第二章综合检测题
一、选择题
1．若直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是( )
A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面
2．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( )
A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
3．已知平面α和直线l ，则α内至少有一条直线与l ( )
A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．异面
4．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB ，A 1D 1所成的角等于( )
A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
5．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( ) A a ⊂α，b ⊂α B a ⊂α，b ∥α C a ⊥α，b ⊥α Da ⊂α，b ⊥α
6．下面四个命题：
①若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面；
②若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交；
③若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等；
④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .
其中真命题的个数为( )
A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论： ①EF ⊥AA 1；②EF ∥AC ；③EF 与AC 异面；④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )
A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④
8．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )
A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥b
B ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b
C ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥β
D ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b
9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，n ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是
A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥β D ．AC ⊥β
10已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )
1
4333A
．－5 B. . 5 C . 4 D ．－5
11．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的余弦值为
( )
311A. 3 B. 3 C ．0 D ．－2
12．如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，则PB 与AC 所成的角是( )
A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°
二、填空题
13．下列图形可用符号表示为________．
14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角C 1－AB －C 的平面角等于________．
15．设平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________.
16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：
①AC ⊥BD ；
②△ACD 是等边三角形；
③AB 与平面BCD 成60°的角；
④AB 与CD 所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________．
三、解答题
2
17．如下图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ，F 、F 1分别是AC ，A 1C 1的中点．
求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ；(2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.
18如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．
3
(1)证明：CD ⊥平面P AE ；
(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．
19如图所示，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝22，M 为BC 的中点．
(1)证明：AM ⊥PM ；
(2)求二面角P －AM －D 的大小．
20如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B .
4
(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；
(2)设D 是A 1C 1上的点，且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D DC 1的值．
221如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝2，ABED 是边长为1的正方形，
平面ABED ⊥底面ABC ，若G ，F 分别是EC ，
BD 的中点．
(1)求证：GF ∥底面ABC ；
(2)求证：AC ⊥平面EBC ；
(3)求几何体ADEBC 的体积V .
22如下图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝
5
5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．
(1)求证：AC ⊥BC 1；
(2)求证：AC 1∥平面CDB 1；
(3)求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值．
详解答案
6
1[答案] D
2[答案] C
[解析] AB 与CC 1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：
第一类与AB 平行与CC 1相交的有：CD 、C 1D 1
与CC 1平行且与AB 相交的有：BB 1、AA 1，
第二类与两者都相交的只有BC ，故共有5条．
3[答案] C
[解析] 1°直线l 与平面α斜交时，在平面α内不存在与l 平行的直线，∴A 错；
2°l ⊂α时，在α内不存在直线与l 异面，∴D 错；
3°l ∥α时，在α内不存在直线与l 相交．
无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l 垂直．
4[答案] D
[解析] 由于AD ∥A 1D 1，则∠BAD 是异面直线AB ，A 1D 1所成的角，很明显∠BAD ＝90°.
5[答案] B
[解析] 对于选项A ，当a 与b 是异面直线时，A 错误；对于选项B ，若a ，b 不相交，则a 与b 平行或异面，都存在α，使a ⊂α，b ∥α，B 正确；对于选项C ，a ⊥α，b ⊥α，一定有a ∥b ，C 错误；对于选项D ，a ⊂α，b ⊥α，一定有a ⊥b ，D 错误．
6[答案] D
[解析] 异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a ∥c ，而在空间中，a 与c 可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．
7[答案] D
[解析] 如图所示．由于AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1，则EF ⊥AA 1，所以①正确；当E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1的中点时，EF ∥A 1C 1，又AC ∥A 1C 1，则EF ∥AC ，所以③不正确；当E ，F 分别
7
不是线段A 1B 1，B 1C 1的中点时，EF 与AC 异面，所以②不正确；由于平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以EF ∥平面ABCD ，所以④正确．
8[答案] D
[解析] 选项A 中，a ，b 还可能相交或异面，所以A 是假命题；选项B 中，a ，b 还可能相交或异面，所以B 是假命题；选项C 中，α，β还可能相交，所以C 是假命题；选项D 中，由于a ⊥α，α⊥β，则a ∥β或a ⊂β，则β内存在直线l ∥a ，又b ⊥β，则b ⊥l ，所以a ⊥b . 9[答案] C
[解析] 如图所示：
AB ∥l ∥m ；AC ⊥l ，m ∥l ⇒AC ⊥m ；AB ∥l ⇒AB ∥β.
310[答案] 5命题意图] 本试题考查了正方体中异面直线的所成角
的求解的运用．
[解析] 首先根据已知条件，连接DF ，然后则角DFD 1即为 异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到
5＝DF ＝D 1F ，DD 1＝2，结合余弦定理得到结论．
11[答案] C
[解析] 取BC 中点E ，连AE 、DE ，可证BC ⊥AE ，BC ⊥DE ，∴∠AED 为二面角A －BC －D 的平面角又AE ＝ED 2，AD ＝2，∴∠AED ＝90°，故选C.
8
12[答案] B
[解析] 将其还原成正方体ABCD －PQRS ，显见PB ∥SC ，△ACS 为正三角形，∴∠ACS ＝60°
.
13[答案] α∩β＝AB
14[答案] 45°
[解析] 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，由于BC ⊥AB ，BC 1⊥AB ，则∠C 1BC 是二面角C 1－AB －C 的平面角．又△BCC 1是等腰直角三角形，则∠C 1BC ＝45°
.
15[答案] 9
[解析] 如下图所示，连接AC ，BD ，
则直线AB ，CD 确定一个平面ACBD .
∵α∥β，∴AC ∥BD ，
AS CS 812则SB SD 6SD SD ＝9.
9
16[答案] ①②④
[解析] 如图所示，①取BD 中点，E 连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．
2②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝2a .
由①知∠AEC ＝90°是直二面角A －BD －C 的平面角，且∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，
∴△ACD 是等边三角形，故②正确．
③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．
④分别取BC ，AC 的中点为M ，N ，
连接ME ，NE ，MN .
11则MN ∥AB ，且MN ＝2AB ＝2a ，
11ME ∥CD ，且ME ＝2CD ＝2，
∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角．
2在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝2a ，AC ＝a ，
11∴NE ＝2＝2. ∴△MEN 是正三角形，∴∠EMN ＝60°，故④正确． 17[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，
∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点，
∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .
又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ，
∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .
(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，
∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1，
∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.
18[解析]
10
(1)如图所示，连接AC ，由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，得AC ＝5.
又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE .
∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD .
而P A ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .
(2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于F ，G ，连接PF .
由(1)CD ⊥平面P AE 知，BG ⊥平面P AE . 于是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成的角，且BG ⊥AE .
由P A ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，由题意，知∠PBA ＝∠BPF ，
P A BF 因为sin ∠PBA ＝PB ，sin ∠BPF ＝PB ，所以P A ＝BF .
由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GD ＝BC ＝3. 于是AG ＝2.
在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以
AB 2168585BG ＝AB ＋AG ＝25，BF ＝BG ＝5. 于是P A ＝BF ＝551又梯形ABCD 的面积为S ＝2×(5＋3) ×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为
1151285V ＝3S ×P A ＝316×5＝1519[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，
11
∵△PCD 为正三角形，
∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝3. ∵平面PCD ⊥平面
ABCD ，
∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形，
∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3，
∴EM 2＋AM 2＝AE 2. ∴AM ⊥EM .
又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM .
(2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ，
∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角．
PE 3∴tan ∠PME ＝EM ＝＝1，∴∠PME ＝45°. 3
∴二面角P －AM －D 的大小为45°.
20[解析]
(1)因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1，
又已知B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B ，
所以B 1C ⊥平面A 1BC 1，又B 1C ⊂平面AB 1C
所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1 .
(2)设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面
12
B 1CD 的交线．
因为A 1B ∥平面B 1CD ，A 1B ⊂平面A 1BC 1，平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝DE ，所以A 1B ∥DE .
又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点．
即A 1D DC 1＝1.
21[解] (1)证明：连接AE ，如下图所示．
∵ADEB 为正方形，
∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点，
又G 是EC 的中点，
∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ，
∴GF ∥平面ABC .
(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，
又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ，
∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC .
2又∵AC ＝BC ＝2AB ，
∴CA 2＋CB 2＝AB 2，
∴AC ⊥BC .
又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE .
22(3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝2＝2，
1∴CH ⊥AB ，且CH ＝2，又平面ABED ⊥平面ABC
111∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝3×1×2＝622[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC .
又∵C 1C ⊥AC . ∴AC ⊥平面BCC 1B 1.
13
∵BC 1⊂平面BCC 1B ，∴AC ⊥BC 1.
(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，又四边形BCC 1B 1为正方形．
∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE ∥AC 1. ∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.
(3)解：∵DE ∥AC 1，
∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角．
15在△CED 中，ED ＝2AC 1＝2，
151CD ＝2AB ＝2，CE ＝2CB 1＝22，
22∴cos ∠CED ＝5＝52
2∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为5.
14
第二章综合检测题
一、选择题
1．若直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是( )
A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面
2．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为( )
A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
3．已知平面α和直线l ，则α内至少有一条直线与l ( )
A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．异面
4．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB ，A 1D 1所成的角等于( )
A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
5．对两条不相交的空间直线a 与b ，必存在平面α，使得( ) A a ⊂α，b ⊂α B a ⊂α，b ∥α C a ⊥α，b ⊥α Da ⊂α，b ⊥α
6．下面四个命题：
①若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面；
②若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交；
③若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等；
④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .
其中真命题的个数为( )
A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论： ①EF ⊥AA 1；②EF ∥AC ；③EF 与AC 异面；④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )
A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①④
8．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )
A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥b
B ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥b
C ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥β
D ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b
9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，n ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是
A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥β D ．AC ⊥β
10已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )
1
4333A
．－5 B. . 5 C . 4 D ．－5
11．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的余弦值为
( )
311A. 3 B. 3 C ．0 D ．－2
12．如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，则PB 与AC 所成的角是( )
A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°
二、填空题
13．下列图形可用符号表示为________．
14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角C 1－AB －C 的平面角等于________．
15．设平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________.
16．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：
①AC ⊥BD ；
②△ACD 是等边三角形；
③AB 与平面BCD 成60°的角；
④AB 与CD 所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________．
三、解答题
2
17．如下图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ，F 、F 1分别是AC ，A 1C 1的中点．
求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ；(2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.
18如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点．
3
(1)证明：CD ⊥平面P AE ；
(2)若直线PB 与平面P AE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积．
19如图所示，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝22，M 为BC 的中点．
(1)证明：AM ⊥PM ；
(2)求二面角P －AM －D 的大小．
20如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B .
4
(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；
(2)设D 是A 1C 1上的点，且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D DC 1的值．
221如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝2，ABED 是边长为1的正方形，
平面ABED ⊥底面ABC ，若G ，F 分别是EC ，
BD 的中点．
(1)求证：GF ∥底面ABC ；
(2)求证：AC ⊥平面EBC ；
(3)求几何体ADEBC 的体积V .
22如下图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝
5
5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．
(1)求证：AC ⊥BC 1；
(2)求证：AC 1∥平面CDB 1；
(3)求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值．
详解答案
6
1[答案] D
2[答案] C
[解析] AB 与CC 1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：
第一类与AB 平行与CC 1相交的有：CD 、C 1D 1
与CC 1平行且与AB 相交的有：BB 1、AA 1，
第二类与两者都相交的只有BC ，故共有5条．
3[答案] C
[解析] 1°直线l 与平面α斜交时，在平面α内不存在与l 平行的直线，∴A 错；
2°l ⊂α时，在α内不存在直线与l 异面，∴D 错；
3°l ∥α时，在α内不存在直线与l 相交．
无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l 垂直．
4[答案] D
[解析] 由于AD ∥A 1D 1，则∠BAD 是异面直线AB ，A 1D 1所成的角，很明显∠BAD ＝90°.
5[答案] B
[解析] 对于选项A ，当a 与b 是异面直线时，A 错误；对于选项B ，若a ，b 不相交，则a 与b 平行或异面，都存在α，使a ⊂α，b ∥α，B 正确；对于选项C ，a ⊥α，b ⊥α，一定有a ∥b ，C 错误；对于选项D ，a ⊂α，b ⊥α，一定有a ⊥b ，D 错误．
6[答案] D
[解析] 异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a ∥c ，而在空间中，a 与c 可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．
7[答案] D
[解析] 如图所示．由于AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1，则EF ⊥AA 1，所以①正确；当E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1的中点时，EF ∥A 1C 1，又AC ∥A 1C 1，则EF ∥AC ，所以③不正确；当E ，F 分别
7
不是线段A 1B 1，B 1C 1的中点时，EF 与AC 异面，所以②不正确；由于平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以EF ∥平面ABCD ，所以④正确．
8[答案] D
[解析] 选项A 中，a ，b 还可能相交或异面，所以A 是假命题；选项B 中，a ，b 还可能相交或异面，所以B 是假命题；选项C 中，α，β还可能相交，所以C 是假命题；选项D 中，由于a ⊥α，α⊥β，则a ∥β或a ⊂β，则β内存在直线l ∥a ，又b ⊥β，则b ⊥l ，所以a ⊥b . 9[答案] C
[解析] 如图所示：
AB ∥l ∥m ；AC ⊥l ，m ∥l ⇒AC ⊥m ；AB ∥l ⇒AB ∥β.
310[答案] 5命题意图] 本试题考查了正方体中异面直线的所成角
的求解的运用．
[解析] 首先根据已知条件，连接DF ，然后则角DFD 1即为 异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到
5＝DF ＝D 1F ，DD 1＝2，结合余弦定理得到结论．
11[答案] C
[解析] 取BC 中点E ，连AE 、DE ，可证BC ⊥AE ，BC ⊥DE ，∴∠AED 为二面角A －BC －D 的平面角又AE ＝ED 2，AD ＝2，∴∠AED ＝90°，故选C.
8
12[答案] B
[解析] 将其还原成正方体ABCD －PQRS ，显见PB ∥SC ，△ACS 为正三角形，∴∠ACS ＝60°
.
13[答案] α∩β＝AB
14[答案] 45°
[解析] 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，由于BC ⊥AB ，BC 1⊥AB ，则∠C 1BC 是二面角C 1－AB －C 的平面角．又△BCC 1是等腰直角三角形，则∠C 1BC ＝45°
.
15[答案] 9
[解析] 如下图所示，连接AC ，BD ，
则直线AB ，CD 确定一个平面ACBD .
∵α∥β，∴AC ∥BD ，
AS CS 812则SB SD 6SD SD ＝9.
9
16[答案] ①②④
[解析] 如图所示，①取BD 中点，E 连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．
2②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝2a .
由①知∠AEC ＝90°是直二面角A －BD －C 的平面角，且∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，
∴△ACD 是等边三角形，故②正确．
③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．
④分别取BC ，AC 的中点为M ，N ，
连接ME ，NE ，MN .
11则MN ∥AB ，且MN ＝2AB ＝2a ，
11ME ∥CD ，且ME ＝2CD ＝2，
∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角．
2在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝2a ，AC ＝a ，
11∴NE ＝2＝2. ∴△MEN 是正三角形，∴∠EMN ＝60°，故④正确． 17[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，
∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点，
∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .
又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ，
∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .
(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，
∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1，
∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.
18[解析]
10
(1)如图所示，连接AC ，由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，得AC ＝5.
又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE .
∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD .
而P A ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .
(2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于F ，G ，连接PF .
由(1)CD ⊥平面P AE 知，BG ⊥平面P AE . 于是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成的角，且BG ⊥AE .
由P A ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，由题意，知∠PBA ＝∠BPF ，
P A BF 因为sin ∠PBA ＝PB ，sin ∠BPF ＝PB ，所以P A ＝BF .
由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GD ＝BC ＝3. 于是AG ＝2.
在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以
AB 2168585BG ＝AB ＋AG ＝25，BF ＝BG ＝5. 于是P A ＝BF ＝551又梯形ABCD 的面积为S ＝2×(5＋3) ×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为
1151285V ＝3S ×P A ＝316×5＝1519[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，
11
∵△PCD 为正三角形，
∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝3. ∵平面PCD ⊥平面
ABCD ，
∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形，
∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3，
∴EM 2＋AM 2＝AE 2. ∴AM ⊥EM .
又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM .
(2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ，
∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角．
PE 3∴tan ∠PME ＝EM ＝＝1，∴∠PME ＝45°. 3
∴二面角P －AM －D 的大小为45°.
20[解析]
(1)因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1，
又已知B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B ，
所以B 1C ⊥平面A 1BC 1，又B 1C ⊂平面AB 1C
所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1 .
(2)设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面
12
B 1CD 的交线．
因为A 1B ∥平面B 1CD ，A 1B ⊂平面A 1BC 1，平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝DE ，所以A 1B ∥DE .
又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点．
即A 1D DC 1＝1.
21[解] (1)证明：连接AE ，如下图所示．
∵ADEB 为正方形，
∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点，
又G 是EC 的中点，
∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ，
∴GF ∥平面ABC .
(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，
又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ，
∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC .
2又∵AC ＝BC ＝2AB ，
∴CA 2＋CB 2＝AB 2，
∴AC ⊥BC .
又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE .
22(3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝2＝2，
1∴CH ⊥AB ，且CH ＝2，又平面ABED ⊥平面ABC
111∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝3×1×2＝622[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC .
又∵C 1C ⊥AC . ∴AC ⊥平面BCC 1B 1.
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∵BC 1⊂平面BCC 1B ，∴AC ⊥BC 1.
(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，又四边形BCC 1B 1为正方形．
∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE ∥AC 1. ∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.
(3)解：∵DE ∥AC 1，
∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角．
15在△CED 中，ED ＝2AC 1＝2，
151CD ＝2AB ＝2，CE ＝2CB 1＝22，
22∴cos ∠CED ＝5＝52
2∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为5.
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