圆周运动
一、圆周运动
1、定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动。
注意：①匀速圆周运动线速度方向时刻变化，因此是变速运动。 ②匀速圆周运动是匀速率圆周运动。 2、质点做匀速圆周运动的条件 （1）具有一定的速度；
（2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心力）与速度始终在一个确定不变 的平面内且一定指向圆心。 2、描述匀速圆周运动的物理量
(1) 线速度(v)：是描述质点沿圆周运动快慢的物理量。大小等于物体在一段时间内运动的弧长(s)与时间(t)的比值，（矢
量）(2) 角速度(ω, 又称为圆频率) ：是描述质点绕圆心转动快慢的物理量。大小等于一段时间内转过的角度(θ) 与时间t 的
比值。（标量） 角度的单位采用弧度制。 (3) 周期(T)：质点做圆周运动一周所需要的时间。（标量）
(4) 频率(f,或转速n) ：质点在单位时间内完成的圆周运动的次数。（标量） 总结：
【例题分析】
例1、关于物体做匀速圆周运动的正确说法是 （ ）
A. 速度大小和方向都改变 B. 速度的大小和方向都不变 C. 速度的大小改变，方向不变 D. 速度的大小不变，方向改变 例2、关于角速度和线速度，下列说法正确的是 （ ）
A. 半径一定，角速度与线速度成反比 B. 半径一定，角速度与线速度成正比 C. 线速度一定，角速度与半径成正比 D. 角速度一定，线速度与半径成反比
例3、图1—11—1所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，A 是它边缘上的一点. 左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r . B 点在小轮上，它到小轮中心的距离为r . C 点和D 点分别位于小轮和大轮的边缘上. 若在传动过程中，皮带不打滑. （ ）
A. A 点与B B. A 点与B
C. A 点与C D. A 点与D
例4、甲, 乙两个做圆周运动的质点, 它们的角速度之比为3:1,线速度之比为2:3,那么下列说法中正确的是( ) A.它们的半径之比为2:9 A.它们的半径之比为1:2
C. 它们的周期之比为2:3 D.它们的周期之比为1:3
【练习】
1、下列关于甲乙两个做圆周运动的物体的有关说法正确的是 （ ）
A. 它们线速度相等，角速度一定相等 B. 它们角速度相等，线速度一定也相等 C. 它们周期相等，角速度一定也相等 D. 它们周期相等，线速度一定也相等 2、广州和北京处在地球不同的纬度，当两地的建筑物随地球自转时，则有 （ ）
B. 广州的向心加速度比北京的向心加速度小 C. 广州的角速度比北京的角速度大 D. 两地向心加速度的方向都沿地球半径指向地心
3、如图所示, 轮O 和轮O ˊ用皮带传动(不打滑), 轮O 的半径为r, 轮O ˊ的半径R=2r,M,N,P点的位置如图所示, 则 ( )
A.M,N两点线速度相等，角速度也相等 B.M,P两点线速度相等,N 点线速度最大 C.M点角速度最大，N,P 两点角速度相等
D.P点的线速度最小，M 点和N 点线速度相等
４、正常走动的钟表，其时针和分针都在做匀速转动．下列关系中正确的有（ ） A．时针和分针角速度相同
Ｂ．分针角速度是时针角速度的１２倍 Ｃ．时针和分针的周期相同
Ｄ．分针的周期的时针周期的１２倍
5、当自行车车轮绕轴匀速转动时, 辐条上的中点与端点相比较，角速度之比为 ,周期之比为 ,线速度 之比为 .
6、在地球表面上选取A,B 两点，A 点位于北纬60°,B 点位于赤道上，则A,B 两点的角速度之比为 ,线速度之 比为 ,周期之比为 .
7、如图所示的传动装置中，B,C 两轮固定在一起绕同一轴转动，A,B 两轮用皮带传动，三轮的半径关系是r A =rC =2rB . 若皮带不打滑, 求A,B,C 轮边缘的a,b,c 三点的角速度之比和线速度之比。
向心加速度
一、向心加速度
① 定义:做匀速圆周运动的物体, 加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。
2
2
2
② 大小:an = v/r=rω=ωv=(2π/T)R.
方向:总是沿半径指向圆心，即方向始终于运动方向垂直.
注意: ①a n 是矢量，方向时刻改变，不论大小是否变化，所以圆周运动是变加速运动. ③ ④ 向心加速度a=v/r是在匀速圆周运动中推导出来的, 对非匀速圆周运动同样适用, 只要将公式中的速度v 改为瞬时
速度即可，所求的加速度为此刻的瞬时加速度。
【例题分析】
例1、关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A. 线速度不变 B. 角速度不变 C. 加速度为零 D.
解析： 是变化的，加速度不为零，答案为B 、D 。
例2、如图所示，a 、b 两轮靠皮带传动，A 、B 在传动时，皮带不打滑。求：
（1）ωC :ωB =（2）v C :v B =（3）a C :a B
2
解析：A 、C 两点在同一皮带轮上，它们的角速度相等，即ωA =度大小相等，即v A =v B 。
（1）根据ω=
v ωC ωA r B 1知=== r ωB ωB r A 2
（2）根据v =r ω知
v C v C r C r B 1==== v B v A r A r A 2a C v C ωC 111==⨯= a B v B ωB 224
（3）根据a =v ω知
这样通过“角速度”或“线速度”将比较“遥远”的两个质点的运动学特点联系在一起。
它们的角速度相同，所以线速度之比
2
a A ωA r 3
加速度之比 =2A =
a B ωB r B 3
v A r A ωr A 13
====
v B r B ωr B 3 【练习】
1、关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是：（ ）
A ．它描述的是线速度方向变化的快慢 B ．它描述的是线速度大小变化的快慢 C ．它描述的是质点在圆周运动中向心力的变化快慢
D ．以上说法都不正确
2、如图所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的 半径为2r ，b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中， 皮带不打滑，则（ ）
A. a点与b 点的线速度大小相等 B. a点与b 点的角速度大小相等 C. a 点与c 点的线速度大小相等
D. a点与d 点的向心加速度大小相等
3、甲、乙两球做匀速圆周运动，向心加速度a 随半径r 变化的关系图像如图6所示，由图像可知： 甲球运动时，角速度大小为2 rad/s
B. 乙球运动时，线速度大小为6m/s
C. 甲球运动时，线速度大小不变 D. 乙球运动时，角速度大小不变 8
图6
向心力
一、向心力
（1）定义：做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，根据牛顿第二定律，这个加速度一定是由于它受到了指向 圆心的合力，这个合力叫做向心力。（2）向心力的大小：F=mv2/r=mrω2=mr（2π/T）2=mr（2πn ）2
（3）向心力的作用效果：向心力总是指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，故向心力的始终与线速度垂直。
（4）向心力的来源：向心力是从力的作用效果命名的。凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向 心力。它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力。当
物体做匀速圆周运动时，合外力就是向心力；当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是向心力。
【例题分析】
例1、关于向心力，下列说法中正确的是 ( )
A．物体由于做圆周运动而产生了向心力 B ．向心力不改变圆周运动物体的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的 D ．做匀速圆周运动的物体其向心力为物体所受的合外力 解析：向心力不是由于物体做圆周运动而产生的，它是一种效果力。所以A 错；向心力的作用效果只改变物体
的速度方向而不改变物体的速度大小，所以B 对；向心力是矢量，匀速圆周运动的向心力大小不变，但方向 时刻改变，所以向心力是变的。C 错；当物体做匀速圆周运动时，合外力就是向心力，D 对。 例2、如图所示，用细线吊着一个质量为m 的小球，使小球在水平面内 做圆锥摆运动，关于小球受力，正确的是：（ ） A ．受重力、拉力、向心力 B. 受重力、拉力 C. 受重力 D. 以上均不对
解析：向心力是效果力，由重力和拉力的合力提供，所以物体不受向心力的作用。
例3、汽车行驶在半径为50m 的圆形水平跑道上，速度为10m/s。已知汽车的质量为1000 kg，汽车与地面的最大静 摩擦力为车重的0.8倍。问：（g =10m/s2）
（1）汽车绕跑道一圈需要的时间是多少？角速度是多少？其向心力是多大？ （2）要使汽车不打滑，则其速度最大不能超过多少？ 解析：（1）汽车绕一周的时间即是指周期，由v =
由v =r ω可得，角速度为ω=
s 2πr 2πr 2⨯3.14⨯50
=≈s ≈31.4s 得：T =t T v 10
v 10=rad /s =0.2rad /s r 50
v 2102
=1000⨯N =2000N 向心力的大小为： F 向=m r 50
（2）汽车作圆周运动的向心力由车与地面的之间静摩擦力提供。随车速的增加，需要的向心力增大，静摩擦
力随着一直增大到最大值为止。由牛顿第二定律得：
F 向=f max ①
又
v 2
F 向=m ②
r
f m =0.8G ③
联立①②③式解得，汽车过弯道的允许的最大速度为：v /s =20m /s
关于绳子和杆的圆周运动：
例4、长度为L 细绳，一端系有一质量为m 的小球，小球以O 点为圆心在竖直面内做圆周运动，求： （1） 当小球刚好通过最高点时的速率V 1为多大？ v
（2） 在（1）情况下，小球到达最低点时细绳受到的拉力？
例5、如图4所示, 小球A 质量为m. 固定在长为L 的轻细直杆一端, 并随杆一起绕杆的另一端O 点在竖直平面内做圆周运
动。如果小球经过最高位置时, 杆对球的作用力为拉力, 拉力大小等于球的重力。求 （1）球的速度大小.
（2）当小球经过最低点时速度为
6gL ，求杆对球的作用力的大小和球的向心加速度大小.
图4
【练习】
1、如图所示，一圆盘可绕通过圆盘中心O 且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一小木块A ，它随圆盘一起做匀速圆周运动。则关于木块A 的受力，下列说法正确的是 （ ） A．木块A 受重力、支持力和向心力
B ．木块A 受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向指向圆心
C．木块A 受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相反 D．木块A 受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相同
2、如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。若圆筒和物体以更大的 角速度做匀速转动，下列说法正确的是 （ ） A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大 B．物体所受弹力增大，摩擦力减小 C．物体所受弹力减小，摩擦力减小 D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
3、如图，长为L 的细绳一端固定，另一端连接一质量为m 的小球，现将球拉至与水平方向成30°角的位置释放小球（绳刚好拉直），求小球摆至最低点时的速度大小和摆球受到的绳的拉力大小。
（第6题）
圆周运动
一、圆周运动
1、定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动。
注意：①匀速圆周运动线速度方向时刻变化，因此是变速运动。 ②匀速圆周运动是匀速率圆周运动。 2、质点做匀速圆周运动的条件 （1）具有一定的速度；
（2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心力）与速度始终在一个确定不变 的平面内且一定指向圆心。 2、描述匀速圆周运动的物理量
(1) 线速度(v)：是描述质点沿圆周运动快慢的物理量。大小等于物体在一段时间内运动的弧长(s)与时间(t)的比值，（矢
量）(2) 角速度(ω, 又称为圆频率) ：是描述质点绕圆心转动快慢的物理量。大小等于一段时间内转过的角度(θ) 与时间t 的
比值。（标量） 角度的单位采用弧度制。 (3) 周期(T)：质点做圆周运动一周所需要的时间。（标量）
(4) 频率(f,或转速n) ：质点在单位时间内完成的圆周运动的次数。（标量） 总结：
【例题分析】
例1、关于物体做匀速圆周运动的正确说法是 （ ）
A. 速度大小和方向都改变 B. 速度的大小和方向都不变 C. 速度的大小改变，方向不变 D. 速度的大小不变，方向改变 例2、关于角速度和线速度，下列说法正确的是 （ ）
A. 半径一定，角速度与线速度成反比 B. 半径一定，角速度与线速度成正比 C. 线速度一定，角速度与半径成正比 D. 角速度一定，线速度与半径成反比
例3、图1—11—1所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，A 是它边缘上的一点. 左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r . B 点在小轮上，它到小轮中心的距离为r . C 点和D 点分别位于小轮和大轮的边缘上. 若在传动过程中，皮带不打滑. （ ）
A. A 点与B B. A 点与B
C. A 点与C D. A 点与D
例4、甲, 乙两个做圆周运动的质点, 它们的角速度之比为3:1,线速度之比为2:3,那么下列说法中正确的是( ) A.它们的半径之比为2:9 A.它们的半径之比为1:2
C. 它们的周期之比为2:3 D.它们的周期之比为1:3
【练习】
1、下列关于甲乙两个做圆周运动的物体的有关说法正确的是 （ ）
A. 它们线速度相等，角速度一定相等 B. 它们角速度相等，线速度一定也相等 C. 它们周期相等，角速度一定也相等 D. 它们周期相等，线速度一定也相等 2、广州和北京处在地球不同的纬度，当两地的建筑物随地球自转时，则有 （ ）
B. 广州的向心加速度比北京的向心加速度小 C. 广州的角速度比北京的角速度大 D. 两地向心加速度的方向都沿地球半径指向地心
3、如图所示, 轮O 和轮O ˊ用皮带传动(不打滑), 轮O 的半径为r, 轮O ˊ的半径R=2r,M,N,P点的位置如图所示, 则 ( )
A.M,N两点线速度相等，角速度也相等 B.M,P两点线速度相等,N 点线速度最大 C.M点角速度最大，N,P 两点角速度相等
D.P点的线速度最小，M 点和N 点线速度相等
４、正常走动的钟表，其时针和分针都在做匀速转动．下列关系中正确的有（ ） A．时针和分针角速度相同
Ｂ．分针角速度是时针角速度的１２倍 Ｃ．时针和分针的周期相同
Ｄ．分针的周期的时针周期的１２倍
5、当自行车车轮绕轴匀速转动时, 辐条上的中点与端点相比较，角速度之比为 ,周期之比为 ,线速度 之比为 .
6、在地球表面上选取A,B 两点，A 点位于北纬60°,B 点位于赤道上，则A,B 两点的角速度之比为 ,线速度之 比为 ,周期之比为 .
7、如图所示的传动装置中，B,C 两轮固定在一起绕同一轴转动，A,B 两轮用皮带传动，三轮的半径关系是r A =rC =2rB . 若皮带不打滑, 求A,B,C 轮边缘的a,b,c 三点的角速度之比和线速度之比。
向心加速度
一、向心加速度
① 定义:做匀速圆周运动的物体, 加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。
2
2
2
② 大小:an = v/r=rω=ωv=(2π/T)R.
方向:总是沿半径指向圆心，即方向始终于运动方向垂直.
注意: ①a n 是矢量，方向时刻改变，不论大小是否变化，所以圆周运动是变加速运动. ③ ④ 向心加速度a=v/r是在匀速圆周运动中推导出来的, 对非匀速圆周运动同样适用, 只要将公式中的速度v 改为瞬时
速度即可，所求的加速度为此刻的瞬时加速度。
【例题分析】
例1、关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A. 线速度不变 B. 角速度不变 C. 加速度为零 D.
解析： 是变化的，加速度不为零，答案为B 、D 。
例2、如图所示，a 、b 两轮靠皮带传动，A 、B 在传动时，皮带不打滑。求：
（1）ωC :ωB =（2）v C :v B =（3）a C :a B
2
解析：A 、C 两点在同一皮带轮上，它们的角速度相等，即ωA =度大小相等，即v A =v B 。
（1）根据ω=
v ωC ωA r B 1知=== r ωB ωB r A 2
（2）根据v =r ω知
v C v C r C r B 1==== v B v A r A r A 2a C v C ωC 111==⨯= a B v B ωB 224
（3）根据a =v ω知
这样通过“角速度”或“线速度”将比较“遥远”的两个质点的运动学特点联系在一起。
它们的角速度相同，所以线速度之比
2
a A ωA r 3
加速度之比 =2A =
a B ωB r B 3
v A r A ωr A 13
====
v B r B ωr B 3 【练习】
1、关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是：（ ）
A ．它描述的是线速度方向变化的快慢 B ．它描述的是线速度大小变化的快慢 C ．它描述的是质点在圆周运动中向心力的变化快慢
D ．以上说法都不正确
2、如图所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的 半径为2r ，b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中， 皮带不打滑，则（ ）
A. a点与b 点的线速度大小相等 B. a点与b 点的角速度大小相等 C. a 点与c 点的线速度大小相等
D. a点与d 点的向心加速度大小相等
3、甲、乙两球做匀速圆周运动，向心加速度a 随半径r 变化的关系图像如图6所示，由图像可知： 甲球运动时，角速度大小为2 rad/s
B. 乙球运动时，线速度大小为6m/s
C. 甲球运动时，线速度大小不变 D. 乙球运动时，角速度大小不变 8
图6
向心力
一、向心力
（1）定义：做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，根据牛顿第二定律，这个加速度一定是由于它受到了指向 圆心的合力，这个合力叫做向心力。（2）向心力的大小：F=mv2/r=mrω2=mr（2π/T）2=mr（2πn ）2
（3）向心力的作用效果：向心力总是指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，故向心力的始终与线速度垂直。
（4）向心力的来源：向心力是从力的作用效果命名的。凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向 心力。它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力。当
物体做匀速圆周运动时，合外力就是向心力；当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是向心力。
【例题分析】
例1、关于向心力，下列说法中正确的是 ( )
A．物体由于做圆周运动而产生了向心力 B ．向心力不改变圆周运动物体的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的 D ．做匀速圆周运动的物体其向心力为物体所受的合外力 解析：向心力不是由于物体做圆周运动而产生的，它是一种效果力。所以A 错；向心力的作用效果只改变物体
的速度方向而不改变物体的速度大小，所以B 对；向心力是矢量，匀速圆周运动的向心力大小不变，但方向 时刻改变，所以向心力是变的。C 错；当物体做匀速圆周运动时，合外力就是向心力，D 对。 例2、如图所示，用细线吊着一个质量为m 的小球，使小球在水平面内 做圆锥摆运动，关于小球受力，正确的是：（ ） A ．受重力、拉力、向心力 B. 受重力、拉力 C. 受重力 D. 以上均不对
解析：向心力是效果力，由重力和拉力的合力提供，所以物体不受向心力的作用。
例3、汽车行驶在半径为50m 的圆形水平跑道上，速度为10m/s。已知汽车的质量为1000 kg，汽车与地面的最大静 摩擦力为车重的0.8倍。问：（g =10m/s2）
（1）汽车绕跑道一圈需要的时间是多少？角速度是多少？其向心力是多大？ （2）要使汽车不打滑，则其速度最大不能超过多少？ 解析：（1）汽车绕一周的时间即是指周期，由v =
由v =r ω可得，角速度为ω=
s 2πr 2πr 2⨯3.14⨯50
=≈s ≈31.4s 得：T =t T v 10
v 10=rad /s =0.2rad /s r 50
v 2102
=1000⨯N =2000N 向心力的大小为： F 向=m r 50
（2）汽车作圆周运动的向心力由车与地面的之间静摩擦力提供。随车速的增加，需要的向心力增大，静摩擦
力随着一直增大到最大值为止。由牛顿第二定律得：
F 向=f max ①
又
v 2
F 向=m ②
r
f m =0.8G ③
联立①②③式解得，汽车过弯道的允许的最大速度为：v /s =20m /s
关于绳子和杆的圆周运动：
例4、长度为L 细绳，一端系有一质量为m 的小球，小球以O 点为圆心在竖直面内做圆周运动，求： （1） 当小球刚好通过最高点时的速率V 1为多大？ v
（2） 在（1）情况下，小球到达最低点时细绳受到的拉力？
例5、如图4所示, 小球A 质量为m. 固定在长为L 的轻细直杆一端, 并随杆一起绕杆的另一端O 点在竖直平面内做圆周运
动。如果小球经过最高位置时, 杆对球的作用力为拉力, 拉力大小等于球的重力。求 （1）球的速度大小.
（2）当小球经过最低点时速度为
6gL ，求杆对球的作用力的大小和球的向心加速度大小.
图4
【练习】
1、如图所示，一圆盘可绕通过圆盘中心O 且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一小木块A ，它随圆盘一起做匀速圆周运动。则关于木块A 的受力，下列说法正确的是 （ ） A．木块A 受重力、支持力和向心力
B ．木块A 受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向指向圆心
C．木块A 受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相反 D．木块A 受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相同
2、如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。若圆筒和物体以更大的 角速度做匀速转动，下列说法正确的是 （ ） A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大 B．物体所受弹力增大，摩擦力减小 C．物体所受弹力减小，摩擦力减小 D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
3、如图，长为L 的细绳一端固定，另一端连接一质量为m 的小球，现将球拉至与水平方向成30°角的位置释放小球（绳刚好拉直），求小球摆至最低点时的速度大小和摆球受到的绳的拉力大小。
（第6题）