22 工程地质计算机应用 2004年 第 2 期 总 34期
变截面门式刚架的几何非线性稳定性分析
刘金荣 李 芳 史三元（河北工程学院建筑工程系 邯郸 056038）
【摘要】基于二维等截面梁元几何非线性有限元理论，按照更改的拉格朗日列式法，推导了刚架可进行非线性分析的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵,并被推广到变截面梁元。使用有限元软件Ansys 对单跨门式刚架平面内几何非线性稳定性作了分析。 【关键字】变截面门式刚架 几何非线性 Ansys 软件
1 前言
轻型钢结构门式刚架应用日益广泛，构件截面开展而纤薄，因而其稳定性特别是几何非线性稳定性成了不容忽视的一个重要环节。对于等截面刚架的非线性分析，国内外己有不少研究[1][2][3]。门式刚架体系一般都采用二维梁元进行几何非线性分析，在建立非线性平衡方程后，它最终将归结为求切线刚度矩阵和求解非线性方程组问题。本文基于二维等截面梁元几何非线性有限元理论，使用更改的拉格朗日法推导了刚架可用于几何非线性分析的单元刚度矩阵和几何刚度矩阵，并使用有限元软件Ansys 对轻钢变截面门式刚架的平面几何非线性稳定性能进行了分析，得出了刚架在平面内发生非对称失稳时的极限荷载，而且分析了相关因素对刚架几何非线性的影响，所得结论对实际工程有很好的指导意义。
2 二维非线性变截面梁元有限元理论
2.1 更改的拉格朗日列式法（U.L.）和虚位移原理
结构的几何非线性分析中，常采用更改的拉格朗日列式法（Updated Lagrangian Formulation），而在结构非线性分析中采用U.L.法时，常采用Green 应变张量和与其共轭的Kirchhoff 应力张量。 Green 应变张量的增量为：
[4]
Kirchhoff 应力张量的增量为： 本构关系为：
1⎡∂u i ∂u j ∂u k ∂u k ⎤
ε=⎢1+1+11⎥ （1） 1ij
2⎢⎣∂x j ∂x i ∂x i ∂x j ⎥⎦
1ij
212S =1S ij −1S ij =1S ij −1τij （2）
1ij 1
S =C ijkl ×1εkl （3）
虚位移原理
2
∫
2
V
τij δ2e ij d 2V =∫2t i δu i d 2S +∫2f i δu i d 2V （4）
2
S
2
V
若增量步较小，将（1）～（3）式代入（4）式可得U.L.法的增量平衡方程
11211
C e δe d V +τδηd V =R −∫1ijkl 1kl 1ij ∫ij 1ij 11R （5） V
1
1
V
工程地质计算机应用 2004年 第 2 期 总 34期 23
其中，1R 、1R 为外力虚功。
上述各式中，左下标表示参考状态，左上标表示发生状态，右下标表示分量向量，无左上标表示增量，仅左上标表示发生状态和参考状态为同一状态。
2.2 二维非线性等截面梁元
在二维等截面梁元非线性分析中，需要考虑3个独立的应力分量和对应的应变增量，若下的Cauchy 应力为记在位形C 1
1
21
1
τxx 、1τxy 、1τyy ，更新的Green 应变增量为：εxx 、εxy 、
1
1
εyy ，而Green 应变增量又可写成非线性和线性两部分
1
εxx =1e xx +1ηxx ；εxy =1e xy +1ηxy ；εyy =1e yy +1ηyy
1
1
利用剪应变的对称性，并忽略高阶项，（5）式可简化为
V
∫(Ee δe
xx
xx
+4Ge dV +∫1τxx δηxx +21τxy δηxy dV =2R −1R （6） xy δe xy )
V
[5]
()
又对于二维等截面梁元轴向位移可采用线性函数，横向位移可采用三次多项式模型，得
([K ]+[K ]){u }={F }−{F } （7）
2
1
e
g
式中，K e —弹性刚度矩阵, Kg —考虑剪切影响时的几何刚度矩阵。
⎡EA
⎢L ⎢⎢0⎢⎢0⎢K e =⎢
EA ⎢−⎢L ⎢0⎢⎢⎢0⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥4EI ⎥
L ⎦
⎡P ⎤⎢L ⎥⎢⎥ ⎛612I ⎞⎢0⎥⎜+⎟P ⎢⎥⎝5L AL ⎠⎢M i ⎛16I ⎞⎥24L I ⎛⎞
⎜+2⎟P ⎜+⎟P ⎢−⎥L ⎝10AL ⎠⎝15AL ⎠⎥K g =⎢
M i P ⎢−P ⎥0
⎢L ⎥L L ⎢⎥61216612I I I ⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−⎜+⎟P −⎜+⎟P 0⎜+⎟P ⎢0⎥⎝5L AL ⎠⎝10AL ⎠⎝5L AL ⎠⎢⎥
M j ⎢M j ⎛16I ⎞⎛L 2I ⎞⎛16I ⎞⎛2L 4I ⎞⎥
−⎜+⎟P ⎜+⎟P ⎥⎜+⎟P −⎜+⎟P ⎢−
L ⎝10AL ⎠⎝30AL ⎠⎝10AL ⎠⎝15AL ⎠⎦⎣L
12EI
L 36EI L 0−12EI L 6EI L 2
4EI L 0−6EI L 2EI L
EA L 00
12EI L 6EI −2
L
2.3 二维非线性变截面梁元有限元理论
对于楔形变截面构件，当截面楔角较小（小于15º）时，应力计算可采用与等截面计算相同的公式，其误差很小，则等截面梁单元的几何非线性分析可推广到变截面梁单元。对于变截面梁单元，虚位移方程仍然成立，但式中的Green 应变张量应考虑变截面的影响。
[6]
3 算例计算及结果分析
根据上述变截面梁元的有限元基本原理，采用有限元软件Ansys 对门式刚架平面内几何非线性稳定性进行了分析，并考虑剪切变形的影响。
3.1门式刚架极限荷载的确定
对图1所示单跨对称变截面门式刚架，柱脚采用铰接，L=18m，H=6m，屋面坡度i=1/12，梁柱均为I 型截面，hc=300mm～600mm，b=250mm，t1=10mm，t2=6mm，弹性模量E=2.1×10MPa，
hb=400mm～700mm，考虑两种荷载工况进行几何非线性稳定分析：①屋面均布荷载q 作用，②屋脊集中荷载P 作用。
经分析得出该刚架在两种荷载工况下发生平面内非对称性失稳时极限荷载依次为265.7kn/m、4941.5kn，取刚架屋脊点2的水平位移做变量进行分析，得出荷载与2点水平
5
24 工程地质计算机应用 2004年 第 2 期 总 34期
位移作用全过程曲线，见图2、图3所示。
3.2 刚架几何非线性分析
仍取形如图1所示刚架进行分析，屋面坡度i=1/12，弹性模量E=2.1×10MPa，P0=10KN，q=10KN/m，取四种刚架进行分析，刚架几何尺寸按表1取值；为了反映变截面门式刚架的几何非线性性能，按以下荷载工况进行分析：1点水平荷载λ1P0+屋面竖向均布荷载q
作用，λ1=0～10。
300250L o a d [1**********]000
0.3
0.6
0.9Ux1
图2 均布荷载作用下1点荷载水平位移曲线
1.2
1.5
1.8
5
0.26
Ux1
0.39
0.52
图1 单跨变截面门式刚架几何尺寸及荷载作用
[***********]001000
0.13
0.65
L o a d 2
图3 集中荷载作用下1点荷载水平位移曲线
以刚架在柱顶1点水平位移Ux1、1点弯矩M1和刚架屋脊2点竖向位移Uy2、 2点弯矩M2为变量，得出刚架在考虑几何非线性与线弹性计算结果比值β与水平荷载作用因子λ1的相关曲线，结果见图4、图5、图6及图7，比较计算结果，可以得出以下结论：
表1 刚架几何尺寸取值
刚架种类刚架1 刚架2 刚架3 刚架4
L (m) H (m)
18 18 24 24
6 6 12 12
b (mm)
250 250
250 250
t 1(mm)
10 10 10 10
t 1(mm)
6 6 6 6
h c (mm)
300～600300～600400～800400～800
h b (mm)
400～700 700～900 500～800 900～1100
随着水平荷载的增大，刚架几何非线性的影响将增大，而且从图中可以明显看出，水平荷载的作用对刚架的几何非线性影响较大，水平荷载的存在明显地增大了刚架的几何非线性的影响；增强刚架刚度或增大梁柱线刚度比可以减小刚架几何非线性的影响；架的高度对刚架的几何非线性的影响较大，随着刚架高度的增加，刚架几何非线性的影响明显增大。因此在工程实际中，当刚架刚度较弱、高度较大而承受较大的水平荷载作用时，刚架的几何非线性影响较大而不容忽视，从图7的结果中可以看出，本例中刚架几何非线性的影响最大接近15%，此时若忽略几何非线性的影响会造成设计的不安全；但一般情况下，刚架的几何非线性并不十分显著，可以忽略。
t 2 t 2
工程地质计算机应用 2004年 第 2 期 总 34期 25
β
1. 051. 031. 010. 990. 970. 950. 93
2
4
6
1. 051. 031. 01
β
0. 990. 970. 950. 93
8101202468
１
1012
λ１
图4 刚架1几何非线性分析
λ
图5 刚架1几何非线性分析
1. 151. 11. 05
1. 151. 11. 05
β
β
10. 950. 9
2
4
6
8
10
10. 950. 9
[1**********]
λ１
图6 刚架3几何非线性分析
λ１
图7 刚架4几何非线性分析
4 结论
本文基于二维等截面梁元几何非线性有限元理论，给出了可用于刚架几何非线性分析的单元刚度矩阵和几何刚度矩阵；利用有限元软件Ansys 对变截面门式刚架平面内几何非线性稳定性作了分析，得出了刚架发生非对称失稳时的临界荷载，跟踪了刚架失稳全过程；并对刚架几何非线性进行了分析,结果表明刚架刚度和水平荷载的作用对刚架几何非线性的影响较大，当刚架刚度较小而水平荷载较大时，应该考虑几何非线性的影响。
(收稿日期：2004-03-18 ；Email:[email protected]) ；（编者注：篇幅有限，参考文献略） ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
（上接第8页）采集工作人员的培训，对使用软件人员的培训。按以上不同对象分别开展培训工作，有利于人事信息化的顺利实施，起到“磨刀不误砍柴功”的作用。
对数据采集骨干的培训，旨在学习人事信息化所制定的各项标准和技术规范，为各单位培养一名能够正确指导本单位开展此项工作的技术骨干，确保各单位各部门按统一的标准和技术规范来开展人事信息化工作，而不能各自为阵，最终造成数据结构、指标代码等方面的不一致，影响整个人事信息系统的互连互通。
对数据采集人员的培训，主要学习数据采集工作的有关规范和注意事项，保证所采集的数据符合入库规范，确保数据的完整性和准确性。
对人事部门使用软件的培训，旨在通过学习软件的各项功能和具体操作方法，使每位员工能快速掌握软件的使用方法，达到推广软件的作用，让人事信息化的工作尽早产生效益。
5 要建立健全制度，确保数据动态更新
静态人事信息只能满足某一时刻的工作需要，要让人事信息系统能满足任意时刻的工作需要，必须确保人事数据的动态更新。因此，人事数据采集并录入数据库后，需要建立健全有关管理机制，落实各单位、各部门人事数据多长时间更新一次数据，各项人事数据由谁更新维护以及更新维护的审核机制等等，确保库中的数据实时更新。（Email：[email protected]）
22 工程地质计算机应用 2004年 第 2 期 总 34期
变截面门式刚架的几何非线性稳定性分析
刘金荣 李 芳 史三元（河北工程学院建筑工程系 邯郸 056038）
【摘要】基于二维等截面梁元几何非线性有限元理论，按照更改的拉格朗日列式法，推导了刚架可进行非线性分析的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵,并被推广到变截面梁元。使用有限元软件Ansys 对单跨门式刚架平面内几何非线性稳定性作了分析。 【关键字】变截面门式刚架 几何非线性 Ansys 软件
1 前言
轻型钢结构门式刚架应用日益广泛，构件截面开展而纤薄，因而其稳定性特别是几何非线性稳定性成了不容忽视的一个重要环节。对于等截面刚架的非线性分析，国内外己有不少研究[1][2][3]。门式刚架体系一般都采用二维梁元进行几何非线性分析，在建立非线性平衡方程后，它最终将归结为求切线刚度矩阵和求解非线性方程组问题。本文基于二维等截面梁元几何非线性有限元理论，使用更改的拉格朗日法推导了刚架可用于几何非线性分析的单元刚度矩阵和几何刚度矩阵，并使用有限元软件Ansys 对轻钢变截面门式刚架的平面几何非线性稳定性能进行了分析，得出了刚架在平面内发生非对称失稳时的极限荷载，而且分析了相关因素对刚架几何非线性的影响，所得结论对实际工程有很好的指导意义。
2 二维非线性变截面梁元有限元理论
2.1 更改的拉格朗日列式法（U.L.）和虚位移原理
结构的几何非线性分析中，常采用更改的拉格朗日列式法（Updated Lagrangian Formulation），而在结构非线性分析中采用U.L.法时，常采用Green 应变张量和与其共轭的Kirchhoff 应力张量。 Green 应变张量的增量为：
[4]
Kirchhoff 应力张量的增量为： 本构关系为：
1⎡∂u i ∂u j ∂u k ∂u k ⎤
ε=⎢1+1+11⎥ （1） 1ij
2⎢⎣∂x j ∂x i ∂x i ∂x j ⎥⎦
1ij
212S =1S ij −1S ij =1S ij −1τij （2）
1ij 1
S =C ijkl ×1εkl （3）
虚位移原理
2
∫
2
V
τij δ2e ij d 2V =∫2t i δu i d 2S +∫2f i δu i d 2V （4）
2
S
2
V
若增量步较小，将（1）～（3）式代入（4）式可得U.L.法的增量平衡方程
11211
C e δe d V +τδηd V =R −∫1ijkl 1kl 1ij ∫ij 1ij 11R （5） V
1
1
V
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其中，1R 、1R 为外力虚功。
上述各式中，左下标表示参考状态，左上标表示发生状态，右下标表示分量向量，无左上标表示增量，仅左上标表示发生状态和参考状态为同一状态。
2.2 二维非线性等截面梁元
在二维等截面梁元非线性分析中，需要考虑3个独立的应力分量和对应的应变增量，若下的Cauchy 应力为记在位形C 1
1
21
1
τxx 、1τxy 、1τyy ，更新的Green 应变增量为：εxx 、εxy 、
1
1
εyy ，而Green 应变增量又可写成非线性和线性两部分
1
εxx =1e xx +1ηxx ；εxy =1e xy +1ηxy ；εyy =1e yy +1ηyy
1
1
利用剪应变的对称性，并忽略高阶项，（5）式可简化为
V
∫(Ee δe
xx
xx
+4Ge dV +∫1τxx δηxx +21τxy δηxy dV =2R −1R （6） xy δe xy )
V
[5]
()
又对于二维等截面梁元轴向位移可采用线性函数，横向位移可采用三次多项式模型，得
([K ]+[K ]){u }={F }−{F } （7）
2
1
e
g
式中，K e —弹性刚度矩阵, Kg —考虑剪切影响时的几何刚度矩阵。
⎡EA
⎢L ⎢⎢0⎢⎢0⎢K e =⎢
EA ⎢−⎢L ⎢0⎢⎢⎢0⎣
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥4EI ⎥
L ⎦
⎡P ⎤⎢L ⎥⎢⎥ ⎛612I ⎞⎢0⎥⎜+⎟P ⎢⎥⎝5L AL ⎠⎢M i ⎛16I ⎞⎥24L I ⎛⎞
⎜+2⎟P ⎜+⎟P ⎢−⎥L ⎝10AL ⎠⎝15AL ⎠⎥K g =⎢
M i P ⎢−P ⎥0
⎢L ⎥L L ⎢⎥61216612I I I ⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−⎜+⎟P −⎜+⎟P 0⎜+⎟P ⎢0⎥⎝5L AL ⎠⎝10AL ⎠⎝5L AL ⎠⎢⎥
M j ⎢M j ⎛16I ⎞⎛L 2I ⎞⎛16I ⎞⎛2L 4I ⎞⎥
−⎜+⎟P ⎜+⎟P ⎥⎜+⎟P −⎜+⎟P ⎢−
L ⎝10AL ⎠⎝30AL ⎠⎝10AL ⎠⎝15AL ⎠⎦⎣L
12EI
L 36EI L 0−12EI L 6EI L 2
4EI L 0−6EI L 2EI L
EA L 00
12EI L 6EI −2
L
2.3 二维非线性变截面梁元有限元理论
对于楔形变截面构件，当截面楔角较小（小于15º）时，应力计算可采用与等截面计算相同的公式，其误差很小，则等截面梁单元的几何非线性分析可推广到变截面梁单元。对于变截面梁单元，虚位移方程仍然成立，但式中的Green 应变张量应考虑变截面的影响。
[6]
3 算例计算及结果分析
根据上述变截面梁元的有限元基本原理，采用有限元软件Ansys 对门式刚架平面内几何非线性稳定性进行了分析，并考虑剪切变形的影响。
3.1门式刚架极限荷载的确定
对图1所示单跨对称变截面门式刚架，柱脚采用铰接，L=18m，H=6m，屋面坡度i=1/12，梁柱均为I 型截面，hc=300mm～600mm，b=250mm，t1=10mm，t2=6mm，弹性模量E=2.1×10MPa，
hb=400mm～700mm，考虑两种荷载工况进行几何非线性稳定分析：①屋面均布荷载q 作用，②屋脊集中荷载P 作用。
经分析得出该刚架在两种荷载工况下发生平面内非对称性失稳时极限荷载依次为265.7kn/m、4941.5kn，取刚架屋脊点2的水平位移做变量进行分析，得出荷载与2点水平
5
24 工程地质计算机应用 2004年 第 2 期 总 34期
位移作用全过程曲线，见图2、图3所示。
3.2 刚架几何非线性分析
仍取形如图1所示刚架进行分析，屋面坡度i=1/12，弹性模量E=2.1×10MPa，P0=10KN，q=10KN/m，取四种刚架进行分析，刚架几何尺寸按表1取值；为了反映变截面门式刚架的几何非线性性能，按以下荷载工况进行分析：1点水平荷载λ1P0+屋面竖向均布荷载q
作用，λ1=0～10。
300250L o a d [1**********]000
0.3
0.6
0.9Ux1
图2 均布荷载作用下1点荷载水平位移曲线
1.2
1.5
1.8
5
0.26
Ux1
0.39
0.52
图1 单跨变截面门式刚架几何尺寸及荷载作用
[***********]001000
0.13
0.65
L o a d 2
图3 集中荷载作用下1点荷载水平位移曲线
以刚架在柱顶1点水平位移Ux1、1点弯矩M1和刚架屋脊2点竖向位移Uy2、 2点弯矩M2为变量，得出刚架在考虑几何非线性与线弹性计算结果比值β与水平荷载作用因子λ1的相关曲线，结果见图4、图5、图6及图7，比较计算结果，可以得出以下结论：
表1 刚架几何尺寸取值
刚架种类刚架1 刚架2 刚架3 刚架4
L (m) H (m)
18 18 24 24
6 6 12 12
b (mm)
250 250
250 250
t 1(mm)
10 10 10 10
t 1(mm)
6 6 6 6
h c (mm)
300～600300～600400～800400～800
h b (mm)
400～700 700～900 500～800 900～1100
随着水平荷载的增大，刚架几何非线性的影响将增大，而且从图中可以明显看出，水平荷载的作用对刚架的几何非线性影响较大，水平荷载的存在明显地增大了刚架的几何非线性的影响；增强刚架刚度或增大梁柱线刚度比可以减小刚架几何非线性的影响；架的高度对刚架的几何非线性的影响较大，随着刚架高度的增加，刚架几何非线性的影响明显增大。因此在工程实际中，当刚架刚度较弱、高度较大而承受较大的水平荷载作用时，刚架的几何非线性影响较大而不容忽视，从图7的结果中可以看出，本例中刚架几何非线性的影响最大接近15%，此时若忽略几何非线性的影响会造成设计的不安全；但一般情况下，刚架的几何非线性并不十分显著，可以忽略。
t 2 t 2
工程地质计算机应用 2004年 第 2 期 总 34期 25
β
1. 051. 031. 010. 990. 970. 950. 93
2
4
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β
0. 990. 970. 950. 93
8101202468
１
1012
λ１
图4 刚架1几何非线性分析
λ
图5 刚架1几何非线性分析
1. 151. 11. 05
1. 151. 11. 05
β
β
10. 950. 9
2
4
6
8
10
10. 950. 9
[1**********]
λ１
图6 刚架3几何非线性分析
λ１
图7 刚架4几何非线性分析
4 结论
本文基于二维等截面梁元几何非线性有限元理论，给出了可用于刚架几何非线性分析的单元刚度矩阵和几何刚度矩阵；利用有限元软件Ansys 对变截面门式刚架平面内几何非线性稳定性作了分析，得出了刚架发生非对称失稳时的临界荷载，跟踪了刚架失稳全过程；并对刚架几何非线性进行了分析,结果表明刚架刚度和水平荷载的作用对刚架几何非线性的影响较大，当刚架刚度较小而水平荷载较大时，应该考虑几何非线性的影响。
(收稿日期：2004-03-18 ；Email:[email protected]) ；（编者注：篇幅有限，参考文献略） ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
（上接第8页）采集工作人员的培训，对使用软件人员的培训。按以上不同对象分别开展培训工作，有利于人事信息化的顺利实施，起到“磨刀不误砍柴功”的作用。
对数据采集骨干的培训，旨在学习人事信息化所制定的各项标准和技术规范，为各单位培养一名能够正确指导本单位开展此项工作的技术骨干，确保各单位各部门按统一的标准和技术规范来开展人事信息化工作，而不能各自为阵，最终造成数据结构、指标代码等方面的不一致，影响整个人事信息系统的互连互通。
对数据采集人员的培训，主要学习数据采集工作的有关规范和注意事项，保证所采集的数据符合入库规范，确保数据的完整性和准确性。
对人事部门使用软件的培训，旨在通过学习软件的各项功能和具体操作方法，使每位员工能快速掌握软件的使用方法，达到推广软件的作用，让人事信息化的工作尽早产生效益。
5 要建立健全制度，确保数据动态更新
静态人事信息只能满足某一时刻的工作需要，要让人事信息系统能满足任意时刻的工作需要，必须确保人事数据的动态更新。因此，人事数据采集并录入数据库后，需要建立健全有关管理机制，落实各单位、各部门人事数据多长时间更新一次数据，各项人事数据由谁更新维护以及更新维护的审核机制等等，确保库中的数据实时更新。（Email：[email protected]）