恒等变形
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆) ．
本节在高考中要求我们能正确运用公式化简三角函数式，求某些角的三角函数值以及进行简单的三角恒等变换与证明．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β) ＝____________________. (2)cos(α±β) ＝____________________. (3)tan(α±β) ＝
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝______________．
(2)cos2α＝___________＝___________＝___________．
(3)tan2α＝.
3. 几个常用的变形公式 (1)升幂公式：1±sin α＝ (2)降幂公式： sin 2α＝
1＋cos α＝ cos 2α＝
1－cos α＝ sin αcos α=
b
（3）辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a ＋b sin(α＋φ) 其中tan φa （4）常见的化简公式：
sin α±cos α＝
sin α3cos α=
3 sin α±cos α=
三角函数式的化简、求值问题
求值： (1)sin18°cos36°；
2cos10°－sin20°(2).
cos20°
ααsin cos (1＋sin α＋cos α)⎛
2⎝2
化简：(π＜α＜2π)
2＋2cos α
1＋cos20° 求－2sin10°·tan80°的值．
2sin20°
θθ⎛
(1＋sin θ＋cos θ) sin 2cos 2⎝
⎭
化简：θ
2＋2cos θ
给值求值问题
(1)已知α，β为锐角，sin α＝
x x
(2)已知sin 2cos 0.
22(ⅰ) 求tan x 的值； (ⅱ) 求
cos2x
π⎫2cos ⎛⎝4＋x ⎭sin x
821
cos(α－β) ＝，求cos β的值； 1729
βπ1⎛⎛α⎫2
(1)已知0
⎝⎭⎝⎭11
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β) ＝2tan β＝－7，求2α－β的值．
1. 已知tan(α＋β) ＝－1，tan(α－β) ＝1sin2α
2，则sin2β的值为( A . 1
3
B ．－13
C ．3 D ．－3
2. 已知cos α＝113π
7，cos(α－β) ＝14，且0
3. 已知α，β均为锐角，sin α5，cos β1010
α－β的值．
)
三角变换的简单应用
12⎛⎛π⎛π⎫ x ＋4· 已知f (x ) ＝ 1＋sin x －2sin sin x －⎪. tan x ⎭⎝⎝⎭⎝4⎭(1)若tan α＝2，求f (α) 的值；
⎡ππ(2)若x ∈⎢122，求f (x ) 的取值范围．
⎣⎦
已知函数f (x ) 3sin(ωx＋φ) －cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0) 为偶函数，且函数y ＝f (x ) π
图象的两相邻对称轴间的距离为2π(1)求f ⎛⎝8的值；
π
x ＋的最大值及对应的x 的值． (2)求函数y ＝f (x ) ＋f ⎛⎝4
1
(2013·淄博二模) 已知函数f (x ) ＝3sin ωx·cos ωx＋cos 2ωxω＞0) ，其最小正周期为
2π2
(1)求f (x ) 的表达式；
π
(2)将函数f (x ) 的图象向右平移2倍(纵坐标
8π
0，上有且只有一个不变) ，得到函数y ＝g (x ) 的图象，若关于x 的方程g (x ) ＋k ＝0在区间⎡⎣2实数解，求实数k 的取值范围．
1. 已知函数f (x ) ＝4cos x ·sin x ＋⎪－1.
⎛
⎝
π⎫6⎭
(1)求f (x ) 的最小正周期；
⎡ππ(2)求f (x ) 在区间⎢－6，4上的最大值和最小值．
⎣⎦
2.(2013·合肥第二次质检) 已知函数f (x ) ＝m sin x ＋2m －1cos x . (1)若m ＝2，f (α) ＝3，求cos α；
π⎡
(2)若f (x ) 的最小值为－2，求f (x ) 在⎢－π，6上的值域．
⎣⎦
1. 要熟悉角的拆拼、变换的技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β) ＋(α－β) ，α
α2ααα
＝(α＋β) －β＝(α－β) ＋β，是的半角，
3324
2. 在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的． 3．求值题常见类型：
(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角．
1. 计算sin43°cos13°－sin13°cos43°的值等于( )
1
A. 2
B. 3
2
D. 2
3
全国) 已知α为第二象限角，sin α＝，则sin2α＝( ) 2.(2012·
5
24A ．－
2512B
2512
2524D. 25
3.(2012辽宁高考) 已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( ) ．
22
A ．－1 B ．－ D ．1
22
π3π2
α－⎫tan ⎛β⎫，则tan(α＋β) 的值为( ) ． 4. 已知tan ⎛⎝6⎭7⎝6⎭52911 D ．1 412941
⎛π⎫3
5.(2013·山东省实验中学诊断) 已知cos 4x ⎪＝5sin 2x ＝( ) ．
⎝⎭187716
A. 25 B. 25 C ．－25 D ．－25
sin 2α－2cos 2απ1π⎛
6.(2013·金华十校模拟) 已知tan α＋4＝－2，且2α＜π，则
π⎫⎝⎭⎛
sin α－4⎪⎝⎭( ) ．
253525310
A. 5 B ．－10 C ．－5 D ．－10tan 12°－3
7.(2013·湖南师大附中模拟) 计算：________.
(4cos 12°－2)sin 12°
8.(2013·南京模拟) 设f (x ) ＝
1＋cos 2x ⎛π2
x ＋4的最大值为2＋3， ＋sin x ＋a sin ⎝⎭⎛π⎫
2sin 2x ⎪
⎝⎭
则常数a ＝________.
ππ2⎛⎛
9.(2014·广州模拟) 已知cos 4 α－sin 4 α＝3，且α∈ 0，2，则cos 2α＋3＝________.
⎝⎭⎝⎭⎛π⎛π⎫
10.(2014·浙江大学附属中学一模) 已知函数f (x ) ＝cos x －3－sin 2x ⎪.
⎝⎭⎝⎭(1)求函数f (x ) 的最小正周期；
π⎫π3⎛⎛
(2)若α∈ 0，2⎪，且f α＋6＝5f (2α) 的值．
⎝⎭⎝⎭
11.(2013·东莞模拟) 已知函数f (x ) ＝－3sin 2 x ＋sin x cos x . 25π(1)求f ⎛⎝6的值．
α⎫13(2)设α∈(0，π)，f ⎛＝⎝2⎭42，求sin α的值．
能力提升题组
π1π2⎛⎛
1．已知tan(α＋β) ＝5tan β－4＝4tan α＋4等于( ) ．
⎝⎭⎝⎭131331
A. 18 B. 22 C. 22 D. 6
π⎛
2．(2013·潍坊模拟) 已知α，β∈ 0，2，满足tan(α＋β) ＝4tan β，则tan α的最大
⎝⎭值是( ) ．
1333
A. 4 B. 4 C. 42 D. 2
π⎛⎛π⎫
3．(2014·永康模拟) 若sin α＋6＝3sin 2α⎪，则tan 2α＝________
⎝⎭⎝⎭
π⎛
4．(2012·广东卷) 已知函数f (x ) ＝2cos ωx ＋6(其中ω＞0，x ∈R ) 的最小正周期为
⎝⎭10π.
(1)求ω的值；
π⎛5⎫5⎫166⎛⎡
(2)设α，β∈⎢0，2，f 5α＋3π⎪＝－5，f 5β－6π⎪＝17，求cos(α＋β) 的值
⎣⎦⎝⎭⎝⎭
恒等变形
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆) ．
本节在高考中要求我们能正确运用公式化简三角函数式，求某些角的三角函数值以及进行简单的三角恒等变换与证明．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β) ＝____________________. (2)cos(α±β) ＝____________________. (3)tan(α±β) ＝
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝______________．
(2)cos2α＝___________＝___________＝___________．
(3)tan2α＝.
3. 几个常用的变形公式 (1)升幂公式：1±sin α＝ (2)降幂公式： sin 2α＝
1＋cos α＝ cos 2α＝
1－cos α＝ sin αcos α=
b
（3）辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a ＋b sin(α＋φ) 其中tan φa （4）常见的化简公式：
sin α±cos α＝
sin α3cos α=
3 sin α±cos α=
三角函数式的化简、求值问题
求值： (1)sin18°cos36°；
2cos10°－sin20°(2).
cos20°
ααsin cos (1＋sin α＋cos α)⎛
2⎝2
化简：(π＜α＜2π)
2＋2cos α
1＋cos20° 求－2sin10°·tan80°的值．
2sin20°
θθ⎛
(1＋sin θ＋cos θ) sin 2cos 2⎝
⎭
化简：θ
2＋2cos θ
给值求值问题
(1)已知α，β为锐角，sin α＝
x x
(2)已知sin 2cos 0.
22(ⅰ) 求tan x 的值； (ⅱ) 求
cos2x
π⎫2cos ⎛⎝4＋x ⎭sin x
821
cos(α－β) ＝，求cos β的值； 1729
βπ1⎛⎛α⎫2
(1)已知0
⎝⎭⎝⎭11
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β) ＝2tan β＝－7，求2α－β的值．
1. 已知tan(α＋β) ＝－1，tan(α－β) ＝1sin2α
2，则sin2β的值为( A . 1
3
B ．－13
C ．3 D ．－3
2. 已知cos α＝113π
7，cos(α－β) ＝14，且0
3. 已知α，β均为锐角，sin α5，cos β1010
α－β的值．
)
三角变换的简单应用
12⎛⎛π⎛π⎫ x ＋4· 已知f (x ) ＝ 1＋sin x －2sin sin x －⎪. tan x ⎭⎝⎝⎭⎝4⎭(1)若tan α＝2，求f (α) 的值；
⎡ππ(2)若x ∈⎢122，求f (x ) 的取值范围．
⎣⎦
已知函数f (x ) 3sin(ωx＋φ) －cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0) 为偶函数，且函数y ＝f (x ) π
图象的两相邻对称轴间的距离为2π(1)求f ⎛⎝8的值；
π
x ＋的最大值及对应的x 的值． (2)求函数y ＝f (x ) ＋f ⎛⎝4
1
(2013·淄博二模) 已知函数f (x ) ＝3sin ωx·cos ωx＋cos 2ωxω＞0) ，其最小正周期为
2π2
(1)求f (x ) 的表达式；
π
(2)将函数f (x ) 的图象向右平移2倍(纵坐标
8π
0，上有且只有一个不变) ，得到函数y ＝g (x ) 的图象，若关于x 的方程g (x ) ＋k ＝0在区间⎡⎣2实数解，求实数k 的取值范围．
1. 已知函数f (x ) ＝4cos x ·sin x ＋⎪－1.
⎛
⎝
π⎫6⎭
(1)求f (x ) 的最小正周期；
⎡ππ(2)求f (x ) 在区间⎢－6，4上的最大值和最小值．
⎣⎦
2.(2013·合肥第二次质检) 已知函数f (x ) ＝m sin x ＋2m －1cos x . (1)若m ＝2，f (α) ＝3，求cos α；
π⎡
(2)若f (x ) 的最小值为－2，求f (x ) 在⎢－π，6上的值域．
⎣⎦
1. 要熟悉角的拆拼、变换的技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β) ＋(α－β) ，α
α2ααα
＝(α＋β) －β＝(α－β) ＋β，是的半角，
3324
2. 在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的． 3．求值题常见类型：
(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角．
1. 计算sin43°cos13°－sin13°cos43°的值等于( )
1
A. 2
B. 3
2
D. 2
3
全国) 已知α为第二象限角，sin α＝，则sin2α＝( ) 2.(2012·
5
24A ．－
2512B
2512
2524D. 25
3.(2012辽宁高考) 已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( ) ．
22
A ．－1 B ．－ D ．1
22
π3π2
α－⎫tan ⎛β⎫，则tan(α＋β) 的值为( ) ． 4. 已知tan ⎛⎝6⎭7⎝6⎭52911 D ．1 412941
⎛π⎫3
5.(2013·山东省实验中学诊断) 已知cos 4x ⎪＝5sin 2x ＝( ) ．
⎝⎭187716
A. 25 B. 25 C ．－25 D ．－25
sin 2α－2cos 2απ1π⎛
6.(2013·金华十校模拟) 已知tan α＋4＝－2，且2α＜π，则
π⎫⎝⎭⎛
sin α－4⎪⎝⎭( ) ．
253525310
A. 5 B ．－10 C ．－5 D ．－10tan 12°－3
7.(2013·湖南师大附中模拟) 计算：________.
(4cos 12°－2)sin 12°
8.(2013·南京模拟) 设f (x ) ＝
1＋cos 2x ⎛π2
x ＋4的最大值为2＋3， ＋sin x ＋a sin ⎝⎭⎛π⎫
2sin 2x ⎪
⎝⎭
则常数a ＝________.
ππ2⎛⎛
9.(2014·广州模拟) 已知cos 4 α－sin 4 α＝3，且α∈ 0，2，则cos 2α＋3＝________.
⎝⎭⎝⎭⎛π⎛π⎫
10.(2014·浙江大学附属中学一模) 已知函数f (x ) ＝cos x －3－sin 2x ⎪.
⎝⎭⎝⎭(1)求函数f (x ) 的最小正周期；
π⎫π3⎛⎛
(2)若α∈ 0，2⎪，且f α＋6＝5f (2α) 的值．
⎝⎭⎝⎭
11.(2013·东莞模拟) 已知函数f (x ) ＝－3sin 2 x ＋sin x cos x . 25π(1)求f ⎛⎝6的值．
α⎫13(2)设α∈(0，π)，f ⎛＝⎝2⎭42，求sin α的值．
能力提升题组
π1π2⎛⎛
1．已知tan(α＋β) ＝5tan β－4＝4tan α＋4等于( ) ．
⎝⎭⎝⎭131331
A. 18 B. 22 C. 22 D. 6
π⎛
2．(2013·潍坊模拟) 已知α，β∈ 0，2，满足tan(α＋β) ＝4tan β，则tan α的最大
⎝⎭值是( ) ．
1333
A. 4 B. 4 C. 42 D. 2
π⎛⎛π⎫
3．(2014·永康模拟) 若sin α＋6＝3sin 2α⎪，则tan 2α＝________
⎝⎭⎝⎭
π⎛
4．(2012·广东卷) 已知函数f (x ) ＝2cos ωx ＋6(其中ω＞0，x ∈R ) 的最小正周期为
⎝⎭10π.
(1)求ω的值；
π⎛5⎫5⎫166⎛⎡
(2)设α，β∈⎢0，2，f 5α＋3π⎪＝－5，f 5β－6π⎪＝17，求cos(α＋β) 的值
⎣⎦⎝⎭⎝⎭