Vo.l9,No.6 高等数学研究Nov.,2006STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS
37
辅导篇
分部积分法使用的几个技巧
连坡
(西北农林科技大学应用数学系 陕西杨凌 712100)
摘要 就分部积分法的使用,举例说明了几种常用的方法和技巧.
关键词 不定积分 分部积分法 被积函数 中图分类号 0172.2
*
在运用分部积分公式udv=uv-vdu时,恰当地选取u和dv是解决问题的关键.选取u和dv的经验顺序是 反对幂指三!,其中 反!、 对!、 幂!、 指!、 三!依次表示反三角函数、对数函数、幂函数(多项式函数)、指数函数和三角函数,即被积函数中出现上述五类函数中的两个函数乘积时,次序在前的通常设为u,次序在后的与dx结合在一起设为dv.在进行分部积分运算时,如能把上述规律和一些常用的积分技巧和方法相结合,常常能收到事半功倍的效果.
1
一、利用dv=d(kv+c)(k,c为常数),根据下一步的需要巧妙地选择常数k,c,简化求解过程.
k
例1 求x1n(3x-2)dx.
分析 被积函数理解为多项式函数与对数函数的积,令u=1n(3x-2),考虑到du=dx,故选用xdx=d(9x2-4),便于对vdu进行化简.3x-218
2
22x1n(3x-2)dx=1n(3x-2)d(9x-4)=[(9x-4)1n(3x-2)-3dx]=
18183x-2
121292[(9x-4)1n(3x-2)-3(3x+2)dx]=[(9x-4)1n(3x-2)-x-6x]+c.18182
x
例2 求dx.(2001.数学一)2x
e
x
分析 把复合函数arctane看成反三角函数,被积函数为指数函数与反三角函数积的形式,运
x
xe-2x1-2x
用 反对幂指三!法则,令arctane为u,注意到du=v=edx=-d(1+e)=2x故取d21+e
2x
11+e2x-d以便消去vdu中的1+e.2x2e
x2xx
x-2x-2xxdx=-arctaned(1+e)=-[(1+e)arctane-]=22ee(1+e)
-2xx-x-2xx-x-[(1+e)arctane-edx]=-[(1+e)arctane+e]+c
22二、运用分部积分法求积分过程中,出现复原的情形应特别留意.一种情形是得到递推公式,据此求出原积分;另一种情形是通过解方程求出原积分.
dx
例3 求.
(1+x)
;
38
高等数学研究 2006年11月
分析 可用分部积分法降低次数,也可用如下倒推的方法∀升高次数,总结递推规律.
22
dxxxx(1+x)-1xdx
dx=2=2+222dx=2+2222+22-1+x1+x(1+x)1+x(1+x)1+x1+x
2
故
a
(1+x)
++arctanx+c==21+x2(1+x)2(1+x)2(1+x)
例4 求解
(1+x)
2
arctanx
2
3
dx.(2003.数学二)
(1+x
arctanx
2
)
3
dx=
1+xde
arctanx
==
arctanx
1+x
arctanx
--
(1+x)
2
arctanx
3
dx=arctanx
2
arctanx
1+x
3-
1+xde
arctanx
arctanx
1+x
1+x
-
(1+x)
dx
从而有
(1+x
)
3
dx=
2
arctanx1+x
+c
本题也可按令x=tant换元处理.
三、当被积函数较为繁杂时,对被积函数可先进行代数和分解,再使用分部积分公式变形,通过合并同类项化简求解.
例5 求ex.d
(x-1)
x
2
解
x
x-2x-1ex=d(x-1)
2
例6 求
2
e2xe1x2xee
dx-dx=de-x=-d
x-1(x-1)x-1(x-x)x-1
xx
xex-x=2+c22d22d(x-1)(x-1)x-1
cosx+xsinx(x+cosx)-(1-sinx)xdx1
x=dx=+xd=2d2
x+cosxx+cosx(x+cosx)(x+cosx)
+-=+cx+cosxx+cosxx+cosxx+cosx
xxxx
四、根据分部积分公式分析推测原函数的构成形式,用待定系数法求积分.例7 求xedx.
分析 积分为多项式与指数函数积形式,令多项式为u,其余部分为dv,连续运用分部公式后将得到(ax+bx+cx+d)e形式的积分结果,故可设
3
2x
32x
3
xedx=(ax+bx+cx+d)e+C,两端求导整理得
32x
3
2
2x
2x322x
xe=[2ax+(3a+2b)x+2(b+c)x+c+2d]e
由比较系数得a=
32x322x
b=-,c=d=-故xedx=(x-x+x-)e+C
24482448
例8 求ecos2xdx.
分析 积分为指数与三角函数积形式,按分部积分规律,指数与三角函数均可为u,连续运用
4x
分部公式后将得到(asin2x+bcos2x)e形式的积分结果,故可设(下转45页)
4x
第9卷第6期 陈德新: 关于一个概率问题的条件!一文的商榷
45
乙正nn-1 0
甲正0,1,2,#,n0,1,2,#,n-1
每种条件下可能的结果数
n+1n 1
可见此时结果总数为1+2+#+n+(n+1)=(n+1)(n+2)/2
所以由(1)和(2)知基本事件总数为
(n+1)(n+2)/2+(n+1)(n+2)/2=(n+1)(n+2)
事件A=(甲正>乙正)包含的基本事件数为(n+1)(n+2)/2则 P(A)=[(n+1)(n+2)/2]/(n+1)(n+2)=1/2
解法二 (利用对称性)
因 -(甲正>乙正)=(甲正∃乙正)=(甲反>乙反)又因为硬币是均匀的,由对称性知
P(甲正>乙正)=P(甲反>乙反)
则 P(甲正>乙正)=1-P(甲正∃乙正)=1-P(甲反>乙反)所以 P(甲正>乙正)=1/2
两种解法相比较,显然解法二比较简单,解法一充分体现了求古典概率的基本思想;首先找出样本空间中,样本点总数,及事件A包含的样本点数,再求出其比值即可 解法二利用了对称性,因为硬币是均匀的,则就有P(甲正>乙正)=P(甲反>乙反),其实在古典概型中,所谓 等可能性!正是 对称性!的一种后果,因各个基本事件处在 对称!的位置上,所以才有 等可能性! 教科书上仅给出了解法二 我在从事这个例题的数学中,首先让学生用直接解法去思考几分钟,感到困难,不好下手 再转入第二种解法,即介绍书上的解法 之后,若时间允许,引导学生一起用第一种解法,求之;若时间不允许,叫学生课后给出直接的解法,加以比较之
参考文献
[1]张文忠.关于一个概率问题的条件[J].高等数学研究.2004年2期49页
[2]华东师范大学数学系.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,1983年21页
(上接38页)
4x
ecos2xdx=(asin2x+bcos2x)e+C 两端求导整理得
4x
4x
4x
ecos2x=[(4a-2b)sin2x+(2a+4b)cos2x)]e
4x4x
由比较系数得a=b=,故ecos2xdx=(sin2x+cos2x)e+C
105105
上述的几种方法和技巧同样适合定积分的分部积分运算,只是相应地结合积分的限使用而已.分部积分法的使用灵活多样,各种方法都有自己的特点,只有在解题中不断积累经验,针对具体问题,对症下药,才能取得较好的效果.
参考文献
[1]同济大学应用数学系.高等数学[M] 北京:高等教育出版社 2002[,.[M]
Vo.l9,No.6 高等数学研究Nov.,2006STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS
37
辅导篇
分部积分法使用的几个技巧
连坡
(西北农林科技大学应用数学系 陕西杨凌 712100)
摘要 就分部积分法的使用,举例说明了几种常用的方法和技巧.
关键词 不定积分 分部积分法 被积函数 中图分类号 0172.2
*
在运用分部积分公式udv=uv-vdu时,恰当地选取u和dv是解决问题的关键.选取u和dv的经验顺序是 反对幂指三!,其中 反!、 对!、 幂!、 指!、 三!依次表示反三角函数、对数函数、幂函数(多项式函数)、指数函数和三角函数,即被积函数中出现上述五类函数中的两个函数乘积时,次序在前的通常设为u,次序在后的与dx结合在一起设为dv.在进行分部积分运算时,如能把上述规律和一些常用的积分技巧和方法相结合,常常能收到事半功倍的效果.
1
一、利用dv=d(kv+c)(k,c为常数),根据下一步的需要巧妙地选择常数k,c,简化求解过程.
k
例1 求x1n(3x-2)dx.
分析 被积函数理解为多项式函数与对数函数的积,令u=1n(3x-2),考虑到du=dx,故选用xdx=d(9x2-4),便于对vdu进行化简.3x-218
2
22x1n(3x-2)dx=1n(3x-2)d(9x-4)=[(9x-4)1n(3x-2)-3dx]=
18183x-2
121292[(9x-4)1n(3x-2)-3(3x+2)dx]=[(9x-4)1n(3x-2)-x-6x]+c.18182
x
例2 求dx.(2001.数学一)2x
e
x
分析 把复合函数arctane看成反三角函数,被积函数为指数函数与反三角函数积的形式,运
x
xe-2x1-2x
用 反对幂指三!法则,令arctane为u,注意到du=v=edx=-d(1+e)=2x故取d21+e
2x
11+e2x-d以便消去vdu中的1+e.2x2e
x2xx
x-2x-2xxdx=-arctaned(1+e)=-[(1+e)arctane-]=22ee(1+e)
-2xx-x-2xx-x-[(1+e)arctane-edx]=-[(1+e)arctane+e]+c
22二、运用分部积分法求积分过程中,出现复原的情形应特别留意.一种情形是得到递推公式,据此求出原积分;另一种情形是通过解方程求出原积分.
dx
例3 求.
(1+x)
;
38
高等数学研究 2006年11月
分析 可用分部积分法降低次数,也可用如下倒推的方法∀升高次数,总结递推规律.
22
dxxxx(1+x)-1xdx
dx=2=2+222dx=2+2222+22-1+x1+x(1+x)1+x(1+x)1+x1+x
2
故
a
(1+x)
++arctanx+c==21+x2(1+x)2(1+x)2(1+x)
例4 求解
(1+x)
2
arctanx
2
3
dx.(2003.数学二)
(1+x
arctanx
2
)
3
dx=
1+xde
arctanx
==
arctanx
1+x
arctanx
--
(1+x)
2
arctanx
3
dx=arctanx
2
arctanx
1+x
3-
1+xde
arctanx
arctanx
1+x
1+x
-
(1+x)
dx
从而有
(1+x
)
3
dx=
2
arctanx1+x
+c
本题也可按令x=tant换元处理.
三、当被积函数较为繁杂时,对被积函数可先进行代数和分解,再使用分部积分公式变形,通过合并同类项化简求解.
例5 求ex.d
(x-1)
x
2
解
x
x-2x-1ex=d(x-1)
2
例6 求
2
e2xe1x2xee
dx-dx=de-x=-d
x-1(x-1)x-1(x-x)x-1
xx
xex-x=2+c22d22d(x-1)(x-1)x-1
cosx+xsinx(x+cosx)-(1-sinx)xdx1
x=dx=+xd=2d2
x+cosxx+cosx(x+cosx)(x+cosx)
+-=+cx+cosxx+cosxx+cosxx+cosx
xxxx
四、根据分部积分公式分析推测原函数的构成形式,用待定系数法求积分.例7 求xedx.
分析 积分为多项式与指数函数积形式,令多项式为u,其余部分为dv,连续运用分部公式后将得到(ax+bx+cx+d)e形式的积分结果,故可设
3
2x
32x
3
xedx=(ax+bx+cx+d)e+C,两端求导整理得
32x
3
2
2x
2x322x
xe=[2ax+(3a+2b)x+2(b+c)x+c+2d]e
由比较系数得a=
32x322x
b=-,c=d=-故xedx=(x-x+x-)e+C
24482448
例8 求ecos2xdx.
分析 积分为指数与三角函数积形式,按分部积分规律,指数与三角函数均可为u,连续运用
4x
分部公式后将得到(asin2x+bcos2x)e形式的积分结果,故可设(下转45页)
4x
第9卷第6期 陈德新: 关于一个概率问题的条件!一文的商榷
45
乙正nn-1 0
甲正0,1,2,#,n0,1,2,#,n-1
每种条件下可能的结果数
n+1n 1
可见此时结果总数为1+2+#+n+(n+1)=(n+1)(n+2)/2
所以由(1)和(2)知基本事件总数为
(n+1)(n+2)/2+(n+1)(n+2)/2=(n+1)(n+2)
事件A=(甲正>乙正)包含的基本事件数为(n+1)(n+2)/2则 P(A)=[(n+1)(n+2)/2]/(n+1)(n+2)=1/2
解法二 (利用对称性)
因 -(甲正>乙正)=(甲正∃乙正)=(甲反>乙反)又因为硬币是均匀的,由对称性知
P(甲正>乙正)=P(甲反>乙反)
则 P(甲正>乙正)=1-P(甲正∃乙正)=1-P(甲反>乙反)所以 P(甲正>乙正)=1/2
两种解法相比较,显然解法二比较简单,解法一充分体现了求古典概率的基本思想;首先找出样本空间中,样本点总数,及事件A包含的样本点数,再求出其比值即可 解法二利用了对称性,因为硬币是均匀的,则就有P(甲正>乙正)=P(甲反>乙反),其实在古典概型中,所谓 等可能性!正是 对称性!的一种后果,因各个基本事件处在 对称!的位置上,所以才有 等可能性! 教科书上仅给出了解法二 我在从事这个例题的数学中,首先让学生用直接解法去思考几分钟,感到困难,不好下手 再转入第二种解法,即介绍书上的解法 之后,若时间允许,引导学生一起用第一种解法,求之;若时间不允许,叫学生课后给出直接的解法,加以比较之
参考文献
[1]张文忠.关于一个概率问题的条件[J].高等数学研究.2004年2期49页
[2]华东师范大学数学系.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,1983年21页
(上接38页)
4x
ecos2xdx=(asin2x+bcos2x)e+C 两端求导整理得
4x
4x
4x
ecos2x=[(4a-2b)sin2x+(2a+4b)cos2x)]e
4x4x
由比较系数得a=b=,故ecos2xdx=(sin2x+cos2x)e+C
105105
上述的几种方法和技巧同样适合定积分的分部积分运算,只是相应地结合积分的限使用而已.分部积分法的使用灵活多样,各种方法都有自己的特点,只有在解题中不断积累经验,针对具体问题,对症下药,才能取得较好的效果.
参考文献
[1]同济大学应用数学系.高等数学[M] 北京:高等教育出版社 2002[,.[M]