二重积分中值定理的推广_殷凤

第27卷第2期2011年4月忻州师范学院学报

JOURNALOFXINZHOUTEACHERSUNIVERSITY

Vol．27No．2Apr．2011

二重积分中值定理的推广

殷

凤，王鹏飞

（忻州师范学院，山西忻州034000）

要：文章从二重积分中值定理的基本形式和几何意义出发，找出二重积分中值定理成

将二重积分中值定理的连续性条件减弱为可积性和界值性，讨论了二重积分中立的必要条件，

摘

值定理，利用界值性给出了二重积分中值定理的推广形式。进一步在二重积分中值定理函数

连续性的基础上，增加了函数对两个变量的单调性（单调递增，单调递减），给出了二重积分中最后给出二重积分中值定理特殊情形，即定积分中值定理的推广值定理的其它的推广形式，形式。

关键词：介值性；单调性；二重积分；中值定理的推广

中图分类号：O172．2文献标识码：A文章编号：1671－1491（2011）02－0015－02

1问题的提出

二重积分中值定理在微积分中有着非常广泛的应用，文

y）在有界闭区域D上可积且有介值性连续减弱为函数f（x，

的条件下给出二重积分中值定理。2

引理和二重积分中值定理的推广定义1

y）在有界闭区域D上介值性是指：若函数f（x，

1－2］3－4］献［给出了二重积分中值定理基本形式，文献［给出了二重积分中值定理的推广形式，二重积分中值定理描述如下。

定理1

y）在有界闭区域D上连续，若函数f（x，函数

g（x，y）在D上可积且不变号，则存在一点（ξ，η）∈D，使得：y）g（x，y）dxdy=f（ξ，y）dxdy。η）g（x，f（x，

f（x1，y1）≠f（x2，y2），（x1，y1），（x2，y2）∈D，则对于介于f（x1，y1），f（x2，y2）之间的数k，y1），（x2，y2）比存在介于（x1，之间的点（ξ，η）使得f（ξ，η）=k。

引理1

y）在有界闭区域D上可积，设函数f（x，且

y）dxdy＞0，则至少存在D的一个子区域σ∈D，使得f（x，

y）在有界闭区域D上连续减弱为注释：定理中的f（x，

f（x，y）在有界闭区域D上可积时，定理不一定成立，但对一些可积的不连续函数，却有上面的结论。

0≤x≤1，0≤y≤1］，y）∈R，例：设R：［（x，定义函y）=a，a为常数f（x，y）=数g（x，

f（x，y）＞0，（x，y）∈σ。

引理2引理3

y）在有界闭区域D上可积，设函数f（x，则f（x，y）在有界闭区域D上可积，设函数f（x，且f（x，

y）在有界闭区域D上的连续点稠密。

{0，

x=y

1，x≠y

，y）在R则f（x，

y）＞0，y）dxdy＞0。则f（x，

y）adxdy=0，上可积但不连续，易知f（x，所以取（ξ=η）∈



定理2y）在有界闭区域D上可积，若函数f（x，且有介

Rf（x，y）adxdy=0=f（ξ，η）

adxdy。

y）在D上可积且不变号，值性，函数g（x，则存在一点（ξ，η）y）g（x，y）dxdy=f（ξ，∈D，使得：f（x，η）

y）在有界由上述可知在二重积分中值定理中函数f（x，闭区域D上连续是充分条件，而非必要条件，也就是说可以把条件减弱，又在二重积分中值定理的证明中只用到了连续y）的可积性和介值性，而函数的可积性和介值性函数f（x，

y）在有界闭区域D上本文在将函数f（x，并不一定要连续，

y）dxdy。g（x，

（x，y）∈D

y）在有界闭区域D上可积，y）证明：f（x，所以supf（x，=M，inff（x，y）=m都存在。

（x，y）∈D

f（x，y）为常数，当M=m时，任意一点（ξ，η）∈D都满

收稿日期：2010－12－20

：（200805）

足定理。

忻州师范学院学报

值性，则存在一点（ξ，η）∈D，使得：S（D）为区域D的面积。η）S（D），

第27卷

y）dxdyf（x，

y）≥0，（x，y）∈D，当M＞m时，不妨设g（x，有mg（x，y）≤f（x，y）g（x，y）≤Mg（x，y），所以有

=f（ξ，



mg（x，y）dxdy≤



f（x，y）g（x，y）dxdy≤



Mg（x，y）dxdy

（1）

若D=［a，b］×［c，d］，且f（x，y）g（x，y）=

f（x）g（x），则有d－c

推论2

［5］

y）=0，y）g（x，y）dxdy=0，若g（x，由（1）知f（x，



a，b］上可积，若函数f（x）在［且有介值性，

a，b］上可积且不变号，a，函数g（x）在［则存在一点ξ∈［b］，使得：

y）g（x，y）dxdy=所以对任意一点（ξ，η）∈D都有f（x，



∫

f（x）g（x）dx=f（ξ）

［5］

∫g（x）dx。

f（ξ，η）



g（x，y）dxdy。

推论3a，b］上可积，若函数f（x）在［且有介值性，

a，b］，则存在一点ξ∈［使得f（x）dx=f（ξ）（b－a）。

y）＞0由（1）知若g（x，

∫

m≤



定理3

≤M

y）在区域［a，b］×［c，d］上为非负若函数f（x，

y）g（x，y）dydx=f（a，∫∫f（x，

f（x，y）g（x，y）dxdyy）dxdyg（x，

y）为可积函数，的单调减函数，而函数g（x，则至少存在一点（ξ，a，b］×［c，d］，η）∈［使得c）

y）dydx∫∫g（x，

cξ

1）

y）g（x，y）dxdyf（x，

当m＜

y）dxdyg（x，

＜M，由确界原理知，

＜

定理4y）在区域［a，b］×［c，d］上为非负若函数f（x，

y）g（x，y）dydx=f（b，∫∫f（x，

y）为可积函数，的单调增函数，而函数g（x，则至少存在一点（ξ，a，b］×［c，d］，η）∈［使得d）

y）dydx∫∫g（x，

ηb

（x1，y1）∈D，（x2，y2）∈D，使得m≤f（x1，y1）y）g（x，y）dxdyf（x，

＜f（x，y）

g（x，y）dxdy

≤M

定理5y）在区域［a，b］×［c，d］上为非负若函数f（x，

y）在有界闭区域D上有介值性，又函数f（x，所以存在

y）g（x，y）dxdyf（x，

=，即f（x，

g（x，y）dxdy

y）为可积函数，而函数g（x，则至少存在一点的单调函数，

y）g（x，y）dydx=f（a，∫∫f（x，

c）∫∫g（x，y）dydx+f（b，d）∫∫g（x，y）dydx（ξ，a，b］×［c，d］，η）∈［使得

ηa

dξ

（ξ，η）∈D，使得f（ξ，η）

y）g（x，y）dxdy=f（ξ，η）

y）dxdy，g（x，

4，5中的f（x，y）≡f（x），a，b］上为单调若定理3，且在［g（x，y）≡g（x）为可积函数时，有定积分中值定理函数时，

的三种推广形式，即

∫∫g（x）dx，y）g（x，y）dxdyf（x，

2）当=M（m）时，有（M－f（x，

∫f（x）g（x）dx=f（b）∫g（x）dx，∫f（x）g（x）dx=y）dxdyg（x，

f（a）∫g（x）dx+f（b）∫g（x）dx

y））g（x，y）dxdy=0，y）dxdy＞0，又因为g（x，由引理1知

f（x）g（x）dx=f（a）

y）＞0，（x，y）∈σ，存在D的一个子区域σ∈D，使得g（x，0≤

推论1y）在有界闭区域D连续，若函数f（x，且关于x，

（M

－f（x，y））g（x，y）dxdy≤

（M

y具有相同单调性，y）在D上可积且不变号，函数g（x，则存有：在一点（ξ，η）∈D，

y）g（x，y）dxdy=f（ξ，y）dxdyη）g（x，f（x，

－f（x，y））g（x，

y）dxdy=0，y））g（x，y）dxdy=0，所以（M－f（x，即存在（ξ，



η）∈σ，使得f（ξ，η）=M，否则f（ξ，η）＜M，有（M－f（x，y））g（x，y）＞0，（ξ，y））g（x，η）∈σ由引理3知（M－f（x，

推论2y）在有界闭区域D连续，若函数f（x，且关于x，



y具有相同单调性，y）=1则存在一点（ξ，函数g（x，η）∈D，有：

y）g（x，y）dxdy=f（ξ，S（D）η）S（D），f（x，

y）dxdy＞0。

综上所述存在一点（ξ，η）∈D，使得：y）dxdy=f（ξ，η）

推论1

y）dxdy。g（x，

为区域D的



f（x，y）g（x，

面积。

y）≡f（x）在有界闭I连续，若函数f（x，且关于x具有单y）≡1则存在一点ξ∈I，函数g（x，有：f（x）dx=调性，

∫

y）在有界闭区域D上可积，若函数f（x，且有介f（）L（I），L（I）I的长度。（下转第30页）

忻州师范学院学报第27卷

TheReductionThoughtisaPowerfulLeverto

SolvetheMathematicsProblems

SONGYun－feng

（XinzhouSubsidiaryTeachersCollegeofForeignLanguagesSchool，Xinzhou034000，China）

Abstract：Thereductionthoughtorthethoughtoftransforming，seenasthecoreofmathematicsthought，isthebasicandessentialthink-ingwayinseniormathematics，whichspreadsintoallfieldsofmathematicsteachingandvariousstagesofsolvingproblems，includinggeometry，inequality，function，analyticgeometry，equation．Withthehelpoffeatures，graphics，andformulasoffunctionsandthesimplic-ityofanalyticgeometry，Theessaythroughmanydetailedexampleschangesmanycomplexproblemsintosimpleones，manyunknownproblemsintoknownones，throwinglightuponthemathematicsthoughthiddenbehindtheknowledgeitselftomakeitclearerandeasiertounderstand．

Keywords：reductionthought；transform；function

檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱

（上接第16页）参考文献：

［1］华东师范大学数学系．数学分析（下册）［M］．北京：人

1991．民教育出版社，

［2］刘玉琏，M］．北京：高等．数学分析讲义（下册）（4版）［

2005．等教育出版社，［3］刘

J］．伊犁师范淼．关于二重积分中值定理的推广［2002，（4）：80－82．学院学报，

［4］邹

J］．石河子大学学成．二重积分中值定理的推广［

2006，24（5）：647－649．报，

［5］李衍禧．积分第一中值定理的推广［J］．数学的实践与

2007，37（9）：203－206．认识，

［6］关若峰．积分中值定理的推广［J］．广州大学学报，

2004，（6）：499－500．

（责编：唐晓燕）

TheExtensionofDoubleIntegralMeanValueTheorem

YINFeng，WANGPeng－fei

（XinzhouTeachersUniversity，Xinzhou034000，China）

Abstract：Inthispaper，fromgeometricmeaningandbasicformofthedoubleintegralvaluetheoremstarting，anecessaryconditionfortheestablishmentofthedoubleintegralmeanvaluetheoremwasfound．Thecontinuityconditionisweakenedtotheconditionwithinter-mediatevaluepropertyinthedoubleintegralmeanvaluetheorem，thedoubleintegralmeanvaluetheoremwasdiscussed，thegeneral-izedformatofthedoubleintegralmeanvaluetheoremisgivenbyintermediatevalueproperty．Furtheronthebasisoffunctioncontinuityofthedoubleintegralmeanvaluetheorem，monotonicofthefunctionontwovariablesisincreased，（monotonicincreasing，monotonicdecreasing），theothergeneralizedformatofthedoubleintegralmeanvaluetheoremisgiven．Inthelastspecialcaseofthedoubleinte-gralmeanvaluetheoremisgiventheextensionofIntegralmeanvaluetheorem．

Keywords：intermediatevalueproperty；monotonicity；doubleintegral；theextensionofmeanvaluetheorem

第27卷第2期2011年4月忻州师范学院学报

JOURNALOFXINZHOUTEACHERSUNIVERSITY

Vol．27No．2Apr．2011

二重积分中值定理的推广

殷

凤，王鹏飞

（忻州师范学院，山西忻州034000）

要：文章从二重积分中值定理的基本形式和几何意义出发，找出二重积分中值定理成

将二重积分中值定理的连续性条件减弱为可积性和界值性，讨论了二重积分中立的必要条件，

摘

值定理，利用界值性给出了二重积分中值定理的推广形式。进一步在二重积分中值定理函数

关键词：介值性；单调性；二重积分；中值定理的推广

中图分类号：O172．2文献标识码：A文章编号：1671－1491（2011）02－0015－02

1问题的提出

二重积分中值定理在微积分中有着非常广泛的应用，文

y）在有界闭区域D上可积且有介值性连续减弱为函数f（x，

的条件下给出二重积分中值定理。2

引理和二重积分中值定理的推广定义1

y）在有界闭区域D上介值性是指：若函数f（x，

1－2］3－4］献［给出了二重积分中值定理基本形式，文献［给出了二重积分中值定理的推广形式，二重积分中值定理描述如下。

定理1

y）在有界闭区域D上连续，若函数f（x，函数

g（x，y）在D上可积且不变号，则存在一点（ξ，η）∈D，使得：y）g（x，y）dxdy=f（ξ，y）dxdy。η）g（x，f（x，

引理1

y）在有界闭区域D上可积，设函数f（x，且

y）dxdy＞0，则至少存在D的一个子区域σ∈D，使得f（x，

y）在有界闭区域D上连续减弱为注释：定理中的f（x，

f（x，y）在有界闭区域D上可积时，定理不一定成立，但对一些可积的不连续函数，却有上面的结论。

0≤x≤1，0≤y≤1］，y）∈R，例：设R：［（x，定义函y）=a，a为常数f（x，y）=数g（x，

f（x，y）＞0，（x，y）∈σ。

引理2引理3

y）在有界闭区域D上可积，设函数f（x，则f（x，y）在有界闭区域D上可积，设函数f（x，且f（x，

y）在有界闭区域D上的连续点稠密。

{0，

x=y

1，x≠y

，y）在R则f（x，

y）＞0，y）dxdy＞0。则f（x，

y）adxdy=0，上可积但不连续，易知f（x，所以取（ξ=η）∈



定理2y）在有界闭区域D上可积，若函数f（x，且有介

Rf（x，y）adxdy=0=f（ξ，η）

adxdy。

y）在D上可积且不变号，值性，函数g（x，则存在一点（ξ，η）y）g（x，y）dxdy=f（ξ，∈D，使得：f（x，η）

y）在有界闭区域D上本文在将函数f（x，并不一定要连续，

y）dxdy。g（x，

（x，y）∈D

y）在有界闭区域D上可积，y）证明：f（x，所以supf（x，=M，inff（x，y）=m都存在。

（x，y）∈D

f（x，y）为常数，当M=m时，任意一点（ξ，η）∈D都满

收稿日期：2010－12－20

：（200805）

足定理。

忻州师范学院学报

值性，则存在一点（ξ，η）∈D，使得：S（D）为区域D的面积。η）S（D），

第27卷

y）dxdyf（x，

y）≥0，（x，y）∈D，当M＞m时，不妨设g（x，有mg（x，y）≤f（x，y）g（x，y）≤Mg（x，y），所以有

=f（ξ，



mg（x，y）dxdy≤



f（x，y）g（x，y）dxdy≤



Mg（x，y）dxdy

（1）

若D=［a，b］×［c，d］，且f（x，y）g（x，y）=

f（x）g（x），则有d－c

推论2

［5］

y）=0，y）g（x，y）dxdy=0，若g（x，由（1）知f（x，



a，b］上可积，若函数f（x）在［且有介值性，

a，b］上可积且不变号，a，函数g（x）在［则存在一点ξ∈［b］，使得：

y）g（x，y）dxdy=所以对任意一点（ξ，η）∈D都有f（x，



∫

f（x）g（x）dx=f（ξ）

［5］

∫g（x）dx。

f（ξ，η）



g（x，y）dxdy。

推论3a，b］上可积，若函数f（x）在［且有介值性，

a，b］，则存在一点ξ∈［使得f（x）dx=f（ξ）（b－a）。

y）＞0由（1）知若g（x，

∫

m≤



定理3

≤M

y）在区域［a，b］×［c，d］上为非负若函数f（x，

y）g（x，y）dydx=f（a，∫∫f（x，

f（x，y）g（x，y）dxdyy）dxdyg（x，

y）为可积函数，的单调减函数，而函数g（x，则至少存在一点（ξ，a，b］×［c，d］，η）∈［使得c）

y）dydx∫∫g（x，

cξ

1）

y）g（x，y）dxdyf（x，

当m＜

y）dxdyg（x，

＜M，由确界原理知，

＜

定理4y）在区域［a，b］×［c，d］上为非负若函数f（x，

y）g（x，y）dydx=f（b，∫∫f（x，

y）为可积函数，的单调增函数，而函数g（x，则至少存在一点（ξ，a，b］×［c，d］，η）∈［使得d）

y）dydx∫∫g（x，

ηb

（x1，y1）∈D，（x2，y2）∈D，使得m≤f（x1，y1）y）g（x，y）dxdyf（x，

＜f（x，y）

g（x，y）dxdy

≤M

定理5y）在区域［a，b］×［c，d］上为非负若函数f（x，

y）在有界闭区域D上有介值性，又函数f（x，所以存在

y）g（x，y）dxdyf（x，

=，即f（x，

g（x，y）dxdy

y）为可积函数，而函数g（x，则至少存在一点的单调函数，

y）g（x，y）dydx=f（a，∫∫f（x，

c）∫∫g（x，y）dydx+f（b，d）∫∫g（x，y）dydx（ξ，a，b］×［c，d］，η）∈［使得

ηa

dξ

（ξ，η）∈D，使得f（ξ，η）

y）g（x，y）dxdy=f（ξ，η）

y）dxdy，g（x，

4，5中的f（x，y）≡f（x），a，b］上为单调若定理3，且在［g（x，y）≡g（x）为可积函数时，有定积分中值定理函数时，

的三种推广形式，即

∫∫g（x）dx，y）g（x，y）dxdyf（x，

2）当=M（m）时，有（M－f（x，

∫f（x）g（x）dx=f（b）∫g（x）dx，∫f（x）g（x）dx=y）dxdyg（x，

f（a）∫g（x）dx+f（b）∫g（x）dx

y））g（x，y）dxdy=0，y）dxdy＞0，又因为g（x，由引理1知

f（x）g（x）dx=f（a）

y）＞0，（x，y）∈σ，存在D的一个子区域σ∈D，使得g（x，0≤

推论1y）在有界闭区域D连续，若函数f（x，且关于x，

（M

－f（x，y））g（x，y）dxdy≤

（M

y具有相同单调性，y）在D上可积且不变号，函数g（x，则存有：在一点（ξ，η）∈D，

y）g（x，y）dxdy=f（ξ，y）dxdyη）g（x，f（x，

－f（x，y））g（x，

y）dxdy=0，y））g（x，y）dxdy=0，所以（M－f（x，即存在（ξ，



η）∈σ，使得f（ξ，η）=M，否则f（ξ，η）＜M，有（M－f（x，y））g（x，y）＞0，（ξ，y））g（x，η）∈σ由引理3知（M－f（x，

推论2y）在有界闭区域D连续，若函数f（x，且关于x，



y具有相同单调性，y）=1则存在一点（ξ，函数g（x，η）∈D，有：

y）g（x，y）dxdy=f（ξ，S（D）η）S（D），f（x，

y）dxdy＞0。

综上所述存在一点（ξ，η）∈D，使得：y）dxdy=f（ξ，η）

推论1

y）dxdy。g（x，

为区域D的



f（x，y）g（x，

面积。

y）≡f（x）在有界闭I连续，若函数f（x，且关于x具有单y）≡1则存在一点ξ∈I，函数g（x，有：f（x）dx=调性，

∫

y）在有界闭区域D上可积，若函数f（x，且有介f（）L（I），L（I）I的长度。（下转第30页）

忻州师范学院学报第27卷

TheReductionThoughtisaPowerfulLeverto

SolvetheMathematicsProblems

SONGYun－feng

（XinzhouSubsidiaryTeachersCollegeofForeignLanguagesSchool，Xinzhou034000，China）

Keywords：reductionthought；transform；function

檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱檱

（上接第16页）参考文献：

［1］华东师范大学数学系．数学分析（下册）［M］．北京：人

1991．民教育出版社，

［2］刘玉琏，M］．北京：高等．数学分析讲义（下册）（4版）［

2005．等教育出版社，［3］刘

J］．伊犁师范淼．关于二重积分中值定理的推广［2002，（4）：80－82．学院学报，

［4］邹

J］．石河子大学学成．二重积分中值定理的推广［

2006，24（5）：647－649．报，

［5］李衍禧．积分第一中值定理的推广［J］．数学的实践与

2007，37（9）：203－206．认识，

［6］关若峰．积分中值定理的推广［J］．广州大学学报，

2004，（6）：499－500．

（责编：唐晓燕）

TheExtensionofDoubleIntegralMeanValueTheorem

YINFeng，WANGPeng－fei

（XinzhouTeachersUniversity，Xinzhou034000，China）

Keywords：intermediatevalueproperty；monotonicity；doubleintegral；theextensionofmeanvaluetheorem

二重积分中值定理的推广_殷凤

相关文章