数值分析在大地测量中的应用
摘要：数值分析是一门研究最基本最通用的数值算法，即研究基本数学问题的适合计算机求解的数值方法。数值分析，在测绘领域取得了重要而广泛的应用。本文简要阐述了数值分析的基本特点、发展规律和发展趋势，结合实例，主要对数值分析在大地测量中的应用进行了讨论，并对数值分析在大地测量中的应用进行了展望。
关键字：数值分析；测绘；大地测量；应用；展望
1 引言
数值分析是研究常见的基本数学问题的数值解法，包含了数值代数（线性方程组的解法、矩阵特征值计算等）、非线性方程的解法、数值逼近、数值微分与数值积分、常微分方程的数值解法等。它的基本理论和研究方法建立在数学理论基础之上，研究对象是数学问题，因此它是数学的分支之一[1]。
作为一门重要的应用学科，测绘学科在理论及应用上不断发展、不断成熟。而与其他学科如数学、计算机学、信息学的相互渗透，又使得测绘领域的各个方面不断取得新的成果。特别是数值分析，在测绘领域得到了广泛应用，取得了很多重要的研究成果。因此，深入应用和研究数值分析思想和方法，将数值分析与测绘紧密结合，对测绘学科的发展和提高具有重要意义。
本文对数值分析的基本特点、发展规律和发展趋势进行了阐述，对数值分析在测绘领域特别是在大地测量中应用进行了讨论，并对数值分析在大地测量中的应用进行了展望。
2 数值分析在大地测量中的应用
数值分析曾经且至今仍可见到得名称是数值方法和计算方法。数值方法是最古老的数学之一，早期作为数学分析的补充，可以求解其所不能求解的数学问题。但由于计算过程的进行依赖于计算工具这一特殊性而一直不能得到广泛应用，也限制了其自身的发展。20世纪50年代电子数字计算机问世及后来的迅速发展，使计算方法的广泛应用成为可能，反过来有刺激了计算方法自身的理论及算法的不断发展和成熟，使之成为一个日趋完善的独立的数学学科——数值分析。同数学分析一样，是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的学科，不同的是它既有纯数字的高度抽象性与严密的科学性的特点，又有应用的广泛性和实际试验的高度技术性的特点[2]。
数值分析为测绘的发展提供了有力的解决问题的工具。长期以来，像其他学科一样，测绘学就不断应用各种数学方法，几乎所有的数学分析的分支都在测绘中取得了重要应用。特别是近年来，随着测绘学科及其他学科如计算机学
科的发展，数值分析特别是插值法、线性方程组的解法、迭代运算在大地测量中取得了广泛应用，获得了一系列重要的成果。
2.1 插值法求解
在大地测量中，经常会利用到插值法来对测量的数据进行计算，如在GPS 卫星位置的计算（根据精密星历计算卫星位置）中就充分利用了插值法计算。对于任意t 时刻卫星位置的计算，其原理是利用数值分析中插值法，可以采用拉格朗日插值法、NewTon 插值法、Hermite 插值法，三次样条插值法和分段插值法等[3]。 已知函数y
x n
=f (x ) 的
x n 及其对应的函数值y 0、x 1、y 1、n 个结点x 0、……、……、
，对于插值区间内的任一点x ，其函数值为
n
n
f (x ) =
∑
k =0i =0
i =k
(
x -x i x k -x i
) y k
（2—1—1）
下面是该函数的应用实例，设在3个结点上的函数值y (x ) 如下：
求y (4) 的值。
根据（2—1—1）有，y (4)
=
(4-1) -(4-5) (-3-1) -(-3-5) (4+3) -(4-1) (5+3) -(5-1)
⨯13+
(4+3) -(4-5) (1+3) -(1-5)
⨯17
+⨯85
=62
2.2 在线性方程组的解算
在大地测量数据平差处理中最常见的问题是解线性方程组。对于A 系数矩阵，B 为右端向量，x 为未知数的任一个线性方程组，方程组解得存在性是线性代数的基本问题。简单来说，当矩阵A 的行列式不为0时，有唯一解[4]。
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1
⎪
⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n =b 2⎨
⎪
⎪a x +a x + +a x =b
n 22nn n n ⎩n 11
(2—2—1)
⎡a 11⎢a 21
A =⎢
⎢⎢⎣a n 1
a 12a 22 a n 2
a 1n ⎤
⎥
a 2n
⎥⎥
⎥
a nn ⎦
，x=(x 1, x 2, x n ) T ,b=(b 1, , b n ) T (2—2—2)
Ax=b (2—2—3) 若A 非奇异，即det(A)≠0, 方程组Ax=b有唯一解。由Cramer 法则，其解 x i
=
det(A i ) det(A )
，i=1,2,…,n (2—2—4)
其中A i 为用b 代替A 中第i 列所得的矩阵。当n 大时，n+1个行列式计算量相当大，实际计算不现实。
det(A)=∑
(-1)
τ(i 1, i 2, , i n )
a i 11a i 22 a i n n
（2—2—5）
i 1i 2 i n
当解存在时，有多种解算办法，比如LU 分解法、全选主元高斯消去法等，其解可书写为x
=A
-1
B
。
现利用LU 分解法来解线性方程组，实例如下：
⎡2
⎢A =4
⎢⎢⎣-2
274
3⎤
⎥7⎥5⎥⎦
T
（1, 2, 1） 求x 。 ,b=
根据LU 分解法，先求出线性方程组的LU 分解，再求
⎡1
2A=LU=⎢⎢⎢⎣-1
012
0⎤⎡2
⎥⎢00⎥⎢0⎥⎦⎢⎣0012
230
3⎤
⎥1⎥6⎥⎦
⎡1
2Ly=b 即⎢⎢⎢⎣-10⎤⎡y 1⎤⎡1⎤
⎥⎢⎥⎢⎥0y 2=2⎥⎢⎥⎢⎥
⎢1⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎣y 3⎥⎦
y 1=1; y 1+y 2=2; y 2=0; y 3=2
⎡2
0Ux=y 即⎢⎢⎢⎣0x 3=
13; x 2=-
19
230
3⎤⎡x 1⎤⎡1⎤
⎥⎢⎥⎢⎥1x 2=0⎥⎢⎥⎢⎥
⎢6⎥⎦⎢⎣2⎥⎦⎣x 3⎥⎦
; x 1=1
2.3 迭代运算
在大地测量数据计算中也经常利用迭代法来运算，可以采用NewTon 迭代法、Jacobi 迭代法等。如空间直角坐标（x,y,z ）和大地坐标（L,B,h ）) 之间的相互转换是大地测量学和天文学中的基本问题。由大地坐标转换为空间直角坐标比较简单，而由空间直角坐标向大地坐标的换算就比较复杂，则可以充分利用NewTon 迭代法来实现[5]。
其基本原理：
由于任意一点的经度可以根据公式L
=arctan(
y x )
求得，空间直角坐标
=
x
2
（x,y,z ）向大地坐标（L,B,h ）的转换可简化为子午面中（r
+y
2
,z ）
向（B ，h ）的转换。在椭球面上，地理纬度与归化纬度有如下关系： tan
B =(a
b ) tan u
(2—3—1)
再根据投影点P 0(r 0, z 0) 与归化纬度的关系，地理纬度也可表示为： tan
B =
z -z 0r -r 0
=
z -b sin u r -a cos u
u 2
(2—3—2)
将式(2—3—1) 代入式(2—3—2) ，令t 式中，z ' =
f (t ) =z ' t
4
3
=tan(
) ∈[0, 1]，得：
+2(p +q ) t +2(p -q ) t -z ' =0
=(a
2
(2—3—3)
b z ≥0
;p=ar≥0; q
-b ) >0
2
。
这个方程有2个或4个实根，但任意一点的大地坐标应该是唯一的，即方程在区间[0,1]上应该有唯一解。求得t 后，可求得（B ，h ）[6]：
B h
=sign (z ) arctan
⎡2at ⎤
2
⎢(b (1-t )) ⎥⎣⎦
2
(2—3—4)
2
=r cos B +z sin B -a -e sin B
(2—3—5)
为避免式(2—3—4) 在t=1时出现奇异，将其改为：
⎡
B =2sign (z ) ∙arctan ⎢
2
⎢⎣b (1-t ) +
⎤
⎥
2222b (1-t ) +(2at ) ⎥⎦2at
(2—3—6)
其中求式(2—3—3) 在[0,1]上的解时利用NewTon 迭代法，
t n +1式中，
3
=t n -
f (t n ) f ' (t n )
(2—3—7) 。
f ' (t ) =4z ' t +6(p +q ) t
2
+2(p -q )
现利用Newton 法求方程的根，计算准确到4位有效数字，实例如下： 求
f (x ) =x -3x -1=0
33
在x 0=2附近的根。
2
解：
f (x ) =x -3x -1, f ' (x ) =3x
-3
根据式(2—3—7) ，x n +1 取x 0
=2
=x n -
x n -3x n -13(x n -1)
2
3
=0. 25753
, 则x 1
=1. 8889
，x 2
=0. 25751
，x 3，x 4
=0. 25753
，
x 1即为根x*的近似，它表明Netwon 法收敛很快。
取x *≈1. 889为方程的根。
3 结论
随着电子计算机的迅速发展、普及以及新型数值软件的不断开发, 数值分析的理论和方法无论是在高科技领域还是在传统学科领域，其作用和影响都越来越大，实际上它已成为科学工作者和工程技术人员必备的知识和工具，所以把数值分析的知识正确的应用到大地测量中去不仅是一种趋势，更是用数学的理论解决实际问题的关键。数值分析在大地测量中的应用前景十分广阔。
在下列方面，数值分析有望在大地测量中得到进一步应用。 （1） 测量误差数学模型；
（2） 大地测量逼近理论的数学方法；
（3） 小波分析在大地测量和地球动力学中的应用。 参考文献
[1] 杨大地，王开荣编著. 数值分析. 北京：科学出版社.2006（5）. [2] 杜迎春编著. 实用数值分析. 北京：化学工业出版社.2007（7）.
[3] 李征航，黄劲松编著.GPS 测量与数据处理. 武汉：武汉大学出版社.2005（3）：36-37 .
[4] 高宁，高彩云.MATLAB 在测绘领域中应用. 平顶山工学院学报.2008（1）. [5] 束蝉方，李斐，沈飞. 空间直角坐标向大地坐标转换的新算法. 武汉大学学
报·信息科学版.2009（5）.
[6] Levin J Z. A Rational Parametric Approach to Latitude, Longitude , and Altitude [J]. Navigation ,1988 , 35(3)：361-370 .
数值分析在大地测量中的应用
摘要：数值分析是一门研究最基本最通用的数值算法，即研究基本数学问题的适合计算机求解的数值方法。数值分析，在测绘领域取得了重要而广泛的应用。本文简要阐述了数值分析的基本特点、发展规律和发展趋势，结合实例，主要对数值分析在大地测量中的应用进行了讨论，并对数值分析在大地测量中的应用进行了展望。
关键字：数值分析；测绘；大地测量；应用；展望
1 引言
数值分析是研究常见的基本数学问题的数值解法，包含了数值代数（线性方程组的解法、矩阵特征值计算等）、非线性方程的解法、数值逼近、数值微分与数值积分、常微分方程的数值解法等。它的基本理论和研究方法建立在数学理论基础之上，研究对象是数学问题，因此它是数学的分支之一[1]。
作为一门重要的应用学科，测绘学科在理论及应用上不断发展、不断成熟。而与其他学科如数学、计算机学、信息学的相互渗透，又使得测绘领域的各个方面不断取得新的成果。特别是数值分析，在测绘领域得到了广泛应用，取得了很多重要的研究成果。因此，深入应用和研究数值分析思想和方法，将数值分析与测绘紧密结合，对测绘学科的发展和提高具有重要意义。
本文对数值分析的基本特点、发展规律和发展趋势进行了阐述，对数值分析在测绘领域特别是在大地测量中应用进行了讨论，并对数值分析在大地测量中的应用进行了展望。
2 数值分析在大地测量中的应用
数值分析曾经且至今仍可见到得名称是数值方法和计算方法。数值方法是最古老的数学之一，早期作为数学分析的补充，可以求解其所不能求解的数学问题。但由于计算过程的进行依赖于计算工具这一特殊性而一直不能得到广泛应用，也限制了其自身的发展。20世纪50年代电子数字计算机问世及后来的迅速发展，使计算方法的广泛应用成为可能，反过来有刺激了计算方法自身的理论及算法的不断发展和成熟，使之成为一个日趋完善的独立的数学学科——数值分析。同数学分析一样，是一门内容丰富，研究方法深刻，有自身理论体系的学科，不同的是它既有纯数字的高度抽象性与严密的科学性的特点，又有应用的广泛性和实际试验的高度技术性的特点[2]。
数值分析为测绘的发展提供了有力的解决问题的工具。长期以来，像其他学科一样，测绘学就不断应用各种数学方法，几乎所有的数学分析的分支都在测绘中取得了重要应用。特别是近年来，随着测绘学科及其他学科如计算机学
科的发展，数值分析特别是插值法、线性方程组的解法、迭代运算在大地测量中取得了广泛应用，获得了一系列重要的成果。
2.1 插值法求解
在大地测量中，经常会利用到插值法来对测量的数据进行计算，如在GPS 卫星位置的计算（根据精密星历计算卫星位置）中就充分利用了插值法计算。对于任意t 时刻卫星位置的计算，其原理是利用数值分析中插值法，可以采用拉格朗日插值法、NewTon 插值法、Hermite 插值法，三次样条插值法和分段插值法等[3]。 已知函数y
x n
=f (x ) 的
x n 及其对应的函数值y 0、x 1、y 1、n 个结点x 0、……、……、
，对于插值区间内的任一点x ，其函数值为
n
n
f (x ) =
∑
k =0i =0
i =k
(
x -x i x k -x i
) y k
（2—1—1）
下面是该函数的应用实例，设在3个结点上的函数值y (x ) 如下：
求y (4) 的值。
根据（2—1—1）有，y (4)
=
(4-1) -(4-5) (-3-1) -(-3-5) (4+3) -(4-1) (5+3) -(5-1)
⨯13+
(4+3) -(4-5) (1+3) -(1-5)
⨯17
+⨯85
=62
2.2 在线性方程组的解算
在大地测量数据平差处理中最常见的问题是解线性方程组。对于A 系数矩阵，B 为右端向量，x 为未知数的任一个线性方程组，方程组解得存在性是线性代数的基本问题。简单来说，当矩阵A 的行列式不为0时，有唯一解[4]。
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1
⎪
⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n =b 2⎨
⎪
⎪a x +a x + +a x =b
n 22nn n n ⎩n 11
(2—2—1)
⎡a 11⎢a 21
A =⎢
⎢⎢⎣a n 1
a 12a 22 a n 2
a 1n ⎤
⎥
a 2n
⎥⎥
⎥
a nn ⎦
，x=(x 1, x 2, x n ) T ,b=(b 1, , b n ) T (2—2—2)
Ax=b (2—2—3) 若A 非奇异，即det(A)≠0, 方程组Ax=b有唯一解。由Cramer 法则，其解 x i
=
det(A i ) det(A )
，i=1,2,…,n (2—2—4)
其中A i 为用b 代替A 中第i 列所得的矩阵。当n 大时，n+1个行列式计算量相当大，实际计算不现实。
det(A)=∑
(-1)
τ(i 1, i 2, , i n )
a i 11a i 22 a i n n
（2—2—5）
i 1i 2 i n
当解存在时，有多种解算办法，比如LU 分解法、全选主元高斯消去法等，其解可书写为x
=A
-1
B
。
现利用LU 分解法来解线性方程组，实例如下：
⎡2
⎢A =4
⎢⎢⎣-2
274
3⎤
⎥7⎥5⎥⎦
T
（1, 2, 1） 求x 。 ,b=
根据LU 分解法，先求出线性方程组的LU 分解，再求
⎡1
2A=LU=⎢⎢⎢⎣-1
012
0⎤⎡2
⎥⎢00⎥⎢0⎥⎦⎢⎣0012
230
3⎤
⎥1⎥6⎥⎦
⎡1
2Ly=b 即⎢⎢⎢⎣-10⎤⎡y 1⎤⎡1⎤
⎥⎢⎥⎢⎥0y 2=2⎥⎢⎥⎢⎥
⎢1⎥⎦⎢⎣1⎥⎦⎣y 3⎥⎦
y 1=1; y 1+y 2=2; y 2=0; y 3=2
⎡2
0Ux=y 即⎢⎢⎢⎣0x 3=
13; x 2=-
19
230
3⎤⎡x 1⎤⎡1⎤
⎥⎢⎥⎢⎥1x 2=0⎥⎢⎥⎢⎥
⎢6⎥⎦⎢⎣2⎥⎦⎣x 3⎥⎦
; x 1=1
2.3 迭代运算
在大地测量数据计算中也经常利用迭代法来运算，可以采用NewTon 迭代法、Jacobi 迭代法等。如空间直角坐标（x,y,z ）和大地坐标（L,B,h ）) 之间的相互转换是大地测量学和天文学中的基本问题。由大地坐标转换为空间直角坐标比较简单，而由空间直角坐标向大地坐标的换算就比较复杂，则可以充分利用NewTon 迭代法来实现[5]。
其基本原理：
由于任意一点的经度可以根据公式L
=arctan(
y x )
求得，空间直角坐标
=
x
2
（x,y,z ）向大地坐标（L,B,h ）的转换可简化为子午面中（r
+y
2
,z ）
向（B ，h ）的转换。在椭球面上，地理纬度与归化纬度有如下关系： tan
B =(a
b ) tan u
(2—3—1)
再根据投影点P 0(r 0, z 0) 与归化纬度的关系，地理纬度也可表示为： tan
B =
z -z 0r -r 0
=
z -b sin u r -a cos u
u 2
(2—3—2)
将式(2—3—1) 代入式(2—3—2) ，令t 式中，z ' =
f (t ) =z ' t
4
3
=tan(
) ∈[0, 1]，得：
+2(p +q ) t +2(p -q ) t -z ' =0
=(a
2
(2—3—3)
b z ≥0
;p=ar≥0; q
-b ) >0
2
。
这个方程有2个或4个实根，但任意一点的大地坐标应该是唯一的，即方程在区间[0,1]上应该有唯一解。求得t 后，可求得（B ，h ）[6]：
B h
=sign (z ) arctan
⎡2at ⎤
2
⎢(b (1-t )) ⎥⎣⎦
2
(2—3—4)
2
=r cos B +z sin B -a -e sin B
(2—3—5)
为避免式(2—3—4) 在t=1时出现奇异，将其改为：
⎡
B =2sign (z ) ∙arctan ⎢
2
⎢⎣b (1-t ) +
⎤
⎥
2222b (1-t ) +(2at ) ⎥⎦2at
(2—3—6)
其中求式(2—3—3) 在[0,1]上的解时利用NewTon 迭代法，
t n +1式中，
3
=t n -
f (t n ) f ' (t n )
(2—3—7) 。
f ' (t ) =4z ' t +6(p +q ) t
2
+2(p -q )
现利用Newton 法求方程的根，计算准确到4位有效数字，实例如下： 求
f (x ) =x -3x -1=0
33
在x 0=2附近的根。
2
解：
f (x ) =x -3x -1, f ' (x ) =3x
-3
根据式(2—3—7) ，x n +1 取x 0
=2
=x n -
x n -3x n -13(x n -1)
2
3
=0. 25753
, 则x 1
=1. 8889
，x 2
=0. 25751
，x 3，x 4
=0. 25753
，
x 1即为根x*的近似，它表明Netwon 法收敛很快。
取x *≈1. 889为方程的根。
3 结论
随着电子计算机的迅速发展、普及以及新型数值软件的不断开发, 数值分析的理论和方法无论是在高科技领域还是在传统学科领域，其作用和影响都越来越大，实际上它已成为科学工作者和工程技术人员必备的知识和工具，所以把数值分析的知识正确的应用到大地测量中去不仅是一种趋势，更是用数学的理论解决实际问题的关键。数值分析在大地测量中的应用前景十分广阔。
在下列方面，数值分析有望在大地测量中得到进一步应用。 （1） 测量误差数学模型；
（2） 大地测量逼近理论的数学方法；
（3） 小波分析在大地测量和地球动力学中的应用。 参考文献
[1] 杨大地，王开荣编著. 数值分析. 北京：科学出版社.2006（5）. [2] 杜迎春编著. 实用数值分析. 北京：化学工业出版社.2007（7）.
[3] 李征航，黄劲松编著.GPS 测量与数据处理. 武汉：武汉大学出版社.2005（3）：36-37 .
[4] 高宁，高彩云.MATLAB 在测绘领域中应用. 平顶山工学院学报.2008（1）. [5] 束蝉方，李斐，沈飞. 空间直角坐标向大地坐标转换的新算法. 武汉大学学
报·信息科学版.2009（5）.
[6] Levin J Z. A Rational Parametric Approach to Latitude, Longitude , and Altitude [J]. Navigation ,1988 , 35(3)：361-370 .