第一章《立体几何初步》单元知识总结
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（1） 了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。
（2） 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们
的直观图。
（3） 通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示
形式。
（4
） 理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。
（5） 理解平面的基本性质及确定平面的条件。
（6） 掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。
（7） 掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。
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1. 学习方法指导
（1） 空间几何体
①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。
②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。
③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。
④对于一个正棱台，当上底面扩展为下底面的全等形时，就变为一个直棱柱；当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。由S 正棱台侧
=
公式的联系。
（2） 点，线，面之间的位置关系
①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个公理。
②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行。
③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直直线与平面垂直
平面与平面垂直。 2. 思想方法小结
在本章中需要用到的数学思想方法有：观察法，数形结合思想，化归与转化思想等。主要是立体几何问题转化为平面几何问题，平行与垂直的相互转化等。
3. 综合例题分析
例1：如图，P 是∆ABC 所在平面外一点，A '，B '，C '分别是∆PBC ，∆PCA ，∆PAB 的重心。
（1） 求证：平面A 'B 'C ' 平面ABC ； P
（2） 求S A 'B 'C '：S ABC .
证明:(1) 连结PA ', PB ', PC ', 设PA '⋂BC =D ,
PB '⋂AC =E , PC '⋂AB =F , 则D,E,F 分
B '别是BC,AC,AB 的中点, 且
C '
1h (c +c ') h '和V 正棱台=(s s ') ，就可看出它们的侧面积与体积23 PA 'PB 'PC '2===PD PE PF 3
所以, A 'B ' DE A 'C ' DF A 'B '⊄平面ABC , A 'C '⊄平面ABC
且DE ⊂平面ABC , DF ⊂平面ABC ,
所以 A 'B ' 平面ABC , A 'C ' 平面ABC
从而, 平面A 'B 'C ' 平面ABC.
(2) 由平面几何知识有，
所以， S S DEF 14=， A 'B 'C '= S ABC 4S DEF 9S A 'B 'C '1=. S ABC 9
点评: (1)由线线平行线面平行面面平行, 是证明平行问题的常用方法.
(2)灵活运用平面几何知识是解决本题的关键。
例2：试证：正四面体内任意一点到各面距离之和等于这个正四面体的高。
分析：如图，设P 为正四面体ABCD 内任一点，AO 为正四面体 的高，点P 到各面的距离分别为
d 1, d 2, d 3, d 4则
P D
C
V ABCD =V P -ABC +V P -ACD +V P -ABD +V P -BCD
即 S BCD ⋅AO =1
31111S ABC ⋅d 1+S ACD ⋅d 2+S ABD ⋅d 3+S BCD ⋅d 4 3333
正四面体各面是全等的正三角形
∴ 11S BCD ⋅AO =S BCD (d 1+d 2+d 3+d 4) 33
∴ d 1+d 2+d 3+d 4=AO
点评：多面体问题常用技巧有“割”“补”“等积变换”等，利用这些技巧可使问题化繁为易。 例3：圆台的内切球半径为R ，且圆台的全面积和球面积之比为
解：如图，设圆台母线为l ， 则l =r 1+r 2，由平面几何知识得， 21。求圆台的上，下底面半径r （r 。 1, r 21
(2R ) 2+(r 2-r 1) 2=(r 1+r 2) 2 即 R 2=rr 12
22222⎤(r +r ) +r +r 又 S 圆台全=π(r 1+r 2) l +πr 1+πr 2=π⎡1212⎣⎦
S 球=4πR 2=4πrr 12
由题意得， 222π⎡(r 1+r 2) +r 1+r 2⎤4πr 1r 2=21 8
22即 4r -17rr +4r 1122=0
r = r 2=4r 1 代入R 2=rr 12 得 ，1R ，r 2=2R . 2
点评: (1) 解组合体的关键是注意选择合适的角度画出示意图，通过交点交线来研究问题，正确作
出截面，把复杂问题转化为熟悉的, 较常见的问题.
(2) 轴截面在解决旋转体问题中，有着相当重要的作用.
例4．已知三棱锥A -BCD 中，∠BCD =90，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60，
E , F 分别是A , C A 上D 的动点，且
AE AF ==λ(0
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？
证（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD ，
∵CD ⊥BC ，且AB BC =B ，∴CD ⊥平面ABC ，
AE AF ==λ（0
∴不论λ为何值，恒有EF //CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF ，
∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又要平面BEF ⊥平面ACD ，
∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC ，
∵BC =CD =1，∠BCD =90，∠ADB =60，
又∵
∴BD =AB = =
∴AC ==AB 2=AE ⋅
AC 得AE =， AE 6=， AC 7
6故当λ=时，平面BEF ⊥平面ACD ． 7∴λ=
点评：证明垂直和平行一样，要注意线面与面面的转化及立几与平几的转化。
误区莫入
（1） 几何中的平面是没有厚度且可以无限延展，因此，用平行四边形表示平面时，必要时可以把
它延展开来。如同画直线一样，直线是可以无限延展的，但在画直线时，却只画出一条线段来表示。
（2） 平面几何中有些概念和性质，推广到空间不一定正确。如：“过直线外一点只能作一条直线与
已知直线垂直”在空间就不正确。而有些命题推广到空间还是正确，如：平行线的传递性及关于两角相等的定理等。
第一章《立体几何初步》单元知识总结
点击考点
（1） 了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。
（2） 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们
的直观图。
（3） 通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示
形式。
（4
） 理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。
（5） 理解平面的基本性质及确定平面的条件。
（6） 掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。
（7） 掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。
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1. 学习方法指导
（1） 空间几何体
①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。
②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。
③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。
④对于一个正棱台，当上底面扩展为下底面的全等形时，就变为一个直棱柱；当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。由S 正棱台侧
=
公式的联系。
（2） 点，线，面之间的位置关系
①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个公理。
②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行。
③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直直线与平面垂直
平面与平面垂直。 2. 思想方法小结
在本章中需要用到的数学思想方法有：观察法，数形结合思想，化归与转化思想等。主要是立体几何问题转化为平面几何问题，平行与垂直的相互转化等。
3. 综合例题分析
例1：如图，P 是∆ABC 所在平面外一点，A '，B '，C '分别是∆PBC ，∆PCA ，∆PAB 的重心。
（1） 求证：平面A 'B 'C ' 平面ABC ； P
（2） 求S A 'B 'C '：S ABC .
证明:(1) 连结PA ', PB ', PC ', 设PA '⋂BC =D ,
PB '⋂AC =E , PC '⋂AB =F , 则D,E,F 分
B '别是BC,AC,AB 的中点, 且
C '
1h (c +c ') h '和V 正棱台=(s s ') ，就可看出它们的侧面积与体积23 PA 'PB 'PC '2===PD PE PF 3
所以, A 'B ' DE A 'C ' DF A 'B '⊄平面ABC , A 'C '⊄平面ABC
且DE ⊂平面ABC , DF ⊂平面ABC ,
所以 A 'B ' 平面ABC , A 'C ' 平面ABC
从而, 平面A 'B 'C ' 平面ABC.
(2) 由平面几何知识有，
所以， S S DEF 14=， A 'B 'C '= S ABC 4S DEF 9S A 'B 'C '1=. S ABC 9
点评: (1)由线线平行线面平行面面平行, 是证明平行问题的常用方法.
(2)灵活运用平面几何知识是解决本题的关键。
例2：试证：正四面体内任意一点到各面距离之和等于这个正四面体的高。
分析：如图，设P 为正四面体ABCD 内任一点，AO 为正四面体 的高，点P 到各面的距离分别为
d 1, d 2, d 3, d 4则
P D
C
V ABCD =V P -ABC +V P -ACD +V P -ABD +V P -BCD
即 S BCD ⋅AO =1
31111S ABC ⋅d 1+S ACD ⋅d 2+S ABD ⋅d 3+S BCD ⋅d 4 3333
正四面体各面是全等的正三角形
∴ 11S BCD ⋅AO =S BCD (d 1+d 2+d 3+d 4) 33
∴ d 1+d 2+d 3+d 4=AO
点评：多面体问题常用技巧有“割”“补”“等积变换”等，利用这些技巧可使问题化繁为易。 例3：圆台的内切球半径为R ，且圆台的全面积和球面积之比为
解：如图，设圆台母线为l ， 则l =r 1+r 2，由平面几何知识得， 21。求圆台的上，下底面半径r （r 。 1, r 21
(2R ) 2+(r 2-r 1) 2=(r 1+r 2) 2 即 R 2=rr 12
22222⎤(r +r ) +r +r 又 S 圆台全=π(r 1+r 2) l +πr 1+πr 2=π⎡1212⎣⎦
S 球=4πR 2=4πrr 12
由题意得， 222π⎡(r 1+r 2) +r 1+r 2⎤4πr 1r 2=21 8
22即 4r -17rr +4r 1122=0
r = r 2=4r 1 代入R 2=rr 12 得 ，1R ，r 2=2R . 2
点评: (1) 解组合体的关键是注意选择合适的角度画出示意图，通过交点交线来研究问题，正确作
出截面，把复杂问题转化为熟悉的, 较常见的问题.
(2) 轴截面在解决旋转体问题中，有着相当重要的作用.
例4．已知三棱锥A -BCD 中，∠BCD =90，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60，
E , F 分别是A , C A 上D 的动点，且
AE AF ==λ(0
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？
证（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD ，
∵CD ⊥BC ，且AB BC =B ，∴CD ⊥平面ABC ，
AE AF ==λ（0
∴不论λ为何值，恒有EF //CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ⊂平面BEF ，
∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又要平面BEF ⊥平面ACD ，
∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC ，
∵BC =CD =1，∠BCD =90，∠ADB =60，
又∵
∴BD =AB = =
∴AC ==AB 2=AE ⋅
AC 得AE =， AE 6=， AC 7
6故当λ=时，平面BEF ⊥平面ACD ． 7∴λ=
点评：证明垂直和平行一样，要注意线面与面面的转化及立几与平几的转化。
误区莫入
（1） 几何中的平面是没有厚度且可以无限延展，因此，用平行四边形表示平面时，必要时可以把
它延展开来。如同画直线一样，直线是可以无限延展的，但在画直线时，却只画出一条线段来表示。
（2） 平面几何中有些概念和性质，推广到空间不一定正确。如：“过直线外一点只能作一条直线与
已知直线垂直”在空间就不正确。而有些命题推广到空间还是正确，如：平行线的传递性及关于两角相等的定理等。