§4.3矩阵的满秩分解
本节讨论一个m ⨯n 复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。
定义4.3.1设m ⨯n 复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得A =FG ，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。
当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。
定理4.3.1设m ⨯n 复矩阵A 的秩为r >0，则A 有满秩分解。
证：因为rankA =r >0，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵B = 0⎪⎪， ⎝⎭
其中G 为r ⨯n 矩阵，并且rankG =r >0；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积，
-1-1记作P ，有PA =B ，或者A =P B ，将矩阵P 分块为P -1=(F S ) ，其中F 为m ⨯r ⎛G ⎫
矩阵，S 为m ⨯(n -r ) 矩阵，并且rankF =r ，rankS =n -r 。
则有A =P -1B =(F S ) ⎛G ⎫⎪=FG ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。 ▌ ⎪⎝0⎭
但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有
~~A =FG =(FD )(D -1G ) =F G 。
2⎫⎛-101 ⎪例1、 求矩阵A = 12-11⎪的满秩分解。
22-2-1⎪⎝⎭
解：对矩阵A 进行初等行变换
2100⎫⎛-1012100⎫⎛-101 ⎪ ⎪G ⎫ (A I )= 12-11010⎪→ 0203110⎪=B =⎛ 0⎪⎪ ⎝⎭ 22-2-1001⎪ 00001-11⎪⎝⎭⎝⎭
⎛-1012⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪-1012⎛⎫其中G = 0203⎪⎪所以B = 0203⎪，P = 110⎪；而⎝⎭ 0000⎪ 1-11⎪⎝⎭⎝⎭
P -1
⎛100⎫⎛10⎫ ⎪ ⎪= -110⎪=(F S )，其中F = -11⎪ -211⎪ -21⎪⎝⎭⎝⎭
⎛10⎫ ⎪⎛-1012⎫G ⎛⎫-1⎪=FG =-11由此可见，所以有A =P B =(F S ) ⎪ 0⎪ 0203⎪⎪。 ⎝⎭⎭ -21⎪⎝⎝⎭
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定义4.3.2设m ⨯n 复矩阵H 的秩为r (r >0)，并且满足以下条件：
1）矩阵H 的前r 行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后m -r 行的元素均为零；
2）如果矩阵H 的第i 行的第一个不为零的元素1在第j i 列(i =1, 2, , r )，
则j 1
3）矩阵H 的j 1, j 2, , j r 列是单位矩阵I m 的前r 列；
则称矩阵H 为Hermite 标准形(最简型) 。
由此定义可见，对于任意一个秩为r 的m ⨯n 复矩阵A ，均可以经过初等行变换将其化为Hermite 标准形H ，而且矩阵H 的前r 列元素组成的列向量组线性无关。
定义4.3.3以n 阶单位矩阵I n 的n 个列向量e 1, e 2, , e n 为列构成的n 阶矩阵P =e j 1, e j 2, , e j n 叫做置换矩阵。其中j 1, j 2, , j n 是1, 2, , n 的一个全排列。
定理4.3.2设m ⨯n 复矩阵A 的秩为r (r >0)，矩阵A 的Hermite 标准形为H ，则在矩阵A 的满秩分解A =FG 中，可以取矩阵F 为A 的j 1, j 2, , j r 列构成的m ⨯r 列矩阵，G 为H 的前r 行构成的r ⨯n 列矩阵。 ()
2⎫⎛-101 ⎪例2、求矩阵A = 12-11⎪的满秩分解。
22-2-1⎪⎝⎭
解：先求出矩阵A 的Hermite 标准形
2⎫⎛10-12⎫⎛-101 ⎪ ⎪A = 12-11⎪→ 0102⎪=H ，H 的第1列与第2列构成I 3的前两
22-2-1⎪ 0000⎪⎝⎭⎝⎭
列，所以矩阵F 为A 的第1列与第2列构成的3⨯2矩阵，G 为H 的前2行构成的2⨯4矩
⎛-10⎫ ⎪⎛10-12⎫阵，即F = 12⎪，G = 0102⎪⎪， ⎝⎭ 22⎪⎝⎭
⎛-10⎫ ⎪⎛10-12⎫所以A =FG = 12⎪ 0102⎪⎪。
⎭ 22⎪⎝⎝⎭
对比例1，可以看出矩阵A 的满秩分解不唯一。
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§4.3矩阵的满秩分解
本节讨论一个m ⨯n 复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。
定义4.3.1设m ⨯n 复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得A =FG ，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。
当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。
定理4.3.1设m ⨯n 复矩阵A 的秩为r >0，则A 有满秩分解。
证：因为rankA =r >0，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵B = 0⎪⎪， ⎝⎭
其中G 为r ⨯n 矩阵，并且rankG =r >0；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积，
-1-1记作P ，有PA =B ，或者A =P B ，将矩阵P 分块为P -1=(F S ) ，其中F 为m ⨯r ⎛G ⎫
矩阵，S 为m ⨯(n -r ) 矩阵，并且rankF =r ，rankS =n -r 。
则有A =P -1B =(F S ) ⎛G ⎫⎪=FG ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。 ▌ ⎪⎝0⎭
但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有
~~A =FG =(FD )(D -1G ) =F G 。
2⎫⎛-101 ⎪例1、 求矩阵A = 12-11⎪的满秩分解。
22-2-1⎪⎝⎭
解：对矩阵A 进行初等行变换
2100⎫⎛-1012100⎫⎛-101 ⎪ ⎪G ⎫ (A I )= 12-11010⎪→ 0203110⎪=B =⎛ 0⎪⎪ ⎝⎭ 22-2-1001⎪ 00001-11⎪⎝⎭⎝⎭
⎛-1012⎫⎛100⎫ ⎪ ⎪-1012⎛⎫其中G = 0203⎪⎪所以B = 0203⎪，P = 110⎪；而⎝⎭ 0000⎪ 1-11⎪⎝⎭⎝⎭
P -1
⎛100⎫⎛10⎫ ⎪ ⎪= -110⎪=(F S )，其中F = -11⎪ -211⎪ -21⎪⎝⎭⎝⎭
⎛10⎫ ⎪⎛-1012⎫G ⎛⎫-1⎪=FG =-11由此可见，所以有A =P B =(F S ) ⎪ 0⎪ 0203⎪⎪。 ⎝⎭⎭ -21⎪⎝⎝⎭
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定义4.3.2设m ⨯n 复矩阵H 的秩为r (r >0)，并且满足以下条件：
1）矩阵H 的前r 行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后m -r 行的元素均为零；
2）如果矩阵H 的第i 行的第一个不为零的元素1在第j i 列(i =1, 2, , r )，
则j 1
3）矩阵H 的j 1, j 2, , j r 列是单位矩阵I m 的前r 列；
则称矩阵H 为Hermite 标准形(最简型) 。
由此定义可见，对于任意一个秩为r 的m ⨯n 复矩阵A ，均可以经过初等行变换将其化为Hermite 标准形H ，而且矩阵H 的前r 列元素组成的列向量组线性无关。
定义4.3.3以n 阶单位矩阵I n 的n 个列向量e 1, e 2, , e n 为列构成的n 阶矩阵P =e j 1, e j 2, , e j n 叫做置换矩阵。其中j 1, j 2, , j n 是1, 2, , n 的一个全排列。
定理4.3.2设m ⨯n 复矩阵A 的秩为r (r >0)，矩阵A 的Hermite 标准形为H ，则在矩阵A 的满秩分解A =FG 中，可以取矩阵F 为A 的j 1, j 2, , j r 列构成的m ⨯r 列矩阵，G 为H 的前r 行构成的r ⨯n 列矩阵。 ()
2⎫⎛-101 ⎪例2、求矩阵A = 12-11⎪的满秩分解。
22-2-1⎪⎝⎭
解：先求出矩阵A 的Hermite 标准形
2⎫⎛10-12⎫⎛-101 ⎪ ⎪A = 12-11⎪→ 0102⎪=H ，H 的第1列与第2列构成I 3的前两
22-2-1⎪ 0000⎪⎝⎭⎝⎭
列，所以矩阵F 为A 的第1列与第2列构成的3⨯2矩阵，G 为H 的前2行构成的2⨯4矩
⎛-10⎫ ⎪⎛10-12⎫阵，即F = 12⎪，G = 0102⎪⎪， ⎝⎭ 22⎪⎝⎭
⎛-10⎫ ⎪⎛10-12⎫所以A =FG = 12⎪ 0102⎪⎪。
⎭ 22⎪⎝⎝⎭
对比例1，可以看出矩阵A 的满秩分解不唯一。
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