中学物理力学求极值的常用方法
一、知识要点
1．极值问题：指极小值和极大值。
注：极值不一定是最值。
2．求极值问题的两个途径：
物理过程或物理状态的极值通常与某一临界值有关，巧妙地建立一个含极值条件的物理模型，则可快捷地解决问题。
（1）物理方法：从物理过程的分析着手求解极值问题。
（2）数学方法：从数学方法角度思考，借助于代数、函数或函数图像知识求解极值问题。
二、应试策略
1．用二次函数求极值的方法求极值
一元二次函数y=ax＋bx ＋c （a ≠0），当x=-a
例1．一辆小汽车从静止开始以3 m/s2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s的速度从车旁边匀建驶过 (1)汽车从开始运动后在追上自行车之前经多多长时间两者距最远？此最远距离是多少’ (2)汽车什么时候追上自行车？此时汽车的速度是多少？
解析：设汽车在追上自行车之前经t 时间两车相距最远，则△S ＝S 2-S 1，S 2=V0t ，s 1=得∆s =6t -
32t b 2a
63
2
2
b 2a
时，y 有极小值y 极=
4ac -b 4a
2
，用a>0时y 有极小值，
12
at
2
(1)当t =-=s =2s 时，△S 极=
4ac -b 4a
2
=
0-6-4⨯
232
=6m 或∆s =6t -
32
t
2
=6m
(2)汽车追上自行车时两车位移相等，即△S ＝0，得t’=4s。v t =at’=12m/s 答案：(1)2S，6m ；(2)12m/s。---可以利用配方法求解
点评：本题可以用v-t 图象求解，也可以用相距最远时二者速度相等这个结论来求解。 2．利用一元二次方程根的判别式求极值
将二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0），转化为二次方程ax 2＋bx ＋c －y=0，其判别式Δ＝b 2－4aC≥0，x 有实数解，若y≥A，则y min ＝A ；若y≤A，则y max ＝A 。Δ≤0，方程无实数解。 例2．一个质量为M 的圆环，用细线悬挂着。将两个质量为m 的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图所示。今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。证明，当m >
23
M 时，圆环能升起。
v
2
证明：取小球为研究对象，受力如图（a ），由牛顿第二定律，得mg cosθ＋N =m 由动能定理得 mgR （1－cosθ）＝由此二式得 N =2mg －3mg cosθ 上式中，N >0，即 cosθ
2
3
12
R
mv
2
以环为研究对象，受力图如（b ），在竖直方向，由牛顿第二定律，有 T+2N’cosθ—Mg=Ma 当环恰好能上升时，a=0，可得 2N’cosθ=Mg
N’与N 为作用力与反作用力，则2（2mg －3mgcosθ）cosθ=Mg 即6mcos 2θ－4mcosθ+M=0
上式是关于cosθ的一元二次方程，cosθ为实数，则△≥0，即（4m ）2－4（6m ）M≥0，可得m ≥当m =
23
23
M
M 时，T 恰好为零，但不升起，所以取m >
23
M 为升起条件。
3．利用三角函数求极值
用三角函数求极值，实际上是应用了正、余弦函数的有界性。 ①利用倍角公式将y ＝Asin αcos α转化为y ＝②将三角函数y ＝asin θ+bcosθ，转化成y =
12
Asin2α的形式，当α＝45º时，y 有极大值
2
2
A 2
。
a +b sin(θ+ϕ) 的形式，再利用其有界性求解。
例3．质量为m 的物体，在与水平方向成θ斜向上拉力F 牵引沿水平地面上匀速直线运动。已知物体与地面间的滑动摩擦系数为μ，求力F 的最小值及角θ。
解析。物体受力情况如图，根据牛顿第二定律得 Fcos θ－f ＝0 F N ＋Fsin θ－mg=0 f ＝μN
解得：F ＝
μmg cos θ+μsin θ
可写成F =
+μ
μmg
2
，其中sin ϕ=
1+μ
2
, cos ϕ=
μ+μ
2
sin(θ+ϕ)
则sin(θ+ϕ) =1时，F 有最小值F min =
μmg +μ
2
，此时θ+ϕ=
π
2
，θ=
π2
-tan
-1
1
μ
答案：
μmg +μ
2
；
π2
-tan
-1
1
μ
点评：利用三角函数的有界性求极值，是中学物理常用的解题方法。 4．利用图象法求极值
通过对物理过程的分析和所遵守的物理规律，找出相关变量之间的函数关系，作出物理图象，由图象再求得极值。通常要用到图象斜率、面积、截距、交点的物理意义等。
例4．甲、已两光滑斜面高度相同，乙斜面的总长度和甲斜面的总长度相同，只是由两部分组成如图所示，将两个相同的小球从两斜面的顶端同时释放，不计在拐角处的能量损失，则哪一个小球先滑到底端？
解析：小球沿甲斜面OB 做匀加速运动，设其加速度大小为a 1，小球沿乙斜面OD 段、DE 段分别做匀加速运
动，设其加速度大小分别为a 2和a 3, 由图象和a=gsinθ可知a 3
因为速率一时间图线的斜率表示小球加速度的大小，图线与时间轴所围成的面积表示小球所通过的路程，则四边形ODEt 乙与三角形0Bt 甲面积相等时，显然有t 乙
答案：沿乙斜面的小球先滑到底端。 5．利用作图法求极值
t 2
t 1
点评：本题抓住两球的路程相等，利用v-t 图斜率和面积的物理意义解决了时间的最小值问题。
把复杂的物理过程或各物理量间的关系用几何图形表示，将物理问题转化为几何问题加以解决。 例5．有一小船位于60m 宽的河边，从这里起在下游80m 处河流变成瀑布。假设河水流速为5m/s，为了使小船能安全渡河，船相对于静水的速度不能小于多少？
解析：设水速为V 水，船速为V 船，船对岸的实际速度为V 合。为使小船到达对岸而不至滑过瀑布A 处，过O 作船合速度的方向OA 和水速V 水，如图所示，由几何关系可知V 水与V 合垂直时，V 船最小，V 船方向与岸夹角应为θ。
由几何关系得 tan θ=
v 水cos 53︒
8060
=43
，θ＝53°
v 船=
=3m /s
答案：3m/s，方向与岸成53°角斜向上游。
点评：本例巧妙利用作图法解决了渡河问题中的极值问题，也是V 船
设a 、b 均为正数，则a +b ≥2ab
①若ab= C（常数），当a=b时取等号，即a+b有极小值； ②若a+b=C（常数），当a=b时取等号，即ab 有极大值。
例6．（2010年高考重庆卷，24）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d 后落地，如题图所示。已知握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为
34
d ，重力加速度为g ，忽略手的运动半径和空气阻力。
（1）求绳断时球的速度大小V 1和球落地时的速度大小V 2。
（2）向绳能承受的最大拉力多大？
（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？
解析：（1）设绳段后球飞行时间为t ，由平抛运动规律，有竖直方向d =
41
12
gt ，水平方向d =v 1t
2
得v 1=
由机械能守恒定律，有
12
m v 2=
2
12
m v 1+m g (d -
2
34
d ) ，得v 2=
（2）设绳能承受的最大拉力大小为T ，这也是球受到绳的最大拉力大小。
球做圆周运动的半径为R =
34
d ，由圆周运动向心力公式，有 T -mg =
mv 1R
2
，得T =
113
m g
（3）设绳长尾l ，绳断时球的速度大小为v 3，绳承受的最大推力不变，
mv 3
l
2
有 T -mg =
得v 3=
12
2
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d -l ，水平位移为x ，时间为t 1，有d -l =
gt 1 x =v 3t 1
得
x =当l =
d 2
时，x
有极大值，x m ax =
3
答案：（1
）v 1=
v 2=
（2）T =
113
m g （3）当l =
d 2
时，x
有极大值，x m ax =
3
。
例7．（2010年高考江苏卷，14）(16分) 在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论。如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg的指点， 选手抓住绳由静止开始摆动，此事绳与竖直方向夹角α＝30°，绳的悬挂点O 距水面的高度为H=3m.不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深。取中立加速度 g ＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6
（1）求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F ；
（2）若绳长l=2m, 选手摆到最高点时松手落入手中。设水对选手的平均浮力f 1＝800N ，平均阻力f 2＝700N ，求选手落入水中的深度d ；
（3）若选手摆到最低点时松手， 小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点。 解析（1）动能定理 m gl (1-cos α) =
解得F ′＝（3－2cos α）mg
人对绳的拉力 F ＝F ′，则 F ＝1080N
（2）动能定理 mg （H －l cos α＋d ）－（f 1＋f 2）d ＝0 ，则d=
12
12
m v ，圆周运动 F ′－mg ＝m
2
v l
2
mg (H -l cos α) f +f 2-mg
1
，解得 d =1.2m
(3)选手从最低点开始做平抛运动x=vt， H-l=解得x =gt
2
当l =
H 2
时，x 有最大值，解得l=1.5m
因此，两人的看法均不正确。当绳长钺接近1.5m 时，落点距岸边越远。 答案：（1）1080N ；（2）1.2m ；（3）当l =
H 2
时，x 有极大值1.5m ，两人的看法均不正确。
三、对应练习
1．（2010届福建省泉州市高三四校联考）如图所示，一小球用轻绳悬于O 点，用力F 拉住小球，使悬线保持偏离竖直方向75角，且小球始终处于平衡状态。为了使F 有最小值，F 与竖直方向的夹角θ应该是
A ．900 B ．450 C ．150 D ．00 答案：C 。
2．（2010年江苏苏锡常镇高三调研, 5）如图所示，有一光滑的半径可变的内，圆心O 点离地高度为H 。现调节轨道半径，让一可视为质点的小球a 从与O 点等高的轨道最高点由静止沿轨道下落，使小球离开轨道后运动的水平位移S 最大，则小球脱离轨道最低点时的速度大小应为
A ．
gH B ．
gH 3
4gH
C ．2gH D ．
3
14
圆形轨道处于竖直平面
3
2
解析：设圆形轨道的半径为R ，则抛出时的速度v 0=2gR ；
小球做平抛运动时，S =v 0t H -R =
12
gt
2
解得 S =2R (H -R ) ，可知当R ＝H －R 即R ＝0.5H 时，S 有最大值，可解得V 0＝gH 答案：A 。
。
3．公共汽车由停车站从静止出发以2m/s2的加速度做匀加速运动，这时一辆载重汽车从后面超过公共汽车，载重汽车以10m/s的速度匀速前进。问：经过多长时间公共汽车能追上载重汽车？经过多长时间两车相距最远？相距最远时两车之间的距离是多少？
解法二：解析法
公共汽车作初速度为零的匀变速直线运动，则 x 1＝
12
at ＝t
22
载重汽车作匀速直线运动 x 2＝Vt ＝10t △x ＝x 2－x 1＝10t －t 2
（1）当△x ＝0时公共汽车追上载重汽车，得t ＝10S 或t ＝0（舍去） （2）当t ＝－
102(-1)
＝5（S ）时，△x 有极值，即△x ＝
0-10
2
4(-1)
＝25（m ）
解法二：利用运动图象求解
因为公共汽车是做初速度零、加速度2m/s2的匀加速度运动，而载重汽车是做匀速直线运动，且同时目向运动，它们的速度-时间图象如图示。速度时间图线与时间轴所围成面积表示物体通过的位移。由图可知：当t ＝O 时，△OAD 的面积等于矩形OCBD 的面积，故两车所通过的位移相等，即两车相遇。当两车速度相等，即t ＝5s 时两车相距最远，最远距离是 S max =S ∆OCE ，解得其值为25m 。
答案：25m 。
4．如图所示，用力F 拉一物体在水平地面上匀速前进，物体的质量为m ，物体与地面间的动摩擦因数为μ，欲使F 为最小，则F 应与竖直方向成多大的夹角？最小的力为多大？
解析：设F 与竖直方向的夹角为θ，物体匀速前进则有
F sin θ=μ(mg -F cos θ)
即F =
μm g sin θ+μcos θ
=
1+μ
μm g
2
sin (θ+Φ)
其中tg Φ=μ，当θ=90︒-Φ=90︒-arctg μ时，F 有最小值F min
F m in =
μm g +μ
2
答案：θ=90︒-Φ=90︒-arctg μ，F m in =
μm g 1+μ
2
四、巩固加深
1．（2007年高考江苏，6）如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg 。现用水平拉力F 拉其中一个质量为2 m的木块，使四个木块一同一加速度运动，则轻绳对m 的最大拉力为
A ．
3μmg 5
B ．
3μmg 4
C ．
3μmg 2
D ．3μmg
解析：将用线关联的两个小m 和后面的2m 看成一个整体，且前一个m 所受静摩擦力达到最大值时，根据牛顿第二定律得
μmg ＝4ma
单独分析前面的m 可得 μmg －T ＝ma
3μmg
解得 T ＝
4
答案：B 。
2．火车以速率V 1行驶，司机突然发现前方同一轨道上距离S 处有另一辆火车沿相同方向以较小的速率V 2做匀速运动。于是司机立即制动，使火车作匀减速运动，加速度大小为a ．要使两车不相撞，求加速度a 应满足的条件。
解析：设经过时间t 两车相遇，则有 v 2t +s =v 1t -即 at +2(v 2-v 1) t +2s =0
为使两车不相撞，则上个方程应无解，即∆=4(v 2-v 1) -8as
(v 1-v 2)
2S
2
z
2
12
at
2
答案：a >
(v 1-v 2)
2S
2
点评：本题也可以用临界条件求解：当两车速度相等时，它们之间的距离恰好为0。
3．如图所示，物体静止在光滑水平面上，受到一个水平恒力F 1的作用，要使物体在水平面上沿OA 方向作直线运动，OA 与水平方向成θ角，则对物体施加的这个力F 2的最小值是多大？方向如何？
解析：根据力的平行四边形定则，物体受到的合力沿0A 方向，则另一个力F 2有大小、方向不同的若干个解，在这些解的当中有一个最小值，这个力的方向与合力方向垂直。如图所示。由几何关系可得F 2=F1sinθ。
答案：F 2=F1sinθ，方向与合力方向垂直。
4．（2010年高考浙江卷，22）在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H 的平台上A 点由静止出发，沿着动摩擦因数为滑μ的轨道向下运动到B 点后水平滑出，最后落在水池中。设滑道的水平距离为L ，B 点的高度h 可由运动员自由调节（取g=10m/s2）。求：
（1）运动员到达B 点的速度与高度h 的关系；
（2）运动员要达到最大水平运动距离，B 点的高度h 应调为多大？对应的最大水平距离S BH 为多少？
（3若图中H ＝4m ，L ＝5m ，动摩擦因数μ＝0.2，则水平运动距离要达到7m ，h 值应为多少？
解析：（1）设斜面长度为L 1，斜面倾角为α，根据动能定理
m g (H -h ) -μm gL 1cos α=
12
12m v 0 m v 0
，v 0=
22
即m g (H -h ) =μm gL +
h
2
（2）根据平抛运动公式 X=vo t ，h=1gt ，得
x =2
（3）令x=2m ,H=4m,L=5m, μ=0.2，可得到：—h 2+3h-1=0
22求出h 1==
2.62(m ) ，h 2=
=0.38(m )
答案：（1
）v 0=
（2
）x =；（3）2.62m ，0.38m 。 ；
附加题1．（09年江苏罗庚中学月考试题）如图所示，在同一竖直平面内的两正对着的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动，今在最高点A 与最低点B 各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离变化时，测得两点压力差与距离x 的图像如图，g 取10 m/s，不计空气阻力，求：
（1）小球的质量为多少？
（2）若小球的最低点B 的速度为20 m/s，为使小球能沿轨道运动，x 的最大值为多少？
解析（1）设轨道半径为R ，根据机械能守恒定律
2
m
12
m v B =m g (2R +x ) +
2
12
m v A
2
在B 点：F N 1-mg =m
v B R ，
2
在A 点：F N 2+mg =m
2m gx R
v A R
2
两点压力差：∆F N =F N 1-F N 2=6m g +
2m g R
由图象截距得 6mg =3，即m =0. 05kg ,
（2）因为图线的斜率k ==1得R =1m
在A
点不脱离的条件为：v A ≥
答案：0.05Kg;17.5m 。
，
解得：x =17. 5m
附加题2．在平直公路上，有甲、乙两辆汽车，初始时甲车在前乙车在后，它们相距为x 0＝100m ，不计汽车长度。若甲车以V 1＝20m/s的初速度开始做匀加速直线运动，同时乙车以V 2＝30m/s的初速度开始做匀加速直线运动，加速度为a 2＝0.40m/s2。求加速度a 1分别为何值时，甲、乙两车不相遇或相遇一次或相遇两次？
解法一：设经历时间t 时甲、乙两车相遇，则有 v 2t +即 (a 1-0. 4) t 2-20t +200=0
若a 1＝0.40m/s2，t ＝10s 时相遇一次； 若a 1≠0.40m/s，由二次方程的求根公式t =
2
12
a 2t =v 1t +
2
12
a 1t +x 0
2
20±20
2
-800(a 1-0. 4)
2(a 1-0. 4)
可知
当a 1
2
当a 1＝0.9m/s时，t ＝20s ，相遇一次； 当a 1>0.9m/s2时，t 无实数解，不相遇。
解法二：选甲车为参照物，则需要将甲车的速度和加速度都反加给乙，那么 乙车相对甲车的初速为V 0＝V 2－V 1＝10 m/s，加速度a ＝a 2－a 1＝(0.4－ a 1) m/s2 得x 0＝V 0t ＋
12
at 2，即(0.4－ a 1) t2＋10t －100＝0
当a 1
当a 1> 0.4 m/s2时，乙车相对甲车先做匀减速直线运动，后做反方向的匀加速直线运动，速度为0时两车间距最大：
z
0-v 0-10x ==
2a 2(0. 4-a 1)
2
当0.40m/sx0＝ 100m ，两车相遇两次； 当a 1＝0.9m/s2n 时，x ＝x 0＝100m ，两车相遇一次； 当a 1>0.9m/s2时，x
答案：当a 1≤0.40m/s或a 1＝0.9m/s时，两车相遇一次；当0.40m/s0.9m/s2时，两车不相遇。
附加题3．一轻绳固定在O 点，另一端拴一小球，如图所示。拉起小球使轻绳水平，然后无初速度释放在小球运动到轻绳到达竖直位置的过程中，小球所受重力的功率何时最大？最大O 值是多少？
解析：如图所示，当小球运动到与竖直方向成θ角的C 点时，重力的功率为 P ＝mgVcos α＝mgVsin θ
因2cos 2θ＋sin 2θ＋sin 2θ＝2，为定值，由 a +b +c ≥33abc 可得
当2cos 2θ＝sin 2θ，即 tanθ＝2，cos θ＝, sinθ＝时，y 有极大值，P 有最大值。
中学物理力学求极值的常用方法
一、知识要点
1．极值问题：指极小值和极大值。
注：极值不一定是最值。
2．求极值问题的两个途径：
物理过程或物理状态的极值通常与某一临界值有关，巧妙地建立一个含极值条件的物理模型，则可快捷地解决问题。
（1）物理方法：从物理过程的分析着手求解极值问题。
（2）数学方法：从数学方法角度思考，借助于代数、函数或函数图像知识求解极值问题。
二、应试策略
1．用二次函数求极值的方法求极值
一元二次函数y=ax＋bx ＋c （a ≠0），当x=-a
例1．一辆小汽车从静止开始以3 m/s2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s的速度从车旁边匀建驶过 (1)汽车从开始运动后在追上自行车之前经多多长时间两者距最远？此最远距离是多少’ (2)汽车什么时候追上自行车？此时汽车的速度是多少？
解析：设汽车在追上自行车之前经t 时间两车相距最远，则△S ＝S 2-S 1，S 2=V0t ，s 1=得∆s =6t -
32t b 2a
63
2
2
b 2a
时，y 有极小值y 极=
4ac -b 4a
2
，用a>0时y 有极小值，
12
at
2
(1)当t =-=s =2s 时，△S 极=
4ac -b 4a
2
=
0-6-4⨯
232
=6m 或∆s =6t -
32
t
2
=6m
(2)汽车追上自行车时两车位移相等，即△S ＝0，得t’=4s。v t =at’=12m/s 答案：(1)2S，6m ；(2)12m/s。---可以利用配方法求解
点评：本题可以用v-t 图象求解，也可以用相距最远时二者速度相等这个结论来求解。 2．利用一元二次方程根的判别式求极值
将二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0），转化为二次方程ax 2＋bx ＋c －y=0，其判别式Δ＝b 2－4aC≥0，x 有实数解，若y≥A，则y min ＝A ；若y≤A，则y max ＝A 。Δ≤0，方程无实数解。 例2．一个质量为M 的圆环，用细线悬挂着。将两个质量为m 的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图所示。今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。证明，当m >
23
M 时，圆环能升起。
v
2
证明：取小球为研究对象，受力如图（a ），由牛顿第二定律，得mg cosθ＋N =m 由动能定理得 mgR （1－cosθ）＝由此二式得 N =2mg －3mg cosθ 上式中，N >0，即 cosθ
2
3
12
R
mv
2
以环为研究对象，受力图如（b ），在竖直方向，由牛顿第二定律，有 T+2N’cosθ—Mg=Ma 当环恰好能上升时，a=0，可得 2N’cosθ=Mg
N’与N 为作用力与反作用力，则2（2mg －3mgcosθ）cosθ=Mg 即6mcos 2θ－4mcosθ+M=0
上式是关于cosθ的一元二次方程，cosθ为实数，则△≥0，即（4m ）2－4（6m ）M≥0，可得m ≥当m =
23
23
M
M 时，T 恰好为零，但不升起，所以取m >
23
M 为升起条件。
3．利用三角函数求极值
用三角函数求极值，实际上是应用了正、余弦函数的有界性。 ①利用倍角公式将y ＝Asin αcos α转化为y ＝②将三角函数y ＝asin θ+bcosθ，转化成y =
12
Asin2α的形式，当α＝45º时，y 有极大值
2
2
A 2
。
a +b sin(θ+ϕ) 的形式，再利用其有界性求解。
例3．质量为m 的物体，在与水平方向成θ斜向上拉力F 牵引沿水平地面上匀速直线运动。已知物体与地面间的滑动摩擦系数为μ，求力F 的最小值及角θ。
解析。物体受力情况如图，根据牛顿第二定律得 Fcos θ－f ＝0 F N ＋Fsin θ－mg=0 f ＝μN
解得：F ＝
μmg cos θ+μsin θ
可写成F =
+μ
μmg
2
，其中sin ϕ=
1+μ
2
, cos ϕ=
μ+μ
2
sin(θ+ϕ)
则sin(θ+ϕ) =1时，F 有最小值F min =
μmg +μ
2
，此时θ+ϕ=
π
2
，θ=
π2
-tan
-1
1
μ
答案：
μmg +μ
2
；
π2
-tan
-1
1
μ
点评：利用三角函数的有界性求极值，是中学物理常用的解题方法。 4．利用图象法求极值
通过对物理过程的分析和所遵守的物理规律，找出相关变量之间的函数关系，作出物理图象，由图象再求得极值。通常要用到图象斜率、面积、截距、交点的物理意义等。
例4．甲、已两光滑斜面高度相同，乙斜面的总长度和甲斜面的总长度相同，只是由两部分组成如图所示，将两个相同的小球从两斜面的顶端同时释放，不计在拐角处的能量损失，则哪一个小球先滑到底端？
解析：小球沿甲斜面OB 做匀加速运动，设其加速度大小为a 1，小球沿乙斜面OD 段、DE 段分别做匀加速运
动，设其加速度大小分别为a 2和a 3, 由图象和a=gsinθ可知a 3
因为速率一时间图线的斜率表示小球加速度的大小，图线与时间轴所围成的面积表示小球所通过的路程，则四边形ODEt 乙与三角形0Bt 甲面积相等时，显然有t 乙
答案：沿乙斜面的小球先滑到底端。 5．利用作图法求极值
t 2
t 1
点评：本题抓住两球的路程相等，利用v-t 图斜率和面积的物理意义解决了时间的最小值问题。
把复杂的物理过程或各物理量间的关系用几何图形表示，将物理问题转化为几何问题加以解决。 例5．有一小船位于60m 宽的河边，从这里起在下游80m 处河流变成瀑布。假设河水流速为5m/s，为了使小船能安全渡河，船相对于静水的速度不能小于多少？
解析：设水速为V 水，船速为V 船，船对岸的实际速度为V 合。为使小船到达对岸而不至滑过瀑布A 处，过O 作船合速度的方向OA 和水速V 水，如图所示，由几何关系可知V 水与V 合垂直时，V 船最小，V 船方向与岸夹角应为θ。
由几何关系得 tan θ=
v 水cos 53︒
8060
=43
，θ＝53°
v 船=
=3m /s
答案：3m/s，方向与岸成53°角斜向上游。
点评：本例巧妙利用作图法解决了渡河问题中的极值问题，也是V 船
设a 、b 均为正数，则a +b ≥2ab
①若ab= C（常数），当a=b时取等号，即a+b有极小值； ②若a+b=C（常数），当a=b时取等号，即ab 有极大值。
例6．（2010年高考重庆卷，24）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d 后落地，如题图所示。已知握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为
34
d ，重力加速度为g ，忽略手的运动半径和空气阻力。
（1）求绳断时球的速度大小V 1和球落地时的速度大小V 2。
（2）向绳能承受的最大拉力多大？
（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？
解析：（1）设绳段后球飞行时间为t ，由平抛运动规律，有竖直方向d =
41
12
gt ，水平方向d =v 1t
2
得v 1=
由机械能守恒定律，有
12
m v 2=
2
12
m v 1+m g (d -
2
34
d ) ，得v 2=
（2）设绳能承受的最大拉力大小为T ，这也是球受到绳的最大拉力大小。
球做圆周运动的半径为R =
34
d ，由圆周运动向心力公式，有 T -mg =
mv 1R
2
，得T =
113
m g
（3）设绳长尾l ，绳断时球的速度大小为v 3，绳承受的最大推力不变，
mv 3
l
2
有 T -mg =
得v 3=
12
2
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d -l ，水平位移为x ，时间为t 1，有d -l =
gt 1 x =v 3t 1
得
x =当l =
d 2
时，x
有极大值，x m ax =
3
答案：（1
）v 1=
v 2=
（2）T =
113
m g （3）当l =
d 2
时，x
有极大值，x m ax =
3
。
例7．（2010年高考江苏卷，14）(16分) 在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论。如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg的指点， 选手抓住绳由静止开始摆动，此事绳与竖直方向夹角α＝30°，绳的悬挂点O 距水面的高度为H=3m.不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深。取中立加速度 g ＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6
（1）求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F ；
（2）若绳长l=2m, 选手摆到最高点时松手落入手中。设水对选手的平均浮力f 1＝800N ，平均阻力f 2＝700N ，求选手落入水中的深度d ；
（3）若选手摆到最低点时松手， 小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点。 解析（1）动能定理 m gl (1-cos α) =
解得F ′＝（3－2cos α）mg
人对绳的拉力 F ＝F ′，则 F ＝1080N
（2）动能定理 mg （H －l cos α＋d ）－（f 1＋f 2）d ＝0 ，则d=
12
12
m v ，圆周运动 F ′－mg ＝m
2
v l
2
mg (H -l cos α) f +f 2-mg
1
，解得 d =1.2m
(3)选手从最低点开始做平抛运动x=vt， H-l=解得x =gt
2
当l =
H 2
时，x 有最大值，解得l=1.5m
因此，两人的看法均不正确。当绳长钺接近1.5m 时，落点距岸边越远。 答案：（1）1080N ；（2）1.2m ；（3）当l =
H 2
时，x 有极大值1.5m ，两人的看法均不正确。
三、对应练习
1．（2010届福建省泉州市高三四校联考）如图所示，一小球用轻绳悬于O 点，用力F 拉住小球，使悬线保持偏离竖直方向75角，且小球始终处于平衡状态。为了使F 有最小值，F 与竖直方向的夹角θ应该是
A ．900 B ．450 C ．150 D ．00 答案：C 。
2．（2010年江苏苏锡常镇高三调研, 5）如图所示，有一光滑的半径可变的内，圆心O 点离地高度为H 。现调节轨道半径，让一可视为质点的小球a 从与O 点等高的轨道最高点由静止沿轨道下落，使小球离开轨道后运动的水平位移S 最大，则小球脱离轨道最低点时的速度大小应为
A ．
gH B ．
gH 3
4gH
C ．2gH D ．
3
14
圆形轨道处于竖直平面
3
2
解析：设圆形轨道的半径为R ，则抛出时的速度v 0=2gR ；
小球做平抛运动时，S =v 0t H -R =
12
gt
2
解得 S =2R (H -R ) ，可知当R ＝H －R 即R ＝0.5H 时，S 有最大值，可解得V 0＝gH 答案：A 。
。
3．公共汽车由停车站从静止出发以2m/s2的加速度做匀加速运动，这时一辆载重汽车从后面超过公共汽车，载重汽车以10m/s的速度匀速前进。问：经过多长时间公共汽车能追上载重汽车？经过多长时间两车相距最远？相距最远时两车之间的距离是多少？
解法二：解析法
公共汽车作初速度为零的匀变速直线运动，则 x 1＝
12
at ＝t
22
载重汽车作匀速直线运动 x 2＝Vt ＝10t △x ＝x 2－x 1＝10t －t 2
（1）当△x ＝0时公共汽车追上载重汽车，得t ＝10S 或t ＝0（舍去） （2）当t ＝－
102(-1)
＝5（S ）时，△x 有极值，即△x ＝
0-10
2
4(-1)
＝25（m ）
解法二：利用运动图象求解
因为公共汽车是做初速度零、加速度2m/s2的匀加速度运动，而载重汽车是做匀速直线运动，且同时目向运动，它们的速度-时间图象如图示。速度时间图线与时间轴所围成面积表示物体通过的位移。由图可知：当t ＝O 时，△OAD 的面积等于矩形OCBD 的面积，故两车所通过的位移相等，即两车相遇。当两车速度相等，即t ＝5s 时两车相距最远，最远距离是 S max =S ∆OCE ，解得其值为25m 。
答案：25m 。
4．如图所示，用力F 拉一物体在水平地面上匀速前进，物体的质量为m ，物体与地面间的动摩擦因数为μ，欲使F 为最小，则F 应与竖直方向成多大的夹角？最小的力为多大？
解析：设F 与竖直方向的夹角为θ，物体匀速前进则有
F sin θ=μ(mg -F cos θ)
即F =
μm g sin θ+μcos θ
=
1+μ
μm g
2
sin (θ+Φ)
其中tg Φ=μ，当θ=90︒-Φ=90︒-arctg μ时，F 有最小值F min
F m in =
μm g +μ
2
答案：θ=90︒-Φ=90︒-arctg μ，F m in =
μm g 1+μ
2
四、巩固加深
1．（2007年高考江苏，6）如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg 。现用水平拉力F 拉其中一个质量为2 m的木块，使四个木块一同一加速度运动，则轻绳对m 的最大拉力为
A ．
3μmg 5
B ．
3μmg 4
C ．
3μmg 2
D ．3μmg
解析：将用线关联的两个小m 和后面的2m 看成一个整体，且前一个m 所受静摩擦力达到最大值时，根据牛顿第二定律得
μmg ＝4ma
单独分析前面的m 可得 μmg －T ＝ma
3μmg
解得 T ＝
4
答案：B 。
2．火车以速率V 1行驶，司机突然发现前方同一轨道上距离S 处有另一辆火车沿相同方向以较小的速率V 2做匀速运动。于是司机立即制动，使火车作匀减速运动，加速度大小为a ．要使两车不相撞，求加速度a 应满足的条件。
解析：设经过时间t 两车相遇，则有 v 2t +s =v 1t -即 at +2(v 2-v 1) t +2s =0
为使两车不相撞，则上个方程应无解，即∆=4(v 2-v 1) -8as
(v 1-v 2)
2S
2
z
2
12
at
2
答案：a >
(v 1-v 2)
2S
2
点评：本题也可以用临界条件求解：当两车速度相等时，它们之间的距离恰好为0。
3．如图所示，物体静止在光滑水平面上，受到一个水平恒力F 1的作用，要使物体在水平面上沿OA 方向作直线运动，OA 与水平方向成θ角，则对物体施加的这个力F 2的最小值是多大？方向如何？
解析：根据力的平行四边形定则，物体受到的合力沿0A 方向，则另一个力F 2有大小、方向不同的若干个解，在这些解的当中有一个最小值，这个力的方向与合力方向垂直。如图所示。由几何关系可得F 2=F1sinθ。
答案：F 2=F1sinθ，方向与合力方向垂直。
4．（2010年高考浙江卷，22）在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H 的平台上A 点由静止出发，沿着动摩擦因数为滑μ的轨道向下运动到B 点后水平滑出，最后落在水池中。设滑道的水平距离为L ，B 点的高度h 可由运动员自由调节（取g=10m/s2）。求：
（1）运动员到达B 点的速度与高度h 的关系；
（2）运动员要达到最大水平运动距离，B 点的高度h 应调为多大？对应的最大水平距离S BH 为多少？
（3若图中H ＝4m ，L ＝5m ，动摩擦因数μ＝0.2，则水平运动距离要达到7m ，h 值应为多少？
解析：（1）设斜面长度为L 1，斜面倾角为α，根据动能定理
m g (H -h ) -μm gL 1cos α=
12
12m v 0 m v 0
，v 0=
22
即m g (H -h ) =μm gL +
h
2
（2）根据平抛运动公式 X=vo t ，h=1gt ，得
x =2
（3）令x=2m ,H=4m,L=5m, μ=0.2，可得到：—h 2+3h-1=0
22求出h 1==
2.62(m ) ，h 2=
=0.38(m )
答案：（1
）v 0=
（2
）x =；（3）2.62m ，0.38m 。 ；
附加题1．（09年江苏罗庚中学月考试题）如图所示，在同一竖直平面内的两正对着的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动，今在最高点A 与最低点B 各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离变化时，测得两点压力差与距离x 的图像如图，g 取10 m/s，不计空气阻力，求：
（1）小球的质量为多少？
（2）若小球的最低点B 的速度为20 m/s，为使小球能沿轨道运动，x 的最大值为多少？
解析（1）设轨道半径为R ，根据机械能守恒定律
2
m
12
m v B =m g (2R +x ) +
2
12
m v A
2
在B 点：F N 1-mg =m
v B R ，
2
在A 点：F N 2+mg =m
2m gx R
v A R
2
两点压力差：∆F N =F N 1-F N 2=6m g +
2m g R
由图象截距得 6mg =3，即m =0. 05kg ,
（2）因为图线的斜率k ==1得R =1m
在A
点不脱离的条件为：v A ≥
答案：0.05Kg;17.5m 。
，
解得：x =17. 5m
附加题2．在平直公路上，有甲、乙两辆汽车，初始时甲车在前乙车在后，它们相距为x 0＝100m ，不计汽车长度。若甲车以V 1＝20m/s的初速度开始做匀加速直线运动，同时乙车以V 2＝30m/s的初速度开始做匀加速直线运动，加速度为a 2＝0.40m/s2。求加速度a 1分别为何值时，甲、乙两车不相遇或相遇一次或相遇两次？
解法一：设经历时间t 时甲、乙两车相遇，则有 v 2t +即 (a 1-0. 4) t 2-20t +200=0
若a 1＝0.40m/s2，t ＝10s 时相遇一次； 若a 1≠0.40m/s，由二次方程的求根公式t =
2
12
a 2t =v 1t +
2
12
a 1t +x 0
2
20±20
2
-800(a 1-0. 4)
2(a 1-0. 4)
可知
当a 1
2
当a 1＝0.9m/s时，t ＝20s ，相遇一次； 当a 1>0.9m/s2时，t 无实数解，不相遇。
解法二：选甲车为参照物，则需要将甲车的速度和加速度都反加给乙，那么 乙车相对甲车的初速为V 0＝V 2－V 1＝10 m/s，加速度a ＝a 2－a 1＝(0.4－ a 1) m/s2 得x 0＝V 0t ＋
12
at 2，即(0.4－ a 1) t2＋10t －100＝0
当a 1
当a 1> 0.4 m/s2时，乙车相对甲车先做匀减速直线运动，后做反方向的匀加速直线运动，速度为0时两车间距最大：
z
0-v 0-10x ==
2a 2(0. 4-a 1)
2
当0.40m/sx0＝ 100m ，两车相遇两次； 当a 1＝0.9m/s2n 时，x ＝x 0＝100m ，两车相遇一次； 当a 1>0.9m/s2时，x
答案：当a 1≤0.40m/s或a 1＝0.9m/s时，两车相遇一次；当0.40m/s0.9m/s2时，两车不相遇。
附加题3．一轻绳固定在O 点，另一端拴一小球，如图所示。拉起小球使轻绳水平，然后无初速度释放在小球运动到轻绳到达竖直位置的过程中，小球所受重力的功率何时最大？最大O 值是多少？
解析：如图所示，当小球运动到与竖直方向成θ角的C 点时，重力的功率为 P ＝mgVcos α＝mgVsin θ
因2cos 2θ＋sin 2θ＋sin 2θ＝2，为定值，由 a +b +c ≥33abc 可得
当2cos 2θ＝sin 2θ，即 tanθ＝2，cos θ＝, sinθ＝时，y 有极大值，P 有最大值。