜x 1＜x 2，∴x 2-x 1＞0，x 1x 2＞0，
又∵k ＞0，∴＞0，即y 1－y 2＞0，∴y 1＞y 2.
x 1x 2即x ＞0时，y 随x 的增大而减小.
同理可证，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小. ∴在每一个象限内，y 随x 的增大而减小. 【初步思考】
（1）请你证明反比例函数y =k ＜0）的增减性.
x
【探索延伸】
（2）分别写出函数y =①增减性：②对称性：证明：
2x ＋3
.
x ＋1
. x ＋1
. .
（3）请直接写出函数y =
78. 已知：在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点，
顺次连接E 、G 、F 、H .
（1）如图，求证：四边形EGFH 是菱形；
（2）当∠ABC 与∠DCB 满足什么关系时，四边形EGFH 为正方形，并说明理由；（3）猜想：∠GFH 、∠ABC 、∠DCB 三个角之间的数量关系.
（直接写出结果）
79. 探索与发现
探索：如图，在直角坐标系中，正方形ABCO 的点B 坐标（4，4），对角线AC 上一动点E ，连接BE ，过E 作DE ⊥BE 交OC 于点D ，连接DE . （1）证明：BE ＝DE ；
小明给出的思路为：过E 作y 轴的平行线交AB ，x 轴于点F 、H . 请完善小明的证明过程.
F
（2）若点D 坐标为（3，0），则点E 坐标为
若点D 坐标为（a ，0），则点E 坐标为
；；
发现：
（3）在直角坐标系中，点B 坐标（5，3），点D 坐标（3，0），找一点E ，使得△BDE 为等腰直角三角形，直接写出点E 坐标.
80．问题提出
如图①，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，将△ABO 绕点A 按逆时针方向旋转25°后得到△AB'O' ，AB' 、AO' 所在的直线分别与BD 交于点M 、N ．探索BM 、MN 、ND 三者之间存在的关系，并证明你的结论．
A
图①
图②
N B
初步思考
（1）小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△AND 绕点A 按顺时针方向旋转90°后得到△AN'B ，连接N'M ．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）
推广运用
（2）如图③，在正方形ABCD 中，E 、F 是边BC 、CD 上的点，且EF ＝EB ＋FD ．AE 、AF 分别与BD 交于点M 、N ．探索BM 、MN 、ND 三者之间存在的关系，并证明你的结论．
A
F
图③
81．四边形ABCD 为正方形，点E 为射线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE ，交射
线BC 于点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．（1）如图1，当点E 在线段AC 上时．①求证：矩形DEFG 是正方形；②求证：AC ＝CE ＋CG ；
（2）如图2，当点E 在线段AC 的延长线上时，请你在图2中画出相应图形，并直接写出AC 、CE 、CG 之间的数量关系；
（3）直接写出∠FCG 的度数．B
B
（图1）
（图1备用图）
B
（图2）
E
82．问题：我们已经知道反比例函数的图像是双曲线，那么函数y ＝的呢？
︱x ︱－3
经验：(1)我们在研究反比例函数的图像和性质的时候是从以下两个方面来探究的：
①由数想形——先根据表达式中x 、y 的数量关系，初步估计图像的基本概貌．如：形状（直线或曲线）；位置（所在区域、．．．．与直线或坐标轴的交点情况）；趋势（上升、下降）、对称性等．．．．．．②描点画图——根据已有的函数画图的经验，利用描点画图．（2）我们知道，函数y ＝x ＋１一支在过点（－1，）且平行于轴的直线的右侧且在x 轴的．．．．．0．．．．．．y ．．．．．．．
上方，另一支在过点（－1，0）且平行于y 轴的直线的左侧且在x 轴的下方．．．
探索：请你根据以上经验，研究函数y ＝
（1）由数想形：（2）描点画图：
︱x ︱－3
列表：
……
x y
……
2
画图：
y
1应用：观察你所画的函数图像，解下答列问题：
（1）若点A （a ，c ），B （b ，c ）为该函数图像上不同的两点，则a ＋b ＝（2）直接写出当
－2时x 的取值范围．
︱x ︱－3
；
83. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =60cm ，∠A =60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm /秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm /秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒（0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE =DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由；（3）当t 为何值时，△DEF
为直角三角形？请说明理由．