作者：王振宏
中学教与学 2007年11期
三角板是学生最常见的学习工具，利用三角板的旋转变换命题，考查学生观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力，在近几年的中考试题中经常出现。猜想数量关系一类问题是其中典型的具有探索性的试题。
猜想数量关系可能是思路相同结构相同、思路相同结论不同，也可能是思路不同结论相同。
一、思路相同，结论相同
例1 （2006，广东省梅州市中考题）用两个全等的正方形ABCD和CDFE搓成一个矩形ABEF，把一个足够大的三角板的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将三角板绕点D按逆时针主向旋转。
(1)当三角板的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，如图1，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。
(2)当三角板的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时（如图2），你在图1中得到的结论还成立吗？简要说明理由。
分析 本题通过证明旋转前后Rt△CDG≌Rt△FDH，可得BG=EH。
解 (1)结论BG=EH。
如图1，由四边形ABCD和四边形CDFE都是正方形可知，
DC=DF，
∠DCG=∠DFH=∠FDC=90°。
因为∠CDG+∠CDH=∠CDH+∠FDH=90°，
所以∠CDG=∠FDH。
故Rt△CDG≌Rt△FDH，则CG=FH。
因为BC=EF，所以BC-CG=EF-FH，即BG=EH。
(2)结论BG=EH仍然成立。如图2，
证略。
二、思路相同，结论不同
例2 （2006，黑龙江省中考题）已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB（或它们的反向延长线）相交于点D，E。
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图4、图5这两种情况下，图3中结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。
分析 可通过把图4、图5转化成图3的特殊情况，抓住旋转后始终存在Rt△CPD≌Rt△CQE，并对图中有关元素类比得出结论。
解 图4：结论仍成立。图5：结论不成立，结论为OE-OD=。
三、思路不同，结论相同
例3 (2006，湖北省武汉市中考题（实验区）)已知：将以Rt△ABC和Rt△DEF表示的一副三角板如图6摆放，点E，A，D，B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE，AC相交于点M，直线DF，BC相交于点N，过点M，N分别作直线AB的垂线，垂足为G，H。
(1)当α=30°时（如图7），求证：AG=DH；
(2)当α=60°时（如图8），(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；
(3)当0°＜α＜90°时（图略），(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由。
分析 当α=30°时，可通过等腰三角形△AMD和△DCB，证AG=DH。
当α=60°时可通过△AMD≌DNB，△AMG≌DNH，证AG=DH。
当0°＜α＜90°时可通过Rt△AGM∽Rt△NHB，Rt△DGM∽Rt△NHD，及其相关比例式，证AG=DH。
因为∠BDC=90°-∠ADM=60°=∠B，所以CB=CD。
作者介绍：王振宏 江苏省兴化市茅山初级中学，225713
作者：王振宏
中学教与学 2007年11期
三角板是学生最常见的学习工具，利用三角板的旋转变换命题，考查学生观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力，在近几年的中考试题中经常出现。猜想数量关系一类问题是其中典型的具有探索性的试题。
猜想数量关系可能是思路相同结构相同、思路相同结论不同，也可能是思路不同结论相同。
一、思路相同，结论相同
例1 （2006，广东省梅州市中考题）用两个全等的正方形ABCD和CDFE搓成一个矩形ABEF，把一个足够大的三角板的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将三角板绕点D按逆时针主向旋转。
(1)当三角板的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，如图1，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。
(2)当三角板的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时（如图2），你在图1中得到的结论还成立吗？简要说明理由。
分析 本题通过证明旋转前后Rt△CDG≌Rt△FDH，可得BG=EH。
解 (1)结论BG=EH。
如图1，由四边形ABCD和四边形CDFE都是正方形可知，
DC=DF，
∠DCG=∠DFH=∠FDC=90°。
因为∠CDG+∠CDH=∠CDH+∠FDH=90°，
所以∠CDG=∠FDH。
故Rt△CDG≌Rt△FDH，则CG=FH。
因为BC=EF，所以BC-CG=EF-FH，即BG=EH。
(2)结论BG=EH仍然成立。如图2，
证略。
二、思路相同，结论不同
例2 （2006，黑龙江省中考题）已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB（或它们的反向延长线）相交于点D，E。
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图4、图5这两种情况下，图3中结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。
分析 可通过把图4、图5转化成图3的特殊情况，抓住旋转后始终存在Rt△CPD≌Rt△CQE，并对图中有关元素类比得出结论。
解 图4：结论仍成立。图5：结论不成立，结论为OE-OD=。
三、思路不同，结论相同
例3 (2006，湖北省武汉市中考题（实验区）)已知：将以Rt△ABC和Rt△DEF表示的一副三角板如图6摆放，点E，A，D，B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE，AC相交于点M，直线DF，BC相交于点N，过点M，N分别作直线AB的垂线，垂足为G，H。
(1)当α=30°时（如图7），求证：AG=DH；
(2)当α=60°时（如图8），(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；
(3)当0°＜α＜90°时（图略），(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由。
分析 当α=30°时，可通过等腰三角形△AMD和△DCB，证AG=DH。
当α=60°时可通过△AMD≌DNB，△AMG≌DNH，证AG=DH。
当0°＜α＜90°时可通过Rt△AGM∽Rt△NHB，Rt△DGM∽Rt△NHD，及其相关比例式，证AG=DH。
因为∠BDC=90°-∠ADM=60°=∠B，所以CB=CD。
作者介绍：王振宏 江苏省兴化市茅山初级中学，225713