§8、刚体的平面平行运动
一、基本动力学方程：
在运动学部分我们已经讲过，刚体的平面平行运动可以看作随任意选定的基点的平动和绕通过基点的垂直轴的转动。但是在讨论动力学问题时，对基点的选取就不能这样随心所欲了。通常选质心为基点，而将刚体的平面平行运动分解为随质心的平动和绕质心的转动。质心在运动平面上的运动状况只要用两个质心坐标x c 、y c 就能确定；刚体绕质心且垂直于运动平面的转动轴的转动可以用一转过的角度θ来表示。因此，在动力学中确定刚体平面平行运动的三个自由度通常就是，x c 、y c 和θ这三个量。平面平行运动的动力学基方程所要确定的就是外力及外力矩与x c 、y c 、θ这三个量的关系。应用质心运动定理很容易得到，确定质心
c =的运动规律的动力学方程是：m x 外外 ；F m y =F ∑ix ∑iy ，再应用质心动量矩定理可c
以得到，确定刚体绕通过质心且垂直于运动平面的轴线而转动的动力学议程为： =M 外[等于作用于刚体上的所有外力对质心c 的力矩的代数和]其中的I c 是刚体对I c θ∑ic c
通过质心且垂直于运动平面的转轴的转动惯量。这三个方程就是解决刚体平面平行运动的动力学问题的基本方程。对刚体的平面平行运动问题的求解，我们尽量用这1、三个基本方程的方法来解决。2、由于三个基本方程只能解三个未知量，如果所求的问题，它的未知量要是多于三个的话，这时我们还得根据几何约束的情况，找出约束关系。平面平行运动的约束关系，一般来说有平动和转动的关系。除了应用上面这三个基方程之外，有时也可配合应用动能定理和机械能守中定律。
二、动能定理、机械能守恒律：
由柯尼希定理可得，刚体平面平行运动时的动能就等于质心的运动动能+刚体绕质心的转动动能：T =
式：dT =dW 1211211 c +m y c 2+I c w 2。由刚体动能定理的一般表达mv c +I c w 2=m x 22222外 可得平面平行运动刚体的动能定理的具体表达式为：1211 c +m y c 2+I c w 2) =dW 外如果作用在刚体上的所有力为有势力dW 外=-dV ，d (m x 222
或者无势力不做功，则d(T+V)=0因此可得平面平行刚体的机械能守恒式为：
11T +V =E ←const ，即：mv c 2+I c ω2+V =E 。应用这种方法求解的主要优点是：22
由于不做功的力在方程中不出现，∴可避免考虑那些不做功的约束力，另外计算时可以少积一次分而简单些。但是这些优点也正好是它的缺点，无法由它求出不做功的力，而上面的第
一种解法不仅弥补了这一缺点，而对所有的力以及力矩都能在方程中出现，所以第一种方法比较基本和完备。而第二种方法只是一种辅助性的方法。在实际应用中，要视具体情况来选用。
例1、有一条不可伸长的轻绳一端固结在天花板上，另一端缠
着一个半径为r ，重为p 的滑轮。求滑轮中心即圆心下降的加
速度。
这个例子很简单，大家可以一下子就解出它的结果。不过
举这个例子的主要目的不是只为解出它的结果，而是为了说明
方法的问题。在这个问题中，我们当然就取滑轮为对象，并将
它视为刚体，而作平面平行运动。
解法一、现在先用基本方程来解这个问题。为此我们取垂直向
下的方向为x 轴的正向。计算力矩时取顺时针方向为正，作用在研究对象上的外力有↓和绳子对它作用的↑T 张力。研究对象只受有这两个外力的作用。由此分析我们马上可以列出它们微分方程为：p 1p 2 c =p -T ; (x r ) θ=Tr 两个方程三个未知量，方程数目不够，还g 2g
= c 解这三个方程就能得到圆心得靠约束关系再找一个方程。∵滑轮是作纯滚动的。∴r θx
c =x 下降的加速度 2g 。 3
解法二、这个题目能不能用机械能守恒来做呢？可以的，因为研究对象所受的两个力中，重力是有势能的，而张力T 又是不作功的。所以根据机械能守恒定律可得：1p 211p 2 2 c +(x r ) θ-px c =const [这里取坐标原点0为零势点。∴刚体的重力势能为2g 22g
-px c ]为了求出加速度，我们可以将上式两边对t 求导一次得：p 1p 2 =x = c c + c =0、r θ c , r θ c 再加上两个约束关系就可解得同样的结x x r θθ-p x x g 2g
果。
解法三：除了上面两种解法之外，还有没有第三种解法呢？[请学生来回
答和做，然后再进行讲解]
。利用瞬时转动中心即瞬心的办法来做。由于滑轮
作纯滚动，绳子与滑轮的相切点A 就是瞬时转动中心，，那么对瞬心也应该有转动方程为：(I c +p 21p 2 =pr ∵I c =r ) ωr g 2g
2g 1p 2p 23p 2 = =pr → =pr ∴ω 则由约束关系可得r +r ) ωr ω3r 2g g 2g ∴(
c =r ω =x 2g 。得到的结果与上面两种解法得到的结果完全一样。但是这种方法不能学，3
对大家来说不学这种方法为好。因为容易出差错，∵它往往是偷换了概念，是懂非懂在没有把原来的基本概念搞清楚，自以为是地认为：由于瞬心坐标系就是静止坐标系。∴它是惯性系，即然它是惯性系，那么，质点组的动量矩定理对它仍然成立∴就有瞬心这样的转动方程
外 =∑M 瞬，∴可以这样做的。这种说法是错误的，他对基本概念的理解可以说是模糊I 瞬ω
的，在这个例子中采用这种方法虽然是做对了，对有些题目是可以这样做的，但它不是普通适用的，而是有条件的，其条件是ρ=常数，ρ是两平行轴间的垂直距离即瞬心与质心之间的距离。可不可以用这种方法做，必须要加以证明，方可确定。这次课就这一个例子，下次再举一个例子让大家动手来做。
例子2、如图所示的装置，称它为“复摆”，至于怎样称呼对求解问题是无关紧要的，而要紧的是如何把题目的含意弄明白，否则就谈不上解题了。
已知此“复摆”上端的两个轮子的半径等
于r ，它们可在水平导轨上运动。还已知此“复
摆”的总质量为m ，质心c 到上端两轮的轴线
oc 的距离为 。即oc = ，“复摆”绕质心的
回转半径为R 。并假设上端两轮在导轨上的运
动是纯滚动。让我们求此“复摆”偏离平衡位
置作振动的周期。要求它的振动周期，当然得
先找出它的运动方程，然后才能解出它所要求
的结果。至于后面如何解出最后的结果，我们现在当然是无法去想得一清二楚的，至少要等到运动方程列出之后才能考虑。现在我要求大家只要列出足以求解这个问题的方程就可以了，当然其中也包括约束方程在内。
解
：先提示一下，要注意：这里的“复摆”不是通常绕固定轴转动的复摆，为了便于我
们研究，画出它的平面图如下图所示的这种情形。这样就很容易看出该“复摆”所作的运动是平面平行运动。下面应该先建立坐标系，然后列出足以求解问题的方程。
建立惯性直角坐标系：以其平衡时，也就
是摆在垂直位置时上端两个轮子的中心o 为平面
直角坐标系的原点，ox 轴水平向右，oy 轴垂直向
下，并规定摆转过的角度θ以逆时针方向为正，质
心坐标就用（x c, y c ）表示。当然我们应该以“复摆”
摆到某一任意位置，即如左图虚线所画的位置来考
虑列出它在该任意位置的方程。对摆进行受力分析
可知它所受的外力有：受力分析：↓的重力
m g ，还有导轨给两个轮子的法向反作用力N ↑，
由于两个轮子在导轨上是作纯滚动的，两轮所受的
摩擦力是静摩擦力，设静摩擦力的方向是水平向左的，除此之外，再也没有别的外力了。
列方程
c =-F m x
c =mg -N m y
=-N sin θ+F ( cos θ-r ) mk 2θ
现在三个方程都有x c ,y c , θ,N,F 这五个未知量，∴还得找两个约束关系式，从图上可以直接看出y 方向的约束关系为：y c = cos θ，在x 方向的约束关系为：x c = sin θ-oo ' ∵两轮在导轨上是作纯滚动的，∴根据纯滚动的几何约束关系知oo ' =r θ，∴x c = s i n θ-r θ。五个方程，五个未知量当然足以求解了。关于它的解在这里不做了，留给大家课外去做。通过对这个例子建立足以求解问题的方程的分析和建立方程可以看到这样一个重要问题：如何找出约束关系是解决刚体平面平行运动动力学问题的关键。题目的难易程度，往往在于约束关系的简单或复杂的程度。有些题目很难做，它主要难在约束关系难找。约束关系它不仅有平动和转动的关系，还有几何约束关系，运动约束关系等等，随着不同的物体有很多的变化。因此，我们在找约束关系时，思路要开阔，不要局限于只在某一个方面去找。刚体平面平行的题目很多， ……….. 。
§8、刚体的平面平行运动
一、基本动力学方程：
在运动学部分我们已经讲过，刚体的平面平行运动可以看作随任意选定的基点的平动和绕通过基点的垂直轴的转动。但是在讨论动力学问题时，对基点的选取就不能这样随心所欲了。通常选质心为基点，而将刚体的平面平行运动分解为随质心的平动和绕质心的转动。质心在运动平面上的运动状况只要用两个质心坐标x c 、y c 就能确定；刚体绕质心且垂直于运动平面的转动轴的转动可以用一转过的角度θ来表示。因此，在动力学中确定刚体平面平行运动的三个自由度通常就是，x c 、y c 和θ这三个量。平面平行运动的动力学基方程所要确定的就是外力及外力矩与x c 、y c 、θ这三个量的关系。应用质心运动定理很容易得到，确定质心
c =的运动规律的动力学方程是：m x 外外 ；F m y =F ∑ix ∑iy ，再应用质心动量矩定理可c
以得到，确定刚体绕通过质心且垂直于运动平面的轴线而转动的动力学议程为： =M 外[等于作用于刚体上的所有外力对质心c 的力矩的代数和]其中的I c 是刚体对I c θ∑ic c
通过质心且垂直于运动平面的转轴的转动惯量。这三个方程就是解决刚体平面平行运动的动力学问题的基本方程。对刚体的平面平行运动问题的求解，我们尽量用这1、三个基本方程的方法来解决。2、由于三个基本方程只能解三个未知量，如果所求的问题，它的未知量要是多于三个的话，这时我们还得根据几何约束的情况，找出约束关系。平面平行运动的约束关系，一般来说有平动和转动的关系。除了应用上面这三个基方程之外，有时也可配合应用动能定理和机械能守中定律。
二、动能定理、机械能守恒律：
由柯尼希定理可得，刚体平面平行运动时的动能就等于质心的运动动能+刚体绕质心的转动动能：T =
式：dT =dW 1211211 c +m y c 2+I c w 2。由刚体动能定理的一般表达mv c +I c w 2=m x 22222外 可得平面平行运动刚体的动能定理的具体表达式为：1211 c +m y c 2+I c w 2) =dW 外如果作用在刚体上的所有力为有势力dW 外=-dV ，d (m x 222
或者无势力不做功，则d(T+V)=0因此可得平面平行刚体的机械能守恒式为：
11T +V =E ←const ，即：mv c 2+I c ω2+V =E 。应用这种方法求解的主要优点是：22
由于不做功的力在方程中不出现，∴可避免考虑那些不做功的约束力，另外计算时可以少积一次分而简单些。但是这些优点也正好是它的缺点，无法由它求出不做功的力，而上面的第
一种解法不仅弥补了这一缺点，而对所有的力以及力矩都能在方程中出现，所以第一种方法比较基本和完备。而第二种方法只是一种辅助性的方法。在实际应用中，要视具体情况来选用。
例1、有一条不可伸长的轻绳一端固结在天花板上，另一端缠
着一个半径为r ，重为p 的滑轮。求滑轮中心即圆心下降的加
速度。
这个例子很简单，大家可以一下子就解出它的结果。不过
举这个例子的主要目的不是只为解出它的结果，而是为了说明
方法的问题。在这个问题中，我们当然就取滑轮为对象，并将
它视为刚体，而作平面平行运动。
解法一、现在先用基本方程来解这个问题。为此我们取垂直向
下的方向为x 轴的正向。计算力矩时取顺时针方向为正，作用在研究对象上的外力有↓和绳子对它作用的↑T 张力。研究对象只受有这两个外力的作用。由此分析我们马上可以列出它们微分方程为：p 1p 2 c =p -T ; (x r ) θ=Tr 两个方程三个未知量，方程数目不够，还g 2g
= c 解这三个方程就能得到圆心得靠约束关系再找一个方程。∵滑轮是作纯滚动的。∴r θx
c =x 下降的加速度 2g 。 3
解法二、这个题目能不能用机械能守恒来做呢？可以的，因为研究对象所受的两个力中，重力是有势能的，而张力T 又是不作功的。所以根据机械能守恒定律可得：1p 211p 2 2 c +(x r ) θ-px c =const [这里取坐标原点0为零势点。∴刚体的重力势能为2g 22g
-px c ]为了求出加速度，我们可以将上式两边对t 求导一次得：p 1p 2 =x = c c + c =0、r θ c , r θ c 再加上两个约束关系就可解得同样的结x x r θθ-p x x g 2g
果。
解法三：除了上面两种解法之外，还有没有第三种解法呢？[请学生来回
答和做，然后再进行讲解]
。利用瞬时转动中心即瞬心的办法来做。由于滑轮
作纯滚动，绳子与滑轮的相切点A 就是瞬时转动中心，，那么对瞬心也应该有转动方程为：(I c +p 21p 2 =pr ∵I c =r ) ωr g 2g
2g 1p 2p 23p 2 = =pr → =pr ∴ω 则由约束关系可得r +r ) ωr ω3r 2g g 2g ∴(
c =r ω =x 2g 。得到的结果与上面两种解法得到的结果完全一样。但是这种方法不能学，3
对大家来说不学这种方法为好。因为容易出差错，∵它往往是偷换了概念，是懂非懂在没有把原来的基本概念搞清楚，自以为是地认为：由于瞬心坐标系就是静止坐标系。∴它是惯性系，即然它是惯性系，那么，质点组的动量矩定理对它仍然成立∴就有瞬心这样的转动方程
外 =∑M 瞬，∴可以这样做的。这种说法是错误的，他对基本概念的理解可以说是模糊I 瞬ω
的，在这个例子中采用这种方法虽然是做对了，对有些题目是可以这样做的，但它不是普通适用的，而是有条件的，其条件是ρ=常数，ρ是两平行轴间的垂直距离即瞬心与质心之间的距离。可不可以用这种方法做，必须要加以证明，方可确定。这次课就这一个例子，下次再举一个例子让大家动手来做。
例子2、如图所示的装置，称它为“复摆”，至于怎样称呼对求解问题是无关紧要的，而要紧的是如何把题目的含意弄明白，否则就谈不上解题了。
已知此“复摆”上端的两个轮子的半径等
于r ，它们可在水平导轨上运动。还已知此“复
摆”的总质量为m ，质心c 到上端两轮的轴线
oc 的距离为 。即oc = ，“复摆”绕质心的
回转半径为R 。并假设上端两轮在导轨上的运
动是纯滚动。让我们求此“复摆”偏离平衡位
置作振动的周期。要求它的振动周期，当然得
先找出它的运动方程，然后才能解出它所要求
的结果。至于后面如何解出最后的结果，我们现在当然是无法去想得一清二楚的，至少要等到运动方程列出之后才能考虑。现在我要求大家只要列出足以求解这个问题的方程就可以了，当然其中也包括约束方程在内。
解
：先提示一下，要注意：这里的“复摆”不是通常绕固定轴转动的复摆，为了便于我
们研究，画出它的平面图如下图所示的这种情形。这样就很容易看出该“复摆”所作的运动是平面平行运动。下面应该先建立坐标系，然后列出足以求解问题的方程。
建立惯性直角坐标系：以其平衡时，也就
是摆在垂直位置时上端两个轮子的中心o 为平面
直角坐标系的原点，ox 轴水平向右，oy 轴垂直向
下，并规定摆转过的角度θ以逆时针方向为正，质
心坐标就用（x c, y c ）表示。当然我们应该以“复摆”
摆到某一任意位置，即如左图虚线所画的位置来考
虑列出它在该任意位置的方程。对摆进行受力分析
可知它所受的外力有：受力分析：↓的重力
m g ，还有导轨给两个轮子的法向反作用力N ↑，
由于两个轮子在导轨上是作纯滚动的，两轮所受的
摩擦力是静摩擦力，设静摩擦力的方向是水平向左的，除此之外，再也没有别的外力了。
列方程
c =-F m x
c =mg -N m y
=-N sin θ+F ( cos θ-r ) mk 2θ
现在三个方程都有x c ,y c , θ,N,F 这五个未知量，∴还得找两个约束关系式，从图上可以直接看出y 方向的约束关系为：y c = cos θ，在x 方向的约束关系为：x c = sin θ-oo ' ∵两轮在导轨上是作纯滚动的，∴根据纯滚动的几何约束关系知oo ' =r θ，∴x c = s i n θ-r θ。五个方程，五个未知量当然足以求解了。关于它的解在这里不做了，留给大家课外去做。通过对这个例子建立足以求解问题的方程的分析和建立方程可以看到这样一个重要问题：如何找出约束关系是解决刚体平面平行运动动力学问题的关键。题目的难易程度，往往在于约束关系的简单或复杂的程度。有些题目很难做，它主要难在约束关系难找。约束关系它不仅有平动和转动的关系，还有几何约束关系，运动约束关系等等，随着不同的物体有很多的变化。因此，我们在找约束关系时，思路要开阔，不要局限于只在某一个方面去找。刚体平面平行的题目很多， ……….. 。