专题二 复数
一．基本知识
【1】复数的基本概念
（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中a ，b ∈R ）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即i 2=-1. 其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + bi 为实数 虚数：当b ≠0时的复数a + b i 为虚数；
纯虚数：当a = 0且b ≠0时的复数a + bi 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义：
a +bi =c +di ⇔a =c 且b =d （其中，a ，b ，c ，d ，∈R ）特别地a +bi =0⇔a =b =0
（3）共轭复数：z =a +bi 的共轭记作=a -bi ；
（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z =a +bi ，对应点坐标为p (a , b )；（象限的复习）
（5）复数的模：对于复数z =a +
bi ，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i
（1） 加法：z 1+z 2=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ； （2） 减法：z 1-z 2=(a 1-a 2)+(b 1-b 2)i ；
（3） 乘法：z 1⋅z 2=(a 1a 2-b 1b 2)+(a 2b 1+a 1b 2)i 特别z ⋅=a 2+b 2。
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（4）幂运算：i =i i =-1i =-i i =1i =i i =-1⋅⋅⋅⋅⋅⋅
【3】复数的化简
c +di z =（a , b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母
a +bi 化为实数：z =
c +di c +di a -bi (ac +bd )+(ad -bc )i
=⋅=22
a +bi a +bi a -bi a +b
对于z =
c +di c d
(a ⋅b ≠0)，当=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为a +bi a b c +di z ==xi 进一步建立方程求解
a +bi
二．
例题分析
【例1】已知z =a +1+(b -4)i ，求 （1） 当a , b 为何值时z 为实数 （2） 当a , b 为何值时z 为纯虚数 （3） 当a , b 为何值时z 为虚数
（4） 当a , b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
【变式1】若复数z =(x 2-1) +(x -1) i 为纯虚数，则实数x 的值为 A ．-1 B．0 C1 D．-1或1
【例2】已知z 1=3+4i ；z 2=(a -3)+(b -4)i ，求当a , b 为何值时z 1=z 2
【例3】已知z =1-i ，求，z ⋅；
【变式1】复数z 满足z =
2-i
，则求z 的共轭 1-i
【变式2】（2010年全国卷新课标）
已知复数z =
A.
，则z ∙z = 11
B. C.1 D.2 42
【例4】已知z 1=2-i ，z 2=-3+2i （1） 求z 1+z 2的值； （2） 求z 1⋅z 2的值； （3） 求z 1⋅z 2.
【变式1】已知复数z 满足(z -2)i =1+i ，求z 的模.
【变式2】若复数(1+ai )是纯虚数，求复数1+ai 的模.
【例5】（2012年全国卷 新课标）下面是关于复数z =的真命题为（ ）
2
的四个命题：其中-1+i
2
p 1:z =2p 2:z 2=2i p 3:z 的共轭复数为1+i p 4:z 的虚部为-1 (A ) p 2, p 3(B ) p 1, p 2(C ) p 2, p 4
(D ) p 3, p 4
a +3i
， (a ∈R )（i 为虚数单位）
1-2i
（1） 若z 为实数，求a 的值 （2） 当z 为纯虚，求a 的值.
a 1-i +【变式1】设a 是实数，且是实数，求a 的值.. 1+i 2
y +3i
【变式2】若z =(x , y ∈R )是实数，则实数xy 的值是 .
1+xi
【例7】复数z =cos3+i sin3对应的点位于第 象限
【例6】若复数z =
【变式1】i 是虚数单位, (A ．i
【变式2】已知
Z
=2+i,则复数z=（）1＋i
1+i 4
) 等于 ( ) 1-i
B ．-i C．1 D ．-1
（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
【变式3】i 是虚数单位，若
1+7i
=a +bi (a , b ∈R ) ，则乘积ab 的值是2-i
（A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15
【例8】（2012年天津）复数z =
7-i
3+i
= （ ） （A ）2+i （Ｂ）2-i （Ｃ）-2+i （Ｄ）-2-i
【变式4】（2007年天津）已知i 是虚数单位，2i 3
1-i
= （ ） Ａ1+i Ｂ-1+i Ｃ1-i Ｄ．-1-i
【变式5】. （2011年天津）已知i 是虚数单位，复数1-3i
1-i
= （ A 2+i B 2-i C -1+2i D -1-2i
【变式6】（2011年天津） 已知i 是虚数单位，复数-1+3i
1+2i
=（ (A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i
【变式7】. （2008年天津）已知i 是虚数单位，则
i 3(i +1)i -1
= （(A)-1 (B)1 (C)-i (D)i
） ）
）
专题二 复数
一．基本知识
【1】复数的基本概念
（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中a ，b ∈R ）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即i 2=-1. 其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + bi 为实数 虚数：当b ≠0时的复数a + b i 为虚数；
纯虚数：当a = 0且b ≠0时的复数a + bi 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义：
a +bi =c +di ⇔a =c 且b =d （其中，a ，b ，c ，d ，∈R ）特别地a +bi =0⇔a =b =0
（3）共轭复数：z =a +bi 的共轭记作=a -bi ；
（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z =a +bi ，对应点坐标为p (a , b )；（象限的复习）
（5）复数的模：对于复数z =a +
bi ，把z =z 的模； 【2】复数的基本运算 设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i
（1） 加法：z 1+z 2=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ； （2） 减法：z 1-z 2=(a 1-a 2)+(b 1-b 2)i ；
（3） 乘法：z 1⋅z 2=(a 1a 2-b 1b 2)+(a 2b 1+a 1b 2)i 特别z ⋅=a 2+b 2。
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（4）幂运算：i =i i =-1i =-i i =1i =i i =-1⋅⋅⋅⋅⋅⋅
【3】复数的化简
c +di z =（a , b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母
a +bi 化为实数：z =
c +di c +di a -bi (ac +bd )+(ad -bc )i
=⋅=22
a +bi a +bi a -bi a +b
对于z =
c +di c d
(a ⋅b ≠0)，当=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为a +bi a b c +di z ==xi 进一步建立方程求解
a +bi
二．
例题分析
【例1】已知z =a +1+(b -4)i ，求 （1） 当a , b 为何值时z 为实数 （2） 当a , b 为何值时z 为纯虚数 （3） 当a , b 为何值时z 为虚数
（4） 当a , b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
【变式1】若复数z =(x 2-1) +(x -1) i 为纯虚数，则实数x 的值为 A ．-1 B．0 C1 D．-1或1
【例2】已知z 1=3+4i ；z 2=(a -3)+(b -4)i ，求当a , b 为何值时z 1=z 2
【例3】已知z =1-i ，求，z ⋅；
【变式1】复数z 满足z =
2-i
，则求z 的共轭 1-i
【变式2】（2010年全国卷新课标）
已知复数z =
A.
，则z ∙z = 11
B. C.1 D.2 42
【例4】已知z 1=2-i ，z 2=-3+2i （1） 求z 1+z 2的值； （2） 求z 1⋅z 2的值； （3） 求z 1⋅z 2.
【变式1】已知复数z 满足(z -2)i =1+i ，求z 的模.
【变式2】若复数(1+ai )是纯虚数，求复数1+ai 的模.
【例5】（2012年全国卷 新课标）下面是关于复数z =的真命题为（ ）
2
的四个命题：其中-1+i
2
p 1:z =2p 2:z 2=2i p 3:z 的共轭复数为1+i p 4:z 的虚部为-1 (A ) p 2, p 3(B ) p 1, p 2(C ) p 2, p 4
(D ) p 3, p 4
a +3i
， (a ∈R )（i 为虚数单位）
1-2i
（1） 若z 为实数，求a 的值 （2） 当z 为纯虚，求a 的值.
a 1-i +【变式1】设a 是实数，且是实数，求a 的值.. 1+i 2
y +3i
【变式2】若z =(x , y ∈R )是实数，则实数xy 的值是 .
1+xi
【例7】复数z =cos3+i sin3对应的点位于第 象限
【例6】若复数z =
【变式1】i 是虚数单位, (A ．i
【变式2】已知
Z
=2+i,则复数z=（）1＋i
1+i 4
) 等于 ( ) 1-i
B ．-i C．1 D ．-1
（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
【变式3】i 是虚数单位，若
1+7i
=a +bi (a , b ∈R ) ，则乘积ab 的值是2-i
（A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15
【例8】（2012年天津）复数z =
7-i
3+i
= （ ） （A ）2+i （Ｂ）2-i （Ｃ）-2+i （Ｄ）-2-i
【变式4】（2007年天津）已知i 是虚数单位，2i 3
1-i
= （ ） Ａ1+i Ｂ-1+i Ｃ1-i Ｄ．-1-i
【变式5】. （2011年天津）已知i 是虚数单位，复数1-3i
1-i
= （ A 2+i B 2-i C -1+2i D -1-2i
【变式6】（2011年天津） 已知i 是虚数单位，复数-1+3i
1+2i
=（ (A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i
【变式7】. （2008年天津）已知i 是虚数单位，则
i 3(i +1)i -1
= （(A)-1 (B)1 (C)-i (D)i
） ）
）