竖直面的圆周问题专题
1、如图所示，一物体从竖直平面内圆环的最高点A 处由静止开始沿光滑弦轨道AB 下滑至B 点，那么（ BD ）
只要知道弦长，就能求出运动时间
只要知道圆半径，就能求出运动时间
只要知道倾角θ，就能求出运动时间
只要知道弦长和倾角就能求出运动时间
2、一个物体沿竖直放置圆环内的不同倾角的斜面下滑，如图所示，若物体均由A 点从静止开始释放，则到达圆环上另一点的时间为t ，那么
（ BC ）
A ．若斜面光滑，则斜面越陡（α角越小），t 越小
B ．若斜面光滑，t 均相等
C ．若斜面粗糙（动摩擦因数相同），则斜面越陡，t 越小 D ．若斜面粗糙（动摩擦因数相同），则斜面越陡，t 越大
3、一个物体沿竖直放置圆环内的不同倾角的斜面下滑，如图所示，若物体均由A 点从静止开始释放，则到达圆环上另一点的时间为t ，那么（ C ）
A ．若斜面光滑，则斜面越陡（α角越小），t 越小
B ．若斜面光滑，则α=45°时，t 最小
C ．若斜面粗糙（摩擦系数相同），则斜面越陡，t 越小
D ．若斜面粗糙（摩擦系数相同），则α=45°时，t 最小
4、如图所示, 竖直圆环中有多条起始于A 点的光滑轨道, 其中AB 通过环心O 并保持竖直. 一质点分别自A 点沿各条轨道下滑, 初速度均为零. 那么, 质点沿各轨道下滑的时间相比较：（ D ）
A ．质点沿着与AB 夹角越大的轨道下滑, 时间越短
B ．质点沿着轨道AB 下滑, 时间最短
C ．轨道与AB 夹角越小（AB 除外）, 质点沿其下滑的时间越短
D ．无论沿图中哪条轨道下滑, 所用的时间均相同
5、如图所示，一光滑圆环竖直放置，AB 为其水平方向的直径，甲、乙两球以同样大小的初速度从
A 处出发，沿环内侧始终不脱离环运动到达B 点，则
(
B
)
A ．甲先到达B
B ．乙先到达B
C ．同时到达B
D ．若质量相同，它们同时到达B
6、两质量均为m 的小球穿在一光滑圆环上，并由一不可伸长的轻绳相连，圆环竖直放置，在如图所示位置由静止释放，则在释放瞬间绳上的张力大小为( C )
A ．0 B ．
C ．
D ．
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7、一光滑圆环固定在竖直平面内，环上穿有两个小球A 和B （中央有孔），A 、B 之间由细绳连接着，它们位于图中所示位置时恰好都能保持静止状态。此情况下，B 球与环心O 处于同一水平面上，A 、B 间的细绳呈伸直状态，与水平线成30°夹角，已知B 球的质量为1kg ，g 取10m/s2，求：
（1）B 球受到圆环的支持力；（2）A 球的质量。
8、一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A 和B （中央有孔），A 、B 间由细绳连接着，它们处于如图中所示位置时恰好都能保持静止状态。此情况下，B 球与环中心O 处于同一水平面上，AB 间的细绳呈伸直状态，与水平线成30夹角。已知B 球的质量为m ，求：
（1）细绳对B 球的拉力和A 球的质量；
（
2
）若剪断细绳瞬间A 球的加速度；
（3）剪断细绳后，B 球第一次过圆环最低点时对圆环的压力。
解：（1）对B 球，受力分析如图所示
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，
对A 球，受力分析如图所示 在水平方向：
在竖直方向：
由以上方程解得： ① ② ③ ④
（2）剪断细绳瞬间，对A 球：
⑤
（3）设B 球第一次过圆环最低点时的速度为v ，压力为N ，圆环半径为r 。则：
⑥
⑦
⑥⑦联解得：N ＝3mg ⑧
由牛顿第三定律得B 球对圆环的压力N' ＝N ＝3mg ，方向竖直向下 ⑨ 9、一光滑半圆形圆环固定在竖直平面内，环上套着一个质量为m 的小球
P
，用细
绳相连系于A 点，处于平衡状态，如图所示．若细绳与水平面夹角为30°，则细绳
对小球的拉力F T 为______，环对小球的弹力F N 为______．
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10、一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A 和B （中央有孔），A
、
B 间由细绳连接着，它们处于图中所示位置时恰好都能保持静止状态．此情况下，
B 球与环中心O 处于同一水平面上，A 、B 间的细绳呈伸直状态，与水平线成
300夹角．已知B 球的质量为m ，求：
（1）细绳对B 球的拉力大小（2）圆环对A 球的作用力大小
（3）圆环对A 、B 球的作用力的合力大小和方向．
11、一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A 和B （中央有孔），A 、B 间由细绳连接着，它们处于如图所示位置时恰好都能保持静止状态．此情况下，B 球与环中心O 处于同一水平面上，A 、B 间的细绳呈伸直状态，与水平线成30°夹角，已知B 球的质量m 2=3kg，
求细绳对B 球的拉力T ．（g=10m/s2）
分析：对B 球受力分析，正交分解，根据平衡条件列方程求解．
解答：解：对B 球受力分析，正交分解，如图所示，根据平衡条件有：
竖直方向：
Tsin30°=mg 2
得：T=2mg=2×30N=60N 2
答：细绳对B 球的拉力为60N ．
点评：此题采用正交分解，也可以根据平行四边形定则用合成法求解．
12、一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A 和B （中央有孔），A 、B 间由细绳连接着，它们处于如图中所示位置时恰好都能保持静止状态．此情况下，B 球与环中心O 处于同一水平面上，A 、B 间的细绳呈伸直状态，与水平线成30°夹角．已知B 球的质量为3kg ，求细绳对B 球的拉力和A 球的质量m A ．
分析：对B 球受力分析由几何关系可求得细绳对B 球的拉力；再对A 球分析，
可求得A 球的质量．
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解答：解：对B 球，受力分析如图，物体B 物于平衡状态有：Tsin30°=mg B
得：T=2mg=2×3×10=60N B
对A 球，受力分析如图，物体A 处于平衡状态有
在水平方向：Tcos30°=Nsin30° A
在竖直方向：N cos30°=Mg+Tsin30° A A
由上两式解得：m =2m=6kg A B
答：细绳对B 球的拉力为60N ，A 球的质量m 为6kg ． A
点评：连接体类的共点力的平衡一般在解题时都应分别对两物体进行
受力分析，由作出的平行四边形找出力之间的关系，即可求解．
13、半径为R 的光滑圆环轨道竖直放置，一质量为m 的小球恰能在此圆轨道内做圆周运动，则小球在轨道最低点处对轨道的压力大小为( D )
A ．3mg
B ．4mg
C ．5mg
D ．6mg
14、一光滑圆环竖直放置，可绕竖直轴MN 转动（如图示），环半径R=20cm，在环上套
一个质量为m 的小球，当环绕MN 以ω=10rad/s的角速度匀速转动时，小球与环心连线与
MN 之间的夹角θ可能是（g 取10m/s2）（ C ）
A ．30° B ．45° C ．60°
D
．
75°
15、如图所示，一个小环沿竖直放置的光滑圆环轨道做圆周运动．小环从最高点A(初速度为零) 滑到最低点B 的过程中，小环线速度大小的平方v 2随下落高度h 的变化图象可能是图中的( B )
16、一个竖直放置的光滑圆环，半径为，、、、分别是其水平直径和竖直直径的端点．圆环与一个光滑斜轨相接，如图4所示．一个小球从与
点时，对轨道的压力
何处离开圆环？
【小题1】
【小题2】 多大？ ②小球能否过点高度相等的点从斜轨上无初速下滑．试求：①过点，如能，在点对轨道压力多大？如不能，小球于
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动．
解析:
【小题1】小球在运动的全过程中，始终只受重力和轨道的弹力．其中，是恒力，而是大小和方向都可以变化的变力．但是，不论小球是在斜轨上下滑还是在圆环内侧滑动，每时每刻所受弹力方向都与即时速度方向垂直．因此，小球在运动的全过程中弹力不做功，只有重力做功，小球机械能守恒． 从小球到达圆环最低点开始，小球就做竖直平面圆周运动．小球做圆周运动所需的向心力总是指向环心点，此向心力由小球的重力与弹力提供．
，所以 （1）因为小球从到机械能守恒
①
②
③
解①②③得
【小题2】小球如能沿圆环内壁滑动到
是恒量，随着的减小减小；当点，表明小球在点仍在做圆周运动，则，可见，已经减小到零（表示小球刚能到达）点，但球与环顶已是接触而无挤压，处于“若即若离”状态）时，小球的速度是能过
不可能沿圆环到达点．这就表明小球如能到达
＜
点的最小速度．如小球速度低于这个速度就，但是小球点． 点，其机械能至少应是因此小球不可能到达在点出发的机械能仅有又由于即
因此，，＞0，小球从到点时仍有沿切线向上的速度，所以小球一定
与竖直方向夹角，则是在、之间的某点离开圆环的．设半径
由图可见，小球高度
④
根据机械能守恒定律，小球到达点的速度
⑤ 应符合：
小球从点开始脱离圆环，所以圆环对小球已无弹力，仅由重力
⑥
解④⑤⑥得 沿半径方向的分力提供向心力，即
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动． 17、一半径为R 的绝缘光滑圆环竖直放置在方向水平向右的、场强为E 的匀强电场中，如图5所示，环上a ，c 是竖直直径的两端，b ，d 是水平直径的两端，质量为m 的带电小球套在圆环上，并可沿环无摩擦滑动，已知小球自a 点由静止释放，沿abc 运动到d 点时的速度恰好为零，由此可知（ ）
A ．小球在d 点时的加速度为零 B ．小球在b 点时的机械能最大 C ．小球在d 点时的电势能最小
D ．小球在b 点时的动能最大
A 、小球到达d 点的速度为零，向心加速度为零，向心力为零，小球还受到竖直向下
的重力，加速度方向竖直向下，加速度不为零．故A 错误．
B 、小球从a 运动到b 的过程中，电场力做正功最多，根据功能关系可知，小球在b 点时的机械能最大．故B 正确．
C 、小球从a 运动到d 的过程中，电场力做负功最多，小球在d 点时的电势能最大．故C 错误．
D 、设小球从a 到d 过程中，重力做功为W G ，克服电场力做功为W E ，由动能定理得，W G -W E =0，则有W G =WE ．
小球从a 到c 过程中，重力做功为2W G ，电场力做功为零，则由动能定理得，小球经过c 点的动能E k =2WG ． 小球从a 到b 过程中，重力做功为W G ，电场力做功为W E ，则由动能定理得，小球经过b 点的动能E k =2WG ． 可见，bc 中点类似于单摆的平衡位置，小球经中点时动能最大．故D 错误．
故选B
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竖直面的圆周问题专题
1、如图所示，一物体从竖直平面内圆环的最高点A 处由静止开始沿光滑弦轨道AB 下滑至B 点，那么（ BD ）
只要知道弦长，就能求出运动时间
只要知道圆半径，就能求出运动时间
只要知道倾角θ，就能求出运动时间
只要知道弦长和倾角就能求出运动时间
2、一个物体沿竖直放置圆环内的不同倾角的斜面下滑，如图所示，若物体均由A 点从静止开始释放，则到达圆环上另一点的时间为t ，那么
（ BC ）
A ．若斜面光滑，则斜面越陡（α角越小），t 越小
B ．若斜面光滑，t 均相等
C ．若斜面粗糙（动摩擦因数相同），则斜面越陡，t 越小 D ．若斜面粗糙（动摩擦因数相同），则斜面越陡，t 越大
3、一个物体沿竖直放置圆环内的不同倾角的斜面下滑，如图所示，若物体均由A 点从静止开始释放，则到达圆环上另一点的时间为t ，那么（ C ）
A ．若斜面光滑，则斜面越陡（α角越小），t 越小
B ．若斜面光滑，则α=45°时，t 最小
C ．若斜面粗糙（摩擦系数相同），则斜面越陡，t 越小
D ．若斜面粗糙（摩擦系数相同），则α=45°时，t 最小
4、如图所示, 竖直圆环中有多条起始于A 点的光滑轨道, 其中AB 通过环心O 并保持竖直. 一质点分别自A 点沿各条轨道下滑, 初速度均为零. 那么, 质点沿各轨道下滑的时间相比较：（ D ）
A ．质点沿着与AB 夹角越大的轨道下滑, 时间越短
B ．质点沿着轨道AB 下滑, 时间最短
C ．轨道与AB 夹角越小（AB 除外）, 质点沿其下滑的时间越短
D ．无论沿图中哪条轨道下滑, 所用的时间均相同
5、如图所示，一光滑圆环竖直放置，AB 为其水平方向的直径，甲、乙两球以同样大小的初速度从
A 处出发，沿环内侧始终不脱离环运动到达B 点，则
(
B
)
A ．甲先到达B
B ．乙先到达B
C ．同时到达B
D ．若质量相同，它们同时到达B
6、两质量均为m 的小球穿在一光滑圆环上，并由一不可伸长的轻绳相连，圆环竖直放置，在如图所示位置由静止释放，则在释放瞬间绳上的张力大小为( C )
A ．0 B ．
C ．
D ．
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7、一光滑圆环固定在竖直平面内，环上穿有两个小球A 和B （中央有孔），A 、B 之间由细绳连接着，它们位于图中所示位置时恰好都能保持静止状态。此情况下，B 球与环心O 处于同一水平面上，A 、B 间的细绳呈伸直状态，与水平线成30°夹角，已知B 球的质量为1kg ，g 取10m/s2，求：
（1）B 球受到圆环的支持力；（2）A 球的质量。
8、一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A 和B （中央有孔），A 、B 间由细绳连接着，它们处于如图中所示位置时恰好都能保持静止状态。此情况下，B 球与环中心O 处于同一水平面上，AB 间的细绳呈伸直状态，与水平线成30夹角。已知B 球的质量为m ，求：
（1）细绳对B 球的拉力和A 球的质量；
（
2
）若剪断细绳瞬间A 球的加速度；
（3）剪断细绳后，B 球第一次过圆环最低点时对圆环的压力。
解：（1）对B 球，受力分析如图所示
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，
对A 球，受力分析如图所示 在水平方向：
在竖直方向：
由以上方程解得： ① ② ③ ④
（2）剪断细绳瞬间，对A 球：
⑤
（3）设B 球第一次过圆环最低点时的速度为v ，压力为N ，圆环半径为r 。则：
⑥
⑦
⑥⑦联解得：N ＝3mg ⑧
由牛顿第三定律得B 球对圆环的压力N' ＝N ＝3mg ，方向竖直向下 ⑨ 9、一光滑半圆形圆环固定在竖直平面内，环上套着一个质量为m 的小球
P
，用细
绳相连系于A 点，处于平衡状态，如图所示．若细绳与水平面夹角为30°，则细绳
对小球的拉力F T 为______，环对小球的弹力F N 为______．
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10、一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A 和B （中央有孔），A
、
B 间由细绳连接着，它们处于图中所示位置时恰好都能保持静止状态．此情况下，
B 球与环中心O 处于同一水平面上，A 、B 间的细绳呈伸直状态，与水平线成
300夹角．已知B 球的质量为m ，求：
（1）细绳对B 球的拉力大小（2）圆环对A 球的作用力大小
（3）圆环对A 、B 球的作用力的合力大小和方向．
11、一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A 和B （中央有孔），A 、B 间由细绳连接着，它们处于如图所示位置时恰好都能保持静止状态．此情况下，B 球与环中心O 处于同一水平面上，A 、B 间的细绳呈伸直状态，与水平线成30°夹角，已知B 球的质量m 2=3kg，
求细绳对B 球的拉力T ．（g=10m/s2）
分析：对B 球受力分析，正交分解，根据平衡条件列方程求解．
解答：解：对B 球受力分析，正交分解，如图所示，根据平衡条件有：
竖直方向：
Tsin30°=mg 2
得：T=2mg=2×30N=60N 2
答：细绳对B 球的拉力为60N ．
点评：此题采用正交分解，也可以根据平行四边形定则用合成法求解．
12、一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A 和B （中央有孔），A 、B 间由细绳连接着，它们处于如图中所示位置时恰好都能保持静止状态．此情况下，B 球与环中心O 处于同一水平面上，A 、B 间的细绳呈伸直状态，与水平线成30°夹角．已知B 球的质量为3kg ，求细绳对B 球的拉力和A 球的质量m A ．
分析：对B 球受力分析由几何关系可求得细绳对B 球的拉力；再对A 球分析，
可求得A 球的质量．
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解答：解：对B 球，受力分析如图，物体B 物于平衡状态有：Tsin30°=mg B
得：T=2mg=2×3×10=60N B
对A 球，受力分析如图，物体A 处于平衡状态有
在水平方向：Tcos30°=Nsin30° A
在竖直方向：N cos30°=Mg+Tsin30° A A
由上两式解得：m =2m=6kg A B
答：细绳对B 球的拉力为60N ，A 球的质量m 为6kg ． A
点评：连接体类的共点力的平衡一般在解题时都应分别对两物体进行
受力分析，由作出的平行四边形找出力之间的关系，即可求解．
13、半径为R 的光滑圆环轨道竖直放置，一质量为m 的小球恰能在此圆轨道内做圆周运动，则小球在轨道最低点处对轨道的压力大小为( D )
A ．3mg
B ．4mg
C ．5mg
D ．6mg
14、一光滑圆环竖直放置，可绕竖直轴MN 转动（如图示），环半径R=20cm，在环上套
一个质量为m 的小球，当环绕MN 以ω=10rad/s的角速度匀速转动时，小球与环心连线与
MN 之间的夹角θ可能是（g 取10m/s2）（ C ）
A ．30° B ．45° C ．60°
D
．
75°
15、如图所示，一个小环沿竖直放置的光滑圆环轨道做圆周运动．小环从最高点A(初速度为零) 滑到最低点B 的过程中，小环线速度大小的平方v 2随下落高度h 的变化图象可能是图中的( B )
16、一个竖直放置的光滑圆环，半径为，、、、分别是其水平直径和竖直直径的端点．圆环与一个光滑斜轨相接，如图4所示．一个小球从与
点时，对轨道的压力
何处离开圆环？
【小题1】
【小题2】 多大？ ②小球能否过点高度相等的点从斜轨上无初速下滑．试求：①过点，如能，在点对轨道压力多大？如不能，小球于
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动．
解析:
【小题1】小球在运动的全过程中，始终只受重力和轨道的弹力．其中，是恒力，而是大小和方向都可以变化的变力．但是，不论小球是在斜轨上下滑还是在圆环内侧滑动，每时每刻所受弹力方向都与即时速度方向垂直．因此，小球在运动的全过程中弹力不做功，只有重力做功，小球机械能守恒． 从小球到达圆环最低点开始，小球就做竖直平面圆周运动．小球做圆周运动所需的向心力总是指向环心点，此向心力由小球的重力与弹力提供．
，所以 （1）因为小球从到机械能守恒
①
②
③
解①②③得
【小题2】小球如能沿圆环内壁滑动到
是恒量，随着的减小减小；当点，表明小球在点仍在做圆周运动，则，可见，已经减小到零（表示小球刚能到达）点，但球与环顶已是接触而无挤压，处于“若即若离”状态）时，小球的速度是能过
不可能沿圆环到达点．这就表明小球如能到达
＜
点的最小速度．如小球速度低于这个速度就，但是小球点． 点，其机械能至少应是因此小球不可能到达在点出发的机械能仅有又由于即
因此，，＞0，小球从到点时仍有沿切线向上的速度，所以小球一定
与竖直方向夹角，则是在、之间的某点离开圆环的．设半径
由图可见，小球高度
④
根据机械能守恒定律，小球到达点的速度
⑤ 应符合：
小球从点开始脱离圆环，所以圆环对小球已无弹力，仅由重力
⑥
解④⑤⑥得 沿半径方向的分力提供向心力，即
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动． 17、一半径为R 的绝缘光滑圆环竖直放置在方向水平向右的、场强为E 的匀强电场中，如图5所示，环上a ，c 是竖直直径的两端，b ，d 是水平直径的两端，质量为m 的带电小球套在圆环上，并可沿环无摩擦滑动，已知小球自a 点由静止释放，沿abc 运动到d 点时的速度恰好为零，由此可知（ ）
A ．小球在d 点时的加速度为零 B ．小球在b 点时的机械能最大 C ．小球在d 点时的电势能最小
D ．小球在b 点时的动能最大
A 、小球到达d 点的速度为零，向心加速度为零，向心力为零，小球还受到竖直向下
的重力，加速度方向竖直向下，加速度不为零．故A 错误．
B 、小球从a 运动到b 的过程中，电场力做正功最多，根据功能关系可知，小球在b 点时的机械能最大．故B 正确．
C 、小球从a 运动到d 的过程中，电场力做负功最多，小球在d 点时的电势能最大．故C 错误．
D 、设小球从a 到d 过程中，重力做功为W G ，克服电场力做功为W E ，由动能定理得，W G -W E =0，则有W G =WE ．
小球从a 到c 过程中，重力做功为2W G ，电场力做功为零，则由动能定理得，小球经过c 点的动能E k =2WG ． 小球从a 到b 过程中，重力做功为W G ，电场力做功为W E ，则由动能定理得，小球经过b 点的动能E k =2WG ． 可见，bc 中点类似于单摆的平衡位置，小球经中点时动能最大．故D 错误．
故选B
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