专题复习 解直角三角形与相似
一．选择题
1．如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=， 则t的值是（ ）
，则tanB的值为（ ）
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（ ）
7．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km
，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（ ）
13、在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
①若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；②若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；③若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；④若AC：A1C1＝CB：C1B1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.其中真命题的个数为( B )
A．4 B．3 C．2 D．1
14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为( C )
A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D.2∶3
1
15．在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－
2)，以原点O
为位似中心，把△EFO缩小，则
2
点E的对应点E′的坐标是( D )
A．(－2，1) B．(－8，4)
C．(－8，4)或(8，－4) D．(－2，1)或(2，－1)
二．填空题（共6小题）
16．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=
，则AB的长为
17．如图，已知AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么tan∠A=． 18．计算：cos45°+sin260°=．
19．某人沿坡度为i=3：4斜坡前进100米，则它上升的高度是米．
20．初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．上图3， 他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处， 又测得点 A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是 _________ m．
21、在△ABC中，AB=AC=5，sin
∠ABC=0.8，则BC=
AD
22．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，____．
AB
23.如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2，若S＝2，则S1＋S2＝___．
,第23题图) ,第24题图)
24、如图，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为____ m.
25、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO＝OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则点P的坐标为 ． 三．解答题
26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝8，AD＝3，AF＝3，求AE的长．
27．如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O.
(1)求证：BO＝DO；
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG＝1时，求AD的长．
28．(1)提出问题
如图①，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN.求证：∠ABC＝∠ACN.
(2)类比探究
如图②，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．
(3)拓展延伸
如图③，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连接CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
29、如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
30．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°． （1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．
31．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
专题复习 解直角三角形与相似
一．选择题
1．如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=， 则t的值是（ ）
，则tanB的值为（ ）
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3．在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（ ）
7．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km
，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（ ）
13、在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
①若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；②若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；③若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；④若AC：A1C1＝CB：C1B1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.其中真命题的个数为( B )
A．4 B．3 C．2 D．1
14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为( C )
A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D.2∶3
1
15．在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－
2)，以原点O
为位似中心，把△EFO缩小，则
2
点E的对应点E′的坐标是( D )
A．(－2，1) B．(－8，4)
C．(－8，4)或(8，－4) D．(－2，1)或(2，－1)
二．填空题（共6小题）
16．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=
，则AB的长为
17．如图，已知AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若CD=1，BC=3，那么tan∠A=． 18．计算：cos45°+sin260°=．
19．某人沿坡度为i=3：4斜坡前进100米，则它上升的高度是米．
20．初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．上图3， 他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处， 又测得点 A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是 _________ m．
21、在△ABC中，AB=AC=5，sin
∠ABC=0.8，则BC=
AD
22．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，____．
AB
23.如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2，若S＝2，则S1＋S2＝___．
,第23题图) ,第24题图)
24、如图，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为____ m.
25、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO＝OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则点P的坐标为 ． 三．解答题
26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝8，AD＝3，AF＝3，求AE的长．
27．如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于点O.
(1)求证：BO＝DO；
(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG＝1时，求AD的长．
28．(1)提出问题
如图①，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN.求证：∠ABC＝∠ACN.
(2)类比探究
如图②，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．
(3)拓展延伸
如图③，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连接CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
29、如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
30．如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°． （1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．
31．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）