知识点1 终边相同的角的集合
例题1 终边在x 轴上的角的集合是__________．
【答案】终边在x 轴上的所有的角是2k π(k ∈Z )或2k π+π(k ∈Z )，并且可合写成n π(n ∈Z )，所以终边在x 轴上的角的集合是{x x =n π, n ∈Z }．
例题2 已知α=1690，写出在(-4π,2π)与α终边相同的角． ︒
【答案】1690=8︒2525π，得α=8π+π， 1818
所以与α终边相同的角的集合为⎨θ
令k =-2时，θ=-25⎧⎫=2k π+π, k ∈Z ⎬ 18⎩⎭471125π，令k =-1时，θ=-π，令k =0时，θ=π， 181818
471125π，-π，π． 所以在(-4π,2π)与α终边相同的角为-181818
例题3若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系是___________．
【答案】
图(1) 图
(2)
图(3) 图(4)
如图(1)所示，当角α的终边在第一象限时，角α可以写成2k 1π+θ(其中θ∈ 0, ⎛
⎝π⎫k 1∈Z ) ⎪，2⎭
的形式，角α与角θ的终边相同，由于角β的终边与角α的终边关于y 轴对称，则角β与角π-θ的终边相同，故角β可以写成2k 2π+(π-θ)(其中k 2∈Z ) 的形式，所以
α+β=2(k 1+k 2)π+π(其中k 1, k 2∈Z ) ，令k 1+k 2=k ，则α+β=2k π+π, k ∈Z ．
如图(2)所示，当角α的终边在第二象限时，同上可得α+β=2k π+π, k ∈Z ．
如图(3)所示，当角α的终边在第三象限时，角α可以写成2k 1π+π+θ(其中θ∈ 0, ⎛
⎝π⎫⎪，2⎭
k 1∈Z ) 的形式，角α与角π+θ的终边相同，由于角β的终边与角α的终边关于y 轴对称，则角β与角-θ的终边相同，故角β可以写成2k 2π-θ(其中k 2∈Z ) 的形式，所以
α+β=2(k 1+k 2)π+π(其中k 1, k 2∈Z ) ，令k 1+k 2=k ，则α+β=2k π+π, k ∈Z ．
如图(4)所示，当角α的终边在第二象限时，同上可得α+β=2k π+π, k ∈Z ．
当角α终边位于x 轴非负半轴，y 轴非负半轴，x 轴非正半轴，y 轴非正半轴时，上面结论亦成立．
知识点2 判断角是第几象限的角
α是第几象限的角？ 2
π【答案】由象限角的定义可知：2k π+
παπk π+
παπα当k =2n (n ∈Z ) 时，2n π+
5πα3πα
α所以当角α是第二象限角时，那么角是第一象限或第三象限的角． 2
π例题5 角+5是第几象限的角？ 2例题4 已知角α是第二象限角，那么角
【分析】要找到5弧度角的终边，从而就可以判断这个角是几象限的角．
3ππ5ππ
例题6 若角α满足sin 2α
【分析】易知sin α⋅cos α
⎧sin 2α
从而有⎨⎧sin α>0，即α是第二象限的角．
⎩cos α
【点评】本题主要考查三角函数在各象限里的取值符号，同时在解答过程中蕴涵着方程的思想．
知识点3 弧长公式和扇形公式的应用
例题7 已知一扇形的周长是40cm ，当它的半径和圆心角取何值时, 才能使扇形的面积最大？最大值是多少？
【分析】利用弧长公式与扇形面积公式，得到面积与关系的函数关系式，进而将其转化为函数的最值问题来解决．
【答案】设这个扇形 的半径为r ，圆心角为α，则由弧长公式知l =αr ，
由题设知，40=2r +l =αr +2r ，αr =40-2r 1212αr =(40-2r )r =-r 2+20r =-(r -10)+100 22
所以扇形面积的最大值为100，此时半径r =10，α=2． 由扇形面积公式可得：S =
知识点4 利用三角函数的定义、三角函数的符号和单位圆内的三角函数线求解范围问题
例题8 已知π
【分析】2α-β要用α+β，α-β的整体表示，然后利用不等式的性质来求解即可．
【答案】设2α-β=m (α+β)+n (α-β)，得m =
即2α-β=13, n = 2213(α+β)+(α-β) 22
π12π3π3ππ
π3π, k ∈Z 又由于cos (2α-β)
从而有-π
2．
【点评】若根据 α+β，α-β的范围求出α的范围，再结合α-β的范围求2α-β的范围，这种方法是错误的，原因在于变化过程中不是等价的，将有可能扩大所求的结果，因此，在解此类问题时要格外注意．
1． 已知点P (tanα,cos α) 在第三象限，则角α的终边在第_______象限．
2. 若cos θ>0, 且sin 2θ
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
3. 点P 从（1，0）出发，沿单位圆x 2+y 2=1逆时针方向运动
标为
(A)（- 2π弧长到达Q 点，则Q 的坐3（ ） 131131, ) ；(B)（-, -) (C)（-, -) (D)（-, ) 22222222
1”是“A=30º”的 2（ ）
(B) 必要而不充分条件
(D) 既不充分也必要条件 4． “sin A = (A) 充分而不必要条件 (C) 充分必要条件
5. 已知α为第三象限角，则α所在的象限是 （ ） 2
（A ）第一或第二象限 （B ）第二或第三象限
（C ）第一或第三象限 （D ）第二或第四象限
6. 设0≤x ≤2π,
=sin x -cos x , 则 （ ）
(A) 0≤x ≤π (B) π
4≤x ≤7ππ5ππ3π≤x ≤≤x ≤ (C) (D) 44422
答案：1．因为点P 在第三象限，所以⎨⎧tan α
2．因为cos θ>0, 且sin 2θ
3．由三角函数的定义可知，点Q 的坐标 cos
4．由A=30 º可得sin A =
不充分条件，故选B ⎛⎝12π2π⎫-, -) . 即（,sin , ⎪2233⎭111，但由sin A =不能推出A=30 º，“sin A =”是“A=30º”的必要而222
3ππα3π, k ∈Z ，那么k π+
当k =2n (n ∈Z ) 时，2n π+3πα, n ∈Z ，角的终边为第地二象限的角 2242
3πα7πα
所以当角α是第三象限角时，那么角παα是第二象限或第四象限的角．选D 2
知识点1 终边相同的角的集合
例题1 终边在x 轴上的角的集合是__________．
【答案】终边在x 轴上的所有的角是2k π(k ∈Z )或2k π+π(k ∈Z )，并且可合写成n π(n ∈Z )，所以终边在x 轴上的角的集合是{x x =n π, n ∈Z }．
例题2 已知α=1690，写出在(-4π,2π)与α终边相同的角． ︒
【答案】1690=8︒2525π，得α=8π+π， 1818
所以与α终边相同的角的集合为⎨θ
令k =-2时，θ=-25⎧⎫=2k π+π, k ∈Z ⎬ 18⎩⎭471125π，令k =-1时，θ=-π，令k =0时，θ=π， 181818
471125π，-π，π． 所以在(-4π,2π)与α终边相同的角为-181818
例题3若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系是___________．
【答案】
图(1) 图
(2)
图(3) 图(4)
如图(1)所示，当角α的终边在第一象限时，角α可以写成2k 1π+θ(其中θ∈ 0, ⎛
⎝π⎫k 1∈Z ) ⎪，2⎭
的形式，角α与角θ的终边相同，由于角β的终边与角α的终边关于y 轴对称，则角β与角π-θ的终边相同，故角β可以写成2k 2π+(π-θ)(其中k 2∈Z ) 的形式，所以
α+β=2(k 1+k 2)π+π(其中k 1, k 2∈Z ) ，令k 1+k 2=k ，则α+β=2k π+π, k ∈Z ．
如图(2)所示，当角α的终边在第二象限时，同上可得α+β=2k π+π, k ∈Z ．
如图(3)所示，当角α的终边在第三象限时，角α可以写成2k 1π+π+θ(其中θ∈ 0, ⎛
⎝π⎫⎪，2⎭
k 1∈Z ) 的形式，角α与角π+θ的终边相同，由于角β的终边与角α的终边关于y 轴对称，则角β与角-θ的终边相同，故角β可以写成2k 2π-θ(其中k 2∈Z ) 的形式，所以
α+β=2(k 1+k 2)π+π(其中k 1, k 2∈Z ) ，令k 1+k 2=k ，则α+β=2k π+π, k ∈Z ．
如图(4)所示，当角α的终边在第二象限时，同上可得α+β=2k π+π, k ∈Z ．
当角α终边位于x 轴非负半轴，y 轴非负半轴，x 轴非正半轴，y 轴非正半轴时，上面结论亦成立．
知识点2 判断角是第几象限的角
α是第几象限的角？ 2
π【答案】由象限角的定义可知：2k π+
παπk π+
παπα当k =2n (n ∈Z ) 时，2n π+
5πα3πα
α所以当角α是第二象限角时，那么角是第一象限或第三象限的角． 2
π例题5 角+5是第几象限的角？ 2例题4 已知角α是第二象限角，那么角
【分析】要找到5弧度角的终边，从而就可以判断这个角是几象限的角．
3ππ5ππ
例题6 若角α满足sin 2α
【分析】易知sin α⋅cos α
⎧sin 2α
从而有⎨⎧sin α>0，即α是第二象限的角．
⎩cos α
【点评】本题主要考查三角函数在各象限里的取值符号，同时在解答过程中蕴涵着方程的思想．
知识点3 弧长公式和扇形公式的应用
例题7 已知一扇形的周长是40cm ，当它的半径和圆心角取何值时, 才能使扇形的面积最大？最大值是多少？
【分析】利用弧长公式与扇形面积公式，得到面积与关系的函数关系式，进而将其转化为函数的最值问题来解决．
【答案】设这个扇形 的半径为r ，圆心角为α，则由弧长公式知l =αr ，
由题设知，40=2r +l =αr +2r ，αr =40-2r 1212αr =(40-2r )r =-r 2+20r =-(r -10)+100 22
所以扇形面积的最大值为100，此时半径r =10，α=2． 由扇形面积公式可得：S =
知识点4 利用三角函数的定义、三角函数的符号和单位圆内的三角函数线求解范围问题
例题8 已知π
【分析】2α-β要用α+β，α-β的整体表示，然后利用不等式的性质来求解即可．
【答案】设2α-β=m (α+β)+n (α-β)，得m =
即2α-β=13, n = 2213(α+β)+(α-β) 22
π12π3π3ππ
π3π, k ∈Z 又由于cos (2α-β)
从而有-π
2．
【点评】若根据 α+β，α-β的范围求出α的范围，再结合α-β的范围求2α-β的范围，这种方法是错误的，原因在于变化过程中不是等价的，将有可能扩大所求的结果，因此，在解此类问题时要格外注意．
1． 已知点P (tanα,cos α) 在第三象限，则角α的终边在第_______象限．
2. 若cos θ>0, 且sin 2θ
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
3. 点P 从（1，0）出发，沿单位圆x 2+y 2=1逆时针方向运动
标为
(A)（- 2π弧长到达Q 点，则Q 的坐3（ ） 131131, ) ；(B)（-, -) (C)（-, -) (D)（-, ) 22222222
1”是“A=30º”的 2（ ）
(B) 必要而不充分条件
(D) 既不充分也必要条件 4． “sin A = (A) 充分而不必要条件 (C) 充分必要条件
5. 已知α为第三象限角，则α所在的象限是 （ ） 2
（A ）第一或第二象限 （B ）第二或第三象限
（C ）第一或第三象限 （D ）第二或第四象限
6. 设0≤x ≤2π,
=sin x -cos x , 则 （ ）
(A) 0≤x ≤π (B) π
4≤x ≤7ππ5ππ3π≤x ≤≤x ≤ (C) (D) 44422
答案：1．因为点P 在第三象限，所以⎨⎧tan α
2．因为cos θ>0, 且sin 2θ
3．由三角函数的定义可知，点Q 的坐标 cos
4．由A=30 º可得sin A =
不充分条件，故选B ⎛⎝12π2π⎫-, -) . 即（,sin , ⎪2233⎭111，但由sin A =不能推出A=30 º，“sin A =”是“A=30º”的必要而222
3ππα3π, k ∈Z ，那么k π+
当k =2n (n ∈Z ) 时，2n π+3πα, n ∈Z ，角的终边为第地二象限的角 2242
3πα7πα
所以当角α是第三象限角时，那么角παα是第二象限或第四象限的角．选D 2