： ---------------------------------
2012年湖北普通专升本高等数学真题一
一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）
1. 函数f (x )=x 2+1cos x 是（ ）.
()
(A )奇函数 (B )偶函数 号--证---考---准---- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- ：---名---姓---_--_--_-_--_--_--_-_--_--__线__封__密_--_--_-_--_--_-_--：---业---专---考---报---_--_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_ -_ --_ --_-_--：---校---学---考---报-----------(C )有界函数 (D )周期函数
2. 设函数f (x )=x ，则函数在x =0处是（ ）.
(A )可导但不连续 (B )不连续且不可导
(C )连续且可导 (D )连续但不可导
3. 设函数f (x )在[0, 1]上, d 2f
dx
2
>0，则成立（ ）. (A )df dx >
df dx >f (1)-f (0) (B )df >f (0)-f (1)>
df
x =1
x =0dx x =1dx x =0
(C )df
>f (1)-f (0)>
df dx (D )f (1)-f (0)>df df
x =1
dx >x =0dx x =0dx x =1
4. 方程z =x 2
+y 2
表示的二次曲面是（ ）.
(A )椭球面
(B )柱面
(C )圆锥面 (D )抛物面
5. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, f (a )=f (b ), 则在(a , b )内，曲线y =f (x )上平
行于x 轴的切线（ ）.
(A )至少有一条 (B )仅有一条
(C ). 不一定存在 (D ). 不存在
二. 填空题:(只须在横线上直接写出答案, 不必写出计算过程, 每小题4分, 共40分)
1x
1. 计算lim x →0x sin 2
=_________________
2. 设函数f (x )在x =1可导, 且
df (x )=1, 则 dx x =0
lim
x →0
f (1+2x )-f (1). =
__________. x
df (x ) =
________________________. dx
3. 设函数f (2x )=ln x , 则
4. 曲线y =x 3-3x 2-x 的拐点坐标_____________________.
5. 设arctan x 为f (x )的一个原函数, 则f (x )=_____________________. 6.
d 2
f (t )dt =⎰x _________________________. dx
7. 定积分
⎰(x
π
-π
2
+x dx =
)
________________________.
8. 设函数z =cos x +y 9. 交换二次积分次序
(
22
∂z
=), 则∂
_______________. x __________
⎰
10
dx ⎰f (x , y )dy =__________________________.
x
10. 设平面∏过点(1, 0, -1)且与平面4x -y +2z -8=0平行，则平面∏的方程为
_____________________.
三. 计算题:(每小题6分, 共60分)
e x -1
1. 计算lim .
x →0x
2. 设函数f (x )=e , g (x )=cos x , 且y =f
x
⎛dg ⎫dy
⎪, 求. ⎝dx ⎭dx
3. 计算不定积分
⎰
⎰
dx x 1+x +∞
.
4. 计算广义积分
xe -x dx .
5. 设函数f (x )=⎨
1⎧cos x , x ≥0, 求f (x )dx . 4⎰-2
⎩x , x
6. 设f (x )在[0, 1]上连续，且满足f (x )=e +2
x
⎰f (t )dt ，求f (x ).
1
-------------
d 2y dy x
+=e 7. 求微分方程的通解. 2
dx dx
--------------------------------------------------------------------------------------线封密-------------------------------------------------------- - -- ---------8. 将函数f (x )=x 2ln (1+x )展开成x 的幂级数. 9. 设函数f (x , y )=x -y
x +y
, 求函数f (x , y )在x =0, y =2的全微分. 10. 计算二重积分,
⎰⎰(x
2
+y 2)
dxdy ，其中D :x 2+y 2≤1.
D
四. 综合题:(本题共30分, 其中第1题12分，第2题12分，第3题6分) 1. 设平面图形由曲线y =e x 及直线y =e , x =0所 围成,
(1)求此平面图形的面积;
(2)求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的
旋转体的体积.
2. 求函数y =x 3-3x 2-1的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.
x
3. 求证:当x >0时, ⎛ 1⎫
⎝1+x ⎪⎭
：______________________报考专业：______________________姓名： 准考证号：
2012年湖北普通专升本高等数学真题二
一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题
共有5个小题，每小题4分，共2０分）
x 2
1. 当x →0时, sec x -1是的（ ）.
2
A . 高阶无穷小 B . 低阶无穷小 C . 同阶但不是等阶无穷小 D . 等阶无穷小
2. 下列四个命题中成立的是（ ）.
A . 可积函数必是连续函数 B . 单调函数必是连续函数 C . 可导函数必是连续函数 D . 连续函数必是可导函数 3. 设f (x )为连续函数, 则
d
f (x )dx 等于( ). ⎰dx
A . f (x )+C B . f (x )
C .
df (x )df (x )+C D .
dx dx
4. 函数f (x )=x 3sin x 是（ ）.
A . 偶函数 B . 奇函数
C . 周期函数 D . 有界函数
5. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, f (a )=f (b ), 则在(a , b )内，曲线y =f (x )上平
行于x 轴的切线（ ）.
(A )不存在 (B )仅有一条 (C ). 不一定存在 (D ). 至少有一条
二. 填空题:(只须在横线上直接写出答案, 不必写出计算过程, 每小题4分, 共40分)
⎧e x , x ≤0
1. 设函数f (x )=⎨在x =0处连续，则
⎩a +x , x >0a =__________.
2. lim
x →1
sin 2(1-x )
x -1x +32
=
___________________.
x -x 2+x +1
3. lim =x →-∞___________________________. x
4. 设函数f (x )在点x =1处可导，且
df (x )=1，
dx x =1
则lim
x →0
f (1+2x )-f (1) =
_______. x
df (x ) =
____________________. dx
5设函数f (2x )=ln x ，则
x
6. 设e 为f (x )的一个原函数，则f (x )=___________________.
--------------------------------------------7.
d dx
⎰2
x f (t )dt =_________________________. 8.
⎰
+∞x 0
e -dx =
_________________________.
9.
⎰π
(x
2
-π
+x )
dx =
________________________.
∞
10. 幂级数
∑
(x -2)n
的收敛半径为__________
n =0
n
2
______. 三. 计算题:(每小题6分, 共60分) 1. 求极限x lim
→+∞
a +x b +x -a -x b -x ).
2. 求极限lim
2n +3n +7n
n →∞
-5n
+7
n
.
3. 设y =e
sin (ax +b )
，求dy .
4. 设函数y =xe x
，求
d 2y
dx 2
.
x =0
5. 设y 是由方程sin (xy )-
1y -x =1所确定的函数, 求(1).y x =0; 6. 计算不定积分⎰
x
2
x 3+1dx .
7. 设函数f (x )=⎧⎨x 2, 0≤x ≤1
22x , 1
，求定积分⎰f (x )dx .
⎩0
8. 计算lim
⎰x (e
t
-t 0
+e -2)
dt
x →0
1-cos x
.
9. 求微分方程
d 2y dx 2+dy
dx
=0的通解.
(2).dy
dx . x =0
考证号：
10. 将函数f (x )=x 2ln (1+x )展开成x 的幂级数. 四．综合题：（每小题10分，共30分）
1. 设平面图形由曲线y =e x 及直线y =e , x =0所围成, (1)求此平面图形的面积;
(2)求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积. 2. 求过曲线y =xe -x 上极大值点和拐点的中点并垂直于x =0
的直线方程。（注：由使函数取极大值的点x 0和函数的极大值f (x 0)所构成的一对数组
(x 0, f (x 0))称为曲线y =f (x )上的极大值点）.
3. 设函数y =f (x )在点x 0处可导，证明它在点x 0处一定连续，并举例説明其逆不真.
2012年湖北普通专升本高等数学真题三
一、
填空题（每小题3分共15分）
1 .y =arccos x 2 则y /(0) =_________.
2. 设f (x ) =arctan e x , 则df (x ) =_______________. 3:⎰
10
-x 2dx =____________
4:微分方程3ydy+3x2dx=0的阶是______________
5. 当k =________ 时, lim x →∞(1+k
x
) x =e
二、 单选题（每小题3分共15分）
1. 必为函数f(x)单调区间分界点的是( )
A. 使f /(x ) =0的点 B. f(x)的间断点 C. f /(x ) 不存在的点 D.以上都不对 2:设f(0)=0且lim
f （x ) x →0x 存在，则lim f （x )
x →0x
=( )
A: f(0) B: f /(x) C: f /(0) D: 3:
⎰
+∞
e -x dx =( )
A. ―1 B. 0 C. 1 D. 发散4: 若f(x)的一个原函数是1
x
, 则f /(x ) =( )
A. -121x 2 B. x 3 C. ln x D. x
5:微分方程y //=e -x 的通解为 y=( )
A: e -x +c 1x +c 2 B: -e -x +c 1x +c 2 C: e -x D: 三、
求极限（每小题6分, 共42分）
1：x lim →∞
(x 2+3x -x )
2：lim ∞(1-2
x
) 2x x →
3：求y =x sin 2x -
ln x
x
+4π的dy 4：求隐函数方程y 3=xy+2x2+y2确定y=y(x)的
dy dx
-e -x
5：⎰
1
dx x ln x
1
x
6：⎰e
dx
⎧t 2
d y ⎪x =
7: 设函数y =y (x ) 由参数方程⎨2确定，求。
d x ⎪y =1-t
⎩四、微积分应用题(第1，2题各9分，第3题10分，共28分)
1. 求y /+y=x的通解
2. 求微分方程y ''+5y '-6y =0满足初始条件y (0) =-4，y '(0) =-30的特解． 3. 求曲线y =x （0≤ x ≤2） 绕x 轴一周旋转所围成的体积
2012年湖北普通专升本高等数学真题四
一、填空题（每小题3分共15分）
1 .y =arccos x 2 则y /(0) =_________.
2. 设f (x ) =arctan e x , 则df (x ) =_______________. 3:⎰
10
-x 2dx =____________
4:微分方程3ydy+3x2dx=0的阶是______________
5. 当k =________ 时, lim x →∞(1+k
x
) x =e
四、 单选题（每小题3分共15分）
1. 必为函数f(x)单调区间分界点的是( )
A. 使f /(x ) =0的点 B. f(x)的间断点 C. f /(x ) 不存在的点 D.以上都不对 2:设f(0)=0且lim
f （x ) x →0x 存在，则lim f （x )
x →0x
=( )
A: f(0) B: f /(x) C: f /(0) D: 3:
⎰
+∞
e -x dx =( )
A. ―1 B. 0 C. 1 D. 发散4: 若f(x)的一个原函数是1
x
, 则f /(x ) =( )
A. -121x 2 B. x 3 C. ln x D. x
5:微分方程y //=e -x 的通解为 y=( )
A: e -x +c 1x +c 2 B: -e -x +c 1x +c 2 C: e -x D: 五、
求极限（每小题6分, 共42分）
1：x lim →∞
(x 2+3x -x )
2：lim ∞(1-2
x
) 2x x →
3：求y =x sin 2x -
ln x
x
+4π的dy 4：求隐函数方程y 3=xy+2x2+y2确定y=y(x)的
dy dx
-e -x
5：⎰
1
dx x ln x
1
x
6：⎰e
dx
⎧t 2
d y ⎪x =
7: 设函数y =y (x ) 由参数方程⎨2确定，求。
d x ⎪y =1-t
⎩四、微积分应用题(第1，2题各9分，第3题10分，共28分)
3. 求y /+y=x的通解
4. 求微分方程y ''+5y '-6y =0满足初始条件y (0) =-4，y '(0) =-30的特解． 3. 求曲线y =x （0≤ x ≤2） 绕x 轴一周旋转所围成的体积
2012年湖北普通专升本高等数学真题五
一、填空题（每小题3分共15分）
1 .y =arccos x 2 则y /(0) =_________.
2. 设f (x ) =arctan e x , 则df (x ) =_______________. 3:⎰
10
-x 2dx =____________
4:微分方程3ydy+3x2dx=0的阶是______________
5. 当k =________ 时, lim x →∞(1+k
x
) x =e
二、单选题（每小题3分共15分）
1. 必为函数f(x)单调区间分界点的是( )
A. 使f /(x ) =0的点 B. f(x)的间断点 C. f /(x ) 不存在的点 D.以上都不对 2:设f(0)=0且lim
f （x ) x →0x 存在，则lim f （x )
x →0x
=( )
A: f(0) B: f /(x) C: f /(0) D: +∞
3:
⎰
e -x dx =( )
A. ―1 B. 0 C. 1 D. 发散4: 若f(x)的一个原函数是1
x
, 则f /(x ) =( )
A. -121x 2 B. x 3 C. ln x D. x
5:微分方程y //=e -x 的通解为 y=( )
A: e -x +c x 1x +c 2 B: -e -+c 1x +c 2 C: e -x D: 三、求极限（每小题6分, 共42分） 1：lim x →∞
(x 2+3x -x )
2：lim ∞(1-2
x
) 2x x →
3：求y =x sin 2x -
ln x
x
+4π的dy 4：求隐函数方程y 3=xy+2x2+y2确定y=y(x)的
dy dx
-e -x
5：⎰
1
dx x ln x
1
x
6：⎰e
dx
⎧t 2
d y ⎪x =
7: 设函数y =y (x ) 由参数方程⎨2确定，求。
d x ⎪y =1-t
⎩四、微积分应用题(第1，2题各9分，第3题10分，共28分)
5. 求y /+y=x的通解
6. 求微分方程y ''+5y '-6y =0满足初始条件y (0) =-4，y '(0) =-30的特解． 3. 求曲线y =x （0≤ x ≤2） 绕x 轴一周旋转所围成的体积
2012年湖北普通专升本高等数学真题六
一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个空格，每一空格5分，共40分）
⎧sin 4x +e ⎪
1. 若 f (x ) =⎨x
⎪a ⎩
-3ax
-1
, x ≠0x =0
在
x =0连续，则 a =⎧x =1+t 2
2. 曲线⎨3
⎩y =t
在t =2处的切线方程
为 .
3. 设函数y =(2x +1) sin x ，则其导数为. 4.
⎰
2
-2
(1+x cos x ) dx ＝ .
5. 设y =cos(sinx ) ，则dy =dx .
6.
曲线y =x =1，x =3及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周， 所得旋转体体积为 .
7. 微分方程 y ''-4y '+5y =0的通解为.
8. 若级数
∑n α
n =1
∞
1
3-1
收敛，则α的取值范围是 .
二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求） 1．lim
x
arctan x =（ ）.
x →-∞x +1
(A)
ππ
(B) - (C) 1 (D) 不存在
22
2
2. 当x →0时，f (x ) =x -sin x 是比 x 的（ ）. (A ) 高阶无穷小 (B ) 等价无穷小 (C ) 同阶无穷小 (D ) 低阶无穷小
3.
级数
为（ ）. n =∞
(A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 无法判断
4. 曲线y =x 2与直线y =1所围成的图形的面积为（ ）. (A )
23
(B ) (C ) 344
(D ) 3
1
5. 广义积分
⎰
+∞0
x
dx 为（ ）.
(1+x ) 3
1
(D ) 2
1 2
(A ) -1 (B ) 0 (C ) -
三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分, 本题共10个小题，每小题6分，共60分） 1.
⎰计算极限 lim
x →0
x 0
tan tdt x
2
.
2．计算函数
y =x
y '. 3 计算由隐函数 e y =x ln y 确定的函数 y =f (x ) 的微分dy . 4.
判别正项级数
n =1
∞
+
1
) 的敛散性. n 2
5. 计算不定积分
n
2n
6. 求幂级数
----------------------------------------------------------------------------
n =0
∑3x
∞
的收敛半径与收敛区间.
7. 计算定积分
⎰
π
x sin 2xdx
dy x (1+y 2)
8. 计算微分方程 满足初始条件 y (0)=1的特解. =
dx y (1+x 2)
9. 计算函数 y =sin(lnx ) 的二阶导数 y ''.
10. 将函数 y =ln x 展成(x -1) 的幂级数并指出收敛区间. 四．综合题： （本题共4个小题，共30分）
1. [本题7分] 设0
n -1
b n -a n
n (b -a )
2．[本题7分]设函数f (x ) =x 2-
⎰
20
f (x ) dx ，求f (x ) 在区间[0,2]上的最大值与最小值.
1⎧α
⎪x sin , x ≠0
3. [本题8分] 设f (x ) =⎨， （α为实数） x
⎪x =0⎩0,
试问α在什么范围时, （1）f (x ) 在点x =0连续； （2）f (x ) 在点x =0可导. 4．[本题8分] 若函数f (x ) =
⎰
x 0
(x -t ) f (t ) dt +e x ，求f (x ) .
2012年湖北普通专升本高等数学真题七
一、填空题：1~5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上． 1．若f (x +y , x -y )=xy +y 2, 则f (x , y )=
1=
1
x (x -y ) ． 2
x 2s in
2．lim
x →0
s i n x
0．
3．设y =2x 2+ax +3在x =1处取得极小值，则a =-4．
4．设向量a =i -j , b =-2j +3k ， 则a ⋅b =2．
d 5．
dx
⎰
x 20
1+t dt =
2x +x 2
．
二、选择题：6~10小题，每小题4分，共20分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内． 6．函数f (x )=9-x 2+
1x -4
2
的定义域是 [ C ]
（A ）(-∞, -2) (2, +∞)； （B ）(-3, -2) (2, 3)；
（C ）[-3, -2) (2, 3]； （D ）(-∞, -3] (-2, 2) [3, +∞)． 7．曲线y =2x 2+3x -26上点M 处的切线斜率为15，则点M 的坐标是 [ B ] （A ）(3, 15) ； （B ）(3, 1) ； （C ）(-3, 15) ； （D ）(-3, 1) ． 8．设z =cos(x -2y ) ，则
∂z
等于 [ D] ∂y
（A ）-sin(x -2y ) ； （B ）-2sin(x -2y ) ； （C ）sin(x -2y ) ； （D ）2sin(x -2y ) 。
9．下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理的是 [ D ] （A ）A y =x ，x ∈[-1, 2]； （B ）y =ln(1+x ) ，x ∈[-1, 1]； （C ） y =
1
，x ∈[-1, 1]； （D ）y =ln(1+x 2) ，x ∈[0, 3]. x
10．无穷级数∑(-1)
n =1
∞
n
1n
5/4
[ A ]
（A ）绝对收敛； （B ）条件收敛； （C ）发散； （D ）敛散性不能确定．
三、解答题：11~17小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．（本题满分7分）
计算定积分⎰(x 2+1) 3x dx ．
01
解： 原式 =
⎰
10
12
(x +1) 3d (x 2+1) 2
1
1
= (x 2+1) 4
8
=
15
8
12．（本题满分7分）
设f (x )=(x 2006-1)g (x ) , 其中g (x ) 在 x =1 处连续，且g (1) =1，求
f '(1) ．
f (x ) -f (1) (x 2006-1) g (x )
=lim 解：f ' (1) =lim
x →1x →1x -1x -1
(x -1)(x 2005+x 2004+ +x +1) g (x ) =lim x →1x -1
=lim(x 2005+x 2004+ +x +1) g (x ) =2006
x →1
13．（本题满分8分）
求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3) 和(3, 0) 处的切线所围成的平面图形的面积．
解： y '=-2x +4, y '(0)=4, y '(3)=-2
∴在(0,-3) 处的切线方程为y =4x -3 在(3,0)处的切线方程为y =-2x +6
3两条切线的交点为(,3)
2
从而所求平面图形的面积可表示为
S =⎰
320
22
⎡⎣4x -3-(-x +4x -3) ⎤⎦dx +3⎡⎣-2x +6-(-x +4x -3) ⎤⎦dx 7分
2
3
=⎰x 2dx +3(x 2-6x +9) dx
2
320
3
=
9 4
14．（本题满分8分）
求微分方程(y 2-6x ) dy +2ydx =0的通解． 解：原方程可变形为
3
--dy
y
dx 3y
-x =- dy y 2
3
则x =e
⎰
y ⎰-y dy
(⎰-dy +C )
2
3
y 3
=y (⎰-⋅y -dy +C ) =y
2
3
1y 23
+C =+Cy 。
2y 2
15．（本题满分8分）
计算⎰⎰e -y d x d y ，其中D 是以O (0, 0) ，A (1, 1) ，B (0, 1) 为顶点的三角形
D
2
闭区域．
解：原式 =
=
⎰
1
dy ⎰e -y dx
0-y 2
y
2
⎰e
1
y dy =
11-y 22
e dy ⎰02
1
1211-y 2
=-e -y =-⎰de
2200
1
(1-e -1) 2
16．（本题满分8分）
=
求二元函数z =x 2+4xy +9y 2-x -3y 的极值．
⎧∂z
=2x +4y -1=0⎪⎪∂x
解：先解方程组⎨
∂z ⎪=4x +18y -3=0⎪⎩∂y
可得驻点(
31
, ) 1010
∂2z ∂2z ∂2z
分别求二阶偏导数：2=2, =4, 2=18
∂x ∂x ∂y ∂y
31
, ) 处，A =2>0, B =4, C =18，AC -B 2=20>0 1010313
∴z (x , y ) 在点(, ) 处有极小值-．
101010
17．（本题满分7分）
在点(
求微分方程(x -y 3) dy +ydx =0(y >0) 的通解． 解：原方程可变形为
dx 1
+x =y 2 dy y
则微分方程的通解为x =e
-
⎰y dy
1
(⎰y 2e
⎰y dy
1
dy +C )
1114y 3C 2
=(⎰y ⋅ydy +C ) =(y +C ) =+
y y 44y 18．（本题满分7分）
设f (x ) 在[a , b ]上连续，且f (x )
a x
x b
1
dt ，(a ≤x ≤b ) ，f (t )
证明：（1）F '(x ) ≤-2； （2）方程F (x ) =0在(a , b )内有且仅有一个实根。 证明：1．依题意有：F '(x )=f (x )+
1
f x f (x )0
1
∴-F '(x )=-f (x )+≥2
-f x ∴F '(x )≤-2
2．因为F (a )=
⎰
a
b
b 1
dt , F (b )=⎰f (t )dt
a f t b 1
⋅⎰f (t )dt
a f t 所以F (a )⋅F (b )=⎰
a
b
由罗尔定理方程至少有一实根。 又据1结论知F '(x )
故原方程在（a , b ）内有且仅有一个实根。
： ---------------------------------
2012年湖北普通专升本高等数学真题一
一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）
1. 函数f (x )=x 2+1cos x 是（ ）.
()
(A )奇函数 (B )偶函数 号--证---考---准---- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- ：---名---姓---_--_--_-_--_--_--_-_--_--__线__封__密_--_--_-_--_--_-_--：---业---专---考---报---_--_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_ -_ --_ --_-_--：---校---学---考---报-----------(C )有界函数 (D )周期函数
2. 设函数f (x )=x ，则函数在x =0处是（ ）.
(A )可导但不连续 (B )不连续且不可导
(C )连续且可导 (D )连续但不可导
3. 设函数f (x )在[0, 1]上, d 2f
dx
2
>0，则成立（ ）. (A )df dx >
df dx >f (1)-f (0) (B )df >f (0)-f (1)>
df
x =1
x =0dx x =1dx x =0
(C )df
>f (1)-f (0)>
df dx (D )f (1)-f (0)>df df
x =1
dx >x =0dx x =0dx x =1
4. 方程z =x 2
+y 2
表示的二次曲面是（ ）.
(A )椭球面
(B )柱面
(C )圆锥面 (D )抛物面
5. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, f (a )=f (b ), 则在(a , b )内，曲线y =f (x )上平
行于x 轴的切线（ ）.
(A )至少有一条 (B )仅有一条
(C ). 不一定存在 (D ). 不存在
二. 填空题:(只须在横线上直接写出答案, 不必写出计算过程, 每小题4分, 共40分)
1x
1. 计算lim x →0x sin 2
=_________________
2. 设函数f (x )在x =1可导, 且
df (x )=1, 则 dx x =0
lim
x →0
f (1+2x )-f (1). =
__________. x
df (x ) =
________________________. dx
3. 设函数f (2x )=ln x , 则
4. 曲线y =x 3-3x 2-x 的拐点坐标_____________________.
5. 设arctan x 为f (x )的一个原函数, 则f (x )=_____________________. 6.
d 2
f (t )dt =⎰x _________________________. dx
7. 定积分
⎰(x
π
-π
2
+x dx =
)
________________________.
8. 设函数z =cos x +y 9. 交换二次积分次序
(
22
∂z
=), 则∂
_______________. x __________
⎰
10
dx ⎰f (x , y )dy =__________________________.
x
10. 设平面∏过点(1, 0, -1)且与平面4x -y +2z -8=0平行，则平面∏的方程为
_____________________.
三. 计算题:(每小题6分, 共60分)
e x -1
1. 计算lim .
x →0x
2. 设函数f (x )=e , g (x )=cos x , 且y =f
x
⎛dg ⎫dy
⎪, 求. ⎝dx ⎭dx
3. 计算不定积分
⎰
⎰
dx x 1+x +∞
.
4. 计算广义积分
xe -x dx .
5. 设函数f (x )=⎨
1⎧cos x , x ≥0, 求f (x )dx . 4⎰-2
⎩x , x
6. 设f (x )在[0, 1]上连续，且满足f (x )=e +2
x
⎰f (t )dt ，求f (x ).
1
-------------
d 2y dy x
+=e 7. 求微分方程的通解. 2
dx dx
--------------------------------------------------------------------------------------线封密-------------------------------------------------------- - -- ---------8. 将函数f (x )=x 2ln (1+x )展开成x 的幂级数. 9. 设函数f (x , y )=x -y
x +y
, 求函数f (x , y )在x =0, y =2的全微分. 10. 计算二重积分,
⎰⎰(x
2
+y 2)
dxdy ，其中D :x 2+y 2≤1.
D
四. 综合题:(本题共30分, 其中第1题12分，第2题12分，第3题6分) 1. 设平面图形由曲线y =e x 及直线y =e , x =0所 围成,
(1)求此平面图形的面积;
(2)求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的
旋转体的体积.
2. 求函数y =x 3-3x 2-1的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.
x
3. 求证:当x >0时, ⎛ 1⎫
⎝1+x ⎪⎭
：______________________报考专业：______________________姓名： 准考证号：
2012年湖北普通专升本高等数学真题二
一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题
共有5个小题，每小题4分，共2０分）
x 2
1. 当x →0时, sec x -1是的（ ）.
2
A . 高阶无穷小 B . 低阶无穷小 C . 同阶但不是等阶无穷小 D . 等阶无穷小
2. 下列四个命题中成立的是（ ）.
A . 可积函数必是连续函数 B . 单调函数必是连续函数 C . 可导函数必是连续函数 D . 连续函数必是可导函数 3. 设f (x )为连续函数, 则
d
f (x )dx 等于( ). ⎰dx
A . f (x )+C B . f (x )
C .
df (x )df (x )+C D .
dx dx
4. 函数f (x )=x 3sin x 是（ ）.
A . 偶函数 B . 奇函数
C . 周期函数 D . 有界函数
5. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, f (a )=f (b ), 则在(a , b )内，曲线y =f (x )上平
行于x 轴的切线（ ）.
(A )不存在 (B )仅有一条 (C ). 不一定存在 (D ). 至少有一条
二. 填空题:(只须在横线上直接写出答案, 不必写出计算过程, 每小题4分, 共40分)
⎧e x , x ≤0
1. 设函数f (x )=⎨在x =0处连续，则
⎩a +x , x >0a =__________.
2. lim
x →1
sin 2(1-x )
x -1x +32
=
___________________.
x -x 2+x +1
3. lim =x →-∞___________________________. x
4. 设函数f (x )在点x =1处可导，且
df (x )=1，
dx x =1
则lim
x →0
f (1+2x )-f (1) =
_______. x
df (x ) =
____________________. dx
5设函数f (2x )=ln x ，则
x
6. 设e 为f (x )的一个原函数，则f (x )=___________________.
--------------------------------------------7.
d dx
⎰2
x f (t )dt =_________________________. 8.
⎰
+∞x 0
e -dx =
_________________________.
9.
⎰π
(x
2
-π
+x )
dx =
________________________.
∞
10. 幂级数
∑
(x -2)n
的收敛半径为__________
n =0
n
2
______. 三. 计算题:(每小题6分, 共60分) 1. 求极限x lim
→+∞
a +x b +x -a -x b -x ).
2. 求极限lim
2n +3n +7n
n →∞
-5n
+7
n
.
3. 设y =e
sin (ax +b )
，求dy .
4. 设函数y =xe x
，求
d 2y
dx 2
.
x =0
5. 设y 是由方程sin (xy )-
1y -x =1所确定的函数, 求(1).y x =0; 6. 计算不定积分⎰
x
2
x 3+1dx .
7. 设函数f (x )=⎧⎨x 2, 0≤x ≤1
22x , 1
，求定积分⎰f (x )dx .
⎩0
8. 计算lim
⎰x (e
t
-t 0
+e -2)
dt
x →0
1-cos x
.
9. 求微分方程
d 2y dx 2+dy
dx
=0的通解.
(2).dy
dx . x =0
考证号：
10. 将函数f (x )=x 2ln (1+x )展开成x 的幂级数. 四．综合题：（每小题10分，共30分）
1. 设平面图形由曲线y =e x 及直线y =e , x =0所围成, (1)求此平面图形的面积;
(2)求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积. 2. 求过曲线y =xe -x 上极大值点和拐点的中点并垂直于x =0
的直线方程。（注：由使函数取极大值的点x 0和函数的极大值f (x 0)所构成的一对数组
(x 0, f (x 0))称为曲线y =f (x )上的极大值点）.
3. 设函数y =f (x )在点x 0处可导，证明它在点x 0处一定连续，并举例説明其逆不真.
2012年湖北普通专升本高等数学真题三
一、
填空题（每小题3分共15分）
1 .y =arccos x 2 则y /(0) =_________.
2. 设f (x ) =arctan e x , 则df (x ) =_______________. 3:⎰
10
-x 2dx =____________
4:微分方程3ydy+3x2dx=0的阶是______________
5. 当k =________ 时, lim x →∞(1+k
x
) x =e
二、 单选题（每小题3分共15分）
1. 必为函数f(x)单调区间分界点的是( )
A. 使f /(x ) =0的点 B. f(x)的间断点 C. f /(x ) 不存在的点 D.以上都不对 2:设f(0)=0且lim
f （x ) x →0x 存在，则lim f （x )
x →0x
=( )
A: f(0) B: f /(x) C: f /(0) D: 3:
⎰
+∞
e -x dx =( )
A. ―1 B. 0 C. 1 D. 发散4: 若f(x)的一个原函数是1
x
, 则f /(x ) =( )
A. -121x 2 B. x 3 C. ln x D. x
5:微分方程y //=e -x 的通解为 y=( )
A: e -x +c 1x +c 2 B: -e -x +c 1x +c 2 C: e -x D: 三、
求极限（每小题6分, 共42分）
1：x lim →∞
(x 2+3x -x )
2：lim ∞(1-2
x
) 2x x →
3：求y =x sin 2x -
ln x
x
+4π的dy 4：求隐函数方程y 3=xy+2x2+y2确定y=y(x)的
dy dx
-e -x
5：⎰
1
dx x ln x
1
x
6：⎰e
dx
⎧t 2
d y ⎪x =
7: 设函数y =y (x ) 由参数方程⎨2确定，求。
d x ⎪y =1-t
⎩四、微积分应用题(第1，2题各9分，第3题10分，共28分)
1. 求y /+y=x的通解
2. 求微分方程y ''+5y '-6y =0满足初始条件y (0) =-4，y '(0) =-30的特解． 3. 求曲线y =x （0≤ x ≤2） 绕x 轴一周旋转所围成的体积
2012年湖北普通专升本高等数学真题四
一、填空题（每小题3分共15分）
1 .y =arccos x 2 则y /(0) =_________.
2. 设f (x ) =arctan e x , 则df (x ) =_______________. 3:⎰
10
-x 2dx =____________
4:微分方程3ydy+3x2dx=0的阶是______________
5. 当k =________ 时, lim x →∞(1+k
x
) x =e
四、 单选题（每小题3分共15分）
1. 必为函数f(x)单调区间分界点的是( )
A. 使f /(x ) =0的点 B. f(x)的间断点 C. f /(x ) 不存在的点 D.以上都不对 2:设f(0)=0且lim
f （x ) x →0x 存在，则lim f （x )
x →0x
=( )
A: f(0) B: f /(x) C: f /(0) D: 3:
⎰
+∞
e -x dx =( )
A. ―1 B. 0 C. 1 D. 发散4: 若f(x)的一个原函数是1
x
, 则f /(x ) =( )
A. -121x 2 B. x 3 C. ln x D. x
5:微分方程y //=e -x 的通解为 y=( )
A: e -x +c 1x +c 2 B: -e -x +c 1x +c 2 C: e -x D: 五、
求极限（每小题6分, 共42分）
1：x lim →∞
(x 2+3x -x )
2：lim ∞(1-2
x
) 2x x →
3：求y =x sin 2x -
ln x
x
+4π的dy 4：求隐函数方程y 3=xy+2x2+y2确定y=y(x)的
dy dx
-e -x
5：⎰
1
dx x ln x
1
x
6：⎰e
dx
⎧t 2
d y ⎪x =
7: 设函数y =y (x ) 由参数方程⎨2确定，求。
d x ⎪y =1-t
⎩四、微积分应用题(第1，2题各9分，第3题10分，共28分)
3. 求y /+y=x的通解
4. 求微分方程y ''+5y '-6y =0满足初始条件y (0) =-4，y '(0) =-30的特解． 3. 求曲线y =x （0≤ x ≤2） 绕x 轴一周旋转所围成的体积
2012年湖北普通专升本高等数学真题五
一、填空题（每小题3分共15分）
1 .y =arccos x 2 则y /(0) =_________.
2. 设f (x ) =arctan e x , 则df (x ) =_______________. 3:⎰
10
-x 2dx =____________
4:微分方程3ydy+3x2dx=0的阶是______________
5. 当k =________ 时, lim x →∞(1+k
x
) x =e
二、单选题（每小题3分共15分）
1. 必为函数f(x)单调区间分界点的是( )
A. 使f /(x ) =0的点 B. f(x)的间断点 C. f /(x ) 不存在的点 D.以上都不对 2:设f(0)=0且lim
f （x ) x →0x 存在，则lim f （x )
x →0x
=( )
A: f(0) B: f /(x) C: f /(0) D: +∞
3:
⎰
e -x dx =( )
A. ―1 B. 0 C. 1 D. 发散4: 若f(x)的一个原函数是1
x
, 则f /(x ) =( )
A. -121x 2 B. x 3 C. ln x D. x
5:微分方程y //=e -x 的通解为 y=( )
A: e -x +c x 1x +c 2 B: -e -+c 1x +c 2 C: e -x D: 三、求极限（每小题6分, 共42分） 1：lim x →∞
(x 2+3x -x )
2：lim ∞(1-2
x
) 2x x →
3：求y =x sin 2x -
ln x
x
+4π的dy 4：求隐函数方程y 3=xy+2x2+y2确定y=y(x)的
dy dx
-e -x
5：⎰
1
dx x ln x
1
x
6：⎰e
dx
⎧t 2
d y ⎪x =
7: 设函数y =y (x ) 由参数方程⎨2确定，求。
d x ⎪y =1-t
⎩四、微积分应用题(第1，2题各9分，第3题10分，共28分)
5. 求y /+y=x的通解
6. 求微分方程y ''+5y '-6y =0满足初始条件y (0) =-4，y '(0) =-30的特解． 3. 求曲线y =x （0≤ x ≤2） 绕x 轴一周旋转所围成的体积
2012年湖北普通专升本高等数学真题六
一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个空格，每一空格5分，共40分）
⎧sin 4x +e ⎪
1. 若 f (x ) =⎨x
⎪a ⎩
-3ax
-1
, x ≠0x =0
在
x =0连续，则 a =⎧x =1+t 2
2. 曲线⎨3
⎩y =t
在t =2处的切线方程
为 .
3. 设函数y =(2x +1) sin x ，则其导数为. 4.
⎰
2
-2
(1+x cos x ) dx ＝ .
5. 设y =cos(sinx ) ，则dy =dx .
6.
曲线y =x =1，x =3及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周， 所得旋转体体积为 .
7. 微分方程 y ''-4y '+5y =0的通解为.
8. 若级数
∑n α
n =1
∞
1
3-1
收敛，则α的取值范围是 .
二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求） 1．lim
x
arctan x =（ ）.
x →-∞x +1
(A)
ππ
(B) - (C) 1 (D) 不存在
22
2
2. 当x →0时，f (x ) =x -sin x 是比 x 的（ ）. (A ) 高阶无穷小 (B ) 等价无穷小 (C ) 同阶无穷小 (D ) 低阶无穷小
3.
级数
为（ ）. n =∞
(A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 无法判断
4. 曲线y =x 2与直线y =1所围成的图形的面积为（ ）. (A )
23
(B ) (C ) 344
(D ) 3
1
5. 广义积分
⎰
+∞0
x
dx 为（ ）.
(1+x ) 3
1
(D ) 2
1 2
(A ) -1 (B ) 0 (C ) -
三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分, 本题共10个小题，每小题6分，共60分） 1.
⎰计算极限 lim
x →0
x 0
tan tdt x
2
.
2．计算函数
y =x
y '. 3 计算由隐函数 e y =x ln y 确定的函数 y =f (x ) 的微分dy . 4.
判别正项级数
n =1
∞
+
1
) 的敛散性. n 2
5. 计算不定积分
n
2n
6. 求幂级数
----------------------------------------------------------------------------
n =0
∑3x
∞
的收敛半径与收敛区间.
7. 计算定积分
⎰
π
x sin 2xdx
dy x (1+y 2)
8. 计算微分方程 满足初始条件 y (0)=1的特解. =
dx y (1+x 2)
9. 计算函数 y =sin(lnx ) 的二阶导数 y ''.
10. 将函数 y =ln x 展成(x -1) 的幂级数并指出收敛区间. 四．综合题： （本题共4个小题，共30分）
1. [本题7分] 设0
n -1
b n -a n
n (b -a )
2．[本题7分]设函数f (x ) =x 2-
⎰
20
f (x ) dx ，求f (x ) 在区间[0,2]上的最大值与最小值.
1⎧α
⎪x sin , x ≠0
3. [本题8分] 设f (x ) =⎨， （α为实数） x
⎪x =0⎩0,
试问α在什么范围时, （1）f (x ) 在点x =0连续； （2）f (x ) 在点x =0可导. 4．[本题8分] 若函数f (x ) =
⎰
x 0
(x -t ) f (t ) dt +e x ，求f (x ) .
2012年湖北普通专升本高等数学真题七
一、填空题：1~5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上． 1．若f (x +y , x -y )=xy +y 2, 则f (x , y )=
1=
1
x (x -y ) ． 2
x 2s in
2．lim
x →0
s i n x
0．
3．设y =2x 2+ax +3在x =1处取得极小值，则a =-4．
4．设向量a =i -j , b =-2j +3k ， 则a ⋅b =2．
d 5．
dx
⎰
x 20
1+t dt =
2x +x 2
．
二、选择题：6~10小题，每小题4分，共20分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内． 6．函数f (x )=9-x 2+
1x -4
2
的定义域是 [ C ]
（A ）(-∞, -2) (2, +∞)； （B ）(-3, -2) (2, 3)；
（C ）[-3, -2) (2, 3]； （D ）(-∞, -3] (-2, 2) [3, +∞)． 7．曲线y =2x 2+3x -26上点M 处的切线斜率为15，则点M 的坐标是 [ B ] （A ）(3, 15) ； （B ）(3, 1) ； （C ）(-3, 15) ； （D ）(-3, 1) ． 8．设z =cos(x -2y ) ，则
∂z
等于 [ D] ∂y
（A ）-sin(x -2y ) ； （B ）-2sin(x -2y ) ； （C ）sin(x -2y ) ； （D ）2sin(x -2y ) 。
9．下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理的是 [ D ] （A ）A y =x ，x ∈[-1, 2]； （B ）y =ln(1+x ) ，x ∈[-1, 1]； （C ） y =
1
，x ∈[-1, 1]； （D ）y =ln(1+x 2) ，x ∈[0, 3]. x
10．无穷级数∑(-1)
n =1
∞
n
1n
5/4
[ A ]
（A ）绝对收敛； （B ）条件收敛； （C ）发散； （D ）敛散性不能确定．
三、解答题：11~17小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．（本题满分7分）
计算定积分⎰(x 2+1) 3x dx ．
01
解： 原式 =
⎰
10
12
(x +1) 3d (x 2+1) 2
1
1
= (x 2+1) 4
8
=
15
8
12．（本题满分7分）
设f (x )=(x 2006-1)g (x ) , 其中g (x ) 在 x =1 处连续，且g (1) =1，求
f '(1) ．
f (x ) -f (1) (x 2006-1) g (x )
=lim 解：f ' (1) =lim
x →1x →1x -1x -1
(x -1)(x 2005+x 2004+ +x +1) g (x ) =lim x →1x -1
=lim(x 2005+x 2004+ +x +1) g (x ) =2006
x →1
13．（本题满分8分）
求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3) 和(3, 0) 处的切线所围成的平面图形的面积．
解： y '=-2x +4, y '(0)=4, y '(3)=-2
∴在(0,-3) 处的切线方程为y =4x -3 在(3,0)处的切线方程为y =-2x +6
3两条切线的交点为(,3)
2
从而所求平面图形的面积可表示为
S =⎰
320
22
⎡⎣4x -3-(-x +4x -3) ⎤⎦dx +3⎡⎣-2x +6-(-x +4x -3) ⎤⎦dx 7分
2
3
=⎰x 2dx +3(x 2-6x +9) dx
2
320
3
=
9 4
14．（本题满分8分）
求微分方程(y 2-6x ) dy +2ydx =0的通解． 解：原方程可变形为
3
--dy
y
dx 3y
-x =- dy y 2
3
则x =e
⎰
y ⎰-y dy
(⎰-dy +C )
2
3
y 3
=y (⎰-⋅y -dy +C ) =y
2
3
1y 23
+C =+Cy 。
2y 2
15．（本题满分8分）
计算⎰⎰e -y d x d y ，其中D 是以O (0, 0) ，A (1, 1) ，B (0, 1) 为顶点的三角形
D
2
闭区域．
解：原式 =
=
⎰
1
dy ⎰e -y dx
0-y 2
y
2
⎰e
1
y dy =
11-y 22
e dy ⎰02
1
1211-y 2
=-e -y =-⎰de
2200
1
(1-e -1) 2
16．（本题满分8分）
=
求二元函数z =x 2+4xy +9y 2-x -3y 的极值．
⎧∂z
=2x +4y -1=0⎪⎪∂x
解：先解方程组⎨
∂z ⎪=4x +18y -3=0⎪⎩∂y
可得驻点(
31
, ) 1010
∂2z ∂2z ∂2z
分别求二阶偏导数：2=2, =4, 2=18
∂x ∂x ∂y ∂y
31
, ) 处，A =2>0, B =4, C =18，AC -B 2=20>0 1010313
∴z (x , y ) 在点(, ) 处有极小值-．
101010
17．（本题满分7分）
在点(
求微分方程(x -y 3) dy +ydx =0(y >0) 的通解． 解：原方程可变形为
dx 1
+x =y 2 dy y
则微分方程的通解为x =e
-
⎰y dy
1
(⎰y 2e
⎰y dy
1
dy +C )
1114y 3C 2
=(⎰y ⋅ydy +C ) =(y +C ) =+
y y 44y 18．（本题满分7分）
设f (x ) 在[a , b ]上连续，且f (x )
a x
x b
1
dt ，(a ≤x ≤b ) ，f (t )
证明：（1）F '(x ) ≤-2； （2）方程F (x ) =0在(a , b )内有且仅有一个实根。 证明：1．依题意有：F '(x )=f (x )+
1
f x f (x )0
1
∴-F '(x )=-f (x )+≥2
-f x ∴F '(x )≤-2
2．因为F (a )=
⎰
a
b
b 1
dt , F (b )=⎰f (t )dt
a f t b 1
⋅⎰f (t )dt
a f t 所以F (a )⋅F (b )=⎰
a
b
由罗尔定理方程至少有一实根。 又据1结论知F '(x )
故原方程在（a , b ）内有且仅有一个实根。