一、考点、热点回顾
圆的知识梳理
二、课程设计
一、圆的基本性质
1. 圆的定义：(1)在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形
成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段OA 叫做半径； (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 2. 圆的对称性：①圆是旋转对称图形②圆是中心对称图形，对称中心是圆心③圆是轴对称图形，经过圆
心的任一直线都是它的对称轴 3. 与圆有关的概念：
（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 （2）直径：经过圆心的弦叫做直径。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 ．（4）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 ．．．．．（5）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。 ．．．．（6）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存．．在等弧）。
4. 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数． 圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么
它们所对应的其余各组量都分别相等。
5. 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半． ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角． ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
6. 垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)平分弦(不是直径)
(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．
(5)平行弦夹的弧相等．
垂径定理的实质可以理解为如图：有五个元素，“知二可推三”.
平分优弧
过圆心
垂直于弦平分弦平分劣弧
二、 与圆有关的位置关系
1. 点与圆的位置关系（三角形外接圆） A
①点在圆内 ⇒d r ⇒ 点A 在圆外；
注意：不在同一条直线上的三个点确定一个圆：经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。其中，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。它就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点 钝角三角形的外心位于三角形外.
2. 直线与圆的位置关系
①直线与圆相离 ⇒ d >r ⇒ 无交点； ②直线与圆相切 ⇒ d =r ⇒ 有一个交点； ③直线与圆相交 ⇒ d
1、我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
3、经过圆的半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。直径垂直于经过切点的切线 4、证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线. 若直线过圆上某一点，则连半径，证垂直；若直线与
圆的公共点没有确定，则作垂直，证半径. 5、与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆．
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．
注意：三角形的内心：就是三角形三条内角平分线的交点． 三角形的外心：就是三角形三条垂直平分线的交点。
三角形的重心：就是三角形的三条中线的交点。点到顶点的距离是点到边的距离的两倍。
三角形的垂心：就是三角形的三条高的交点。
菱形一定有内切圆。这是因为菱形的对角线平分每一组对角。
3. 圆与圆的位置关系 ①外离（图1）②外切（图2） ⇒ 无交点 ⇒ d >R +r ；⇒ 有一个交点 ⇒ d =R +r ； ③相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R -r
图1
图2
图4
图5
二：专题练习
1、如图，已知⊙O 的弦AD 、CB 交于点E ，AC 的度数为60°，BD 的度数为100°，则∠AEC ＝ 。
A
D
︵
︵
O
C
B
D
O
A
B
C
D
2．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的
是（ ）
D ．PO=PD AD =BD A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACD C ．
C
， 的圆心，3、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD 点O 是CD •其中CD=600m， 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90mE 为CD
4、若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ）
a +b a -b a +b a -b A 、 B、 C、 或 D、 a +b 或a -b
2222
5. 如图5，圆心在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙B 与y 轴的正半轴交于点A(0,1)，过点P(0,-7)的直线l 与⊙B 相交于C 、D 两点，则弦CD 长的所有可能的整数值有（ ）个。
A.1 B.2 C.3 D.4
6、如图12，AB 是⊙O 的直径，经过圆上点D 的直线CD 恰使∠ADC=∠B. (1)求证：直线CD 是⊙O 的切线；
(2)过点A 作直线AB 的垂线交BD 的延长线于点E ，且AB=5 ，BD=2
，求线段AE 的长.
一、考点、热点回顾
圆的知识梳理
二、课程设计
一、圆的基本性质
1. 圆的定义：(1)在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形
成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段OA 叫做半径； (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 2. 圆的对称性：①圆是旋转对称图形②圆是中心对称图形，对称中心是圆心③圆是轴对称图形，经过圆
心的任一直线都是它的对称轴 3. 与圆有关的概念：
（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 （2）直径：经过圆心的弦叫做直径。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 ．（4）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 ．．．．．（5）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。 ．．．．（6）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存．．在等弧）。
4. 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数． 圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么
它们所对应的其余各组量都分别相等。
5. 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半． ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角． ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
6. 垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)平分弦(不是直径)
(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．
(5)平行弦夹的弧相等．
垂径定理的实质可以理解为如图：有五个元素，“知二可推三”.
平分优弧
过圆心
垂直于弦平分弦平分劣弧
二、 与圆有关的位置关系
1. 点与圆的位置关系（三角形外接圆） A
①点在圆内 ⇒d r ⇒ 点A 在圆外；
注意：不在同一条直线上的三个点确定一个圆：经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。其中，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。它就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点 钝角三角形的外心位于三角形外.
2. 直线与圆的位置关系
①直线与圆相离 ⇒ d >r ⇒ 无交点； ②直线与圆相切 ⇒ d =r ⇒ 有一个交点； ③直线与圆相交 ⇒ d
1、我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
3、经过圆的半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。直径垂直于经过切点的切线 4、证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线. 若直线过圆上某一点，则连半径，证垂直；若直线与
圆的公共点没有确定，则作垂直，证半径. 5、与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆．
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．
注意：三角形的内心：就是三角形三条内角平分线的交点． 三角形的外心：就是三角形三条垂直平分线的交点。
三角形的重心：就是三角形的三条中线的交点。点到顶点的距离是点到边的距离的两倍。
三角形的垂心：就是三角形的三条高的交点。
菱形一定有内切圆。这是因为菱形的对角线平分每一组对角。
3. 圆与圆的位置关系 ①外离（图1）②外切（图2） ⇒ 无交点 ⇒ d >R +r ；⇒ 有一个交点 ⇒ d =R +r ； ③相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R -r
图1
图2
图4
图5
二：专题练习
1、如图，已知⊙O 的弦AD 、CB 交于点E ，AC 的度数为60°，BD 的度数为100°，则∠AEC ＝ 。
A
D
︵
︵
O
C
B
D
O
A
B
C
D
2．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的
是（ ）
D ．PO=PD AD =BD A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACD C ．
C
， 的圆心，3、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD 点O 是CD •其中CD=600m， 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90mE 为CD
4、若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ）
a +b a -b a +b a -b A 、 B、 C、 或 D、 a +b 或a -b
2222
5. 如图5，圆心在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙B 与y 轴的正半轴交于点A(0,1)，过点P(0,-7)的直线l 与⊙B 相交于C 、D 两点，则弦CD 长的所有可能的整数值有（ ）个。
A.1 B.2 C.3 D.4
6、如图12，AB 是⊙O 的直径，经过圆上点D 的直线CD 恰使∠ADC=∠B. (1)求证：直线CD 是⊙O 的切线；
(2)过点A 作直线AB 的垂线交BD 的延长线于点E ，且AB=5 ，BD=2
，求线段AE 的长.