麦克斯韦电磁场理论和电磁波

第八章

麦克斯韦电磁场理论和电磁波

一、位移电流三、麦克斯韦方程组

一、电磁波的产生、传播三、电磁波的性质五、电磁波谱

一、电磁场具有能量

二、.电磁场理论的基本概念二、电磁波的辐射四、光的电磁理论二、次开发

电磁场的基本理论是麦克斯韦方程组。这是他在前人实践和理论的基础上对整个电磁现象作系统研究，特别对库仑、安培、法拉第等电磁学说加以总结、发展，提出了“涡旋”电场和“位移电流”的假说。在1865年他预言了电磁波的存在，并计算出其传播速度等于光速，提出了光的统一电磁场理论。

麦克斯韦的电磁场理论把电、磁、光三个领域综合到一起，具有划时代意义，爱因斯坦评价麦克斯韦的工作，他说“这是自牛顿以来，物理学上经历的最深刻和最有成果的一次变革。”

§1 麦克斯韦电磁理论

一. 位移电流

位移电流的假说，是麦克斯韦对电磁理论所作重大贡献的核心，问题是由含有电容的交变电路引出。

我们知道，稳恒电流磁场的安培环路定理具有如下形势：

Hdl

0

dSIo



图中S1、S2是一曲线L为边线的两个曲面，在稳恒电路中，穿过S1，S2的电流I0相同。

但是在含有C的交流电路中，将安培环路定理应用于闭合曲线L上。对于S1面：Hdli



而对于S2面：Hdl0

L

矛盾的焦点：在非稳恒情况下，H得环流应是怎样的表达式? 麦克斯韦提出应满足下式：



D

dS Hdl(0

LSt



其中S是以L为边线的任意曲面

D

D——位移电流密度（矢量） t



D

dSID——位移电流（标量）

t

D

(0)dS ——全电流

St



即 II0ID 比较

Hdl



0

dSIo



D

dSI0ID * Hdl(0

LSt

*式满足非稳恒，也满足稳恒，反映了新的物理规律——位移电流与传导

电流在激发磁场方面是等效的。

不同方面：

[例] 求平行板电容器中的位移电流（忽略边缘效应）解：在电容器充、放电的过程中，存在变化的电流

DdDddq

1) ID dSSS

Stdtdtdt

二.电磁场理论的基本概念

1.按照位移电流的概念，任何随t而变的电场都要在邻近空间激发磁场，因而总是与磁场的存在相联系

变化电场周围空间的磁场 H与



D

成右旋关系 t





q0V(t) H(t)

D

 ID  H(t)

t



说明当电场发生加速运动时，在其周围除了磁场之外，还有随t变化的电场。一把而言，随t变化的电场（位移电流）也是t的函数。因此有它激发的磁场也随t变化。此时，空间存在变化的磁场、变化的电场。

2.按照涡旋电场的概念，任何随t而变化的磁场要在邻近空间激发涡旋电场，因而总是和

电场的存在相联系。

变化的磁场周围空间的电场

E与



B

成右旋关系 t



H(t)

H(t)E(t)



I(t)

电流产生磁场，变化的电流产生变化的磁场。一般而言，随t变化的磁场也是t的函数，因此变化磁场与变化电场相联系，即此时，空间充满变化的磁场，充满变化的电场。可见，这连中变化的场相互联系，互为激发，互为影响，形成了电磁场。三、麦克斯韦方程组

麦克斯韦总结前人的工作（库仑定律、安培定律、法拉第电磁感应定律），在此基础上，大胆提出涡旋电场和位移电流两个假说，把电磁场方程推广到最一般形式，不但揭示了电磁场的运动定律，更揭示了电磁场可以独立与电和之外单独存在，加深了我们对电磁场物质性的认识。

麦克斯韦方程组有积分形式和微分形式两种

DdSq



BdS0



DD

Hdl(0)dSI0dSHdlI0稳恒磁场

LLSStt





环路定理

B

EdldS Edl0 静电场环路定理

LLSt





积分形式适用于一定范围电磁场，而不能适用于某一给定点上的电磁场，而在实际

应用中，更重要的是要知道场中各点的场量，这就必须将积分形式变换未相应的微分形式。在书上848页，介绍了食粮场的散度与旋度的概念。

1. 矢量场的通量和散度（矢量场的散度是个标量场）

AdSAS

lim Alim

00





式中V是S闭合面所包含的体积 V0,A0 此值有一极限值，为P点A之散度。

2. 矢量场的环量和旋度（矢量场的旋度也是个矢量场）



AdlrAL

lim (A)nlim

S0SA0S



式中S是闭合曲线L所包围的面积，S0,rA0 此值有一极限值，为A的旋度在n上的投影

De 在任何电磁场的某点处，电位移的散度等于该处自由电荷的

体密度（有源场）

B

电场强度的旋度，等于该处B对t变化率之负值 Et





B0 磁感应强度之散度恒为零。（无源场）



H0



D

磁场强度的旋度等于该处的传导电流密度与位移电流密度之t

矢量和



§2 电磁波

一. 电磁波的产生、传播

1. 电磁波的产生

自从1865年麦克斯韦提出电磁场理论，预见了电磁波的存在之后，经过23年，即1888年，赫兹用实验产生并接收到了电磁波。电磁波是如何产生的呢？联系到机械波的两个要素：

振源——电磁波的振源是什么？媒质

任何LC振荡电路都可以作为发射电磁波的振源，因为电感上存在电阻，因此可视为RLC电路。 1）RLC振荡电路

在电磁感应的暂态过程中，RLC振荡电路的微分方程为：

d2qRdqq

0 2

LdtLCdt

L

diR

iR0 dtC

在R较小时，解为：qq0etcos(wt) 式中：

——阻尼因子

,w2L

1LC

,f0

12LC

此为振幅衰减的阻尼震荡，能量消耗由于R的存在。

为了在RLC电路中产生持续、等幅的电磁振荡，需补充能量。 2. 电源补充能量

这正如机械表中的振动机构为维持稳幅振动，需要由发条补充能量一样。实际中是将RLC电路与电子管或晶体管组成振荡器，靠直流电源补充能量。 3. 振源满足的条件

首先，频率要足够高。由于Ew，即发射出去的能量E与频率w的四次方成正比，w,E。由于w

1LC

，因而要求电路中L、C足够小。

第二，电路必须开放。因为在LC电路中，电场的能量集中于L、C，即能量被限制在有限范围，因此要把电磁场能量释放出去必须改造电路，便于能量发散至空间。

综合以上两点，我们设法使C,C

oS

，Sd,还要使电路开放

最后完全演化为一根直导线，电流在其中往复振荡，两端出现正负交替的等量异号电荷，称之为——振荡偶极子。

因而：振源振荡电路振荡偶极子电荷加速运动媒质电磁波在空气中（真空中）也可以传播。二. 电磁波的辐射

电磁波是变化的电场和变化的磁场在空间传播的过程。电磁波有场源辐射出来，如果使电荷在不长的直线段里按正弦或余弦规律振动，在较近处，我们将得到球面波。根据波的性质，已发射出去的电磁波即使波源消失了，淡泊仍然继续存在并向前传播，远处为平面波。

图中表示了电磁波在一直导线上传播，，电荷不断运动，电场的电力线（闭合的）也将随t而变，该变化的电场（即涡旋场）将产生变化的磁场。因此，不难看出，电磁振荡能够在空间传播靠的是变化的电场激发涡旋磁场，变化的磁场激发涡旋电场。

D

dS HdlLSt



B

EdldS

LSt



三. 电磁波的性质（平面电磁波）

1. 振动方向垂直传播方向（横波）

即 Ek，Hk（k为传播方向的单位矢）

2. Ek，同频率，同位相 3.对某点，E、H的振幅成正比







0E00H0

4.电磁波的传播速度 V

00

在真空中，1,1,Vc 5.电磁波的频率=偶极子振动频率

00

3108m/s

6. E、H的振幅与振荡偶极子频率的平方成正比



E0w2H0w2

7.辐射强度在各个方向不相同

/2 辐射强度最强赤道 sin

0, 辐射强度=0，极轴

称为辐射的角分布，表征了辐射的方向性，即偶极子辐射电磁波能量具有方向性。四. 光的电磁理论

光是一种电磁波，电磁场的基本粒子是光子 c——真空中光的传播速度 v——介质中光的传播速度

n

 这个关系式给出了物质的光学常数与电学常数和磁学常数v

之间的联系。即将光学与电磁学两个不同领域中的物理量联系起来了。对于非铁磁质

1n

五. 电磁波谱

我们的时代是信息的时代，信息——语言、符号、文字、数据和图像的种种在古代，人们曾用日光、旗鼓和烽火传递信息，“烽火连三日，家书抵万金”，以后又利用风筝、气球、信鸽等进行联络，十九世纪中期以后，人类逐步开始用电磁波传递信息。

人们熟知电磁波的两种形态——无线电波及光波。它们有相同的特征，但也有重大差

别，如中、长波能绕过高山、房屋，将电台的广播信号送到收音机的无线电路。而光一般表现为直线传播，只有当障碍物的线度d与波长相比拟时，才能发生绕射。电磁波谱的划分

不同波长范围的电磁波的产生方法及它们与物质之间相互作用各不相同 cf

f103HZ 主要靠各式发电装置产生，传递方式——有线导波，如大功率电

电力系统力输送系统，电力传输线。

103f1012HZ 靠各种振荡电路及谐振腔产生，传播方式：

无线电射频、微波近距——电缆、波导管导波

远距——发射天线导向辐射

1012f1016HZ 波源：热辐射。在真空中向四面八方辐射。不同介质具有不同的

红外、可见、紫外吸收性

f1016HZ 原子内层电子受激辐射射线，核内反应过程，受激辐射射线

§3 电磁场的能流密度

综上：电磁波即电磁场在空间的传播过程。

本质——交变的电场与磁场互为激发

特性——物质的一种形态，可脱离场源存在，不需要媒质。一. 电磁场具有能量

11

WeED,WmBH

则空间任意点处的能量密度

11

WWeWmEDBH

空间某一区域的能量 W

WdV

二. 次开发（坡印廷矢量）S

1. 引入目的：描述电磁场能量的传递

电磁能量以体能密度定域于电磁场中，电磁场能量以与电磁波相同的速度传递

2. 定义和表达式：单位时间通过垂直与传播方向的单位面积上的能量 S



wdVWVdtA

WV AdtAdt

在真空中

rr1

111

S(EDBH)C(0E20H2)C

2221122

(0E0H)

200

10E210H2

200200



0E0H

10E210HS

2200 11

HEEHEH22

用矢量表示 SEH

三者互为垂直

H S

由于E、H随t而变，因而S是电磁波的瞬时能流密度。在实际中，重要的不是能流密度的瞬时值，而是一个周期的平均值。平均能流密度 







E0H0 2

对于充、放电的电容

H E S S





总之，似稳电场E均沿极板轴向，而因E变化所产生的H均垂直于轴向沿圆周切线方向！

[例1] 一个正在充电的圆形平板电容器

解：1）因忽略边沿效应，电容器极板上电荷产生的似稳电场强度E均垂直于走向且沿圆周切线方向，故EH的方向垂直于侧面并指向轴线。 2）电容器极板间的D的大小：D









qDq

,E22

00RR

DdSRS



这时，通过电容器的总位移电流为：ID

dtdDdq

 dtdt



有安培环路定理，该处位移电流在电容器边缘侧面上产生的磁场强度H的大小 H

ID1dq

 2R2Rdt

WdV

Adt

有坡印廷矢量 S

可知：输入功率为 SA



WdV dtdt

EHdAEH2Rl

1dq

2Rl2

0R2Rdt

即 

lqdq



0R2dt

d21d2

(q)(q)

2Cdt0R2dt

dq2()dt2C

[例2] 有一圆柱形导体，半径为a，电阻率为，再有均匀分布的电流I0。求在导体里，与导体轴线相距为r的某点处的坡印廷矢量S



解：由欧姆定律的微分形式 E 即 E 方向与I0一致

作半径为r的圆形环路(r



0II002 Sa

由

2 HdlI'r0L



H2r0r2 H

0r



I0rI0r 22

a22a

方向：在过该点宇宙垂直的边缘切线方向，右手系由 S=EH





IIrI0r

SEH0202

a2a22a4

方向垂直指向轴线，边心。

[例4] 如图所示，圆形平板电容器面积为S，其间充满相对介电系数为r的均匀电介质。若在放电过程中极板A的电荷变化率为

k，k为正值常量，则在电容器中，以dt

圆心在轴线上且半径为R的圆周为环路的积分Hdl的值为多少？



DdDdd(S)dq

解： IddSSSk

StdtdtdtdtdDk

 即 dtSdDdD2k

S1RR2 HdlId1

LdtdtS

[例4] 如图示，一无穷长带电直线，电量为正，其电荷线密度为，正在随时间

减小，则在其近旁距直线为R的P点处，时刻位移电流密度的大小是多少？

解：因为



DdSL



D2RLL D d

 2R

dD1d

 dt2Rdt

[例5] 如图所示空气平板电容器接在电动势为的电源两端，贿赂电阻和电源内

阻略而不计。今将电容器两极板以匀速v拉开，当期间距离为x时，电容器中位移电流密度的大小方向如何？

解：Id

dq dt

而 qCU

0

U

Sdxd0S

()02dtxxdt

S02v

Id

d

0

方向：从右向左

[例6] 将极板间距离为l的空气电容器，接在电动势为的电池两端，设在t时

间移动右极板使板间距离增加l/3，求极板间位移电流密度的平均值和方向

解： ID

Sq110S0S

C(0 ttt4l/3l4tl

ID

0 S4lt

d 方向：右左

库仑定律（点电荷间相互作用）

q1q2

Fr

40r



DdSq



D

静止电荷 Hdl(0)dS

LSt



dE

Ddq

H r02

t40r





BB

dS 稳恒电流 EdlLStt





dB



0IdlrB

E4r2t





安培定律

（电流之间相互作用）

IIdl(dlr)

dF1201222112

4r12











BdS0

S





B0（无源有旋场）



E~D,E~U,B~H,P~M,f洛~f安,E库~E涡

第八章

麦克斯韦电磁场理论和电磁波

一、位移电流三、麦克斯韦方程组

一、电磁波的产生、传播三、电磁波的性质五、电磁波谱

一、电磁场具有能量

二、.电磁场理论的基本概念二、电磁波的辐射四、光的电磁理论二、次开发

§1 麦克斯韦电磁理论

一. 位移电流

位移电流的假说，是麦克斯韦对电磁理论所作重大贡献的核心，问题是由含有电容的交变电路引出。

我们知道，稳恒电流磁场的安培环路定理具有如下形势：

Hdl

0

dSIo



图中S1、S2是一曲线L为边线的两个曲面，在稳恒电路中，穿过S1，S2的电流I0相同。

但是在含有C的交流电路中，将安培环路定理应用于闭合曲线L上。对于S1面：Hdli



而对于S2面：Hdl0

L

矛盾的焦点：在非稳恒情况下，H得环流应是怎样的表达式? 麦克斯韦提出应满足下式：



D

dS Hdl(0

LSt



其中S是以L为边线的任意曲面

D

D——位移电流密度（矢量） t



D

dSID——位移电流（标量）

t

D

(0)dS ——全电流

St



即 II0ID 比较

Hdl



0

dSIo



D

dSI0ID * Hdl(0

LSt

*式满足非稳恒，也满足稳恒，反映了新的物理规律——位移电流与传导

电流在激发磁场方面是等效的。

不同方面：

[例] 求平行板电容器中的位移电流（忽略边缘效应）解：在电容器充、放电的过程中，存在变化的电流

DdDddq

1) ID dSSS

Stdtdtdt

二.电磁场理论的基本概念

1.按照位移电流的概念，任何随t而变的电场都要在邻近空间激发磁场，因而总是与磁场的存在相联系

变化电场周围空间的磁场 H与



D

成右旋关系 t





q0V(t) H(t)

D

 ID  H(t)

t



2.按照涡旋电场的概念，任何随t而变化的磁场要在邻近空间激发涡旋电场，因而总是和

电场的存在相联系。

变化的磁场周围空间的电场

E与



B

成右旋关系 t



H(t)

H(t)E(t)



I(t)

麦克斯韦方程组有积分形式和微分形式两种

DdSq



BdS0



DD

Hdl(0)dSI0dSHdlI0稳恒磁场

LLSStt





环路定理

B

EdldS Edl0 静电场环路定理

LLSt





积分形式适用于一定范围电磁场，而不能适用于某一给定点上的电磁场，而在实际

应用中，更重要的是要知道场中各点的场量，这就必须将积分形式变换未相应的微分形式。在书上848页，介绍了食粮场的散度与旋度的概念。

1. 矢量场的通量和散度（矢量场的散度是个标量场）

AdSAS

lim Alim

00





式中V是S闭合面所包含的体积 V0,A0 此值有一极限值，为P点A之散度。

2. 矢量场的环量和旋度（矢量场的旋度也是个矢量场）



AdlrAL

lim (A)nlim

S0SA0S



式中S是闭合曲线L所包围的面积，S0,rA0 此值有一极限值，为A的旋度在n上的投影

De 在任何电磁场的某点处，电位移的散度等于该处自由电荷的

体密度（有源场）

B

电场强度的旋度，等于该处B对t变化率之负值 Et





B0 磁感应强度之散度恒为零。（无源场）



H0



D

磁场强度的旋度等于该处的传导电流密度与位移电流密度之t

矢量和



§2 电磁波

一. 电磁波的产生、传播

1. 电磁波的产生

振源——电磁波的振源是什么？媒质

任何LC振荡电路都可以作为发射电磁波的振源，因为电感上存在电阻，因此可视为RLC电路。 1）RLC振荡电路

在电磁感应的暂态过程中，RLC振荡电路的微分方程为：

d2qRdqq

0 2

LdtLCdt

L

diR

iR0 dtC

在R较小时，解为：qq0etcos(wt) 式中：

——阻尼因子

,w2L

1LC

,f0

12LC

此为振幅衰减的阻尼震荡，能量消耗由于R的存在。

为了在RLC电路中产生持续、等幅的电磁振荡，需补充能量。 2. 电源补充能量

首先，频率要足够高。由于Ew，即发射出去的能量E与频率w的四次方成正比，w,E。由于w

1LC

，因而要求电路中L、C足够小。

综合以上两点，我们设法使C,C

oS

，Sd,还要使电路开放

最后完全演化为一根直导线，电流在其中往复振荡，两端出现正负交替的等量异号电荷，称之为——振荡偶极子。

因而：振源振荡电路振荡偶极子电荷加速运动媒质电磁波在空气中（真空中）也可以传播。二. 电磁波的辐射

D

dS HdlLSt



B

EdldS

LSt



三. 电磁波的性质（平面电磁波）

1. 振动方向垂直传播方向（横波）

即 Ek，Hk（k为传播方向的单位矢）

2. Ek，同频率，同位相 3.对某点，E、H的振幅成正比







0E00H0

4.电磁波的传播速度 V

00

在真空中，1,1,Vc 5.电磁波的频率=偶极子振动频率

00

3108m/s

6. E、H的振幅与振荡偶极子频率的平方成正比



E0w2H0w2

7.辐射强度在各个方向不相同

/2 辐射强度最强赤道 sin

0, 辐射强度=0，极轴

称为辐射的角分布，表征了辐射的方向性，即偶极子辐射电磁波能量具有方向性。四. 光的电磁理论

光是一种电磁波，电磁场的基本粒子是光子 c——真空中光的传播速度 v——介质中光的传播速度

n

 这个关系式给出了物质的光学常数与电学常数和磁学常数v

之间的联系。即将光学与电磁学两个不同领域中的物理量联系起来了。对于非铁磁质

1n

五. 电磁波谱

人们熟知电磁波的两种形态——无线电波及光波。它们有相同的特征，但也有重大差

不同波长范围的电磁波的产生方法及它们与物质之间相互作用各不相同 cf

f103HZ 主要靠各式发电装置产生，传递方式——有线导波，如大功率电

电力系统力输送系统，电力传输线。

103f1012HZ 靠各种振荡电路及谐振腔产生，传播方式：

无线电射频、微波近距——电缆、波导管导波

远距——发射天线导向辐射

1012f1016HZ 波源：热辐射。在真空中向四面八方辐射。不同介质具有不同的

红外、可见、紫外吸收性

f1016HZ 原子内层电子受激辐射射线，核内反应过程，受激辐射射线

§3 电磁场的能流密度

综上：电磁波即电磁场在空间的传播过程。

本质——交变的电场与磁场互为激发

特性——物质的一种形态，可脱离场源存在，不需要媒质。一. 电磁场具有能量

11

WeED,WmBH

则空间任意点处的能量密度

11

WWeWmEDBH

空间某一区域的能量 W

WdV

二. 次开发（坡印廷矢量）S

1. 引入目的：描述电磁场能量的传递

电磁能量以体能密度定域于电磁场中，电磁场能量以与电磁波相同的速度传递

2. 定义和表达式：单位时间通过垂直与传播方向的单位面积上的能量 S



wdVWVdtA

WV AdtAdt

在真空中

rr1

111

S(EDBH)C(0E20H2)C

2221122

(0E0H)

200

10E210H2

200200



0E0H

10E210HS

2200 11

HEEHEH22

用矢量表示 SEH

三者互为垂直

H S

由于E、H随t而变，因而S是电磁波的瞬时能流密度。在实际中，重要的不是能流密度的瞬时值，而是一个周期的平均值。平均能流密度 







E0H0 2

对于充、放电的电容

H E S S





总之，似稳电场E均沿极板轴向，而因E变化所产生的H均垂直于轴向沿圆周切线方向！

[例1] 一个正在充电的圆形平板电容器









qDq

,E22

00RR

DdSRS



这时，通过电容器的总位移电流为：ID

dtdDdq

 dtdt



有安培环路定理，该处位移电流在电容器边缘侧面上产生的磁场强度H的大小 H

ID1dq

 2R2Rdt

WdV

Adt

有坡印廷矢量 S

可知：输入功率为 SA



WdV dtdt

EHdAEH2Rl

1dq

2Rl2

0R2Rdt

即 

lqdq



0R2dt

d21d2

(q)(q)

2Cdt0R2dt

dq2()dt2C

[例2] 有一圆柱形导体，半径为a，电阻率为，再有均匀分布的电流I0。求在导体里，与导体轴线相距为r的某点处的坡印廷矢量S



解：由欧姆定律的微分形式 E 即 E 方向与I0一致

作半径为r的圆形环路(r



0II002 Sa

由

2 HdlI'r0L



H2r0r2 H

0r



I0rI0r 22

a22a

方向：在过该点宇宙垂直的边缘切线方向，右手系由 S=EH





IIrI0r

SEH0202

a2a22a4

方向垂直指向轴线，边心。

[例4] 如图所示，圆形平板电容器面积为S，其间充满相对介电系数为r的均匀电介质。若在放电过程中极板A的电荷变化率为

k，k为正值常量，则在电容器中，以dt

圆心在轴线上且半径为R的圆周为环路的积分Hdl的值为多少？



DdDdd(S)dq

解： IddSSSk

StdtdtdtdtdDk

 即 dtSdDdD2k

S1RR2 HdlId1

LdtdtS

[例4] 如图示，一无穷长带电直线，电量为正，其电荷线密度为，正在随时间

减小，则在其近旁距直线为R的P点处，时刻位移电流密度的大小是多少？

解：因为



DdSL



D2RLL D d

 2R

dD1d

 dt2Rdt

[例5] 如图所示空气平板电容器接在电动势为的电源两端，贿赂电阻和电源内

阻略而不计。今将电容器两极板以匀速v拉开，当期间距离为x时，电容器中位移电流密度的大小方向如何？

解：Id

dq dt

而 qCU

0

U

Sdxd0S

()02dtxxdt

S02v

Id

d

0

方向：从右向左

[例6] 将极板间距离为l的空气电容器，接在电动势为的电池两端，设在t时

间移动右极板使板间距离增加l/3，求极板间位移电流密度的平均值和方向

解： ID

Sq110S0S

C(0 ttt4l/3l4tl

ID

0 S4lt

d 方向：右左

库仑定律（点电荷间相互作用）

q1q2

Fr

40r



DdSq



D

静止电荷 Hdl(0)dS

LSt



dE

Ddq

H r02

t40r





BB

dS 稳恒电流 EdlLStt





dB



0IdlrB

E4r2t





安培定律

（电流之间相互作用）

IIdl(dlr)

dF1201222112

4r12











BdS0

S





B0（无源有旋场）



E~D,E~U,B~H,P~M,f洛~f安,E库~E涡

麦克斯韦电磁场理论和电磁波

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