学号： 姓名：
中国农业大学2014-2015秋季学期研究生《数值分析》试题
一． 填空题
*≤___________. 1．x *=3587.6是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差e r
2．设f (x )=a n x n +1 (a n ≠0) ，则f [x 0, x1, …, xn ]=_________ .
3．设f ''(x ) ≥0, 则由梯形公式计算的近似值T 和定积分I =⎰f (x ) dx 的值的大小 a b
关系为___________.（大于或者小于）
⎛2-3⎫4．已知A = 04⎪⎪, 则A 1=_______. ⎝⎭
5．超松弛迭代法（SOR 方法）收敛的必要条件是6．求方程x = cosx 根的牛顿迭代格式是
二．序列{y n }满足递推关系 y n =10y n -1-1，（n =1,2,…），若y 0=2≈1. 41（三位有效数字），计算到y 10时误差有多大？这个计算过程数值稳定吗？
三．已知f ( x ) 的如下函数值以及导数值：f (0) =2, f (1) =3, f '(1) =2, f (2) =5，
(1) 建立不超过3次的埃尔米特插值多项式H 3(x ) ，并计算H 3(1. 8) ；
（2）推导H 3(x ) 的插值余项；若f (4) (x ) ≤1，求f (1. 8) -H 3(1. 8) . 0≤x ≤2
a +b 的经验公式. x 用最小二乘法求形如y =
五．已知数值积分公式
⎰1
-1f (x ) dx ≈53853f (-) +f (0) +f () ， 95995
b (1) 证明上面的求积公式是高斯型求积公式；
(2) 试给出计算积分⎰a g (x ) dx 的3点高斯型求积公式.
共2页，第1页
(3) 应用(2)所构造的求积公式计算积分3
⎧x 1+2x 2-2x 3=5⎪六． 对于方程组⎨x 1+x 2+x 3=1，
⎪2x +2x +x =323⎩1⎰6e -x dx 的近似值（结果保留4位小数）.
(1)用三角分解法解此方程组；
(2)讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解该线性方程组的敛散性；
(3)取初值X (0) =0，写出雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法的迭代公式，并迭代2次.
七．给定方程3x 2-e x =0,
(1) 构造一种迭代公式在[3, 4]上线性收敛该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭
代收敛的原因）；
(2) 构造一种二次收敛的不动点迭代公式局部收敛该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何
区间，迭代收敛的原因）.
八．设有求解初值问题
y n +1=y n +hf (x n +h h , y n +f (x n , y n )) 22
(1) 证明：该公式至少是二阶公式； y '(x ) =f (x , y ), y (x 0) =y 0的龙格—库塔公式
(2) 用该公式计算积分0⎰x 2e dt 在x =0.5, 1处的值. t 2
九．证明：设A 是非奇异阵，线性方程组Ax =b ≠0，且
A (x +δx ) =b +δb
则 x
x ≤A -1⋅A ⋅δb
b . 十．请你设计三种不同类型的算法求. 75的近似值，并评价你提出方法的精确程度. （注：直接按
计算器不算作一种算法）
共2页，第2页
学号： 姓名：
中国农业大学2014-2015秋季学期研究生《数值分析》试题
一． 填空题
*≤___________. 1．x *=3587.6是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差e r
2．设f (x )=a n x n +1 (a n ≠0) ，则f [x 0, x1, …, xn ]=_________ .
3．设f ''(x ) ≥0, 则由梯形公式计算的近似值T 和定积分I =⎰f (x ) dx 的值的大小 a b
关系为___________.（大于或者小于）
⎛2-3⎫4．已知A = 04⎪⎪, 则A 1=_______. ⎝⎭
5．超松弛迭代法（SOR 方法）收敛的必要条件是6．求方程x = cosx 根的牛顿迭代格式是
二．序列{y n }满足递推关系 y n =10y n -1-1，（n =1,2,…），若y 0=2≈1. 41（三位有效数字），计算到y 10时误差有多大？这个计算过程数值稳定吗？
三．已知f ( x ) 的如下函数值以及导数值：f (0) =2, f (1) =3, f '(1) =2, f (2) =5，
(1) 建立不超过3次的埃尔米特插值多项式H 3(x ) ，并计算H 3(1. 8) ；
（2）推导H 3(x ) 的插值余项；若f (4) (x ) ≤1，求f (1. 8) -H 3(1. 8) . 0≤x ≤2
a +b 的经验公式. x 用最小二乘法求形如y =
五．已知数值积分公式
⎰1
-1f (x ) dx ≈53853f (-) +f (0) +f () ， 95995
b (1) 证明上面的求积公式是高斯型求积公式；
(2) 试给出计算积分⎰a g (x ) dx 的3点高斯型求积公式.
共2页，第1页
(3) 应用(2)所构造的求积公式计算积分3
⎧x 1+2x 2-2x 3=5⎪六． 对于方程组⎨x 1+x 2+x 3=1，
⎪2x +2x +x =323⎩1⎰6e -x dx 的近似值（结果保留4位小数）.
(1)用三角分解法解此方程组；
(2)讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解该线性方程组的敛散性；
(3)取初值X (0) =0，写出雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法的迭代公式，并迭代2次.
七．给定方程3x 2-e x =0,
(1) 构造一种迭代公式在[3, 4]上线性收敛该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭
代收敛的原因）；
(2) 构造一种二次收敛的不动点迭代公式局部收敛该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何
区间，迭代收敛的原因）.
八．设有求解初值问题
y n +1=y n +hf (x n +h h , y n +f (x n , y n )) 22
(1) 证明：该公式至少是二阶公式； y '(x ) =f (x , y ), y (x 0) =y 0的龙格—库塔公式
(2) 用该公式计算积分0⎰x 2e dt 在x =0.5, 1处的值. t 2
九．证明：设A 是非奇异阵，线性方程组Ax =b ≠0，且
A (x +δx ) =b +δb
则 x
x ≤A -1⋅A ⋅δb
b . 十．请你设计三种不同类型的算法求. 75的近似值，并评价你提出方法的精确程度. （注：直接按
计算器不算作一种算法）
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