求函数定义域值域方法

求函数的定义域的基本方法有以下几种：

1、已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况：

 分式中的分母不为零；

 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

 指数式的底数大于零且不等于一；

 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

例1（2013上海）函数

2、代入法求抽象函数的定义域。的定义域为。

已知的范围，即为的定义域为，求的定义域。的定义域，可由解出x例2 若函数

的定义域为，则的定义域为。

求函数值域的基本方法有一下几种：

一．观察法

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

二．反函数法

利用函数和它的反函数定义域与值域互逆的关系，通过求反函数的定义域而得原函数值域。形如ycxd(ab0)的函数都可以用这种方法求其值域。当然也应注意自变量x的广axb

泛性如：x为x2,ax,logax…等等。 ex1例３求函数yx的值域。 e1

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

三．配方法

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

四、判别式法

把函数转化为关于x的二次方程，通过方程有实根即判别式大于等于零，求得值域的一种方a'x2b'xc'

(a0)且定义域必须为Ｒ的函数可由此法求解值域。法。形如yax2bxc

例４求函数y4x3的值域。 2x1

例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

五．图象法

通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。

例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。

六．单调性法

利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

例５求函数yx2x1的值域。

七．换元法

运用换元手段将函数化成值域易求的另一函数，进而求其值域。形如yaxbcxd(ac0)的函数示值域常用此法。例５求函数yx2x1的值域。

例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。

八．分离常数法形如ycxd(ab0)的函数均可由此法求得值域。要注意自变量x的广泛性如：xaxb

为x2,ax,logax…等等。

ex1例2求函数yx的值域。 e1

例4求函数y=(3x+2)/(x-2)的值域。

九、数形结合法

利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域。

例7求函数yxx2的值域。

例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。

十、消元转化法

对于二元函数求值域，我们通常借助消元将它转化为一元函数，然后再求值域。但这时特别要注意的是自变量的取值范围的准确性，否则会导致结果错误。

例８已知x2y2x，求xy的取值范围。

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