[解三角形]单元测试题参考答案

《解三角形》单元测试题参考答案

一、选择题: 每小题5分，共50分．

二、填空题: 每小题5分，共20分．

11、2；12、

4002；13、3或2；14、．

313

三、解答题: 共80分．

15、（本小题满分12分）

a2c2b21

， ∵acbac，∴acbac，∴cosB

2ac2

2

2

2

2

2

2

∵B(0,)，∴B



3

，∴CAB

2

A， 3

∴sinAsinCsinA2333A)sinAcosAsinB， 3222

∴

231)， ，∴sin(A)，∵A(0,sinAcosA

322262

∴A当A



52

(,)，∴A或A，即A或A． 666636362

6

时，CAB



2

；当A



2

时，CAB



6

．

因此，所求得角分别为A



6

，B



3

，C



2

或A



2

，B



3

，C



6

．

16、（本小题满分12分）

过A点作ADBC，垂足为D，则AD是此船不改变航向航行，所经过的点到小岛A的最短距离．

在ABC中，ABC30，BAC180ABCACB15，

ACB180ACD135，由正弦定理有

ACBC

，

sinABCBAC

∴AC

BCsinABC



sinBAC

30

1

15(2)， 624

在RtACD中，ADACsinACD15(62)∴此船不改变航向,继续向南航行，没有触礁的危险． 17、（本小题满分14分）

（1）由2cosAB1，得cosAB

2

15(31)38． 2

1

，∵A、B是△ABC的内角， 2

∴0AB180，∴AB60，∴C180(AB)120． （2）∵a、b是方程x223x20的两个根，∴ab2，ab2，

由余弦定理有AB2a2b22abcosCa2b2ab(ab)2ab10， ∴AB，即AB的长度为． 18、（本小题满分14分）

ab

，∴asinBbcosA4， sinAsinB

4434

5． 又∵acosB3，∴tanB，∴sinB，cosB∴a

355sinB1

（2）依题意，知△ABC的面积SacsinB2c10，∴c5．

2

322222

由余弦定理，有bac2accosB5525520，

5

（1）依题意，由正弦定理有

∴b2，∴△ABC的周长labc102． 19、（本小题满分14分） （1）依题意，有

cosAbabbsinB

，由正弦定理，有，∴， cosBasinAsinBasinA

cosAsinB

∴，∴sinAcosAsinBcosB，∴sin2Asin2B， cosBsinA

∵A、B是△ABC的内角，∴2A2B或2A2B180，∴AB或AB90．

b4

，∴ba，∴BA，∴AB90，∴C180(AB)90， a3

∴ABC是直角三角形．

b4

（2）∵ABC是直角三角形，c10，∴由及a2b2c2100可得

a3434

a6，b8，从而sinABC，sinBAC，cosBAC．

555

又∵

∴ABCP是圆内接四边形，∴APCABC180，BAPBCP180

4

，ACP180BAPACB30． 5

18

ACAP5， 在ACP中，由正弦定理有，∴AP

4sinAPCsinACP

5

∴sinAPCsinABC

sinCAPsin(PABBAC)sin60cosBACcos60sinBAC

433

， 10

∴ACP的面积S1

1143ACAPsinCAP8586， 2210

11

ACBC6824， 22

又∵△ABC的面积为S2

∴四边形ABCP 的面积为SS1S2188．

20、（本小题满分14分）

（1）依题意，∵向量、共线，∴2sin(AC)(2cos2

B

1)cos2B， 2

∴2sinBcosBcos2B，∴sin2Bcos2B，∴tan2B， ∵在锐角ABC中，B(0,



2

)，∴2B(0,)，∴2B



3

，∴B



6

．

（2）依题意，由余弦定理有b2a2c22accosBa2c2ac1，

∵a2c22ac(ac)20，∴a2c22ac， ∴1a2c23ac2acac(23)ac，∴ac

123

23，

∴ABC的面积SABC

112， acsinBac

244

2． 4

即ABC的面积SABC的最大值为

《解三角形》单元测试题参考答案

一、选择题: 每小题5分，共50分．

二、填空题: 每小题5分，共20分．

11、2；12、

4002；13、3或2；14、．

313

三、解答题: 共80分．

15、（本小题满分12分）

a2c2b21

， ∵acbac，∴acbac，∴cosB

2ac2

2

2

2

2

2

2

∵B(0,)，∴B



3

，∴CAB

2

A， 3

∴sinAsinCsinA2333A)sinAcosAsinB， 3222

∴

231)， ，∴sin(A)，∵A(0,sinAcosA

322262

∴A当A



52

(,)，∴A或A，即A或A． 666636362

6

时，CAB



2

；当A



2

时，CAB



6

．

因此，所求得角分别为A



6

，B



3

，C



2

或A



2

，B



3

，C



6

．

16、（本小题满分12分）

过A点作ADBC，垂足为D，则AD是此船不改变航向航行，所经过的点到小岛A的最短距离．

在ABC中，ABC30，BAC180ABCACB15，

ACB180ACD135，由正弦定理有

ACBC

，

sinABCBAC

∴AC

BCsinABC



sinBAC

30

1

15(2)， 624

在RtACD中，ADACsinACD15(62)∴此船不改变航向,继续向南航行，没有触礁的危险． 17、（本小题满分14分）

（1）由2cosAB1，得cosAB

2

15(31)38． 2

1

，∵A、B是△ABC的内角， 2

∴0AB180，∴AB60，∴C180(AB)120． （2）∵a、b是方程x223x20的两个根，∴ab2，ab2，

由余弦定理有AB2a2b22abcosCa2b2ab(ab)2ab10， ∴AB，即AB的长度为． 18、（本小题满分14分）

ab

，∴asinBbcosA4， sinAsinB

4434

5． 又∵acosB3，∴tanB，∴sinB，cosB∴a

355sinB1

（2）依题意，知△ABC的面积SacsinB2c10，∴c5．

2

322222

由余弦定理，有bac2accosB5525520，

5

（1）依题意，由正弦定理有

∴b2，∴△ABC的周长labc102． 19、（本小题满分14分） （1）依题意，有

cosAbabbsinB

，由正弦定理，有，∴， cosBasinAsinBasinA

cosAsinB

∴，∴sinAcosAsinBcosB，∴sin2Asin2B， cosBsinA

∵A、B是△ABC的内角，∴2A2B或2A2B180，∴AB或AB90．

b4

，∴ba，∴BA，∴AB90，∴C180(AB)90， a3

∴ABC是直角三角形．

b4

（2）∵ABC是直角三角形，c10，∴由及a2b2c2100可得

a3434

a6，b8，从而sinABC，sinBAC，cosBAC．

555

又∵

∴ABCP是圆内接四边形，∴APCABC180，BAPBCP180

4

，ACP180BAPACB30． 5

18

ACAP5， 在ACP中，由正弦定理有，∴AP

4sinAPCsinACP

5

∴sinAPCsinABC

sinCAPsin(PABBAC)sin60cosBACcos60sinBAC

433

， 10

∴ACP的面积S1

1143ACAPsinCAP8586， 2210

11

ACBC6824， 22

又∵△ABC的面积为S2

∴四边形ABCP 的面积为SS1S2188．

20、（本小题满分14分）

（1）依题意，∵向量、共线，∴2sin(AC)(2cos2

B

1)cos2B， 2

∴2sinBcosBcos2B，∴sin2Bcos2B，∴tan2B， ∵在锐角ABC中，B(0,



2

)，∴2B(0,)，∴2B



3

，∴B



6

．

（2）依题意，由余弦定理有b2a2c22accosBa2c2ac1，

∵a2c22ac(ac)20，∴a2c22ac， ∴1a2c23ac2acac(23)ac，∴ac

123

23，

∴ABC的面积SABC

112， acsinBac

244

2． 4

即ABC的面积SABC的最大值为